Pendahuluan. Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d)-h-anti Ajaib Super...

Transkripsi

1 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super... 1 Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super pada Shackle dari Gra Siklus dengan Busur (The Analysis o Super (a,d-h-antimagic Covering on Shackle o Cycle with Cords Wuria Novitasari, Daik, Slamin Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember (UNEJ Jln. Kalimantan 7, Jember d.daik@gmail.com Abstrak Inayah et al. (201 menjelaskan suatu pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada gra G adalah pelabelan total l dari V(GÈE(G ke bilangan bulat {1,2,,4,..., V(GÈE(G } untuk setiap subgra H dari G yang Σ H =Σ v ϵ V λ (vσ e ϵ E λ(e isomorik dengan H dimana merupakan barisan aritmatika. Gra G dikatakan memiliki λ (v v ϵv = 1,2,...,V pelabelan H anti ajaib super jika. l dikatakan pelabelan total (a,d-h ajaib super, jika l(v(g={1,2,...,v(g}. Dengan begitu gra G dikatakan super apabila kemungkinan label terkecil ada pada titiknya. Shackle dari gra siklus dengan busur terdiri dari beberapa gra siklus dengan busur. Shackle dari gra siklus dengan busur merupakan shackle sisi yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n. Pada artikel ini, akan dipelajari tentang pelabelan selimut (a,d-h ajaib super tunggal dengan menggunakan deskripti aksiomatik dan metode Shack (C, 6 e,n pendektesian pola. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada berlaku pelabelan selimut (a,d-h ajaib super untuk d = {96, 80, 64, 48,, 2, 1, 29, 27, 25}. Kata Kunci: Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super, Shackle dari Gra Siklus dengan Busur Abstract Inayah et al. (201 explain super (a,d-hmagic covering on graph G is total labelling l o V(GÈE(G to integers {1,2,,4,..., V(GÈE(G } or every subgraph H o G is isomorphic with H where Σ H =Σ v ϵv λ (vσ e ϵ E λ(e is an arithmetic sequence. Graph G is called have super H antimagic labelling i λ (v v ϵv = 1,2,...,V. l is called super (a,d-hmagic total covering, i l(v(g={1,2,...,v(g}. Such a graph G is called super i the smallest possible labels appear on the vertices. Shackle o cycle with cord consists o several cycle o cord. Shackle o cycle with cord is edge shackle which denoted Shack (C 6, e, n. In this paper we learn about super (a,d-hmagic covering properties o connective using descriptive axiomatic and the pattern recognition method. The result shows that on Shack (C 6, e, n admit a super (a,d-hmagic covering or d = {96, 80, 64, 48,, 2, 1, 29, 27, 25}. Keywords: Super (a,d -Hmagic covering, Shackle o Cycle o Cord Pendahuluan Teori gra adalah salah satu cabang dari ilmu matematika yang penting namun teori-teorinya dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh penerapan teori gra adalah pelabelan gra. Pelabelan suatu gra adalah pemetaan bijekti yang memasangkan unsurunsur gra (titik atau sisi dengan bilangan bulat positi. Terdapat banyak jenis pelabelan gra yang telah dikembangkan, salah satunya adalah pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur. Deinisi 1. Shackle dari gra siklus dengan busur adalah gra yang dinotasikan dengan Shack (C 6, e,n dimana gra ini memiliki buah busur, e=1 yaitu 1 sisi yang digunakan bersama-sama oleh gra siklus dengan busur yang pertama dan gra siklus dengan busur yang kedua, 1 sisi dari gra siklus dengan busur yang kedua juga digunakan bersama-sama oleh gra siklus dengan busur yang ketiga, dan seterusnya. Shackle ini termasuk kategori shackle sisi karena ada 1 sisi yang digunakan oleh dua buah gra siklus dengan busur. Shackle dari gra siklus dengan busur mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi, yaitu: V (Shack (C 6, e, n ={x i,j ; 1 i 4,1 j n} E (Shack (C 6, e, n ={x i,j x i+1,j ; 1 i,1 j n} È {x 1,j x,j ; 1 j n} È {x 1,j x,j+1 ; 1 j n} È {x 2,j x,j+1 ; 1 j n} È {x 1,j x 2,j+1; 1 j n} È {x 4,j x,j+1 ; 1 j n}. Inayah et al. (201 mengembangkan suatu pelabelan selimut (a,d-h ajaib dengan penjelasan bahwa suatu pelabelan selimut (a,d-h ajaib pada gra G adalah sebuah ungsi bijekti sehingga terdapat jumlahan yang ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7

2 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super... 2 merupakan barisan aritmatika {a, a+d, a+2d,, a+(t-1d}. Pelabelan selimut (a,d-h ajaib dikatakan ungsi bijekti karena label selimut pada suatu gra tersebut selalu berbeda dan berurutan. Penelitian tentang selimut pernah dilakukan oleh Inayah (201, Rizky et al. (2014, dan Citra et al. (2014. Pada penelitian ini dibahas tentang pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur karena belum ada penelitian tentang pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur. Setelah dilakukan pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur, akan didapatkan nilai batas atas atas dan teorema baru. Adapun manaat yang didapatkan dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan baru tentang pelabelan selimut selimut pada shackle dari gra siklus dengan busur. Memberi motivasi untuk meneliti tentang pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada gra jenis lain. Selain itu, hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai pengembangan atau perluasan ilmu dan aplikasi dalam masalah pelabelan selimut (a,d-h ajaib super. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskripti aksiomatik yaitu menetapkan pengertian dasar selimut H ajaib, lalu dikenalkan beberapa teorema mengenai pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur baik secara tunggal maupun gabungan saling lepasnya. Selain itu, metode yang digunakan adalah metode pendeteksian pola. Adapun rancangan penelitian tersaji pada diagram alur penelitian pada Gambar 1 berikut: Identiikasi amili gra Menghitung jumlah titik p dan sisi q pada Shack (? 6,?,? Menentukan label sisi dan ungsi bijekti sisi Mengembangkan ungsi sisi dan bobot total Membuktikan kebenaran ungsi Teorema Keterangan: Menentukan batas atas nilai beda (d unexpandable Menentukan label titik Mengembangkan ungsi bijekti bobot titik expandable Gambar 1. Rancangan Penelitian Hasil Penelitian Hasil dari penelitian yang akan dibahas terkait dengan pelabelan selimut (a,d -H ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yaitu berupa batas atas d 96 serta 10 teorema baru tentang pelabean selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yaitu: 1. Ada pelabelan selimut (6n+84,96 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 2. Ada pelabelan selimut (44n+76,80 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan. Ada pelabelan selimut (52n+68,64 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 4. Ada pelabelan selimut (60n+60,48 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 5. Ada pelabelan selimut (57n+77, C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 6. Ada pelabelan selimut (68n+52,2 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 7. Ada pelabelan selimut (58n+76,1 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 8. Ada pelabelan selimut (59n+75,29 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 9. Ada pelabelan selimut (60n+74,27 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan 10. Ada pelabelan selimut (61n+7,25 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan Pembahasan Penelitian ini bertujuan untuk menentukan batas atas pelabelan selimut (a,d-h-nanti ajaib super tunggal dan untuk menentukan pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur tunggal. Adapun batas atas pelabelan selimut (a,d-h ajaib super dapat ditentukan dengan menggunakan Lemma 1 berikut (Daik, 2014: Lemma 1. Jika sebuah gra G(V,E adalah pelabelan selimut (a,d-h ajaib super, maka d ( p p p +(q q q G H H G H H untuk, s= H i, H subgra G s 1 yang isomorik dengan H, p G = V(G, q G = E(G, p H = V(H, q H = E(H. ARTIKEL : Aliran ILMIAH kegiatan utama MAHASISWA 2015, I (1: 1-7 : Aliran pengecekan

3 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super... Hasil penelitian untuk pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yaitu: Batas Atas d. Diketahui jumlah titik p G = 4n+2 dan jumlah sisi q G = 8n+1, jumlah titik selimut adalah p H = 6 serta jumlah sisi selimut adalah q H = 9 dengan jumlah selimut n, maka batas atas nilai beda d tersebut adalah: d ( p G p H p H +(q G q H q H s 1 (4n+2 66+(8n+1 99 (4n 46+(8n 89 96n 96 96( 96 Pelabelan selimut (a,d-h ajaib super selalu menggunakan bilangan bulat positi, maka nilai d 0 dan d adalah bilangan bulat, sehingga d {0,1,2,...,96}. Selanjutnya penentuan ungsi bijekti pelabelan selimut (a,d-h ajaib super akan disesuaikan dengan nilai d yang telah ditetapkan. Adapun teorema-teorema yang telah ditemukan sebagai berikut: Teorema 1. Ada pelabelan selimut (6n+84,96 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n dengan ungsi bijekti 1 dengan label sebagai berikut: 1 =4j+i 5 untuk i=2,, 1 j n 1 ( x i, j =4j+ i+2 2 untuk i=1,4, 1 j n 1 adalah ungsi bijekti yang memetakan Shack (C, 6 e, n, ke himpunan bilangan bulat {1, 2,..., 4n+2}. Jika w 1 dideinisikan sebagai bobot titik selimut dari pelabelan selimut total pada Shack (C, 6 e,n, dimana bobot titik selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan 6 label titik dari gra siklus dengan busur yang menjadi selimut pada Shack (C, 6 e,n, maka ungsi bijekti w 1 dapat ditentukan sebagai berikut: w 1 = i=2, ( 1 i=1,4 ( 1 i=2, ( i=2, (4j+i 5+ 4( j+1i 5 2 (8j+2i 6 i=2, Himpunan bobot titik selimut di atas adalah w 1 = {21, 45, 69,..., 24n-} membentuk barisan aritmatika dengan d = 24. Karena U n = a+(n-1b = 21+(n-124 = 24n- maka terbukti bahwa ungsi bobot selimut w 1 =24i-. Selanjutnya untuk membentuk selimut total, diperlukan label sisi. Labeli sisi Shack (C, 6 e, n dengan ungsi bijekti 1 yang dapat dituliskan sebagai berikut: 1 =4n i+8j untuk, 1 j n 1 x, j =4n+8j untuk 1 j n 1 (x, j =4n+8j 2 untuk 1 j n 1 x, j+1 =4n+8j 1 untuk 1 j n 1 =4n+8j untuk 1 j n 1 x, j+1 =4n+8j+1 untuk 1 j n 1 ( x, j+1 =4n +8j+2 untuk 1 j n Jika W 1 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 1 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 1 dan rumus label sisi 1 dengan syarat batas i dan j yang W 1 1 ( 1 1 x, j 1 (x, j 1 x, j x, j+1 1 ( x, j+1 1 x, j W 1 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (4n+8j (4n+8j 2 (4n+8j 1( 4n+8j( 4n+8j+1(4n+8j+2 (4n 2+8( j+1 W 1 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (28n+56j Dengan demikian barisan aritmatika dari W 1 = {6n+84, 6n+180,..., 12n-12}. Karena U n = a + (n-1b= 6n+84+ (n-196 = 12n-12 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (6n+84,96 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 2. Ada pelabelan selimut (44n+76,80 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 2 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 2 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 2 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 2 dimana 2 = 1, maka label sisinya: 2 (x i,j x i+1,j = 1 (x i,j x i+1,j, 2 (x 2,j x,j+1 = 1 (x 2,j x,j+1, 2 (x 2,j x,j+1 = 1 (x 2,j x,j+1, 2 (x 1,j x 2,j+1 = 1 (x 1,j x 2,j+1, 2 (x 1,j x,j+1 = 1 (x 1,j x,j+1, 2 (x 4,j x,j+1 = 1 (x 4,j x,j+1, 2 (x,j x 4,j = 12n-8j+5 untuk 1 j n, 2 (x 1,j x,j = 4n+8j-2 untuk 1 j n. Jika W 2 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 2 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 2 dan rumus label sisi 2 dengan syarat batas i dan j yang W 2 2 i =1,2 ( 2 ( x i, j 2 ( x, j 2 ( x 1, j x, j 2 ( x 2, j x, j ( x 1, j x, j+1 2 ( x, j+1 2 x, j W 2 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (12n 8j+5(4n+8j 2 (4n+8j 1( 4n+8j( 4n+8j+1(4n+8j+2 ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7

4 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super... 4 (4n 2+8( j+1 W 2 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (6n+40j+8 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 2 = {44n+76, 44n+156,..., 124n-4}. Karena U n = a+(n-1b = 44n+76+(n- 180 = 124n-4 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (44n+76,80 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema. Ada pelabelan selimut (52n+68,64 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka (x i,j = 1 (x i,j sehingga w = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema dan teorema 2 ke dalam teorema dimana = 1 dan = 2, maka label sisinya: (x i,j x i+1,j = 1 (x i,j x i+1,j, (x,j x 4,j = 2 (x,j x 4,j, (x 1,j x,j = 2 (x 1,j x,j, (x 1,j x,j+1 = 1 (x 1,j x,j+1, (x 4,j x,j+1 = 1 (x 4,j x,j+1, (x 1,j x 2,j+1 = 12n-8j+7 untuk 1 j n, (x 2,j x,j+1 = 4n+8j untuk 1 j n. Jika W dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w dan rumus label sisi dengan syarat batas i dan j yang W ( x i +1, j (x, j x, j x, j+1 x, j+1 ( x, j+1 ( x 2, j x, j W 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (12n 8j+5(4n+8j 2 (12n 8j+7(4n+8j(4n+8j+1( 4n+8j+2 (4n 2+8( j+1 W 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (44n+24j+16 Dengan demikian barisan aritmatika dari W = {52n+68, 52n+12,..., 116n+4}. Karena U n = a+(n-1b = 52n+68+ (n-164 = 116n+4 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (52n+68,64 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 4. Ada pelabelan selimut (60n+60,48 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 4 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 4 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 4 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 1, teorema 2 juga teorema ke dalam teorema 4 dimana 4 = 1, 4 = 2 dan 4 =, maka label sisinya: 4 (x i,j x i+1,j = 1 (x i,j x i+1,j, 4 (x,j x 4,j = 1 (x,j x 4,j, 4 (x 1,j x,j = 2 (x 1,j x,j, 4 (x 1,j x 2,j+1 = (x 1,j x 2,j+1, 4 (x 2,j x,j+1 = (x 2,j x,j+1, 4 (x 4,j x,j+1 = 4n+8j+1 untuk 1 j n, 4 (x 1,j x,j+1 = 12n- 8j+10 untuk 1 j n. Jika W 4 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 4 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 4 dan rumus label sisi 4 dengan syarat batas i dan j yang W 4 4 ( 4 4 (x, j 4 x, j 4 4 x, j+1 4 ( x, j+1 4 x, j+1 4 x, j W 4 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (12n 8j+5(4n+8j 2 (12n 8j+7(4n+8j(4n+8j+1(12n 8j+10 (4n 2+8( j+1 W 4 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (52n+8j+24 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 4 = {60n+60, 60n+108,..., 108n+12}. Karena U n = a+(n-1b = 60n+60+ (n-148 = 108n+12 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (60n+60,48 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 5. Ada pelabelan selimut (57n+77, C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 5 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i=2, dan i=1,4 maka 5 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 5 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e,n dengan ungsi bijekti 5 yang dapat dituliskan sebagai berikut: 5 =4n 4i+ j+10,untuk,1 j n 5 x, j =5n+ j+6,untuk1 j n 5 (x, j =6n+ j+6, untuk 1 j n 5 x, j+1 =7n+ j+6, untuk 1 j n 5 =8n+ j+6, untuk 1 j n 5 x, j+1 =9n+ j+6, untuk 1 j n 5 ( x, j+1 =10n+ j+6, untuk 1 j n Jika W 5 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 5 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 5 dan rumus label sisi 5 dengan syarat batas i dan j yang W 5 5 ( 5 5 x, j 5 (x, j 5 x, j+1 5 ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7

5 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super x, j+1 5 ( x, j+1 5 x, j W 5 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(5n+ j+6(6n+ j+6 (7n+ j+6(8n+ j+6(9n+ j+6(10n+ j+6 (4n 8+( j+110 W 5 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(49n+7j+9 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 5 = {57n+77, 57n+110,..., 90n+44}. Karena U n = a+(n-1b = 57n+77+ (n-1 = 90n+44 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (57n+77, C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 6. Ada pelabelan selimut (68n+52,2 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 6 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 6 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 6 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1, teorema 2, teorema juga teorema 4 ke dalam teorema 6 dimana 6 = 1, 6 = 2, 6 = dan 6 = 4, maka label sisinya: 6 (x i,j x i+1,j = 1 (x i,j x i+1,j, 6 (x,j x 4,j = 2 (x,j x 4,j, 6 (x 1,j x,j = 2 (x 1,j x,j, 6 (x 1,j x 2,j+1 = (x 1,j x 2,j+1, 6 (x 2,j x,j+1 = (x 2,j x,j+1, 6 (x 1,j x,j+1 = 4 (x 1,j x,j+1, 6 (x 4,j x,j+1 = 12n-8j+9 untuk 1 j n. Jika W 6 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 6 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 6 dan rumus label sisi 6 dengan syarat batas i dan j yang W 6 6 ( 4 6 (x, j 6 x, j 6 6 x, j +1 6 ( x, j+1 6 x, j +1 6 x, j W 6 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (12n 8j+5(4n+8j 2 (12n 8j+7(4n+8j(12n 8j+9(12n 8j+10 (4n 2+8( j+1 W 6 2 i=2, (8j+2i 6 (4n i+8j (60n 8j+2 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 6 = {68n+52, 68n+84,..., 100n+20}. Karena U n =a+(n-1b= 68n+52+(n-12=100n+20 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (68n+52,2 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n³ 2. Teorema 7. Ada pelabelan selimut (58n+76,1 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 7 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 7 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 7 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 5 ke dalam teorema 7 dimana 7 = 5, maka label sisinya: 7 (x i,j x i+1,j = 5 (x i,j x i+1,j, 7 (x 2,j x,j+1 = 5 (x 2,j x,j+1, 7 (x 1,j x 2,j+1 = 5 (x 1,j x 2,j+1, 7 (x 1,j x,j+1 = 5 (x 1,j x,j+1, 7 (x 4,j x,j+1 = 5 (x 4,j x,j+1, 7 (x,j x 4,j = 6n-j+7 untuk 1 j n, dan 7 (x 1,j x,j = 6n+j+6 untuk 1 j n. Jika W 7 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 7 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 7 dan rumus label sisi 7 dengan syarat batas i dan j yang W 7 7 ( 7 7 (x, j 7 x, j 7 x, j+1 7 ( x 1, j x 2, j +1 7 x, j+1 7 ( x, j +1 7 x, j W 7 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(6n j+7(6n + j+6 (7n+ j+6(8n+ j+6(9n+ j+6(10n+ j+6 (4n 8+( j+110 W 7 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(50n+5j+40 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 7 = {58n+76, 58n+107,..., 89n+45}. Karena U n = a+(n-1b = 58n+76+ (n-11 = 89n+45 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (58n+76,1 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 8. Ada pelabelan selimut (59n+75,29 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 8 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 8 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 8 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 5 dan teorema 7 ke dalam teorema 8 dimana 8 = 5 dan 8 = 7 maka label sisinya: 8 (x i,j x i+1,j = 5 (x i,j x i+1,j, 8 (x,j x 4,j = 7 (x,j x 4,j, 8 (x 1,j x,j = 7 (x 1,j x,j, 8 (x 1,j x,j+1 = 5 (x 1,j x,j+1, 8 (x 4,j x,j+1 = 5 (x 4,j x,j+1, 8 (x 1,j x 2,j+1 = 8n-j+7 untuk 1 j n, dan 8 (x 2,j x,j+1 = 8n+j+6 untuk 1 j n. Jika W 8 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 8 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 8 dan rumus label sisi 8 dengan syarat batas i dan j yang W 8 8 ( 8 8 (x, j 8 x, j 8 8 x, j+1 ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7

6 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super x, j+1 8 ( x, j+1 8 x, j W 8 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(6n j+7(6n + j+6 (8n j+7(8n+ j+6(9n + j +6(10n+ j+6 (4n 8+( j+110 W 8 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(51n+j+41 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 8 = {59n+75, 59n+104,..., 88n+46}. Karena U n = a+(n-1b = 59n+75+ (n-129 = 88n+46 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (59n+75,29 C 6 ajaib super pada shackle. dari gra C 6 yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 9. Ada pelabelan selimut (60n+74,27 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e, n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 9 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 9 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 10 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 5, teorema 7 juga teorema 8 ke dalam teorema 9 dimana 9 = 5, 9 = 7 dan 9 = 8 maka label sisinya: 9 (x i,j x i+1,j = 5 (x i,j x i+1,j, 9 (x,j x 4,j = 7 (x,j x 4,j, 9 (x 1,j x,j = 7 (x 1,j x,j, 9 (x 1,j x 2,j+1 = 8 (x 1,j x 2,j+1, 9 (x 2,j x,j+1 = 8 (x 2,j x,j+1, 9 (x 4,j x,j+1 = 9n+j+6 untuk 1 j n, dan 9 (x 1,j x,j+1 = 11n-j+7 untuk 1 j n. Jika W 9 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 9 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 9 dan rumus label sisi 9 dengan syarat batas i dan j yang W 9 9 ( 9 x i +1, j 9 (x, j 9 x, j 9 9 x, j +1 9 ( x, j+1 9 x, j +1 9 x, j W 9 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(6n j+7(6n + j+6 (8n j+7(8n+ j+6(9n+ j+6(11n j+7 (4n 8+( j+110 W 9 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(52n+ j+42 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 9 = {60n+74, 60n+101,..., 87n+47}. Karena U n = a+(n-1b = 60n+74+ (n-127 = 87n+47 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (60n+74,27 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Teorema 10. Ada pelabelan selimut (61n+7,25 C 6 - anti ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Bukti. Labeli titik Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 1 ke dalam teorema 10 dengan ungsi bijekti 1 (x i,j untuk i = 2, dan i = 1,4 maka 10 (x i,j = 1 (x i,j sehingga w 10 = w 1 = i=1,4 2 i=2,(8j+2i 6, untuk 1 j n. Labeli sisi Shack (C, 6 e,n yang terdapat pada teorema 5, teorema 7, teorema 8 juga teorema 9 ke dalam teorema 10 dimana 10 = 5, 10 = 7, 10 = 8 dan 10 = 9 maka label sisinya: 10 (x i,j x i+1,j = 5 (x i,j x i+1,j, 10 (x,j x 4,j = 7 (x,j x 4,j, 10 (x 1,j x,j = 7 (x 1,j x,j, 10 (x 1,j x 2,j+1 = 8 (x 1,j x 2,j+1, 10 (x 2,j x,j+1 = 8 (x 2,j x,j+1, 10 (x 1,j x,j+1 = 9 (x 1,j x,j+1, 10 (x 4,j x,j+1 = 10n-j+7 untuk 1 j n. Jika W 10 dideinisikan sebagai bobot selimut total pada Shack (C, 6 e,n berdasarkan penjumlahan bobot titik selimut dengan label sisinya maka W 10 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot titik selimut w 9 dan rumus label sisi 10 dengan syarat batas i dan j yang W ( 10 ( x i, j 10 (x, j 10 x, j x, j+1 10 ( x, j+1 10 x, j+1 10 x, j W 10 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(6n j+7(6n + j+6 (8n j+7(8n+ j+6(10n j+7(11n j+7 (4n 8+( j+110 W 10 2 i=2, (8j+2i 6 (4n 4i+ j+10(5n j+4 Dengan demikian barisan aritmatika dari W 10 = {61n+7, 61n+98,..., 86n+48}. Karena U n = a+(n-1b = 61n+7+(n-125 = 86n+48 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan selimut (61n+7,25 C 6 ajaib super pada shackle dari gra siklus dengan busur yang dinotasikan dengan Shack (C, 6 e,n untuk n ³ 2. Kesimpulan dan Saran Pelabelan Selimut (a,d-h Anti Ajaib Super pada shackle dari gra siklus dengan busur memiliki batas atas d 96. Shackle dari gra siklus dengan busur memiliki pelabelan selimut (a,d- C 6 ajaib super untuk d = {96, 80, 64, 48,, 2, 1, 29, 27, 25}. Hasil penelitian ini dibuktikan pada teorema bahwa Shack (C, 6 e,n terdapat ungsi bijekti pelabelan selimut yaitu (6n+84,96, (44n+76,80, (52n+68, 64, (60n+60,48, (57n+77,, (68n+52,2, (58n+76,1, (59n+75,29, (60n+74,27, (61n+7,25- C 6 ajaib super untuk n ³ 2. Berdasarkan hasil penelitian mengenai pelabelan selimut (a,d-h ajaib super pada Shack (C, 6 e,n serta mengacu pada open problem dari hasil penelitian yang telah ditemukan, maka peneliti memberikan saran kepada pembaca agar dapat ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7

7 Wuria Novitasari et al., Analisa Pelabelan Selimut (a,d-h-anti Ajaib Super... 7 melakukan penelitian pada pelabelan selimut (a,d- C 6 - anti ajaib super pada Shack (C, 6 e,n dengan n ³ 2 untuk d 96 selain d = {96, 80, 64, 48,, 2, 1, 29, 27, 25}. Ucapan Terima Kasih Paper disusun untuk memenuhi syarat memperoleh gelar sarjana (S1 pada Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Jember. Penulis W.N mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini. Datar Pustaka [1] Citra, S., Hesti, Ika, dan Daik Super (a,d-h- Antimagic Total Covering pada Gra Semi Windmill. CGANT-Universitas Jember. Vol. 1(1: 1-8. [2] Daik Batas Atas d dari Sebuah Gra yang Memiliki Super (a,d-h-antimagic Covering. Working Paper, FKIP UNEJ. [] Inayah, N., A.N.M. Salman and R. Simanjutak Australian Journal o Combinatorics. Vol. 57: [4] Inayah, N Pelabelan (a,d-h-anti Ajaib pada Beberapa Kelas Gra. Tidak dipublikasikan (Disertasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung. [5] Rizky, P., Hesti, Ika, dan Daik Super (a,d-h- Antimagic Total Covering pada Shackle Gra Triangular Book. CGANT-Universitas Jember. Vol. 1(1: ARTIKEL ILMIAH MAHASISWA 2015, I (1: 1-7