PEMODELAN EPIDEMIK MENGGUNAKAN CELLULAR AUTOMATA

Transkripsi

1 PEMODELAN EPIDEMIK MENGGUNAKAN CELLULAR AUTOMATA Chastine Fatichah, Abdur Rahman B. S Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya chastine@cs.its.ac.id,badru@cs.its.ac.id Abstrak Model cellular automata (CA) ini diusulkan untuk memodelkan epidemik dengan memperhatikan faktor-faktor spasial. CA mampu mengimplementasikan dunia yang heterogen di mana individu-individunya tersebar secara tidak merata layaknya di dunia nyata. CA juga mampu mengimplementasikan berbagai macam faktor yang mempengaruhi epidemik dalam dunia nyata. Uji coba kontrol skenario menunjukkan bahwa model CA ini mampu memberikan hasil yang sesuai dengan model sebelumnya. Uji coba parameter memberikan hasil yang sesuai dengan teori epidemik pada umumnya. Sedangkan uji coba spasial menunjukkan kelebihan CA untuk memodelkan epidemik dengan memperhatikan faktor spasial. Untuk ke depannya, diharapkan model ini dapat digunakan sebagai alat prediksi untuk kasus-kasus nyata. dijelaskan. Teori dasar tentang CA diterangkan pada bab selanjutnya. Bab 5 menjelaskan tentang penerapan model SIR pada ODE. Bab 6 menunjukkan bagaimana model SIR dapat dimodelkan dengan CA. Bab selanjutnya merupakan rangkuman dari hasil uji coba yang dilakukan pada model CA. 2. VIRUS Virus berasal dari bahasa latin yang berarti racun. Virus merupakan agen yang mampu menginfeksi, namun tidak dapat hidup di luar sel inangnya [9]. Setelah masuk ke sel inangnya, virus akan melewati beberapa periode infeksi. Hubungan antara tiap periode dari infeksi dan gejala penyakit digambarkan pada gambar berikut [4] : Kata kunci: pemodelan, epidemik, cellular automata, SIR 1. PENDAHULUAN Masalah penyakit menular yang disebabkan oleh virus sudah menjadi masalah umum di berbagai belahan dunia. Hal inilah yang mendorong pentingnya monitoring atas perjangkitan suatu penyakit yang kemudian memerlukan prediksi dari pola penyebaran penyakit (epidemik). Pemodelan epidemik diharapkan dapat membantu dalam meramalkan, dan bahkan mengontrol perilaku virus dan penyebaran penyakit. Akan tetapi, pemodelan yang telah ada umumnya menyederhanakan asumsi kondisi lingkungan. Salah satunya adalah menganggap bahwa dunia ini homogen, individu-individu tersebar secara merata. Untuk meningkatkan realitas model dunia yang heterogen perlu diterapkan. Bab 2 menjelaskan tentang perilaku virus pada umumnya. Pada bab 3, epidemik dan beberapa hal penting yang berhubungan Gambar 1 Hubungan periode infeksi dengan gejala [4] Di luar tubuh, virus memerlukan cara tertentu untuk pindah ke inang lain. Ada lima cara utama virus untuk pindah ke tubuh yang lain. 1. transmisi lewat pernapasan 2. transmisi lewat makanan atau kotoran biologis 3. transmisi mekanikal 4. transmisi lewat pembawa (carrier, agent) 5. transmisi vertikal Virus juga berevolusi untuk menghadapi proses pemilihan alam (natural selection). Virus mampu berevolusi dengan sangat cepat karena mampu menghasilkan banyak keturunan dalam waktu yang sangat singkat. Evolusi inilah yang dimaksud dengan mutasi virus. Mutasi virus yang sukses biasanya mampu mengatasi sistem 1

2 kekebalan tubuh yang dihasilkan oleh inang yang telah sembuh. Inang yang telah memiliki kekebalan masih dapat diserang lebih lanjut oleh hasil mutasi dari virus tersebut. 3. EPIDEMIK Sebuah penyakit atau virus dinyatakan bersifat endemik apabila penyakit tersebut menetap di sebuah tempat tertentu untuk waktu yang lama [5]. Perjangkitan sebuah penyakit (outbreak) terjadi apabila sebuah penyakit atau keberadaan sebuah virus tertentu lebih banyak daripada tingkat endemik yang seharusnya. Keadaan endemik bisa menjadi sebuah epidemik bila kasus ini terus berlanjut dan mulai menyebar dengan cepat ke daerah sekitar. Epidemik yang telah mencakup sebuah benua disebut pandemik. Contohnya adalah pandemik influenza yang menyerang empat benua dan menewaskan sekitar 40 juta orang penderitanya [1]. 3.1 Probabilitas Transmisi Yang dimaksud dengan probabilitas transmisi adalah peluang di mana ada perpindahan virus yang sukses dari satu inang ke inang yang lain. Salah satu pendekatan probabilitas ini adalah dengan cara menghitung Secondary Attack Rate (SAR) [4]. SAR i 2 = (2.1) s i 2 : Jumlah individu baru yang terinfeksi s : Jumlah total individu yang rentan 3.2 Angka Reproduksi Dasar Angka reproduksi dasar, R 0, adalah ratarata jumlah individu yang ditulari oleh inang yang terinfeksi selama periode infeksi. R 0 biasanya dihitung sebagai hasil persamaan tiga parameter, yaitu: R = c p d 0 (2.2) c : Jumlah kontak per individu per satuan waktu p : Probabilitas transmisi d : Lama periode infeksi 4. Tingkat imunitas individu 5. Pergerakan individu 6. Waktu inkubasi 3.4 Virulence Virulence merupakan ukuran seberapa cepat penyakit mampu membunuh korbannya. Penyakit yang memiliki nilai virulence tinggi biasanya memiliki kurang R 0 dari 1. Karena itu penyakit ini biasanya perjangkitannya hebat dan mampu membunuh banyak individu yang terinfeksi namun tidak akan menyebar lebih jauh. 3.5 Perioditas Penyakit Salah satu ciri umum dari epidemik adalah sifatnya yang bergelombang. Setelah ledakan pertama perjangkitan penyakit, jumlah individu yang terinfeksi akan terus turun dan mencapai tingkat endemik. Namun, sekalipun penyakit telah berada pada tingkat endemik, perjangkitan dapat terjadi kembali beberapa kali pada masa mendatang (terjadi secara bergelombang) [5]. Gelombang ini berlanjut biasanya tanpa pola tertentu, namun akan semakin melemah. 4. CELLULAR AUTOMATA CA adalah sekumpulan sel yang memiliki status tertentu yang disusun dalam sebuah array tertentu, yang berevolusi sebanyak jumlah iterasi yang terbatas, sesuai dengan aturan tertentu dan keadaan sel di sekitarnya [10]. Sel akan berevolusi tiap satuan waktu sesuai dengan aturan perubahan (update rule) dan keadaan sel tetangga. 4.1 Sel Sel (cell) adalah komponen paling dasar dari CA. Setiap sel adalah sebuah finite state automaton (FSA), yaitu komponen otomata yang memiliki jenis keadaan (state) yang terbatas. Sel ini akan berevolusi tiap satuan waktu sesuai dengan aturan perubahan (update rule). Keadaan sel pada masa berikutnya merupakan fungsi dari keadaan sel pada saat sekarang atas berbagai macam masukan (input). 3.3 Faktor yang Mempengaruhi Epidemik Pada umumnya faktor yang paling mempengaruhi [6],[3] adalah: 1. Jumlah populasi rentan penyakit 2. Homogenitas populasi 3. Kemampuan infeksi untuk bertransmisi Gambar 2 sel [10]. Proses perubahan keadaan 2

3 4.2 Aturan Perubahan (Update Rule) Aturan perubahan (update rule) merupakan aturan global yang akan mengatur perubahan keadaan setiap sel. Tidak ada batasan aturan apa yang harus dipakai, semuanya terserah pada pengimplementasi CA. Tidak ada batasan pula apakah setiap sel harus mengikuti aturan yang sama. 4.3 Interaksi Tetangga Faktor lain yang mempengaruhi keadaan sel pada masa mendatang adalah keadaan sel tetangga. Sebelum menentukan keadaan sel berikutnya, sel akan memeriksa keadaan sel tetangganya, dan berubah sesuai dengan aturan perubahan. Tidak ada batasan jarak dan bentuk interaksi tetangga. 4.4 Dunia (World) Dunia sebenarnya merupakan hasil gabungan antara sel, aturan perubahan dan interaksi tetangga. Secara sederhana, dunia bisa dibayangkan sebagai tempat tinggal tiap sel. Di dunia inilah sel berinteraksi dengan sel tetangga, dan mengikuti aturan hidup (aturan perubahan) yang telah ditentukan. 5. MODEL SIR PADA ODE Model SIR menggolongkan individu menjadi 3 golongan sesuai dengan statusnya: rentan penyakit (S = Susceptible), terinfeksi (I = Infected), dan kebal/sembuh (R = Removed). [2] Model SIR ini paling sering diterapkan pada Ordinary Differential Equation (ODE) yang menggunakan model deterministic. Model berjalan secara kontinyu, tidak diskret. Tidak ada faktor keacakan di sini, sehingga kondisi awal yang sama akan memberikan keluaran yang sama pula. Kecepatan penyebaran infeksi dapat dilambangkan sebagai βsi, dengan β adalah parameter infektivitas, atau penularan penyakit. Individu yang terinfeksi diasumsikan bisa sembuh dengan probabilitas ri, dengan r adalah konstanta kesembuhan per kapita. Hasil simulasi dari penerapan metode ini digambarkan pada kurva berikut: Gambar 4 Hasil simulasi model SIR menggunakan ODE [2] 6. MODEL SIR PADA CA Salah satu bentuk implementasi lain dari model SIR adalah penggunaan metode CA. Jika pada ODE simulasi berjalan secara kontinyu, maka pada CA model bersifat diskrit. Namun CA memiliki kelebihan yaitu mampu memperhitungkan faktor-faktor spasial. 6.1 Definisi Cell (Sel) Yang dimaksud sebagai sel di sini adalah sel otomata, bukan sel biologis. Setiap sel mampu menampung beberapa individu. Bentuk sel yang dipakai adalah persegi. Setiap sel memiliki atribut antara lain: - kapasitas maksimum populasi - jumlah populasi - jumlah populasi individu rentan penyakit - jumlah populasi individu terinfeksi - jumlah populasi individu sembuh (kebal infeksi) 6.2 Definisi World (Dunia) Dunia adalah sekumpulan sel yang disusun saling berjajar dalam array 2 dimensi 100 x 100. Dunia ini dibatasi oleh pembatas yang tidak dapat dilewati. Jadi individu-individu yang tinggal di dalam sel tidak mungkin berpindah ke luar dunia. Dunia juga mengandung parameter-parameter yang digunakan untuk mengevolusikan sel. 6.3 Parameter Gambar 3 Skema dasar model SIR [2] Jarak Intereaksi Tetangga Parameter ini akan menentukan seberapa jauh sebuah sel akan memeriksa keadaan sel tetangganya untuk mendapatkan informasi. 3

4 Besarnya area yang merupakan sebuah daerah interaksi tetangga ditentukan dari rumus berikut: 2 n = ( 2 r + 1 ) (3.1) n : Jumlah sel dalam daerah interaksi tetangga r : Jarak/radius interaksi tetangga Ada dua macam radius yang dipakai dalam simulasi ini, yaitu radius pergerakan dan radius infeksi. Radius pergerakan menentukan jarak maksimal yang mampu ditempuh oleh individu untuk berpindah ke sel lain. Sedangkan radius infeksi menentukan jarak maksimal virus mampu bepergian di luar tubuh inang untuk berpindah ke tubuh inang yang ada di sel lain Probabilitas Pergerakan Parameter ini mengatur kemungkinan seorang individu untuk berpindah dari sel yang ia tempati ke sel lain yang masih dalam satu wilayah interaksi tetangga Probabilitas Imigrasi Yang dimaksud imigrasi pada pemodelan ini adalah proses masuknya 1 atau lebih individu rentan penyakit yang sebelumnya belum ada di dunia, ke dalam sebuah sel yang masih belum penuh. Parameter ini mengatur kemungkinan terjadinya imigrasi pada tiap sel Probabilitas Kelahiran Parameter ini mengatur tingkat kelahiran untuk tiap sepasanga individu. Kelahiran bisa terjadi dari semua kombinasi pasangan individu yang terinfeksi, rentan penyakit, atau individu yang kebal. Namun individu yang baru dilahirkan selalu rentan penyakit Probabilitas Kematian Nilai dari parameter ini akan menentukan kemungkinan individu akan mati karena sebuah sebab, di luar efek penyakit. Parameter ini akan mempengaruhi semua jenis individu, baik yang telah terinfeksi, rentan penyakit atau kebal Probabilitas Keganasan Virus Kemampuan seberapa cepat virus untuk membunuh korbannya diatur dalam nilai parameter ini Probabilitas Infeksi Kontak Parameter ini mengatur kemungkinan individu rentan penyakit dapat tertular bila dalam sel yang dihuninya terdapat individu yang terinfeksi. Setiap individu dalam sebuah sel diasumsikan mempunyai kesempatan yang sama untuk melakukan kontak, sehingga mempunyai kemungkinan yang sama pula untuk tertular penyakit Probabilitas Infeksi Vektor Virus mampu berpindah ke individu rentan penyakit di sel lain. Nilai awal dari probabilitas ini ditentukan lewat p 0. Sedangkan nilai aktualnya, p a, merupakan fungsi dari p 0 dan kepadatan individu dalam sebuah daerah interaksi tetangga. s p a c = (3.2) p 0 p a : nilai aktual probabilitas infeksi vektor p 0 : nilai awal probabilitas infeksi vektor s : jumlah individu rentan penyakit c : total kapasitas maksimal sel Probabilitas Infeksi Spontan Individu dalam sel dapat saja tiba-tiba terinfeksi oleh virus, tanpa ada individu lain yang menulari. Nilai dari parameter mengatur kemungkinan terjadinya hal tersebut, dan biasanya nilainya amat kecil Probabilitas Sembuh Nilai dari parameter ini mengatur kemungkinan sembuhnya individu terinfeksi. Individu yang sembuh akan berubah statusnya menjadi individu yang kebal dan sudah tidak berkontribusi lagi dalam hal penularan virus Probabilitas Kembali Rentan Sebagai efek dari mutasi virus, maka seseorang yang telah kebal penyakit tertentu dapat pula terserang kembali dengan penyakit yang sama. Nilai ini mengatur kemungkinan individu yang telah kebal kembali menjadi individu yang rentan penyakit 6.4 Algoritma Evolusi Sel Evolusi sel dibagi menjadi dua tahap, yaitu tahap perpindahan individu dan tahap perubahan keadaan individu Tahap Perpindahan Individu Langkah-langkah tahap ini dirumuskan sebagai berikut: 1. Pilih sel pertama dalam dunia 2. Untuk tiap individu di sel tersebut, jika nilai acak > nilai probabilitas perpindahan, 4

5 pilih satu sel tujuan dan pindahkan individu tersebut jika sel tujuan tidak penuh. 3. Jika bukan sel terakhir, pilih sel berikutnya dan kembali ke langkah 2. Jika sel terakhir, selesai Tahap Perubahan Keadaan Individu Langkah-langkah tahap ini adalah: 1. Pilih sel pertama dalam dunia 2. Hitung kematian alami dalam sebuah sel. Parameter yang dipakai adalah probabilitas kematian. 3. Hitung kematian akibat penyakit. Parameter yang dipakai adalah keganasan virus. 4. Hitung kelahiran dalam sebuah sel. Parameter yang dipakai adalah probabilitas kelahiran 5. Hitung pertambahan populasi akibat imigrasi. Parameter yang dipakai adalah probabilitas imigrasi. 6. Hitung kejadian infeksi via kontak. Parameter yang dipakai adalah probabilitas infeksi via kontak. 7. Hitung kejadian infeksi vektor. Parameter yang dipakai adalah probabilitas infeksi vektor dan radius interaksi tetangga untuk jarak penularan. 8. Hitung kejadian infeksi spontan. Parameter yang dipakai adalah probabilitas infeksi spontan. 9. Hitung individu terinfeksi yang sembuh dari penyakit. Parameter yang dipakai adalah probabilitas sembuh. 10. Hitung individu kebal yang kembali rentan. Parameter yang dipakai adalah probabilitas kembali rentan. 11. Jika bukan sel terakhir, pilih sel berikut dan kembali ke langkah 2. Jika sel terakhir selesai. penyakit. Namun sebagai hasil dari sembuhnya individu yang sakit dan kekebalan yang diperoleh, jumlah individu terinfeksi mulai turun dengan tajam dan mencapai keadaan endemik. Kurva pada tersebut mirip dengan apa yang diperlihatkan oleh model stochastic SIR Mathias Lindholm [5]. Gambar 5 Kurva rasio individu terinfeksi dengan total populasi untuk kontrol skenario 7.2 Uji Coba Parameter Uji coba yang dilakukan bertujuan untuk menguji kesesuaian model ini dengan teori epidemik yang telah ada. Parameter-parameter yang diuji merupakan parameter yang tidak bersifat spasial, yaitu probabilitas kembali rentan dan keganasan virus Uji Coba Parameter Kembali Rentan Tingkat kekebalan pada suatu populasi berperan besar dalam mencegah meluasnya suatu perjangkitan penyakit menjadi sebuah epidemik berskala besar. Durasi kekebalan yang didapatkan mungkin bervariasi antara satu orang dengan yang lain dan antara virus satu dengan yang lain, tergantung pada mutasi virus. Uji coba bertujuan untuk melihat bagaimana durasi kekebalan dapat diimplementasikan dalam model CA. 7. HASIL UJI COBA 7.1 Kontrol Skenario Pertama-tama uji coba dilakukan untuk mengetahui kecocokan dengan hasil pemodelan lain yang telah umum digunakan, pada kasus ini adalah model ODE. Setelah itu barulah uji coba kontrol skenario dilakukan. Kontrol skenario digunakan sebagai acuan dan kontrol pada uji coba-uji coba selanjutnya. Kurva yang dihasilkan pada kontrol skenario ini akan sering dilihat pada uji coba selanjutnya. Kenaikan awal dari jumlah individu yang terinfeksi adalah hasil dari serangan virus pada populasi awal yang sepenuhnya rentan Gambar 6 Rasio populasi terinfeksi ujicoba parameter kembali rentan untuk ketiga nilai parameter. 5

6 Dari kurva tersebut dapat dilihat bahwa semakin tinggi nilai parameter probabilitas kembali rentan mengakibatkan semakin lamanya waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak dan semakin tinggi pula puncaknya. Ini adalah hasil yang telah diperkirakan, karena parameter ini mengatur seberapa cepat jumlah individu yang kembali rentan dari keadaan kebal. Semakin banyak individu yang kembali rentan, semakin banyak pula individu yang potensial sebagai inang virus Uji Coba Parameter Keganasan Virus Keganasan virus meggambarkan seberapa cepat virus mampu membunuh korbannya. Uji coba berikut ini bertujuan untuk melihat apakah CA mampu memodelkan virus yang memiliki kecepatan tinggi untuk membunuh korbannya. Gambar 7 Kurva rasio populasi terinfeksi dengan keganasan tinggi. Gambar 8 Dunia buatan dengan kota dan jalan. Setiap sel memiliki kapasitas maksimal 20 orang. Ada tiga sel yang dianggap pusat kota memiliki kapasitas penuh. Pada dua kota di antaranya, yaitu di kiri atas dan kanan bawah, terdapat individu terinfeksi dengan rasio 1:10 terhadap total jumlah penduduk kota. Garis biru muda yang melintang dan membujur melambangkan tempat di mana jalan raya terletak. Daerah ini memiliki populasi 10 individu per sel. Sedangkan di luar daerah jalan raya tersebut telah dihuni oleh 8 orang individu. Untuk daerah lainnya dianggap berpenghuni 1. Dari gambar hasil uji coba dapat dilihat epidemik cenderung menyebar mengikuti garis kepadatan populasi. Pada iterasi ke 100 dapat dilihat infeksi yang bersumber dari kota kiri atas telah mencapai kota di kiri bawah. Sedangkan bahkan di iterasi 150 ketika infeksi kota kiri atas telah mencapai semua batas dunia, infeksi dari kota kanan bawah sama sekali belum mendekati kota kiri bawah Virus yang mampu membunuh korbannya dengan cepat, tidak memiliki kemampuan untuk menyebarkan dirinya kepada banyak individu yang lain. Hal ini dapat dilihat dari nilai puncak kurva yang jauh lebih rendah daripada yang nilai diberikan pada kurva kontrol skenario. Sedangkan bentuk kurva yang beramplitudo besar dan berulang ini disebabkan karena banyaknya kematian yang terjadi pada satu waktu tertentu. Perioditas macam ini pernah diobservasi pada epidemik yang terjadi pada Kepulauan Faroe [7]. 7.3 Uji Coba Spasial Uji coba ini menunjukkan bagaimana CA mempu memodelkan perilaku spasial dari epidemik Uji Coba Koridor Penyebaran Uji coba kali ini bertujuan untuk mensimulasikan dunia nyata dengan pusat kota dan jalan raya. Gambar 9 Hasil ujicoba koridor penyebaran. Infeksi dari kota kiri atas 6

7 mampu mencapai jarak yang lebih jauh daripada kota kanan bawah Uji Coba Penghalang Penyebaran Salah satu cara untuk membatasi penyebaran penyakit ialah dengan cara membatasi penularan virus ke daerah lain. Pada kasus penyakit kaki dan mulut yang menyerang ternak di Inggris Raya, hal ini dilakukan dengan cara pemusnahan ternak. Uji coba kali ini bertujuan untuk melihat apakah hal tersebut dapat disimulasikan dengan model CA. Gambar 10 Kondisi awal dunia uji coba penghalang penyebaran. Gambar tersebut menggambarkan sebuah dunia di mana peternakan berada. Peternakan di sebelah kiri atas dan kanan bawah telah terinfeksi penyakit sehingga harus dikurung dengan penghalang. Penghalang ditunjukkan dengan area berwarna hitam, dan merupakan sel yang berkapasitas nol sehingga tidak ada individu satu pun di sana. Ketebalan penghalang antara peternakan kiri atas dan kanan bawah dibuat berbeda. Perbedaan ini dibuat agar infeksi mampu menyebar di perternakan yang berpenghalang tipis, namun tidak mampu menembus penghalang tebal pada peternakan lainnya. Pada peternakan di sebelah kanan bawah, virus mampu menembus pengahalang dan menyebar ke daerah di sekitarnya. Sedangkan pada peterenakan kiri atas infeksi tidak mampu menyerang daerah sekitar karena tebalnya pengahalang yang mengelilingi daerah tersebut. Pada iterasi ke 75 dapat dilihat pula walaupun daerah di sekitar peternakan kiri atas sedang terjadi epidemik berskala besar, namun daerah tersebut tidak terpengaruh. Penghalang di peternakan kiri atas menyebabkan virus tidak mampu masuk dan keluar dari daerah yang dikurungnya. Gambar 11 Hasil uji coba koridor penyebaran. Virus mampu menembus penghalang peternakan kanan bawah, sedangkan infeksi dari peternakan kiri atas tidak mampu keluar dari tebalnya penghalang. 8. KESIMPULAN 8.1 Kesimpulan Uji Coba Kontrol Skenario Uji coba kontrol skenario ini dilakukan dengan tujuan untuk menggantikan pencocokan hasil pemodelan dengan data kasus nyata. Hasil percobaan bahwa model ini mampu memberikan hasil yang sesuai dengan pemodelan SIR sebelumnya yang menggunakan ODE dan model stochastic. Kemudian kurva hasil dari kontrol skenario digunakan sebagai acuan dan kontrol uji coba selanjutnya. 8.2 Kesimpulan Uji Coba Parameter Uji coba ini dilakukan untuk melihat efek lokal dari parameter-parameter epidemik. Dua parameter yang dipilih adalah probabilitas kembali rentan dan keganasan virus. Hasil uji coba parameter epidemik ini ternyata sesuai dengan teori epidemik pada umumnya. 7

8 8.3 Kesimpulan Uji Coba Spasial Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk melihat kemampuan CA untuk memodelkan epidemik dengan memperhatikan faktor-faktor spasial seperti variasi kepadatan populasi. Hasil dari uji coba ini menunjukkan kelebihan CA yang tidak dimiliki model sebelumnya. Walaupun pencocokan dengan data spasial dari kasus nyata masih diperlukan, namun pada umumnya hasil dari uji coba ini telah sesuai dengan teori epidemik. DAFTAR PUSTAKA [1] Billings, Molly, The Influenza Pandemics of 1918, Web Page, 2008, [2] Děbarre, Florrence, SIR models of epidemics, Institute of Integrative Biology, ETH Zűrich, /sir.pdf [3] Dubos, Rene and Pines, Maya, Health and Disease, Time Life Inc., [4] Fu, Shih Ching, Modelling Epidemik Spread Using Cellular Automata, School of Computer Science and Software Engineering, The University of Western Australia, [5] Lindholm, Mathias, Stochastic epidemic models for endemic disease: the effect of population heterogenities, Department of Mathematics, University of Stockholm, [6] Mollison, Dennis, The Strucure of Epidemics Model, Cambridge University Press, [7] Rhodes C. J., Jensen H. J., Anderson R. M., On the critical behaviour of simple epidemiks, Department of Zoology, University of Oxford. [8] Tuen W. N., Gabriel T., and Antoine D., A double epidemik model for the SARS propagation, BioMed Central, nder.fcgi?artid=222908, September [9] Wikipedia, Virus, Web Page, 2008, [10] Wolfram Mathworld, Cellular Automaton, Web Page, 2008, omaton.html 8