PEMABAHASAN SOAL-SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP TAHUN 2007 MATA PELAJARAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 PEMABAHASAN SOAL-SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP TAHUN 007 MATA PELAJARAN MATEMATIKA OLEH: ROHADI USMAN M, S.Pd GURU SMP NEGERI 6 WATAMPONE KAB. BONE

2 SOAL PILIHAN GANDA. Urutan bilangan-bilangan 5555,5, dan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah. A. 5555, 5, B.5,, 5555 C., 5555, 5 D. 5, 5555, E., 5, 5555 Jawab: B Pembahasan: 5555 =( 5 ) =. 5 =(5 ) =5 =( ) =7 Jadi urutan bingan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah 5, 7, 5,, Misalkan a, b, dan c bilangan bulat. Pernyataan-pernyataan berikut yang salah adalah A. Jika a membagi b dan b membagi c, maka a membagi c B. Jika a membagi b dan c, maka a membagi b+c C. Jika a membagi b dan c, maka a membagi bc D. Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c E. Jika a membagi b, maka a membagi bc. Pembahasan: Jawab: D. Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c. A. Jika a membagi b dan membagi c, maka a membagi c B. Jika a membagi b dan c, maka a membagi b + c C. Jika a membagi b dan c, maka a membagi bc D. Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c E. Jika a membagi b, maka a membagi bc.

3 Pernyataan Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c adalah salah. Ambil a =, b = 6, dan c =. membagi dan 6 membagi tetapi x 6 = tidak membagi.. Misalkan untuk bilangan bulat a dan b didefenisikan a * b = bilangan bulat a,b, dan c I. a * b = b * a II. a * a = a III. a * ( b * c ) = ( a * b ) * c Pernyataan yang benar adalah A. I saja B. II saja C. III saja D I, dan II saja E. I, II, dan III saja a b,untuk semua Jawab: D. I dan II saja. a b b a I. a * b = = = b * a a a a II. a * a = = a b c III. a * (b * c) = a * = a b c, sedangkan (a * b) * c = a b c. Bilangan cacah lima-digit dengan digit pertama tidak nol dan jumlah semua digitnya sama dengan ada sebanyak. A. B. C. D. E. 5 Jawab : E Misalkan bilangan cacah lima digit itu adalah abcde a+b +c +d +e =, a 0 Bilangan cacah itu adalah : Bilangan cacah tersebut ada sebanyak 5.

4 5. Perhatikan Gambar i h g f e d c a b Gambar Nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h + i adalah A. 60 B. 50 C. 70 D.900 E..60 Jawab : E i h g f e d c a b Nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h + i = 7 x 80 = Suatu bilangan kuadrat jika dibagi, maka kemungkinan sisanya adalah.. A. 0 B. C. D. 0 dan E. 0,, atau Jawab : D Pembahasan: K = Bilangan kuadrat K =,, 9, 6, 5, 6, : sisa 9 : sisa 0 6 : sisa 5 : sisa Suatu bilangan kuadrat jika dibagi kemungkinan sisanya 0 atau

5 7. Seorang pedagang membeli 5 kg bera jenis A seharga Rp. 6000,00 setiap kg dan 5 kg beras jenis B sehrga Rp..000,00 setiap kg. Kedua jemis beras tersebut kemudian di campur. Agar mendapat untung %, setiap kg beras tersebut dijual seharga Rp A. 5.00,00 B. 5.60,00 C. 5.50,00 D ,00 E. 6.0,00 Jawab: B 5.60,- Harga beli per kg beras campuran adalah , 5 5 Agar untung %, maka beras harus dijual seharga 0% dari harga beli. Dengan demikian, harga jual beras per kg adalah 0% x 550 = Rp. 5.60,- 8. Jika f fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan asli yang memenuhi f( x ) + f( x + ) = x dan f ( ) = 99, maka f (99 ).. A B C D E Jawab : C f(x) + f(x+) = x f() = 99 f() = x -.8 f() + f() = x = f() = x 96 f() =.9 99 f() = x -5 f() =.8 =.95 f(5) = x.95 = 59 f(6) = x 5.95 =.09 f(7) = x 5.95 = 50 f()= 99,, 5, 7,, 99 f() = 5 Un = a + (n-)b f(5) = 59 = + (n-)

6 f(7) = 50 + (n-) =99. + n = 99. n = n = 5 f(99) = U 5 = f(99) 99, 5, 59, 50,,..,.. 6 U 5 = 99 + (n- )6 + (n-)(n-)8 = = Jadi f(99)= Diketahui suatu segitiga dan setengah lingkaran seperti pada gambar. Jika panjang sisi segitiga tersebut adalah cm, maka luas daerah yang diarsir adalah. Cm A. 9 B. 9 C. 8 8 D. 8 8 Jawab.C Pembahasan: C P A A 0 o O O B B

7 Karena AB = cm, maka luas segitiga ABC = = 9 cm. Perhatikan AOP siku-siku di P (sifat garis singgung). Karena ABC sama sisi, maka CAB = 60 o. Akibatnya, AOP = 0 o. 7 7 AO = ½ AB = 7 cm, maka AP = cm dan OP = Luas Setengah lingkaran = = OP 7 7 = 8 = 8 cm 8 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah cm 0. Suatu lapangan rumput berbentuk persegi ABCD seperti gambar dengan panjang AB = 7 m. Seekor kambing diikat di E dengan tali sepanjang m. Jarak AE= m. Luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing tersebut adalah m. 6 A. B. C. 6 A E B D. 8 cm. D C Jawab : C A E 0 E B D C Luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing adalah:

8 Luas Luas lingkaran + Luas juring 0 + Luas AOE = 0 +.a. t + 60 = = 6 =. Banyak jalan terpendek dari P ke Q adalah. A. P B. 6 C. D. 60 E. 80 Jawab : D Penyelesaian : P C Q D A B Q Melalui : PD = jalan A ke Q = 5 jalan P ke A = jalan B ke Q = jalan P ke B = jalan C ke Q = jalan P ke C = jalan Jadi dari P ke Q ada : x 5 + x + x = 0+6+=60 jalan. Pada pukul 0.5 penerjun payung melompat dari pesawat udara sambil membuka parasutnya. Setelah 8 detik, ketinggiannya.000 meter dari permukaan tanah. Lima detik kemudian ketinggiannya.900 meter. Misalkan mulai detik ke-8 sampai dengan satu menit kecepatannya tetap. Ketinggiannya pada pukul 0.6 adalah..meter. A. 860 C. 9 B. 890 D. 960 E. 980 Jawab : D Waktu 5 detik jarak yang dilalau = = 00 meter

9 V = 00 0 m 5 det Jarak yang dilalui dalam 8 detik = 8 x 0 = 60 m Ketinggian awal = =.60 m Dari pukul 0.5 sampai pukul 0.6 waktu yang di gunakan ( t ) = menit = 60 det Jarak yang dilalui dalam 60 det = 60 x 0 =.00 m Ketinggian pada pukul 0.6 = = 960 m. Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 7 desember 006. Jika pada hari tersebut usia desi sama dengan jumlah digit dari angka tahun kelahirannya, maka Desi lahir pada tahun. A. 99 B. 99 C. 989 D. 98 E. 979 Jawab : D Misal tahun kelahiran Desi adalah abcd maka : 006 abcd = a + b + c + d = = Jadi abcd = 98. Suatu barisan hanya terdiri bilangan,,,, dan 5. Jika barisan tersebut adalah,,,,,,,,,, 5, 5, 5, 5, 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, maka suku ke-00 dari barisan tersebut adalah A. B. C. D. E. 5 Jawab : D U, U,U,.,,,,,,,,,, 5, 5, 5, 5, 5,,,,,,,..,, x U 00 = x Sn = 00 ( n ) n = n Sn = ( n ) 00

10 n = Sn= 7.5 = 05 Untuk n = ada 05 suku x =. 5 = -0 = Jadi suku ke-00 adalah 5. Konstanta dari ( x - x ) 8 adalah A..8 B C. 6. D. 6.8 E. 7.8 Jawab : D ( x - x ) 8 = ( x ) 8-8( x ) 7 ( x ) + 8( x ) 6 ( x ) - 56 ( x ) 5 ( x ) + 70( x ) ( x ) - 56( x ) ( x ) 5 + 8( x ) ( x ) 6-8( x ) ( x ) 7 + ( x ) 8 Konstanta = 8( x ) ( x ) 6 = = = Banyak bilangan asli yang kurang dari dengan jumlah digit pertama dan digit terakhirnya sama dengan adalah. A. 999 B. 888 C. 800 D. E. 00 Jawab : B A ; A = Bilangan asli 9 Digit I + digit II = 8 Untuk digit Banyak bilangan digit = = Untuk digit Banyak bilangan digit = = 80

11 Untuk digit 9 8 Banyak bilangan digit = 8. = 8 Jadi banyaknya bilangan asli yang dimaksud = = Perhatikan gambar 5. Jika bilangan pada daerah persegi tidak diarsir diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan pada persegi tidak diarsir di bawah dan terhubung dengannya, maka nilai x adalah. A. B. 6 6x C. 9 D. 7 E. 5 Jawab : C x 6 8 Gambar.5 x + 7 x + 0 x + x + 6 x 6 8 x x + 0 = 6x x + 7 = 6x x = 7 x = 9 8. Perhatikan Gambar 6. Diketahui PQRS adalahmjajar genjang dan misalkan garis SU memotong diagonal PR di titik T, memotong ruas garis QR di titik U, dan memotong garis QR, dan memotong garis PQ di titik V. S R T U P Gambar 6 Q V

12 Jika panjang ruas garis ST 6 cm dan panjang ruas garis TU 8cm, maka panjang ruas garis UV adalah. Cm. A. B. 8 C. 0 D. E. Jawab : E S x 6 T 8 U R p P PTS RTU ST PS 6 x TU RU 8 RU x RU Q x QU V QUV PSV x p p p x p p p p 9. Dua mata uang dilempar empat kali berturet-turut. Peluang muncul angka pertama kali pada pelemparan keempat adalah.. A. B. C. D. E. Jawab: C. Misalkan kedua sisi mata uang adalah A(angka) dan G(gambar), maka peristiwa yang dapat terjadi dalam setiap kali pelemparan adalah; AA, AG, GA, dan GG. Dengan demikian, banyak peristiwa dalam empat kali pelemparan adalah. Peristiwa munculnya angka(a) pertama pada pelemparan keempat berarti pada pelemparan pertama, kedua, dan ketiga kedua mata uang selalu muncul gambar(gg). (lihat diagram)

13 Lemp. I Lemp. II Lemp.III Lemp. IV AA GG GG GG AG Dengan demikian, banyak peristiwa yang dimaksud adalah. Jadi, Peluang munculnya angka pertama pada pelemparan ke empat adalah. 0. Untuk meningkatkan penjualan, suatu perusahaan memberikan hadiah yang dimuat dalam setiap kotak susu yang dijual satu dari empat seri buku secara acak. Jika Ghina membeli empat kotak susu, maka peluang Ghina memdapatkan hadiah adalah GG A. 56 B. 56 C. D. E. Jawab: C. Banyaknya peristiwa yang dapat terjadi adalah = 56. Banyaknya peristiwa Ghina mendapatkan keempat seri adalah x x x = Jadi, Peluang Ghina mendapatkan semua seri buku hadiah adalah. 56

14 SOAL ISIAN SINGKAT. Jika bilangan dikalikan dengan bilangan , maka banyak angka 9 dari hasil perkalian kedua bilangan tersebut adalan. Jawab : x = x ( ) = = Banyaknya angka 9 dari hasil kali perkalian kedua bilangan tersebut adalah nol (tidak ada) Kota A terletak 50 km di sebelah utara kota B, dan kota C terletak 0 km di sebelah Timur kota B, dan kota D terletak di tengah antara kota B dan C. Jarak kota D dari kota A adalah Jawab : A AD = AB + BD = km B = (6.0) + (5.0) = 0 (6 + 5 ) 60 km = 0 (6) D C AD = 00 (6) km 0 = 0 6 Jadi jarak kota D dari kota A adalah 0 6 km. Perhatikan dua lingkaran kosentrik (memiliki titik pusat sama) seperti pada gambar 7. d Gambar.7 Jika keliling lingkaran besar lebih panjang meter dari keliling linkaran kecil, maka jarak d adalah.. meter. Jawab : K = (x + ) m K = x m r = ( a + d ) r = a K = r K = r K - K = m a d

15 (a + d ) - a = a + d - a = d = d = d = m. Perhatikan gambar 8. Jika pada setiap persegi ditempatkan suatu bilangan positif sedemikian rupa sehingga perkalian bilangan-bilangan dari sembarang lima persegi yang berurutan menghasilkan 60, maka jumlah bilangan pada semua persegi terebut adalah. 5 Gambar 8 Jawab : 60 = 6.0 = = Jadi jumlah bilangan pada semua persegi tersebut adalah : =() + () + 6() + (5) = = + = Perhatikan gambar 9. Luas daerah yang diarsir adalah cm. cm. GGG Gambar 9

16 Jawab : r = cm Luas daerah arsiran = L = = = cm 6. Jika H adalah himpunan semua pembagi positif dari 007, maka banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah. Jawab : H = Pembagi positif dari 007 H =,, 9,, 667, 007 n(h) = 6 Banyak himpunan bagian dari H yant tidak kosong adalah 6 = 6 = 6 7. Suatu pabrik pembuat tas memiliki pekerja laki-laki sama banyak dengan pekerja wanita. Kecepatan kerja pekerja laki-laki dan wanita sama. Dalam waktu 6 hari, 6 pekerja laki-laki dan 8 pekerja wanita dapat menghasilkan.00 tas.jika dalam waktu tujuh hari, seluruh pekerja pabrik dapat menghasilkan tas, maka pekerja laki-laki pada pabrik tersebut ada sebanyak orang. Jawab : Misalkan : x = banyak pekerja laki-laki y = banyak pekerja wanita x = y Vx = Kecepan kerja laki-laki Vy = Kecepatan kerja wanita Vx = Vy Vx = a ( 6a + 8a )6 =.00 a = 700 a = 50 Vx = 50 tas/hari/orang 7( x + y)50 = ( x )50 = x = x = 8 Jadi banyak pekerja laki-laki 8 orang

17 8. Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari seratus dan kuadrat bilangan tersebut ditambah dua juga merupakan bilangan prima adalah Jawab : P =,, 5, 7,,97 ap a + P a + habis dibagi jika a Untuk a = + = 9 + = P Jadi himpunan bilangan Prima yang dimaksud adalah 9. Perhatikan Gambar 0. Banyak daerah persegi yang terletak pada daerah persegi ABCD berukuran 9 X 9 dan paling sedikit satu sisinya terletak pada persegi ABCD adalah. Petunjuk: Salah satu daerah persegi yang dimaksud adalah daerah yang diarsir. A B D C Ukuran sisi x banyak persegi = = 8 + = x banyak persegi = = 6 + = 8 x banyak persegi = = +0 = x banyak persegi = = +8 = 0 5 x 5 banyak persegi = = =6 6 x 6 banyak persegi =. +. = 8 + = 7 x 7 banyak persegi =. +. =6 + = 6 8 x 8 banyak persegi =. +.0 = 9 x 9 banyak persegi = Jadi banyak persegi yang dimaksud adalah = 5 buah 0. Di laboratorium Matematika tardapat 6 batang kayu sejenis yang panjangnya berturutturut dm, dm, dm, 0 dm, dm, dan 7 dm. Jika keenam batang kayu tersebut harus digunakan untuk membuat trapesium sama kaki, maka banyaknya trapesium sama kaki yang dapat dibuat adalah..

18 Jawab : buah D C A B Ketidaksamaan pada sisi Trapesium Sisi terpanjang harus lebih lebih pendek dari jumlah panjang tiga sisi yang lain lainnya AB AD + CD + CB Jadi banyaknya trapesium sama kaki yang dapat dibuat adalah yaitu dengan ukuran sisi (++), 0, dan7..