Algoritma Pembangkitan Lengkap Permutasi dengan Siklus Tetap dan Banyaknya Elemen Sebagai Peubah

Transkripsi

1 Algoritma Pembangkitan Lengkap Permutasi dengan Siklus Tetap dan Banyaknya Elemen Sebagai Peubah Sulistyo Puspitodjati, Asep Juarna, Ernastuti Jurusan Teknik Informatika Universitas Indonesia Depok, Indonesia Djati Kerami Jurusan Matematika FMIPA Universitas Indonesia Depok, Indonesia korespondensi: Ringkasan Pembangkitan lengkap (exhaustive generation) adalah salah satu cabang utama kombinatorik. Topik makalah ini adalah pembangkitan lengkap permutasi siklus menggunakan metoda pohon pembangkit (generating tree), dan karena aturan pengembangannya ke simpul-simpul selanjutnya menggunakan aturan suksesi (succession rule) maka pembangkitan juga dalam metode ECO (enumerating combinatorial object). Dua penelitian terdahulu tentang topik yang sama dilakukan masing-masing oleh Baril (2006) dan Poneti (2008). Penelitian Baril menghasil-kan daftar kode Gray (Gray code list) permutasi siklus. Poneti membangkitkan π n,m dari π n,m 1 secara rekursif, dengan kata lain permutasi siklus Poneti dibangkitkan menurut jumlah siklusnya pada himpunan [n] tetap. Penelitian ini merupakan sudut pan-dang lain dari penelitian Poneti, yaitu permutasi siklus dibang-kitkan menurut himpunannya pada jumlah siklus tetap, atau π n,m dibangkitkan dari π n 1,m. Hasilnya adalah sebuah algoritma pem-bangkitan permutasi siklus berbasis metoda ECO yang bersifat non rekursif dengan kompleksitas CAT (constant amortized time) karena obyek-obyekπ n,m dibangkitkan dari sebuah π n 1,m hanya melalui satu operasi penyisipan. Keywords-permutasi siklus; pembangkitan lengkap; pohon pembangkit; metode ECO; algoritma pembangkitan; CAT. 1 Pendahuluan Kombinatorik adalah ilmu yang mempelajari sifatsifat matematik dari struktur diskrit; dalam kombinatorik struktur diskrit disebut obyek kombinatorial atau obyek saja, sedangkan himpunan obyek kombinatorial disebut kelas kombinatorial atau kelas saja. Kombinatorik mempunyai empat cabang utama ilmu atau penelitian: pencacahan (counting) atau enumerasi (enumeration), pembangkitan atau generasi (generation), pendaftaran atau listing, dan optimalisasi. pembangkitan membangun algoritma untuk membangkitkan semua struktur yang mungkin. Ada dua jenis pembangkitan yaitu pembangkitan

2 lengkap (exhaustive generation) dan pembangkitan acak (random generation). Pembangkitan lengkap membangkitkan semua obyek tanpa ada obyek yang tercacah ganda (no repetition) dan tanpa ada obyek yang tidak tercacah (no omission). Pembangkitan acak membangkitkan contoh (sample) obyek yang secara statistik bisa mewakili semua obyek dari kelas yang diberikan. Pembangkitan acak biasanya dilakukan jika pembangkitan lengkap tidak mungkin dilakukan atau tidak praktis untuk dilakukan terutama karena anggota kelas yang sedang diamati sangat besar [5]. Salah satu teknik enumerasi dan juga pembangkitan lengkap obyek kombinatorial yang populer saat ini adalah teknik enumerasi dan pembangkitan menggunakan pohon pembangkit (generating tree). Pohon pembangkit adalah sebuah pohon dalam konteks teori graf di mana simpul-simpulnya menyatakan obyek (untuk tujuan pembangkitan) atau angka yang menunjukkan banyaknya simpul anak (untuk tujuan enumerasi). Belakangan, untuk tujuan enumerasi, pohon pembangkit dilengkapi dengan sebuah aturan rekursif yang tepat mewakili pohon tersebut [12] yang melahirkan metoda ECO (enumerating combinatorial objects)[3]; aturan rekursif dimaksud disebut aturan suksesi (succession rule). Dengan metode ECO, setiap obyek diekspansi dari obyek yang lebih pendek dengan menerapkan aturan suksesi (succession rule). Analisa matematis selanjutnya mentransformasikan formula aturan suksesi ke sebuah persamaan hubungan rekursif (recurrence relation). pohon pembangkit mempunyai pemanfaatan yang penting dalam kombinatorial, yaitu bijeksi dan pembangkitan acak[10]. Topik makalah ini adalah enumerasi dan pembangkitan kelas kombinatorial permutasi, khususnya permutasi dalam pernyataannya sebagai produk siklus (product of cycles permutation) atau sering disingkat sebagai permutasi siklus atau siklus saja. Algoritma pembangkitan permutasi banyak dipakai dalam analisa graf seperti model optimalisasi berbasis graf, computer vision, berbagai masalah jaringan termasuk komputer dan bahkan jaringan sosial (social networks). Hasil utama penelitian yang disajikan dalam disertasi ini adalah algoritma pengembangan lengkap permutasi dengan siklus menggunakan metoda pohon pembangkit. 2 Definisi dan Istilah 2.1 Permutasi Permutasi adalah pemetaan dari suatu himpunan bilangan asli ke dirinya sendiri, atau secara formal dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi 1: Permutasi dari himpunan S = [n] = 1, 2,..., n adalah fungsi bijeksi π : S S. Permutasi π(i) = i disebut permutasi identitas. Permutasi dapat direpresentasikan dengan menjajarkan semua nilai π(i), untuk i = 1,..., n dalam satu baris. Contoh salah satu permutasi π dari [7] dalam notasi satu baris ditulis sebagai untai : Salah representasi dari permutasi adalah dengan perkalian siklusnya. Siklus dari permutasi adalah himpunan bagian dari suatu himpunan yang elemenelemennya masuk dalam satu orbit. Atau siklus dengan panjang k dari suatu permutasi adalah urutan a 1, a 2,..., a l sedemikian sehingga a i = π(a i 1 ) untuk i = 2, 3,..., l, dan a 1 = π(a l ) atau π l (a i ) = a i. ([Rus03] dan [Bón02]). Contoh, permutasi π berikut: Permutasi tersebut mempuyai 4 siklus (1), ( ), (5), and (6 7). ( ) adalah siklus dengan panjang l = 4, karena π 4 (2) = 2. Dalam perkalian siklus, π dapat dinyatakan sebagai π = (1)(2483)(5)(67). Karena siklus (8324) menyatakan siklus yang sama dengan (2483), maka sering digunakan cara yang unik untuk menyatakan permutasi menggunakan notasi siklus, yang disebut sebagai notasi siklus kanonikal. Cara ini adalah menulis elemen terbesar pada setiap siklus terlebih dahulu, kemudian mengurutkan setiap siklus dari kecil ke besar berdasarkan elemenelemen pertama pada siklus. Dengan demikian π = (1)(2483)(5)(67) dalam notasi siklus kanonikal adalah π = (1)(5)(76)(8324). Banyaknya permutasi [n] dengan m siklus adalah bilangan Stirling tanpa tanda jenis pertama c(n,m) ([11, 18]). Dimana

3 c(n,n) = 1, c(n,1) = (n 1)! c(n,m) = (n 1).c(n 1,m)+c(n 1,m 1),1 < m < n. (1) Makalah ini akan membahas permutasi dengan m siklus. Rumus stirling digunakan untuk menunjukkan kebenaran algoritma yang dibangun 2.2 Pembangkitan Objek kombinatorial dan Pohon Pembangkit. Salah satu bidang dalam kombinatorik adalah pembangkitan objek secara lengkap. Pembangkitan ini berarti membangkitkan (menghadirkan) semua anggota dari kelas kombinatorial tertentu secara efisien yang sedemikian sehingga setiap anggota muncul tepat sekali. Salah satu pendekatan untuk pembangkitan lengkap adalah dengan yang disebut pohon pembangkit. Pohon pembangkit adalah pohon yang menggambarkan keluarga tertentu dari objek kombinatorial; tiap simpul berhubungan dengan satu objek, dan cabangnya menuju simpul yang mengkodekan alternatif yang dipilih dalam mengkonstruksikan objek. Pohon pembangkit menjanjikan komputasi yang cepat dalam mengenumerasi barisan objek. Metode pohon pembangkit ini disistematisasikan oleh Barcucci, Del lungo, Pergola, and Pinzani, dengan nama sistem ECO (enumerating combinatorial objects) [3]. Dalam metode ECO ini setiap objek diperoleh dari objek yang lebih kecil dengan melakukan ekspansi lokal. Seringkali ekspansi lokal tersebut sangat teratur dan dapat dijelaskan dalam aturan suksesi. Metode ECO ini telah ditunjukkan efektif untuk beberapa struktur kombinatorik, seperti: objek Catalan dalam [5] dan [12], untuk permutasi penghindaran pola umum (generelazid pattern avoidance) dalam [23], convex polyominoespan dalam [17], dan untuk struktur Gray dalam [4]. Namun penelitian-penelitian tersebut belum membahas pembangkitan permutasi siklus dengan pohon pembangkit atau metode ECO tersebut. Bagaimana metode ECO bekerja dijelaskan dalam [5],[10], dan [3], sebagaimana berikut. Operator ECO Misalkan O adalah kelas objek kombinatorial dan p: O N adalah parameter yang hingga pada O, yaitu parameter p sedemikian sehingga O n = O O : p(o) = n dari objek berukuran n adalah hingga. Misalkan v : O 2 O adalah operator yang sedemikian sehingga v(o n ) 2 On+1. Operator v menggambarkan bagaimana objek kecil menghasilkan objek yang lebih besar. Proposisi 2-1: Jika v memenuhi, untuk setiap n 0, 1. untuk setiap O O n+1, akan terdapat O O n sedemikian sehingga O v, dan 2. untuk setiap O, O O n, akan menggambarkan v(o) v(o ) = kapanpun O O, maka famili himpunan F n+1 = v(o): O O n adalah partisi dari O n+1. Operator v yang memenuhi kondisi 1 dan 2 tersebut di atas, dikatakan sebagai operator ECO. Jadi operator ECO membangkitkan semua objek O sedemikian sehingga setiap objek O O n+1 diperoleh secara unik dari O O n. Operator ECO yang sedang melakukan ekspansi lokal pada objek yag disebut situs aktif dari objek. Operator ECO dapat digambarkan dengan pohon pembangkit, yaitu: pohon berakar yang simpu-simpulnya berhubungan dengan objek O. Akar yang ditempatkan pada level 0 pada pohon, adalah objek dengan ukuran terkecil, m. Objek-objek dengan ukuran sama berada pada level yang sama dan anak dari objek O, adalah yang dihasilkan dari O melalui v. Jika O n n adalah urutan yang ditentukan oleh banyaknya objek berukuran n, maka maka fo(x) =Σn m On xn adalah fungsi pembangkitnya. Aturan Suksesinya Aturan suksesi Ω adalah sistem ((a), P), mengandung aksioma (a) dan himpunan produksi atau aturan penulisan P didefinisikan pada himpunan label M N+:

4 2.3 Dekomposisi Standar dan Permutasi dengan Siklus Poneti dan Vajnovszki[20]menunjukkan bahwa untuk sembarangπ S n dapat ditulis secara unik dalam dekom-posisi standar sebagai dengan cara memilih p i = π 1 (i), kemudian mengganti π dengan π [22c5] <π 1 (i),i >, untuk i bergerak dari n ke 1. Dari permutasi π S n dalam dekomposisi standar, dapat ditentukan D(π) = max i π(i) i yang juga merupakan max i p i i. Berdasarkan sifat D ini maka Poneti dan Vajnovszki[20] membangun algoritma pembangkitan permutasi π S n,m, yaitu π S n dengan m siklus, sebagai berikut: n π = < p i,1 >=< p 1,1 >. < p 2,2 >... < pn,n > denganpi [1,i] i=1 1. Tentukan D(π) < n 2. Untuk setiap j, D(π) < j n, dan untuk setiap l, 1 l < j, tentukan permutasi π = π.<l, j>, π S n,m 1 Algoritma ini tidak membangun permutasi S n,m dari S n 1,m melainkan dari S n,m 1. Berbeda dengan pembangkitan yang akan disajikan dalam makalah, dimana pembangkitan permutasi yang akan disajikan adalah pembangkitan permutasi S n,m dari S n 1,m. 2.4 Pembangkitan Permutasi dengan Siklus oleh Baril Baril dalam[16]menunjukkan pembentukan S n,m, yaitu permutasi [n] dengan m siklus dari S n 1,m dan S n 1,m 1. Pembentukan dilakukan dalam dua cara: 1. jika π S n 1,m, n 2, 1 m < n, maka dapat diperolehπ S n,m, dengan memetakanπ (i) = n dan π (n) = π(i), 1 i n. 2. jikaπ S n 1,m 1, n m 2, maka dapat diperoleh π S n,m, dengan menambahkan n pada posisi n. Pengembangan dengan cara Baril ini, merupakan sifat utama yang dipegang oleh penulis dalam mengembangkan pohon pembangkit, yang akan disajikan pada makalah ini. 3 Pohon Pembangkit Untuk Permutasi Dengan Siklus Mengikuti pola pengembangan permutasi [n] dengan satu siklus [9], maupun 2 siklus[25] dan pembentukan semua permutasi n dengan m siklus, S n,m, menurut [5], maka pengembangan digeneralisasi dengan membangun definisi fungsi i π n berikut. Pendefinisian fungsi ini adalah formalisasi dari proses penyisipan n atau n+1 pada semua kemungkinan posisi pada permutasi [n], saat menghasilkan permutasi [n+1] dengan satu maupun 2 siklus. Definisi 2: Fungsi i π n adalah pemetaan pada: S n,m [n] S n+1,m, 1 m n, i [n], yang memetakan sembarang permutasiπ n S n,m menjadi permutasi i π n+1 S n+1,m i π (n+1) (j) = π n (i) untukj = n+1 n+1 untuk j = i π n (j) untukyanglain Fungsi i π n pada Definisi 2 jelas adalah fungsi satusatu. Pembangkitan semua permutasi anggota S n,m lainnya, selain dengan mengimplementasi i π n, maka berturut-turut m diganti m-1, dan n bertindak sebagai n-1, sementara, i π n (n) = n. Hal ini untuk memenuhi kemungkinan bahwa permutasi [n] mempunyai siklus-siklus panjang satu. Untuk memenuhi keanggotaan S n,m, yang siklus ke-m adalah (n), maka harus dibangun semua kemungknan permutasi [n-1] dengan m-1 siklus. Selanjutnya jika siklus s m 1 = (n-1) dan siklus ke-m s m = (n), maka harus dibangun semua kemungkinan siklus-siklus s j, j = 1, 2,..., m-2 atau dengan kata lain membangun semua kemungkinan permutasi S n 2,m 2 dengan menerapkan i π n 2. Demikian seterusnya sampai diperoleh semua permutasi S n,m. Permutasi dengan siklus dalam penelitian ini ditulis dalam bentuk π n = (s 1 )... (s m ), s i adalah siklus ke-i dan tidak ditulis dalam bentuk kanonik,

5 akan tetapi pada tiap siklus elemen terkecilnya ditulis pada elemen pertama siklus. Siklus-siklus diurut berdasarkan urutan elemen pertama tersebut dari kecil ke besar. s i adalah siklus ke-i. Pengembangan dimulai dengan permutasi identitas (1)(2)... (m), untuk siklus m yang diinginkan. Selanjutnya, pembangkitan dilakukan dengan mengembangkan S n+1,m. Permutasi anggota S n+1,m dihasilkan dari mengimplementasikan fungsi i π n+1, untuk i [n]. Setelah itu, membangun objek-objek permutasi anggota S n+1,m yang lain dengan pertama meletakkan elemen n+1 pada siklus ke-m, yaitu s m = (n+1). Kemudian mengganti nilai n+1 dengan n dan mengaplikasikan fungsi i π n, i [n-1]. Proses pembang-kitan dilanjutkan dengan meletakkan s m 1 = (n), dan tetap meletakkan siklus s m = (n+1), kemudian mengimplementasi fungsi i π n 1. Proses diteruskan sampai sampai i π 2 terimplemen-tasikan dalam rangka melengkapi S n 1,m. Teorema 4.4: Dengan menerapkan fungsi i π pada definisi 4.1, maka akan terbentuk semua anggota S n,m secara rekursif dari S n 1,m dan S n 1,m 1. Dengan demikian banyaknya anggota S n,m memenuhi bilangan Stirling jenis pertama tanpa tanda c n,m = (n-1)c n 1,m + c n 1,m 1 Bukti: Dari definisi fungsi maka terbentuk (n-1) kali kardinalitas S n 1,m dan selebihnya anggota S n,m yang lain dibentuk dari pengembangan S n 1,m 1. Sehingga banyaknya S n,m adalah (n- 1) S n 1,m + S n 1,m 1 atau memenuhi bilangan Stirling jenis pertama tanpa tanda c n,m, yaitu c n,m = (n-1)c n 1,m + c n 1,m 1 Untuk memudahkan pengembangan, maka permutasi dinyatakan dalam notasi siklus, sehingga jumlah siklus yang tetap terpelihara. Kemudian implementasi fungsi i π n+1, untuk i [n], diintrepetasikan dengan meletakkan atau menyisipkan elemen n+1 kedalam siklus s k = (s k1, s k2,... ) secara berturut-turut ke posisi j = 2,..., s k, dengan s k adalah panjang siklus untuk semua siklus k. Pembangkitan dalam penelitian ini dilakukan untuk sembarang permutasi [n] dengan m siklus. Pohon pembangkit diawali dengan permutasi identitas S m,m pada simpul akar, dan akar dari pohon ini dikatakan sebagai level 0. Selanjutnya, simpul akar ini akan mempunyai anak yang dimulai dengan membangun permutasi anggota S n+1,m hasil mengimplemen-tasikan fungsi i π n+1, untuk i [n], yaitu menyisipkan elmenen n+1= m+1 ke dalam m-siklus dalam permutasi identitas, berturut-turut di posisi i [n]. Simpul-simpul untuk objek hasil dari pembangkitan ini diberi label o n+1, dan simpul dengan label ini akan sebanyak n. Algoritma pembangkitan permutasi anggota S n,m dapat dilihat pada Algoritma 1. Algoritma ini merupakan generalisasi dari S n,m. Algoritma 1 : 1. Input n dan siklus m yang diinginkan 2. t = n - m 3. Simpul akar 1 o 1 = (1)(2)...(m). 4. Untuk level l = 1,..., t 5. Untuk j = l,..., m+ l 6. Untuk i = 1,..., j 7. Untuk k = 2,..., s ik 8. Buat simpul anak k o j+1 dengan menyi-sipkan elemen j+1 ke-siklus s ik pada posisi k 9. Jika j <> m+ l 10. s m (m+ l) 11. Selesai Berdasarkan pembangkitan pada Algoritma 1, konstruksi dimulai dengan akar o 1, S n,m dibangun dengan membentuk himpunan-himpunan o j. Setiap simpul aktif o j mempunyai j anak o j+1, j-1 anak o j, dan seterusnya sampai m+l-1 anak o m+l. Pohon terus berkembang sampai objek o m+l dengan n=m + l tercapai. Sehingga aturan suksesi untuk sistem ECO permutasi [n] dengan siklus m pada penelitian ini adalah sistem yang dimulai dengan aksioma permutasi identitas π m = (1)(2)... (m), dan selanjutnya mengikuti aturan berikut: Ω = O1, permutasi identitas Oj (O j+1 ) j (O j+1 ) j+1...(o m+1 )m+l 1 (2)

6 f1 = l m+l 1 i1 i 2 = i 1 +1 m+l 1 i2 i 2 = i ,l = 0 m+l 1 i 1 = i l = 1,2 (3) Secara umum pohon dapat digambarkan sebagaimana pada Gambar 1. Simpul pada pohon Gambar 1 dengan label jo j 1 adalah bentuk ringkas dari pohon dengan simpul o j 1 yang sebanyak j. Sehingga level-1 dari pohon pembangkit ini akan mempunyai simpul sebanyak (m + m ). Pada level-2, j-1 objek o j, masing-masing akan mempunyai j anak o j+1, j+1 anak o j+2, sampai m+l-1 anak o m+l. Dengan demikian berdasarkan pohon pembangkit ini, dapat dienumerasi banyak permutasi n dengan siklus m tertentu dengan mengitung banyaknya simpul pada level l dimana n = m+l. Secara umum banyaknya permutasi [n] dengan siklus m tertentu berdasarkan pohon pembangkit adalah sebagaimana pada rumus (3). Banyaknya simpul untuk level-l pada pohon pembangkit permutasi [n] dengan m siklus tertentu pada Gambar 1 adalah f l dengan sebagai persamaan 3: Algoritma pembangkitan pohon permutasi [n] dengan m siklus pada Algoritma 1, menghasilkan simpul-simpul yang mewakili semua objek anggota S n,m, dengan cara menyisipkan elemen di setiap siklus di setiap level untuk maing-masing objek o j. Dengan demikian pada setiap level, algoritma melakukan penyisipan sebanyak f l kali untuk f l pada rumus 3. Jika penyisipan dihitung 1 waktu komputasi, maka algoritma melakukan dalam O(c(n,m)) waktu dengan n tercapai setelah mencapai level l = n m. Algoritma menghasilkan satu objek dengan satu operasi yaitu penyisipan, dan pada level l yang menunjukkan n = m + l, algoritma menghasilkan objek sebanyak c(n,m). Dengan demikian jumlah total komputasi dibagi banyaknya objek yang terbentuk terbatasi oleh konstanta. Hal ini menunjukkan Algoritma 1 adalah algoritma yang CAT (Constant Amortized Time) yang merupakan syarat algoritma pembangkitan objek kombinatorial yang efektif. 4 Penutup menggunakan metoda ECO (enumerating combinatorial object). Algoritma pembangkitan disusun dengan terlebih dahulu didefinisikan pemetaan satusatu yang memetakan π n 1,m ke π n,m. Pendefinisian dilakukan untuk memastikan tidak terjadi pembangkitan ganda ataupun pembangkitan yang terlewatkan. Algoritma yang dihasilkan bersifat non rekursif dengan kompleksitas CAT (constant amortized time) karena obyek-obyek π n,m dibangkitkan dari sebuahπ n 1,m hanya melalui satu operasi penyisipan. Pola pembangkitan pada algoritma tersebut, yang jelas terlihat pada pohon pembangkit (generating tree) menunjukkan adanya pola cacahan bilangan Stirling jenis pertama tanpa tanda (signless Stirling number of the first kind). Fakta ini memastikan tidak terjadi pembang-kitan ganda ataupun pembangkitan yang terlewatkan. Algoritma yang dihasilkan pada penelitian ini diharapkan dapat menjadi pijakan untuk penelitian lanjutan tentang permutasi siklus, salah satunya adalah penentuan daftar kode Gray untuk permutasi siklus References [1] Bogomolny A. Various ways to define a permutation from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. New Jersey, World Scientific Publishing, [2] J. Von Knop N. Trinajstic Babic D, D.J. Klein. Combinatorial enumeration in chemistry. In Chemical Modelling : Applications and Theory, Royal Society of Chemistry, volume 3, pages , [3]  A. Denise  P. Flajolet  D. Gardy D. Gouyou- Beauchamps Banderier C.,  M. Bousquet- Mà c lou. Generating functions for generating trees. In Discrete Mathematics, volume 246(1-3) pages 29 55, Pembangkitan lengkap permutasi [n] dengan m siklus (dinotasikan π n,m ) berhasil dilakukan dengan

7 [4] E Grazzini Bernini A., I Fanti. An exhaustive generation algorithm for catalan objects and others. In PU.M.A., volume 17, pages 39 53, [5] E. Pergola R. Pinzani Bernini A, E. Grazzini. A general exhaustive generation algorithm for gray structures. In Journal Acta Informatica, volume 44 pages , [6] Savage C. A survey of combinatorial gray codes, siam review. volume 39, pages , [7] Wilson M. C. Random and exhaustive generation of permutations and cycles. In Journal Annals of Combinatorics,, volume 12, of , [8] R.L. Rivest Cormen T.H., C.E. Leiserson. Introduction to Algorithm. McGraw Hill Book Company, New York, [9] Sulistyo P. dan Djati Kerami. Pembangkitan permutasi dengan siklus. In Prosiding Konferensi Nasional Matematika XIV. Palembang, pages , [10] Duchi E. ECO method and Object Grammars: two methods for the enumeration of combinatorial objects. Tesi dell Universita degli Studi di Firenze, Dottorato di Ricerca in Ingegneria Informatica e dell Automazione, XV Ciclo, Universit_a Degli Studi di Firenze, / DRIIA / RaccoltaTesi/ Duchi, [11] Ruskey F. Combinatorial generation [12] R. Pinzani Ferrari L. Catalan like numbers and succession rules, pure mathematics and applications. volume 16, pages , [13] Irving J. Minimal transitive factorizations of permutations into cycles, canadian journal of mathematics. volume 61, pages , [14] West J. Generating trees and forbidden subsequences. In Proceedings of the 6th conference on Formal power series and algebraic combinatorics, pages , 199. [15] Asep Juarna. Combinatorial Isomorphism Analysis On Some Extensions Of A Simion-Schmidt s Bijection. Dissertation in Informatics, LE2I U.F.R des Science des Technique, Universite de Bourgogne. [16] Baril J. L. Gray code for permutation with a fixed number of cycle. In Discrete Mathematics, volume 307, pages , [17] A. Frosini S. Rinaldi Lungo D. A., E. Duchi. Enumeration of convex polyominoes using the eco method, discrete mathemathics and theoretical computer science ab(dmcs). pages , [18] Bona M. A walk through combinatorics. an introduction to enumeration and graph theory [19] Adnan M.A. Effcient enumeration of combinatorial objects. Master s thesis, B.Sc. Engg. Thesis, Department of Computer Science and Engineering Bangladesh University of Engineering and Technology (BUET) Dhaka. [20] V. Vajnovszki Poneti M. Generating restricted classes of involutions, bell and stirling permutations. In European Journal of Combinatoric, volume 31, pages , [21] Sedgewick R. Permutation generation methods, dagstuhl workshop on data structures. Wadern, Germany., [22] Sedgewick R. Finding paths in graphs, adobe systems india [23] Elizalde S. Generating tree for permutations avoiding generalized patterns,. In Journal Annals of Combinatorics, volume 11 pages , 2008.

8 [24] Wilf H. S. East side, west side an introduction to combinatorial families-with maple programming [25] Djati Kerami Ernastuti Sulistyo P, Asep Juarna. Pembangkit permutasi dengan dua siklus, akan diterbitkan prosiding seminar nasional matematika,. Universitas Indonesia, Depok, [26] Vajnovzki V. Generating combinatorial objects by eco method the lyndon words case, lecture notes, gunadarma university, jakarta