PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transkripsi

1 MODEL SIR PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Skripsi Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Symphorianus Faming Patrianto NIM: PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016 i

2 ii

3 iii

4 HALAMAN PERSEMBAHAN Nothing is impossible. Anything can happen as long as we believe. Skripsi ini kupersembahkan untuk, Kedua orang tua tercinta, Kakakku Nicasius Ade dan adik sepupuku Faida Fitria, Yang selalu memberikan doa dan dukungan dalam semua hal Patner terbaikku: Gisela Laurenti Delani Winarto Semoga menjadi patner terbaik untuk saat ini dan di masa depan Serta teman-teman Pendidikan Matematika 2011 iv

5 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 21 Januari 2016 Penulis, Symphorianus Faming Patrianto v

6 ABSTRAK Model SIR (Susceptibles-Infectious-Recovered) merupakan model epidemi yang pertama kali diperkenalkan oleh W.O. Kennack dan McKendrick. Pada model ini anggota dari populasi dibagi menjadi tiga kelas yaitu Susceptibles,Infectious, dan Recovered. Model SIR ini telah digunakan oleh B. Pimphunchat et al pada penelitian sebelumnya dengan studi kasus tentang penyebaran penyakit leptospirosis di Thailand. Model SIR ini digunakan berdasarkan asumsi yang telah disusun dan sesuai dengan perilaku epidemi penyakit tersebut. Akan tetapi, tidak menutup kemungkinan model epidemi lain juga dapat digunakan seperti model epidemi SEIR, SIS, dan MSIR. Pada tulisan ini akan melengkapi penelitian sebelumnya dengan menambahkan dua kelas populasi yaitu manusia rentan dan vektor rentan. Berdasarkan asumsi-asumsi, disusun model SIR dengan lima kelas populasi, yaitu kelompok manusia yang rentan terinfeksi penyakit, kelompok manusia yang terinfeksi oleh penyakit, kelompok manusia yang telah sembuh dari penyakit, kelompok vektor yang rentan terinfeksi penyakit, dan kelompok vektor yang terinfeksi oleh penyakit. Sebagai hasil penelitian diperoleh model dengan lima variabel sebagai berikut:. Dari model di atas diperoleh dua titik kesetimbangan yang merupakan titik dimana sistem berada pada keadaan setimbang, yaitu titik kesetimbangan endemik penyakit dan titik kesetimbangan bebas penyakit. Setelah itu, dilakukan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan untuk mengetahui kestabilan dari titik kesetimbangan dengan linearisasi sistem menggunakan matriks jacobian diperoleh nilai-nilai eigen dari masing-masing titik kesetimbangan. Dari analisis kestabilann diperoleh bahwa titik kesetimbangan endemik penyakit tidak stabil sehingga penyakit tidak bersifat endemik sedangkan titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimptotik jika angka kematian vektor lebih tinggi dari angka kelahirannya atau sehingga penyakit tidak menyebar pada populasi. Kata kunci: leptospirosis, model SIR, nilai eigen, titik kesetimbangan. vi

7 ABSTRACT SIR (Susceptibles-Infectious-Removed) model is a epidemic model who has been introduced by W.O. Kennack and McKendrick. In this model, population is devided into three subgroups; Susceptible, Infectious, and Removed. This model was used by B. Pimphunchat et al in their journal by study case of spread of leptospirosis in Thailand. SIR model was used to discribe the spread of this desease based by the assumptions and this model is compatible to describe the desease behaviour. Nevertheles, another models can used to describe this desease too, like SIS, SEIR, and MSIR. This paper was made to complete the last research by add two groups of population to this model, there are group of susceptible humans and group of susceptible vectorns. By the assumptions, it was constructed SIR model by five groups of populations; group of susceptible humans, group of infected humans, group of recovered humans, group of susceptable vectors, and group of infected vectors. The result of the research was a mathematic model wih five variables, there are:. Two equilibrium points were found, there are desease-free equilibrium point and endemic equilibrium point. Then stability analysis was done by linearized method using jacobian matrix to get the eigenvalues for every equilibrium points. From stability analysis, we found that the endemic equilibrium point was unstable, so, the desease was not endemic, but the desease-free equilibrium point was asymptotically stable if natural birth rate of vectors is less than natural death rate of vectors or, so, over a long time, the population in the desease-free state. Keywords: eigenvalue, equilibrium point, leptospirosis, SIR model. vii

8 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma dengan: Nama : Symphorianus Faming Patrianto NIM : Dengan pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan karya ilmiah saya kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan judul: MODEL SIR PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, saya memberikan hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 21 Januari 2016 Yang menyatakan, Symphorianus Faming Patrianto viii

9 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menemukan banyak kesulitan, akan tetapi atas bantuan dan dukungan dari banyak pihak akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang dengan sabar memberi bimbingan, meluangkan waktu dan pikiran dalam menyusun skripsi ini. 2. Ibu Veronika Fitri Rianasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan. 3. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna dan bermanfaat bagi penulis. 4. Kedua orang tuaku, kakakku Nicasius Ade Patrianto, dan adik sepupuku Faida Fitria Fatma yang senantiasa selalu memberikan doa dan dukungan dalam segala hal. 5. Sahabat-sahabat: Danik, Lilik, Yoga, Fian, Chris, Yosa, dan Ditya, terima kasih untuk kebersamaan selama proses kuliah, saling berbagi dalam suka maupun duka dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis. ix

10 6. Patner terbaik, Gisela Laurenti Delani Winarto yang selalu memberikan semangat, dukungan, dan sebagai tempat curahan hati. 7. Teman-teman seperjuangan Prodi Pendidikan Matematika angkatan 2011 dalam kebersamaan, semangat, doa, dan segala bantuan kepada penulis. 8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang terlibat dalam proses penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik demi penyempurnaan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi pembaca. Yogyakarta, 09 Desember 2015 Penulis x

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... Error! Bookmark not defined. HALAMAN PENGESAHAN... ii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG... 1 B. RUMUSAN MASALAH... 3 C. BATASAN MASALAH... 4 D. TUJUAN PENULISAN... 4 E. MANFAAT PENULISAN... 4 F. SISTEMATIKA PENULISAN... 5 xi

12 BAB II LANDASAN TEORI... 7 A. MODEL MATEMATIKA... 7 B. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS C. PERSAMAAN DIFERENSIAL D. TEORI SISTEM DINAMIK BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS A. PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS B. MODEL MATEMATIKA UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS C. FORMULASI MODEL BAB IV ANALISIS KESTABILAN A. TITIK KESETIMBANGAN B. ANALISIS KESTABILAN C. SIMULASI MODEL BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN B. SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

13 DAFTAR TABEL Tabel Daftar Variabel-variabel Tabel Daftar Parameter-parameter Tabel Nilai-nilai Parameter Kasus Tabel Nilai-nilai Parameter Kasus xiii

14 DAFTAR GAMBAR Gambar Bakteri Leptospira... 2 Gambar Tikus sebagai Penyebar Utama Gambar Siklus Penyebaran Penyakit Leptospirosis Gambar Diagram Penyebaran Penyakit Leptospirosis Gambar Diagram Jumlah Total Populasi Manusia Gambar Diagram Jumlah Total Populasi Vektor Gambar Grafik Dinamika Populasi Vektor dan Manusia Gambar Grafik Dinamika Populasi Manusia dan Vektor xiv

15 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Perkembangan dan kemajuan dunia modern ini berkaitan erat dengan semakin berkembangnya ilmu pengetahuan, salah satunya dalam bidang matematika. Perkembangan ilmu pengetahuan dalam bidang matematika memberikan dampak positif dalam kehidupan manusia. Matematika banyak digunakan dalam berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa medis, dan ilmu pengetahuan sosial. Selain itu, matematika juga banyak diaplikasikan pada seluruh aspek kehidupan manusia sehari-hari. Peran matematika pada masalah kehidupan sehari-hari maupun pada bidang ilmu lain disajikan dalam pemodelan matematika dan direpresentasikan dalam bentuk model yaitu model matematika. Secara umum, model matematika merupakan sekumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan perilaku suatu permasalahan yang nyata (Ekawati, 2012). Model matematika dibuat berdasarkan asumsi-asumsi. Kemudian model matematika tersebut dianalisis agar model yang telah dibuat representatif terhadap permasalahan yang dibahas. Berbagai masalah yang terjadi dan timbul dari berbagai bidang ilmu, misalnya bidang kesehatan, biologi, ekonomi, dan lain sebagainya dapat dibuat model matematikanya. Salah satu masalah yang dapat dibuat model matematikanya adalah 1

16 2 penyebaran penyakit leptospirosis. Penyakit leptospirosis merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri patogen Spirochetes dari genus Leptospira, yang dapat ditularkan secara langsung maupun tidak langsung dari hewan ke manusia. Penyakit ini dapat ditularkan melalui air (water borne disease). Penularan penyakit ini paling sering melalui tikus. Air kencing tikus terbawa banjir kemudian masuk ke dalam tubuh manusia melalui permukaan kulit yang terluka, selaput lendir mata dan hidung. Bisa juga melalui makanan atau minuman yang terkontaminasi setitik urin tikus yang terinfeksi leptospira, kemudian dimakan dan diminum manusia. Berdasarkan laporan The Leptospirosis Information Center, pada tahun 2000 case fatality rate (CFR) leptospirosis di Indonesia menempati urutan ketiga di dunia (16,7%). Sementara menurut Depkes RI (2009), leptospirosis di Indonesia pada rentang cenderung mengalami peningkatan, baik dari jumlah kasus maupun kematian dengan insiden tertinggi terjadi pada tahun Gambar Bakteri Leptospira Sumber: Wikipedia.org 24 September 2015 Model matematika yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah model penyebaran penyakit leptospirosis yang dimodelkan dalam bentuk SIR

17 3 (Susceptibles-Infectious-Removed). Model SIR digunakan karena model ini sesuai dengan perilaku epidemi penyakit ini yaitu rentan penyakit, terinfeksi, dan kemudian sembuh. Selain itu, model SIR ini lebih mudah dalam penerapannya karena setiap populasi hanya dibagi menjadi tiga kelas. Model SIR ini menggambarkan bahwa individu yang rentan terserang penyakit menjadi individu yang terinfeksi penyakit, kemudian sembuh dengan kekebalan sementara terhadap penyakit tersebut. Berdasarkan populasinya, model SIR ini dibagi dua yaitu populasi manusia dan populasi vektor. Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas yaitu kelas populasi manusia yang rentan terhadap penyakit, kelas populasi manusia yang terinfeksi penyakit, dan kelas populasi manusia yang sembuh dan kebal penyakit. Dan populasi vektor dibagi menjadi dua kelas yaitu kelas populasi vektor yang rentan penyakit dan kelas populasi vektor yang terinfeksi penyakit. Dalam tugas akhir ini, akan dianalisis model penyebaran penyakit leptospirosis untuk mengetahui perilaku penyebaran penyakit ini dengan melakukan analisis kestabilan model pada keadaan bebas penyakit dan pada saat penyakit menyebar. B. RUMUSAN MASALAH Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Bagaimana model matematika penyebaran penyakit leptospirosis?

18 4 2. Bagaimana menentukan titik-titik kesetimbangan dan melakukan analisis kestabilan di titik kesetimbangan? C. BATASAN MASALAH Pada penulisan ini, masalah yang akan dibahas hanya dibatasi pada penyebaran penyakit leptospirosis dengan model SIR (Susceptibles, Infectious, Recovered). Jumlah populasi manusia dan vektor diasumsikan tetap atau konstan. D. TUJUAN PENULISAN Berdasarkan perumusan masalah, penulisan ini bertujuan untuk: 1. Memodelkan penyebaran penyakit leptospirosis. 2. Menentukan titik kesetimbangan dan melakukan analisis kestabilan di titik kesetimbangannya. E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang diambil dari tulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang perilaku penyebaran penyakit leptospirosis pada populasi dengan model matematika.

19 5 F. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN Bab ini membahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas mengenai teori-teori penunjang yang akan digunakan dalam pembentukan model dan analisis kestabilan model. Teori-teori yang digunakan yaitu teori-teori aljabar linear dan sistem persamaan linear, sistem persamaan diferensial, serta teori sistem dinamik. BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Bab ini membahas penyebaran penyakit leptospirosis dengan model SIR. Menentukan asumsi-asumsi yang digunakan untuk menyusun model matematika dan menyusun model matematika SIR berdasarkan asumsi-asumsi. BAB IV ANALISIS KESTABILAN Bab ini membahas tentang menentukan titik kesetimbangan model matematika SIR. Melakukan analisis kestabilan model berdasarkan titik kesetimbangannya dan melakukan simulasi model.

20 6 BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan sebagai jawaban dari rumusan masalah yang diajukan. Selain itu, berisi saran untuk pengembangan tulisan yang berbeda di masa yang akan datang.

21 BAB II LANDASAN TEORI A. MODEL MATEMATIKA Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalahmasalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu (Ripno Juli, 2012). Secara umum, epidemi adalah timbulnya suatu penyakit yang menimpa sekelompok masyarakat atau suatu wilayah dengan angka kejadian yang melebihi angka normal dari kejadian penyakit tersebut (Ripno Juli, 2012). Model epidemi merupakan model matematika yang digunakan untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi. Beberapa model matematika epidemi diantaranya: 1. Model SIR Model SIR pada awalnya diperkenalkan oleh W.O. Kennack dan McKendrick dalam makalahnya yang berjudul A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, yang kemudian muncul dalam Proceding Royal Society London halaman tahun

22 8 Rangkuman tersebut dituliskan secara lengkap oleh Murray. Dalam model epidemik SIR, anggota dari populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: suspek dengan simbol S, terinfeksi dengan simbol I, dan sembuh atau recovery dengan simbol R, yang masing-masing diberikan dalam bentuk S, I, dan R. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah atau susceptable dalam pemodelan SIR merupakan individu yang tidak terinfeksi tetapi golongan ini rentan terinfeksi penyakit. Oleh karena itu, golongan ini juga memiliki kemungkinan untuk menjadi terinfeksi menjadi atau infected. atau infected merupakan individu yang dapat menyebarkan penyakit pada individu yang susceptable waktu yang diperlukan oleh penderita infeksi penyakit dinamakan periode penyakit. Setelah mengalami periode penyakit kemudian individu ini pindah dan menjadi individu yang sembuh atau recovered. atau recovered merupakan individu yang telah sembuh atau kebal dalam kehidupannya. Model SIR umumnya ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa, yang merupakan salah satu bagian model deterministik dengan waktu kontinu. Laju perubahan jumlah individu terinfeksi didefinisikan sebagai, dengan merupakan laju penularan penyakit sedangkan merupakan nilai laju penyembuhan. Individu yang

23 9 terinfeksi diasumsikan dapat kembali sembuh dengan probabilitas konstan sepanjang waktu, yang kemudian berubah secara konstan dengan laju penyembuhan per kapita yang dinotasikan sebagai dan keseluruhannya disimbolkan sebagai. Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: susceptables infected recovered Laju perubahan jumlah individu yang rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang tertular penyakit oleh individu yang terinfeksi dengan laju penularan. Laju perubahan jumlah individu yang terinfeksi dipengaruhi oleh banyaknya individu yang rentan tertular penyakit menjadi terinfeksi dan banyaknya individu yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju penyembuhan β. Laju perubahan jumlah individu yang sembuh dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju penyembuhan β, sehingga dari diagram tersebut dapat dibentuk dalam persamaan diferensial sebagai berikut: (2.1) Persamaan ini menggambarkan mengenai transisi masing-masing individu dari ke lalu ke. Dengan menambahkan sistem persamaan (2.1) dapat ditunjukkan bahwa total populasi adalah konstan.

24 10 2. Model SI Model SI adalah bentuk sederhana dari model SIR klasik. Pada beberapa kasus infeksi tidak diperlukan adanya kelas populasi recovered. Misalnya, bisa jadi individu yang telah terinfeksi sama sekali tidak dapat sembuh. Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: susceptables infected Dalam model SI, anggota dari populasi manusia hanya dibagi menjadi dua kelas, yaitu: suspek dengan simbol S dan terinfeksi dengan simbol I. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah 3. Model SEIR Model SEIR menggunakan pertimbangan bahwa adanya periode ekspose atau tersembunyi dari penyakit. Beberapa penyakit mempunyai sebuah fase tersembunyi atau belum terlihat, pada waktu dimana individu dikatakan telah terinfeksi tetapi tidak menginfeksi dilambangkan dengan simbol. Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: susceptables exposed infected recovered Dalam model SEIR, anggota dari populasi manusia dibagi menjadi empat kelas, yaitu: suspek dengan simbol S, ekspose dengan simbol,

25 11 terinfeksi dengan simbol I, dan sembuh dengan simbol. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah 4. Model MSIR Model MSIR menggunakan anggapan bahwa untuk beberapa kasus penyakit dimana seorang individu terlahir dengan kekebalan pasif dari ibunya. Individu yang memiliki kekebalan pasif ini disimbolkan dengan. Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: M S I R Dalam model MSIR, anggota dari populasi manusia hanya dibagi menjadi empat kelas, yaitu: bayi dengan kekebalan pasif dengan simbol, suspek dengan simbol, terinfeksi dengan simbol, dan sembuh dengan simbol. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah B. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS 1. Sistem persamaan linear Definisi 2.1. (Howard Anton, 1988). Sistem persamaan linear adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah.

26 12 Bentuk umum dari sistem persamaan linear yang terdiri dari persamaan linear dengan bilangan tak diketahui dapat dituliskan sebagai di mana,,, adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan dan menyatakan konstanta-konstanta. Sistem persamaan linear di atas dapat dituliskan juga dalam bentuk matriks. Contoh 1: 2. Matriks Definisi 2.2. (Howard Anton, 1988). Matriks adalah susunan segiempat dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Ukuran matriks dapat dijelaskan dengan menyatakan banyaknya m baris dan banyaknya n kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jika adalah sebuah matriks berukuran dengan untuk entrinya pada baris dan kolom, maka dapat dituliskan sebagai

27 13 atau [ ] [ ] Contoh 2: * + Matriks mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya adalah. Jadi matriks adalah matriks. [ ] Matriks mempunyai 3 baris dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah. Jadi matriks adalah matriks atau dapat juga disebut sebagai matriks persegi. Jika adalah suatu matriks persegi berukuran, maka memiliki skalar khusus yang disebut determinan. Biasanya dilambangkan dengan atai. 3. Determinan matriks Definisi 2.3. (Howard Anton, 1988). Misalkan adalah matriks persegi. Fungsi determinan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari. Jumlah dinamakan determinan. Contoh 3: * +

28 14 [ ] Determinan-determinan matriks di atas, yaitu (* +) ([ ]) Akan tetapi, metode tersebut tidak berlaku untuk determinan matriks yang lebih tinggi. Oleh karena itu, determinan juga dapat dihitung dengan sebuah metode yaitu ekspansi kofaktor. 4. Ekspansi Kofaktor Definisi 2.4. (Howard Anton, 1988). Jika adalah suatu matriks persegi, maka minor entri dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatriks dari yang diperoleh setelah menghilangkan baris ke- dan kolom ke-. Bilangan dinyatakan oleh dan disebut kofaktor entri.

29 15 Contoh 4: [ ] Minor entri adalah Kofaktor adalah Pada contoh 3, determinan dari matriks yang berukuran adalah yang dapat dituliskan kembali sebagai. Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung adalah kofaktor-kofaktor,, dan maka diperoleh sehingga determinan matriks dapat ditulis

30 16 Teorema 2.1. (Howard Anton, 1988). Determinan matriks yang berukuran dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menambahkan hasilhasil kali yang dihasilkan; yaitu, untuk setiap dan maka, (perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke- ) dan (perluasan kofaktor di sepanjang baris ke- ). Contoh 5: [ ] Hitung dengan perluasan kofaktor di sepanjang baris pertama. Penyelesaian. Suatu matriks persegi atau matriks berukuran nilai karakteristik. Nilai karakteristik dari matriks memiliki suatu ini disebut dengan nilai eigen.

31 17 5. Nilai Eigen Definisi 2.5. (Howard Anton, 1988). Jika adalah matriks, maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari jika adalah kelipatan skalar dari yakni, untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Jika adalah nilai eigen dari yang bersesuaian dengan, maka, sehingga perkalian oleh akan memperbesar, atau membalik arah, yang bergantung pada nilai, sedangkan untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran maka kita menulis kembali sebagai atau secara ekuivalen Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak nol dari persamaan ini. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika Ini dinamakan persamaan karakteristik ; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari. Bila diperluas, maka determinan adalah polinom yang dinamakan polinom karakteristik dari. Jika adalah matriks, maka polinom karakteristik harus

32 18 memenuhi dan koefisien adalah, sehingga polinom karakteristik dari matriks berbentuk Contoh 6: Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Penyelesaian. Karena * + * + * + * + Maka polinom karakteristik dari adalah * + Dan persamaan karakteristik dari adalah Penyelesaian-penyelesaian persamaan ini adalah dan ; inilah nilai-nilai eigen dari. Lebih lanjut, matriks dan nilai eigen akan banyak digunakan untuk mencari penyelesaian suatu sistem persamaan diferensial. C. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif (turunan) satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui (William E Boyce, 2012).

33 19 Contoh 7: Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 1. Persamaan Diferensial Biasa Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung dari satu variabel bebas saja maka persamaan diferensial yang terbentuk disebut persamaan diferensial biasa. Contoh 8: 2. Persamaan Diferensial Parsial Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung dari beberapa variabel bebas maka persamaan diferensial yang terbentuk disebut persamaan diferensial parsial. Contoh 9:

34 20 3. Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Persamaan diferensial biasa ( ), dikatakan linear jika adalah linear dalam variabel-variabel. Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Jadi persamaan umum persamaan diferensial biasa linear orde n diberikan dengan Persamaan yang tidak dalam bentuk di atas merupakan persamaan tak linear. Contoh 8: a., merupakan persamaan diferensial linear. b., merupakan persamaan diferensial tak linear karena suku dan. 4. Persamaan Diferensial Homogen dan Nonhomogen Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk umum disebut homogen jika. Jika tersebut berbentuk fungsi exponensial, trigonometri, ataupun fungsi polynomial dan maka persamaan diferensial tersebut dikatakan nonhomogen. Contoh 9:, merupakan persamaan diferensial homogen.

35 21 5. Penyelesaian Persamaan Diferensial Penyelesaian dari persamaan diferensial biasa ( ) dalam interval adalah sebuah fungsi sedemikian sehingga ada dan memenuhi * + untuk setiap dalam. Contoh 10: Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: Persamaan di atas dapat ditulis sebagai: Bila kedua ruas diintegralkan maka Sehingga diperoleh atau dengan Jika diketahui nilai awal dan bila disubtitusikan ke persamaan dan diperoleh, sehingga persamaan menjadi:

36 22 D. TEORI SISTEM DINAMIK Teori sistem adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang sistem sebagai obyeknya (Rudolfh Stitchweh, 2011). Sistem dinamik adalah sistem yang memiliki struktur dan aktivitas yang ditandai dengan pola perilaku yang berubah-ubah sepanjang waktu (Vincent Gazpers). Teori sistem dinamik merupakan bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa perilaku sistem dinamik, biasanya menggunakan persamaan diferensial. Teori ini membahas perilaku kualitatif jangka panjang sistem dan pemecahan persamaan gerak dari sistem yang terutama bersifat mekanik di alam. 1. Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak diketahui, dimana. Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial dapat dituliskan sebagai berikut: Sistem di atas dapat ditulis sebagai [ ] [ ] [ ] [ ] atau.

37 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sistem Homogen Sistem persamaan diferensial disebut homogen jika dan tidak homogen jika. Sistem homogen dari persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien real, secara umum dapat ditulis sebagai: Sistem persamaan di atas dapat di tulis sebagai, dengan [ ] [ ] 3. Kestabilan Definisi 2.6. (D.Gilliam, 1999). Suatu persamaan diferensial ( ), dimana. Misal merupakan penyelesaian dari persamaan, dengan kondisi awal. Misal ) merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial. a. Penyelesaian stabil di ) jika untuk setiap, ada sedemikian sehingga, penyelesaian terdefinisi untuk setiap ) dan,. b. stabil asimptotik di ) jika stabil dan untuk setiap, ada sedemikian sehingga,

38 24. c. tidak stabil jika ada sedemikian sehingga untuk setiap dimana ada dengan sedemikian sehingga untuk ). Kestabilan digunakan untuk menentukan apakah sistem tersebut stabil atau tidak dengan menguji kestabilan dari titik kesetimbangannya. 4. Titik Kesetimbangan (equilibrium) Diberikan sistem persamaan diferensial, titik kesetimbangan (equilibrium) adalah suatu penyelesaian yang memenuhi. Berdasarkan persamaan di mana adalah matriks berukuran, penyelesaiannya adalah, dan adalah nilai-nilai eigen dari berlaku Teorema 2.2. adalah sebuah matriks dan adalah nilainilai eigen dari. Misalkan bahwa di mana dan bernilai real untuk Ada suatu konstanta sedemikian sehingga,. Berdasarkan dari teorema 2.2, maka berlaku pula Teorema 2.3. adalah sebuah matriks dan misalkan semua nilai eigen dari berniali real dan kurang dari atau sama dengan nol, dan nilai eigen dengan nilai nol adalah simpel. Maka, ada suatu konstanta sedemikian sehingga

39 25,. Nilai-nilai eigen dari matriks menggolongkan kestabilan dari titik kesetimbangan sistem persamaan diferensial. Teorema 2.4 (C. C. Remsing, 2006). Suatu sistem stabil netral jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari bernilai real tak-positif dan paling sedikit satu nilai eigen yang bernilai nol. a. Suatu sistem stabil asimptotik jika dan hanya jika adalah sebuah matriks yang stabil yaitu setiap nilai eigen dari bernilai real negatif. b. Suatu sistem tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari bernilai real positif. Bukti: a. Misalkan, berdasarkan teorema 2.3 ada suatu konsatanta sedemikian sehingga,. Misal penyelesaian, diberikan, ambil. Jika adalah kondisi awal dengan, maka Sehingga. Jadi, sistem tersebut stabil atau stabil netral.

40 26 b. Misalkan, maka sistem dalam keadaan stabil berdasarkan bukti sebelumnya. Ambil suatu bilangan real, sedemikian sehingga untuk semuaa nilai eigen dari. Berdasarkan teorema 2.2, ada suatu konsatanta sedemikian sehingga,. Maka untuk kondisi awal,,. Karena bernilai negatif, saat. Sehingga. Jadi, sistem tersebut stabil asimptotik. c. Misalkan nilai eigen dengan Misalkan adalah suatu vektor eigen dari. Penyelesaian dari sistem dengan kondisi awal dalah. Diberikan, misal maka. Dengan kata lain, penyelesaian dari sistem dengan kondisi awal adalah. Sehingga. Karena maka saat. Jadi, sistem tidak stabil. Contoh 11: Diketahui sistem persamaan diferensial sebagai berikut: Atau dapat ditulis

41 27 * + Titik kesetimbangan (equilibrium) akan diperoleh jika dan, maka Diperoleh Dari matriks * + akan dicari nilai eigennya, yaitu * + * + * + Maka polinom karakteristik dari adalah * + Dan persamaan karakteristik dari adalah Maka diperoleh nilai dan Kedua nilai eigen dari matriks bernilai negatif, maka berdasarkan teorema (2.4) titik kesetimbangannya stabil asimptotik. Akan tetapi, jika sistem tidak linear, maka untuk menentukan kestabilan sistem tersebut dilakukan dengan dengan linearisasi sistem. 5. Linearisasi Sistem Definisi 2.7. (Lawrence Perko, 2001). Titik dinamakan titik kesetimbangan atau titik kritis dari jika. Titik

42 28 kesetimbangan dinamakan titik kesetimbangan hiperbolik dari jika tidak ada nilai eigen dari matrik bernilai nol. Sistem linear dengan matriks linearisasi dari pada. Linearisasi sistem menggunakan matriks Jacobian. Teorema 2.5. Jika dapat diturunkan pada, maka turunan parsial, semua ada pada dan untuk semua, Jika ( ) adalah fungsi yang dapat diturunkan, turunan ( ) diberikan oleh matriks Jacobian, ( ) * ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] Kriteria kestabilan sistem non linear dapat ditentukan dengan nilai eigen dari matriks Jacobian ( ). Teorema 2.6. (Olsder, 1994). Diberikan matriks Jacobian ( ) dari sistem non linear dengan nilai eigen. a. Stabil asimptotik lokal, jika semua nilai eigen dari matriks ( ) bernilai negatif.

43 29 b. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks ( ) bernilai positif. Bukti: Jika adalah matriks, maka berlaku. Diberikan nilai awal, maka solusinya adalah. a. Jika semua nilai eigen dari,, untuk maka nilai saat, sehingga semua nilai dari mendekati titik kesetimbangannya. Jadi, sistem stabil asimptotik lokal. b. Jika ada nilai eigen dari, untuk maka nilai atau tidak mendekati nol saat, sehingga nilai dari menjauhi titik kesetimbangannya dan bergerak menuju. Jadi, sistem tidak stabil.

44 BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS A. PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Penyakit leptospirosis merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri patogen Spirochetes dari genus Leptospira, yang dapat ditularkan secara langsung maupun tidak langsung dari hewan ke manusia. Leptospirosis merupakan penyakit yang dapat ditularkan melalui air (water borne disease). Urin (air kencing) dari individu yang terserang penyakit ini merupakan sumber utama penularan, baik pada manusia maupun pada hewan. Kemampuan Leptospira untuk bergerak dengan cepat dalam air menjadi salah satu faktor penentu utama ia dapat menginfeksi induk semang yang baru. Penyakit ini memasuki masa puncaknya ketika musim hujan. Hujan deras akan membantu penyebaran penyakit ini, terutama di daerah banjir. Gambar Tikus sebagai Penyebar Utama Sumber: Wikipedia.org 24 September

45 31 Penularan penyakit ini bisa melalui hewan mamalia. Namun, Sejauh ini tikus merupakan penyebar utama leptospirosis karena bertindak sebagai inang alami dan memiliki daya reproduksi tinggi. Air kencing tikus terbawa banjir kemudian masuk ke dalam tubuh manusia melalui permukaan kulit yang terluka, selaput lendir mata dan hidung. Bisa juga melalui makanan atau minuman yang terkontaminasi setitik urin tikus yang terinfeksi leptospira, kemudian dimakan dan diminum manusia. Siklus penyebaran penyakit leptospirosis disajikan pada gambar di bawah ini. Gambar Siklus Penyebaran Penyakit Leptospirosis Keterangan: = Tikus Sehat = Manusia Sehat = Tikus Terinfeksi = Manusia Terinfeksi

46 32 Tanda-tanda dan gejala leptospirosis biasanya muncul tiba-tiba, sekitar 7 sampai 14 hari setelah seseorang terinfeksi, dan dalam beberapa kasus, tanda dan gejala tersebut mungkin muncul sebelum atau sesudahnya. Leptospirosis tidak menular langsung dari pasien ke pasien. Masa inkubasi leptospirosis adalah dua hingga 26 hari. Sekali berada di aliran darah, bakteri ini bisa menyebar ke seluruh tubuh dan mengakibatkan gangguan khususnya hati dan ginjal. Ada dua jenis utama leptospirosis: 1. Leptospirosis ringan: pasien mengalami nyeri otot, menggigil dan mungkin sakit kepala seperti gejala flu. Rata-rata 90% dari kasus leptospirosis tergolong jenis ini. 2. Leptospirosis berat: dapat mengancam jiwa. Ada risiko kegagalan organ dan pendarahan internal. Jenis leptospirosis ini terjadi ketika bakteri menginfeksi ginjal, hati dan organ utama lainnya. Cara pengobatan penyakit leptospirosis ini pada manusia adalah dengan memberikan obat antibiotik secara rutin kepada pasien yang terinfeksi leptospirosis baik yang ringan maupun berat. B. MODEL MATEMATIKA UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Model matematika yang akan digunakan dalam memodelkan penyebaran penyakit leptospirosis ini adalah model SIR (Susceptables, Infective, Recovered). Model SIR digunakan karena model ini sesuai dengan perilaku epidemi penyakit ini yaitu rentan penyakit, terinfeksi, dan kemudian sembuh.

47 33 Selain itu, model SIR ini lebih mudah dalam penerapannya karena setiap populasi hanya dibagi menjadi tiga kelas. Model SIR ini menggambarkan bahwa individu yang rentan terserang penyakit menjadi individu yang terinfeksi penyakit, kemudian sembuh dengan kekebalan sementara terhadap penyakit tersebut. Model SIR ini dibagi menjadi dua populasi, yaitu populasi manusia dan populasi vektor, istilah vektor yang dimaksud adalah tikus, karena sebagai sarana penyebaran penyakit. Populasi manusia dibagi ke dalam tiga kelas populasi yaitu kelas populasi manusia yang rentan adalah setiap individu dari populasi manusia yang belum terinfeksi tetapi rentan terinfeksi penyakit, kelas populasi manusia yang terinfeksi adalah setiap individu dari populasi manusia yang telah tertular atau terinfeksi penyakit, dan kelas populasi manusia yang bebas penyakit adalah setiap individu dari populasi manusia yang telah sembuh dari penyakit dengan antibiotik atau sedang diisolasi sedangkan populasi vektor dibagi menjadi dua kelas yaitu kelas populasi vektor yang rentan adalah setiap individu dari populasi tikus yang belum terinfeksi tetapi rentan terinfeksi penyakit dan kelas populasi vektor yang terinfeksi adalah setiap individu dari populasi tikus yang telah terinfeksi penyakit dan dapat menularkannya. Pembentukan model ini dibatasi oleh beberapa asumsi. Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit leptospirosis sebagai berikut: 1. Jumlah populasi manusia dan vektor adalah tetap atau konstan. 2. Angka kematian alami tetap, berakibat sama untuk semua kelas populasi. 3. Tidak ada migrasi dalam populasi tersebut.

48 34 4. Setiap Individu tidak dipengaruhi oleh umur atau status penyakit sehingga data setiap individu sama. 5. Setiap individu yang baru lahir dianggap tidak memiliki kekebalan dan mudah terserang penyakit dengan segera. 6. Manusia yang terinfeksi leptospirosis ringan dan berat tidak dibedakan. 7. Manusia yang rentan yang terinfeksi oleh vektor yang terinfeksi dapat segera menjadi manusia yang terinfeksi tanpa membutuhkan waktu inkubasi. 8. Manusia yang rentan dapat terinfeksi oleh vektor terinfeksi tetapi tidak dapat terinfeksi oleh manusia lain yang telah terinfeksi. 9. Masa inkubasi penyakit tidak diperhatikan. 10. Hanya terdapat satu macam penularan dengan penyakit yang sama. 11. Vektor yang rentan dapat dengan segera menjadi vektor terinfeksi tanpa membutuhkan masa inkubasi. 12. Manusia yang terinfeksi dapat disembuhkan dengan menggunakan antibiotik. 13. Angka penularan leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke manusia yang rentan berubah-ubah berdasarkan jumlah curah hujan yang turun. 14. Kedua populasi homogen yang berarti setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain. Adapun variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit leptospirosis disajikan dalam tabel di bawah ini:

49 35 Variabel Keterangan Jumlah populasi manusia pada waktu Jumlah manusia yang rentan terinfeksi pada waktu Jumlah manusia yang terinfeksi pada waktu Jumlah manusia yang telah sembuh, bebas dari penyakit, atau kebal dari infeksi virus yang sedang mewabah pada waktu Jumlah populasi vektor pada waktu Jumlah vektor yang rentan terinfeksi pada waktu Jumlah vektor yang terinfeksi pada waktu Tabel Daftar Variabel-variabel Parameter Keterangan Angka kelahiran alami manusia Angka kematian alami manusia Angka kelahiran alami vektor

50 36 Angka kematian alami vektor Angka penularan penyakit dari vektor yang terinfeksi ke manusia yang rentan Angka penularan penyakit dari vektor yang terinfeksi ke manusia yang rentan Angka kesembuhan individu yang sembuh dengan antibiotik dan menjadi kebal Angka perubahan individu yang kebal menjadi rentan kembali Tabel Daftar Parameter-parameter Setiap manusia yang baru lahir sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit. Manusia yang rentan dapat tertular penyakit oleh vektor yang terinfeksi menjadi terinfeksi dengan angka penularan dan dapat meninggal. Manusia yang terinfeksi akan menjadi sembuh dengan antibiotik dengan angka kesembuhan dan dapat juga meninggal. Manusia yang telah sembuh atau kebal terhadap penyakit akan kembali menjadi rentan dan dapat meninggal. Sedangkan setiap vektor yang baru lahir ada yang rentan terhadap penyakit dan ada yang terinfeksi, sesuai dengan kondisi induknya. Vektor yang rentan penyakit dapat segera terinfeksi dengan angka penularan dan dapat mati. Vektor yang telah terinfeksi tidak dapat menjadi sembuh dan akan mati.

51 37 Sebagaimana telah dijelaskan dalam gambar 3.2 mengenai siklus penyebaran penyakit leptospirosis dari tikus ke manusia dan asumsi-asumsi yang telah dibuat, serta dengan variabel-variabel dan parameter-parameter yang telah ditentukan, secara skematis dinamika penyebaran penyakit leptospirosis dapat disajikan dalam bagan di bawah ini. Gambar Diagram Penyebaran Penyakit Leptospirosis Sumber: Mathematical Model of Leptospirosis: Linearized Solutions and Stability Analysis Dari gambar 3.3 akan dibentuk suatu model matematika yang menggambarkan penyebaran penyakit tersebut. C. FORMULASI MODEL Misalkan adalah total populasi manusia pada waktu, adalah banyaknya manusia yang rentan (dapat terinfeksi penyakit), adalah

52 38 banyaknya manusia yang terinfeksi, dan adalah banyaknya manusia yang telah sembuh, maka Berdasarkan gambar 3.4, total populasi manusia dapat digambarkan dengan persamaan Gambar Diagram Jumlah Total Populasi Manusia { } { } { } { } atau dapat ditulis sebagai (3.1) Demikian pula dimisalkan adalah total populasi vektor pada waktu, adalah banyaknya vektor yang rentan terhadap penyakit dan adalah banyaknya vektor yang terinfeksi, maka Gambar Diagram Jumlah Total Populasi Vektor

53 39 Berdasarkan gambar 3.5, total populasi vektor dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } atau dapat ditulis (3.2) Misalkan adalah banyaknya populasi manusia yang rentan pada waktu. Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi manusia yang rentan dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } Jumlah manusia yang masuk ke populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi dengan angka kelahiran dan banyaknya individu dalam populasi bebas penyakit yang menjadi rentan kembali dengan angka, { } Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu rentan yang terinfeksi oleh tikus (vektor) yang terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang

54 40 terinfeksi ke manusia yang rentan sebanyak dan jumlah individu yang meninggal dalam populasi rentan dengan angka kematian, { } Sehingga laju perubahan populasi manusia yang rentan adalah Maka diperoleh persamaan (3.3) Dimisalkan adalah banyaknya populasi manusia yang terinfeksi pada waktu. Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi manusia yang terinfeksi dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } Jumlah manusia yang masuk ke populasi terinfeksi dipengaruhi oleh banyaknya individu rentan yang terinfeksi oleh tikus (vektor) yang terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke manusia yang rentan sebanyak, { } Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi atau sakit menjadi sembuh dengan angka

55 41 kesembuhan dan jumlah individu dari populasi terinfeksi yang meninggal dengan angka kematian, { } Sehingga laju perubahan populasi manusia yang terinfeksi adalah Maka diperoleh persamaan (3.4) Dimisalkan pula adalah banyaknya populasi manusia yang bebas penyakit pada waktu. Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi manusia yang bebas penyakit dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } Jumlah manusia yang masuk ke populasi bebas penyakit dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi atau sakit menjadi sembuh dengan angka kesembuhan, { } Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi bebas penyakit dipengaruhi oleh banyaknya individu dalam populasi bebas penyakit yang menjadi

56 42 rentan kembali dengan angka dan jumlah individu dari populasi bebas penyakit yang meninggal dengan angka kematian, { } Sehingga laju perubahan populasi manusia yang bebas penyakit adalah Maka diperoleh persamaan (3.5) Misalkan adalah banyaknya populasi vektor yang rentan pada waktu. Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi vektor yang rentan dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } Jumlah vektor yang masuk ke populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi vektor rentan dengan angka kelahiran, { } Dan jumlah vektor yang keluar dari populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya vektor rentan yang terinfeksi penyakit oleh vektor yang telah

57 43 terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke vektor yang rentan sebanyak dan jumlah vektor yang mati dalam populasi vektor rentan dengan angka kematian, { } Sehingga laju perubahan populasi vektor yang rentan adalah Maka diperoleh persamaan (3.6) Misal adalah banyaknya populasi vektor yang terinfeksi pada waktu. Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi vektor yang terinfeksi dapat digambarkan dengan persamaan { } { } { } Jumlah vektor yang masuk ke populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi vektor terinfeksi dengan angka kelahiran dan banyaknya vektor rentan yang terinfeksi penyakit oleh vektor yang telah terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke vektor yang rentan sebanyak,

58 44 { } Dan jumlah vektor yang keluar dari populasi vektor terinfeksi dipengaruhi oleh jumlah vektor yang mati dalam populasi vektor rentan dengan angka kematian, { } Sehingga laju perubahan populasi vektor yang terinfeksi adalah Maka diperoleh persamaan (3.7) Dari persamaan (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), dan (3.7) diperoleh model SIR sebagai berikut: (3.8)

59 45 Model (3.8) merupakan suatu sistem persamaan diferensial non linear dengan lima variabel, yaitu,,,, dan. Model tersebut menggambarkan laju perubahan populasi pada waktu untuk masing-masing kelas yaitu populasi manusia rentan, manusia terinfeksi, manusia sembuh, vektor rentan, dan vektor terinfeksi.

60 BAB IV ANALISIS KESTABILAN Pada bab ini akan dibahas mengenai analisis kestabilan model yang telah diperoleh pada bab sebelumnya. Analisis dilakukan dengan cara mencari titik kesetimbangan dari sistem persamaan (3.8) yang kemudian akan diuji kestabilannya. Uji kestabilan titik kesetimbangan dilakukan untuk melihat kestabilan dari sistem atau model yang telah dibuat. Berdasarkan sistem persamaan (3.8), banyaknya populasi manusia adalah sehingga diperoleh dan banyaknya populasi vektor adalah sehingga diperoleh sehingga dan untuk bilangan bulat positif. Berdasarkan asumsi bahwa jumlah kedua populasi konstan, sistem (3.8) dapat diskala ke total populasi dan untuk menyederhanakan sistem (3.8). Banyaknya individu masing-masing kelompok dinyatakan sebagai berikut:,,,,,, dan. Dari persamaan di atas, diperoleh: dan sehingga sistem persamaan (3.8) diperoleh sebagai berikut: 46

61 47 (4.1) Kemudian sistem persamaan (4.1) akan dianalisis kestabilannya dengan terlebih dahulu menentukan titik kesetimbangannya. A. TITIK KESETIMBANGAN Dari sistem persamaan (4.1) akan dicari titik kesetimbangannya, yaitu dengan. Sehingga diperoleh (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) Dari persamaan (4.2) diperoleh Dari persamaan (4.3) diperoleh

62 48 Dari persamaan (4.4) diperoleh Dari persamaan (4.5) diperoleh Untuk kasus, Persamaan (4.6) menjadi: Subtitusikan persamaan ke, diperoleh: Subtitusikan ke, diperoleh:

63 49 Subtitusikan ke ( ), diperoleh: Subtitusikan ke, diperoleh: Sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit. Titik kesetimbangan endemik ditentukan dengan asumsi dengan. Sehingga (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) Untuk kasus, maka Persamaan (4.7) diperoleh:

64 50 * + Persamaan (4.8) diperoleh: Dari persamaan (4.9), diperoleh: Subtitusikan ke, diperoleh: * + Subtitusikan ke, diperoleh: [ ] ( ) [ ( )]

65 51 ( ) [ ] Subtitusikan ke, diperoleh: [ [ ] ] [ ] Subtitusikan ke, diperoleh: ( [ ] ) ] Dari persamaan (4.11) diperoleh: Jadi, diperoleh titik kesetimbangan endemik sebagai berikut: [ ] [ ] [ ]

66 52 B. ANALISIS KESTABILAN Dengan menggunakan linearisasi akan diperoleh analisis kestabilan berdasarkan nilai eigen dan matriks jacobian. Matriks jacobian dari sistem (4.1) adalah [ ] (4.12) [ ] dengan. 1. Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Untuk titik kesetimbangan bebas penyakit dari matriks jacobian (4.12) diperoleh:

67 53 [ ] [ ] Menentukan nilai eigen matriks ( ) ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) [ ] Dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks di atas diperoleh, ] ] ] ] ] Dan diperoleh nilai-nilai eigen di titik sebagai berikut:,,,, dan

68 54 Dari nilai-nilai eigen tersebut terlihat bahwa nilai eigen,, dan adalah negatif. Selanjutnya, nilai dan akan dianalisis. Akan ditunjukkan bahwa, Diasumsikan bahwa dan, sehingga ketika atau. Jadi, dengan syarat maka. Akan ditunjukkan bahwa, Karena nilai eigen dan bernilai sama maka dengan syarat atau. Jadi, nilai,,, sedangkan jika. Semua nilai eigen dari matriks bernilai negatif ketika, maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimptotik atau dengan kata lain tidak terjadi penyebaran penyakit pada populasi. 2. Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Endemik Untuk titik kesetimbangan endemik sebagai berikut: [ ] [ ] [ ]

69 55 dari persamaan matriks jacobian (4.12) diperoleh: [ ( ] ) ( ] ) ] [ ] [ ] ] Menentukan nilai eigen matriks ( )

70 56 ( [ ] [ ] ] ]) ( [ ] [ ] ] ]) ( ) [ [ ] [ ] ]

71 57 ( ) ] [ ] Dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks di atas diperoleh, Dengan nilai-nilai koefisien sebagai berikut: ( ) ] ] ( ) ( ) ] ( ) ] ( )

72 58 Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akan ditunjukkan mempunyai akar-akar bagian real yang negatif yaitu dengan menunjukkan bahwa semua koefisien polinom positif dan lengkap atau Jelas bahwa, tetapi. Akan ditunjukkan bahwa. Jelas bahwa ] karena nilai dan nilai ],, sehingga ada koefisien dari yang bernilai negatif. Jadi, titik kesetimbangan tidak stabil. C. SIMULASI MODEL 1. Kasus 1 Jika diasumsikan angka kelahiran artinya ada bayi yang lahir dari orang per hari, angka kematian artinya orang yang meninggal dari orang per hari, angka penularan penyakit dari vektor yang terinfeksi ke manusia artinya dari 10 manusia yang rentan terinfeksi oleh penyakit, angka kelahiran vektor artinya vektor lahir dari vektor per hari, angka kematian vektor artinya vektor mati dari vektor