PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK Oleh: ERYTA SANNELLA G543 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 6

2 ABSTRAK ERYTA SANNELLA. Penyelesaian masalah data survival dengan menggunakan metode nonparametrik. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI. Dalam kehidupan sehari-hari manusia tidak bisa lepas dari waktu. Banyak contoh-contoh kegiatan manusia yang berhubungan dengan waktu, seperti lamanya penyakit yang diderita seseorang hingga sembuh, angka waktu lulusan suatu universitas hingga mendapatkan pekeraan dan lain-lain. Data tentang pengamatan angka waktu dari awal pengamatan sampai teradinya suatu peristiwa (survival time) disebut data survival. Dalam data survival ada data tersensor ada uga data yang tidak tersensor. Untuk menganalisis dan mencari tingkat survival data-data tersebut diperlukan suatu metode yang sesuai. Untuk data tidak tersensor tingkat survival dari setiap individu dapat dicari dengan menggunakan persamaan : t dibagi umlah individu dalam suatu himpunan. n t S ( t) = yaitu rasio dari umlah individu dengan tingkat survival N i Untuk data tersensor dimana data tidak dapat diamati secara utuh, digunakan beberapa metode nonparametrik yaitu Life Table dan Kaplan Meier. Untuk membandingkan antar dua grup dalam survival data digunakan ui Logrank dan ui Wilcoxon. Contoh kasus yang dibahas adalah pengaruh enis kelamin dan kandungan protein pada darah dalam menentukan tingkat survival pada pasien multiple myeloma.

3 PENYELESAIAN MASALAH DATA SURVIVAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE NONPARAMETRIK Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh : ERYTA SANNELLA G543 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 6

4 Judul : Penyelesaian Masalah Data Survival dengan Menggunakan Metode Nonparametrik Nama : Eryta Sannella Nrp : G 543 Menyetuui: Pembimbing I Pembimbing II Dr.Ir. Hadi Sumarno, MS. NIP Ir. Retno Budiarti, MS. NIP Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP Tanggal Lulus :

5 PRAKATA Pui syukur penulis curahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat dan nikmat sehat asmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai permasalahan muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: Pak Hadi, selaku pembimbing yang selalu sabar mendidik, membimbing, memberikan ilmu sehingga saya bisa menyelesaikan tugas akhir ini. Bu Retno selaku pembimbing yang senantiasa memberi masukan dan senyumnya sangat membangun semangat saya. Pak wayan yang telah bersedia menadi pengui saya, yang telah memberikan masukan, sehingga skripsi ini bisa mendekati sempurna. Papa, Ibu ananda ingin memberikan yang terbaik buat kalian. Terima kasih telah membuat ananda menadi lebih dewasa, berbesar hati, sabar, dan tegar menghadapi semua masalah dalam hidup, terima kasih uga atas dukungan, doa, semangat serta kasih sayang hingga ananda bisa menyelesaikan tugas akhir ini. Nden, K en, Cia mama, Oeng, terima kasih atas doa, dukungan serta semangatnya. Keponakan-keponakanku tercinta Puput, Abang Dwi, dan Fadel tetaplah ceria, tegar, serta siapkan diri menghadapi hari esok. Keluarga Bekasi : Mama, Papa, Eryt bangga punya keluarga baru penuh dengan kasih sayang seperti kalian. Nda, Mey, Dd, Kk, Tania, terima kasih atas doa dan dukungannya Bang Henry (Pi_ku) sandaran hatiku, terima kasih selalu ada saat Mi senang, susah, sedih, dikala Mi ngerasa sendiri, saat atuh kamu selalu memberikan semangat serta motivasi baru untuk Mi bangun lagi, kamu telah memberikan warna dalam hidup Mi, kamu mengaarkan untuk selalu bersabar, lebih dewasa menghadapi semua masalah, terima kasih atas semua kasih sayang, cinta, semangat, dan Doanya hingga Mi bisa menyelesaikan tugas akhir ini. Berikan yang terbaik buat Andryta. Sahabat-sahabatku: Dina,Avie, Ade, Arif, Febi, Ardi, Noyta, Tikha, Mere yang telah memberikan semangat, keceriaan, dukungan dan doa. Terima kasih atas persahabatan ini. Sahabat-sahabatku di Bengkulu: Kiki, atas dukungan, keceriaan, tempat ku berbagi keluh kesah, Ayo Semangat!!. Wiska, Yova,Iis, persahabatan yang dari kecil teralin tidak akan pernah retak, terima kasih semangat dan doanya. Temen-temen Padasuka : Yuni, Wida, Mithonki, Ionki, Ana, Rina, Tia, Yendul, Mba Edith, Dina, Nana, Fanie, dll. Tetep aga kekompakan dan keceriaan Padasuka. Math 39, yang tidak bisa disebutkan satu per satu, selama 4 tahun ini, kalian telah mengaarkan hal baru terima kasih semuanya. Math 38, Math 4, Math 4, Ayo semangat!!. Staf dan karyawan Tata Usaha Departemen Matematika terima kasih atas kemudahan administrasi, dukungan dan Doanya. Bu Susi yang sangat membantu mengurus segala administrasi pengeluaran SKL, terima kasih bu. Dan semua pihak yang ikut terlibat dalam penyelesaian tugas akhir ini penulis ingin mengucapkan terima kasih. Besar harapan penulis agar karya ilmiah ini akan dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya. Bogor, September 6 Eryta Sannella

6 RIWAYAT HIDUP Eryta Sannella lahir di Kota Kepahiang, Bengkulu pada tanggal april 984. Penulis merupakan putri ke empat dari pasangan Mustadi Akir dan Nurlela Wati yang bertempat tinggal di alan raya Desa durian Depun No.37 Curup-Bengkulu. Pada tahun penulis lulus dari Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri I Curup. Setelah itu penulis mencoba mendaftar alur Uian Seleksi Masuk IPB (USMI) yang diadakan sekolah. Pada waktu itu penulis memilih Program Studi Matematika sebagai pilihan kedua dan Program Studi Ilmu Komputer sebagai pilihan pertama, dan akhirnya penulis bisa lolos dalam seleksi itu dan menadi mahasiswa Departemen Matematika IPB Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 3/4.

7 Untuk Papa, Ibu, dan Keluarga tercinta, Bang Henry dan semua Orang yang Kusayangi.

8 DAFTAR ISI Halaman Daftar Tabel... ii Daftar Grafik... ii Daftar Lampiran... ii I PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Permasalahan....3 Tuuan... II LANDASAN TEORI. Data Survival.... Data Tersensor..... Sensor Titik..... Sensor Selang... III PEMBAHASAN 3. Contoh Data Survival Fungsi Survivor... 4 a.data Tidak Tersensor... 5 b.data Tersensor Metode Life Table Metode Kaplan-Meier Fungsi Hazard Membandingkan Dua Grup Dalam Survival Data... IV CONTOH KASUS... 3 SIMPULAN... 5 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6

9 DAFTAR TABEL Halaman Contoh Data Lengkap... 4 Contoh Data Tidak Lengkap Life Table Penduga Fungsi Survivor dari 48 Pasien multiple myeloma Life Table Penduga Fungsi Hazard dari 48 pasien multiple myeloma Standard Error dan Selang Kepercayaan... 6 Jumlah Kematian Pada Waktu Kematian Pada Masing-masing Grup... DAFTAR GRAFIK Halaman Jenis-Jenis Sensor Titik... Survival Times Life Table Fungsi Survivor Life Table Fungsi Hazard Standard Error... 6 Selang Kepercayaan... DAFTAR LAMPIRAN Halaman Data survival times dari 48 pasien multiple myeloma... 7 Penghitungan Penduga Kaplan-Meier dari fungsi survivor untukdata 48 pasien multiple myeloma Penghitungan Penduga Kaplan-Meier dari fungsi hazard untuk data 48 pasien multiple myeloma Grafik Penyelesaian dari fungsi survivor dan fungsi hazard... 5 Penghitungan V data 48 pasien multiple myeloma untuk Jenis kelamin... 6 Grafik Tingkat Survivor untuk enis kelamin... 7 Penghitungan V data 48 pasien multiple myeloma atas kandungan... 3 Proteinnya. 8 Grafik tingkat survival untuk kandungan Protein Penghitungan V data 48 pasien multiple myeloma untuk enis kelamin... 5 Penghitungan V untuk Kandungan protein... 6 Grafik fungsi Survivor Data 48 pasien multiple myeloma... 7

10 I PENDAHULUAN. Latar belakang Dalam kehidupan sehari-hari banyak diumpai masalah-masalah yang berhubungan dengan waktu, seperti lamanya penyakit yang diderita seseorang hingga sembuh, angka waktu lulusan suatu universitas menganggur sampai mendapatkan pekeraan dan lain-lain. Waktu pengamatan tersebut adalah faktorfaktor yang mempengaruhi keadian yang dipandang sebagai variabel independent. Data tentang pengamatan di atas disebut sebagai data survival. Data survival adalah data tentang angka waktu dari awal pengamatan sampai teradinya suatu peristiwa (survival time). Untuk mengamati data survival yang umumnya tidak dapat diamati secara utuh (censored), diperlukan suatu analisis yaitu analisis survival. Ada dua enis sensor dalam data survival yaitu sensor titik dan sensor selang. Dikatakan sensor titik ika waktu keadian (failure time) dapat diamati secara tepat, sedangkan sensor selang adalah pengamatan waktu keadian hanya dapat diamati pada selang tertentu. Data survival biasa digunakan dalam berbagai bidang seperti : (i) dalam bidang kedokteran : lamanya waktu penderita kanker bertahan hidup atau waktu ketahanan hidup yaitu waktu sampai tibanya kematian, (ii) dalam rancangan berbagai percobaan : waktu dari mulai pemberian suatu perlakuan sampai teradinya respon, (iii) dalam bidang ekonomi: berkaitan dengan lamanya menganggur, atau waktu yang diperlukan oleh seorang sales untuk menual seumlah barang tertentu, (iv) dalam bidang kependudukan : lamanya seorang gadis mendapatkan odoh, (v) dalam bidang industri: lamanya suatu unit atau beberapa komponen bertahan sampai rusak dan lain-lain.. Permasalahan Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah pendataan, adanya data yang tidak dapat diamati secara utuh, sehingga perlu menggunakan metode lainnya yang lebih sesuai..3 Tuuan Tuuan penulisan karya ilmiah ini adalah:. Melakukan analisis data survival dengan menggunakan metode nonparametrik Life Table dan Kaplan Meier.. Membandingkan antar dua kelompok survival data dengan menggunakan ui Logrank dan ui Wilcoxon. II LANDASAN TEORI Definisi [ Data survival ] Data survival adalah data tentang pengamatan angka waktu dari awal pengamatan sampai teradinya suatu peristiwa (survival time), peristiwa itu dapat berupa kegagalan, kematian, respon, timbulnya geala dan lain-lain.. Waktu awal yaitu waktu pada saat teradinya keadian awal, seperti waktu seseorang divonis menderita kanker, waktu pemberian perlakuan, dan lain-lain.. Waktu kegagalan yaitu waktu pada saat teradinya keadian akhir seperti kematian, respon dari perlakuan dan lain-lain. Data survival dapat diamati secara lengkap (data tidak tersensor) dan tidak lengkap (data tersensor). (Lee 99) Definisi [ Data tersensor ] Data tersensor adalah data yang tidak bisa diamati secara utuh, karena adanya individu yang meninggal pada saat pengamatan atau adanya individu yang hilang ataupun dengan alasan lain, sehingga tidak dapat diambil datanya. (Lee 99) Definisi 3 [ Sensor titik ] Sensor titik adalah salah satu enis sensor terhadap obek yang diamati mulai dari waktu T sampai T dan selama itu obek dapat dimonitor secara kontinu dan waktu keadian dapat dilihat dengan baik. Sensor titik (Point censoring) terdiri dari : a. Sensor kanan : - sensor kanan enis I; tersensor karena tidak mengalami keadian sampai akhir masa observasi ( B ).

11 - Sensor kanan enis II; tersensor karena tidak bisa mengikuti observasi sampai akhir akibat adanya keadian lain di luar yang menadi perhatian ( C ). b. Sensor kiri ( D ) c. Sensor kiri dan kanan (E ) d. Sensor kanan secara lengkap ( F ) e. Sensor kiri secara lengkap ( G ) (Lee 99) Berikut Grafik Penelasan Sensor Titik A * B * C D * E * F * G * T T Grafik Jenis-enis sensor titik Pada Grafik garis yang ada dapat diamati secara kontinu. Dalam hal ini melambangkan periode resiko untuk setiap obek. Garis yang diakhiri dengan tanda bintang (*) menandakan adanya sebuah keadian (event) yang menadi perhatian pada obek amatan. Sementara garis yang diakhiri dengan sebuah lingkaran (o) mengindikasikan adanya keadian lain di luar yang menadi perhatian. Berdasarkan Grafik, periode resiko obek A berada dalam periode observasi dan obek C disebut tersensor kanan enis II. Jika kasus B dan C menggambarkan sensor kanan, maka obek D menelaskan sebuah kasus tentang data tersensor kiri. Sebuah masalah bisa teradi misalnya ketika obek amatan dalam studi AIDS sudah terkena HIV- seropositive saat didaftar dan variabel waktu yang menadi perhatian adalah periode inkubasi dari AIDS. Pada situasi lain, seperti obek E observasi tersensor kiri dan kanan event diketahui, oleh karena itu tidak ada sekaligus. Misalnya pada kasus AIDS, peristiwa sensor disini. Obek B, periode resiko dimulai di dalam periode observasi tetapi tidak ada keadian sampai berakhirnya observasi. Event teradi setelah observasi berakhir, melewati waktu T. Dalam hal ini obek B tersensor kanan enis I. Pada obek C, observasi uga tersensor sebelah kanan tetapi sesorang sudah terkena HIV- seropositive pada saat didaftar tetapi sampai akhir studi masih bebas dari AIDS. Dalam beberapa aplikasi, sering kali waktu awal dan waktu akhir dari suatu keadian teradi sebelum waktu observasi dimulai atau setelah waktu observasi selesai. dengan alasan yang berbeda dari obek B, Obek F dan G pada Grafik Obek B tersensor karena berakhirnya studi. Obek C tersensor karena mengalami keadian luar yang menadi perhatian dan tidak dapat mengikuti observasi sampai akhir akibat menggambarkan kasus sensor yang dikenal sebagai sensor kanan secara lengkap dan sensor kiri secara lengkap. (Leung et. al. 997) adanya keadian lain, keadian lain yang menadi perhatian seperti pasien menghilang, atau pindah ke negara lain sehingga tidak Definisi 4 [ Sensor selang ] Sensor selang adalah salah satu enis sensor terhadap suatu obek yang diamati

12 mulai dari waktu T sampai T dan selama itu obek diamati pada titik-titik tertentu sehingga pasien yang diamati tidak dapat dimonitor secara kontinu. a. Tersensor di salah satu sisi, kiri atau kanan. b Tersensor di kedua sisi, kiri maupun kanan. Pada beberapa aplikasi, waktu teradinya keadian akhir tidak diketahui secara pasti. Informasi yang tersedia adalah bahwa keadian (event) dilakukan secara periodik, yaitu pengamatan terhadap obek tidak dilakukan secara kontinu tetapi dalam selang waktu tertentu, misalnya satu tahun sekali. Hal ini mengakibatkan obek tidak dapat dimonitor secara penuh dan waktu teradinya keadian akhir tidak bisa ditentukan secara tepat. Contoh sensor selang misalnya ada delapan wanita yang berusia 5 tahun yang berada dalam masa post-menopausal, mereka mulai memeriksakan dirinya tahun sekali untuk kemungkinan berkembangnya kanker payudara (yearly mammograms). Dalam hal ini waktu kegagalannya adalah saat mulai terdeteksi kanker payudara pada wanita tersebut. Pemeriksaan dilakukan selama tahun. Interval yang menunukkan saat wanita tersebut terdeteksi adanya kanker payudara (sensor selang) adalah ( 55,56], ( 58, 59], (5,53], (59,6], 6, 6, 6, 6. ( Klein dan Moeschberger 997 ) Definisi 5[ Fungsi survivor ] Fungsi ketahanan (survivor function) atau S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami keadian sesudah waktu t) yang didefinisikan sebagai berikut: S( t) = P( T t) variabel acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f (t): ds( t) f ( t) = dt (Collet 994) Definisi 6 [ Fungsi hazard ] Fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang meninggal pada waktu t dengan syarat bahwa seseorang itu telah bertahan hidup hingga waktu t, fungsinya diberikan: h( t) = P t T t + δt T t ( ) ( Collet 994) Definisi 7 [ Metode parametrik ] Metode parametrik adalah metode analisis yang memiliki asumsi sebaran. Misalnya data yang diamati menyebar normal, menyebar binom dan lain-lain. (Hogg dan Craig 995) Definisi 8 [ Metode nonparametrik ] Metode nonparametrik adalah metode analisis yang tidak berdasarkan asumsi sebaran tertentu. Sehingga perlu dicari metode yang sesuai untuk menganalisis data-datanya. (Hogg dan Craig 995) Definisi 9 [ Ui hipotesis ] Ui hipotesis adalah suatu aturan yang digunakan untuk menerima atau menolak suatu hipotesis dari hasil amatan yang diperoleh. Hipotesa mengenai populasi yang akan kita terima kebenarannya sampai ada bukti untuk menolaknya dinamakan hipotesis nol (null hypothesis/ H ). Apabila hipotesis ini ditolak kebenarannya, maka ada hipotesis lain yang kita anggap benar, yaitu hipotesis tandingan (Alternative hypothesis/ H ). Dalam perumusan H dikenal dua macam hipotesis yaitu : a. Hipotesis eka arah. H : µ µ. H : µ µ H : µ µ b. Hipotesis dwi arah H : µ = µ > H µ < µ H : µ µ Untuk menolak atau menerima hipotesis nol maka terlebih dahulu ditentukan taraf nyata α. Taraf nyata adalah peluang menolak hipotesis nol saat hipotesis nol benar (signifikan). Hipotesis ditolak pada saat berada di daerah kritis yang disebut sebagai daerah penolakan H. (Hogg dan Craig 995) Definisi [ Selang kepercayaan ] Selang kepercayaan adalah selang yang dapat dipercaya pada nilai µ tertentu. Contoh µ, σ diketahui: Bila X adalah nilai tengah contoh acak beukuran n, yang diambil dari suatu populasi dengan ragam σ diketahui, α % bagi maka selang kepercayaan ( ) µ adalah : σ X Z < µ < X + Z α α n : σ n

13 Selang Z α adalah nilai yang luas daerah disebelah kanan dibawah kurva normal baku adalah α. (Walpole 995) III PEMBAHASAN 3. Contoh Data Survival Data-data yang termasuk dalam data survival memenuhi empat informasi yang harus diperoleh :. Waktu keadian (failure time) pasien. Jumlah obek yang diamati n 3. Banyaknya obek yang meninggal d 4. Banyaknya obek yang tersensor c Jika c =, disebut dengan pengamatan secara lengkap, kemudian sebaliknya ika c disebut dengan data survival tersensor. Tabel Contoh Data Lengkap Waktu n d S( t ) Tabel Contoh Data Tidak Lengkap Periode Waktu d c n Untuk mengambil atau mengamati suatu data kita perlu populasi atau contoh yang akan diadikan obek. Dalam melihat atau menganalisis suatu sample ada dua metode yang biasa digunakan yaitu metode parametrik dan metode nonparametrik. Dalam karya ilmiah ini hanya dibahas penyelesaian masalah data survival dengan menggunakan beberapa metode nonparametrik untuk data tersensor maupun data tidak tersensor. 3. Fungsi Survivor Fungsi ketahanan (survivor function) atau S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami keadian sesudah waktu t). S( t) = P( T t) (3.) dengan = p( T t) = F( t) t F( t) = P( T t) = f ( u) du F(t) adalah fungsi sebaran kumulatif. Misalkan T menyatakan waktu keadian atau waktu kematian, maka T dapat dipandang sebagai suatu variabel acak nonnegatif. Fungsi variabel acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f (t) : ds( t) f ( t) = dt Teorema : Jika fungsi survivor S( t) = P( T t) maka dapat ditunukkan bahwa fungsi kepekatan peluang dari T adalah: ds( t) f ( t) = dt Bukti: S( t) = f ( x) dx t karena f ( x) dx + f ( x) dx = t t maka: S( t) = f ( x) dx, t d[ f ( x) dx] d[ S( t)] = dt dt ds( t) df( t) = dt dt ds( t) = df( t) t ds( t) = f ( t) dt ds( t) f ( t) = dt Terbukti 3

14 a. Data Tidak Tersensor Misalkan bahwa kita punya sampel tunggal dari survival times dimana tidak ada pengamatan yang tersensor. Maka penduga fungsi survivor dapat diberikan: n t S ( t) = (3.) N S( t ) : Penduga fungsi survivor n : Jumlah individu dengan waktu kelangsungan hidup t N i : Jumlah individu dalam suatu himpunan data i Contoh Diperhatikan dalam suatu studi dengan perlakuan yang lebih memusatkan pada paruparu metastasis yang berasal dari Osteosarcoma. Diberikan data survival times dalam hitungan bulan pada pasien laki-laki sebagai berikut : Dengan menggunakan persamaan (3.), perhitungan diberikan pada Tabel, nilai yang diduga dari fungsi survivor pada waktu,3,4,5, dan 7 adalah.,.99,.455,.73, dan.9. Nilai penduga S( t ) =,untuk t t(). Dari Tabel didapat Grafik survival times untuk pasien tersebut. Grafik Survival Times E stimated H azar d Functio n Survival Times b. Data Tersensor Metode dari pendugaan fungsi survivor yang digambarkan pada Contoh di atas tidak dapat digunakan ketika ada pengamatan yang tersensor. Sehingga diperlukan suatu metode yang sesuai untuk dapat menduga data tersebut. Diantara metode yang dapat digunakan untuk menduga data yang tidak lengkap adalah Life Table dan Kaplan Meier. 3.3 Metode Life Table. Langkah-langkah Penyusunan Life Table Penduga Survivor Function Metode Life Table penduga fungsi survivor dikenal uga sebagai Actuarial Estimate. Langkah-langkah penyusunannya sebagai berikut: Pertama dengan membagi periode dari pengamatan ke dalam beberapa interval misal ada m interval, =,,,m. Penentuan banyaknya angka kematian yang disimbolkan dengan d. Penentuan banyaknya data yang tersensor yang disimbolkan dengan c. Jumlah individu yang hidup dan beresiko untuk mati yang disimbolkan dengan n. Dengan asumsi bahwa proses sensor pada setiap interval teradi secara seragam dalam setiap interval, maka rata-rata dari umlah individu yang beresiko tersensor adalah: c n' = n (3.3) Dalam setiap interval, =,, m d peluang kematian dapat diduga dengan n ', bersesuaian dengan peluang kelangsungan hidup adalah (n d )/ n. Peluang bahwa individu yang bertahan lebih dari waktu awal hingga interval k bisa diduga dengan metode Life Table penduga fungsi survivor yang diberikan: k n' d S * ( t) = (3.4) = n' Untuk t k t < t' k +, : k=,,,m. S*( t) =,untuk t t dan S*(t)= untuk t t +. m Contoh Untuk menggambarkan penghitungan penduga Life Table di atas akan dilihat data dari 48 pasien multiple myeloma pada Lampiran. Dalam penggambaran ini informasi penelas lainnya diabaikan. Hasil perhitungan dari Contoh dengan metode Life Table penduga fungsi survivor disaikan pada Tabel 3. 4

15 Tabel 3 Life Table Penduga Fungsi Survivor Dari 48 Pasien multiple myeloma Interval Periode Waktu d c n n' ( n'-d ) / n' S*( t ) Dengan : d : Jumlah kematian c : Jumlah sensor n : Jumlah individu yang hidup dan beresiko untuk mati n : Rata-rata dari umlah individu yang beresiko tersensor S*(t) : Fungsi ketahanan. Penyaian dalam bentuk grafik dari Tabel 3 disaikan pada Grafik 3. Grafik 3 Life Table Fungsi Survivor E stimated S urvivo r Functio n Survival Times Dari Grafik 3 penduga Life Table fungsi survivor di atas dapat dilihat bahwa pada periode - yaitu waktu dimana pengamatan baru dimulai peluang seseorang bertahan hidup masih tinggi yaitu.65. Angka ini berangsur-angsur turun dengan meningkatnya waktu. Penurunan fungsi survivor pada awal pengamatan yang taam, disebabkan treatment belum berdampak pada pasien, sehingga angka kematian meningkat. Tingkat kematian rendah pada pertengahan pengamatan, namun setelah memasuki periode pengamatan ke 6- tingkat kematian meningkat yang disebabkan uga pengaruh umur. Penduga Life Table sesuai digunakan untuk situasi dimana waktu kematian sebenarnya tidak diketahui, dan informasi yang tersedia hanya umlah kematian dan umlah sensor yang diamati. Ketika survival times yang sebenarnya diketahui, penduga Life Table masih dapat digunakan seperti contoh data diatas, tetapi dalam pengelompokan dari survival times akan menghasilkan beberapa informasi yang hilang. 3.4 Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Survivor Pada prinsipnya perhitungan Kaplan Meier sama dengan perhitungan Life Table, perbedaannya pada Life Table penentuan selang interval dibuat dengan panang yang sama, adi waktu keadian (failure time) diabaikan, pada metode Kaplan Meier selang interval memuat kematian. Jadi setiap ada kematian dibuat interval. Misalkan r adalah waktu kematian antara individu-individu tersebut dengan r n. Peluang individu meninggal dalam setiap d interval diduga oleh. Penduga peluang n dari survival yang sesuai dengan interval itu n d adalah. Metode Kaplan Meier n penduga fungsi ketahanan diberikan oleh fungsi : k n d S( t) = n (3.5) = Untuk t t t + dan S( t ) = untuk t t(). k k Contoh 3 Untuk menggambarkan metode Kaplan Meier dari fungsi survivor, dengan menggunakan data yang sama pada metode Life Table. Lampiran menyaikan dugaan Kaplan Meier untuk fungsi survivor. 5

16 Perhatikan bahwa S( t) diduga pada waktu kematian. Pada minggu ke-5 5% pasien tidak mampu bertahan, tetapi tingkat survival masih tinggi yaitu.735. Setiap periode waktu dapat diamati peluang seseorang bertahan hidup, dengan nilai peluang yang semakin lama semakin mengecil. Pengaruh umur uga sangat besar pada tingkat survival.. Standar Error Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Survivor Penduga Kaplan Meier dari fungsi ketahanan untuk beberapa nilai t dalam interval dari t (k) sampai t ( k+) dapat ditulis menadi : ) k p = S ( t = (3.6) untuk k =,,,r dimana p = ( n d ) / n penduga dari peluang bahwa seseorang bertahan pada interval waktu yang dimulai dari t (), =,,,r. Untuk mempermudah perhitungan persamaan (3.6) diambil logaritmanya menadi: log S( t) = Dan ragam dari k = log p S(t) diberikan oleh: k var log S( t) = var log p = (3.7) Jumlah individu yang bertahan hidup pada interval yang dimulai pada waktu t () diasumsikan menyebar binom dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang kelangsungan hidup dalam interval. Dengan berlandaskan pada fungsi kepekatan peluang dari sebaran binom yang diberikan : n x ( x ) ( ) n x f ( x) = p p ; x =,,... dan ragam np ( p), karena nilai yang diamati selisih antara ( n d ), maka ragamnya : var( n d ) = n Ketika ( n d ) p =, n p ( p ) (3.8) dengan mengalikan persamaan (3.8) dengan, menghasilkan: n ( p ) var( n d ) p = (3.9) n n var p p p = (i) n Teorema [Deret Taylor] n+ Jika diberikan fungsi f, f c [ a, b], f kontinu dan terturunkan sampai turunan ke n+. Misalkan x [ a, b] untuk setiap x [ a, b] terdapat c = c( x) yang terletak antara x dan x maka : k= ( k) ( x ) ( x x ) f f ( x) = k! ' () x x f ( x) = f ( x ) + f ( x )( x x ) + f ( x ) ! N ( n) x x ( n+ ) x x ( ) + ( ) N+ f x f c N! N! (Mathews 99) Definisi [Sifat Ragam]: Bila X suatu peubah acak dan a konstanta, maka : σ ax = a σ X = a σ. (Walpole 995) Dengan menggunakan sifat ragam dan pendekatan deret taylor, maka ragam dari suatu fungsi g(x) dengan X adalah variabel acak diberikan : N k g ( x ) k var( g( X)) = var ( x x ) k! k= ' '' ( x x) var g( x ) + g ( x )( x x ) + g ( x ) +...! ' '' var( x x ) + g ( x ) var( x x ) g ( x ) ! dg ( X ) var( g ( X )) var( X ) dx var log p = var p dari (i) dan (ii) didapat : p p var log p = / p n p (ii) (3.) 6

17 { p } var log ( p ) = n p kemudian disubstitusikan didapat aproksimasi ragam dari log p adalah: p n p = = n d n p n n var log ( ) / n n n d = n d n d var log p = n n d ( ) d Sehingga persamaan (3.7) menadi : k d var{ log S( t) } n ( n d ) = Sebagai aplikasi dari persamaan (3.) diberikan : var{ log S( t) } var { S( t) } (3.) S( t) Jadi: { S t } k d var ( ) S( t) n ( n d ) = Jadi, Standard Error metode Kaplan Meier Penduga fungsi survivor didefinisikan: { } k d S t = n ( n d ) s. e S( t) ( ) (3.) 3. Selang Kepercayaan Fungsi Survivor Setelah menghitung standard error dari fungsi survivor kemudian akan dihitung selang kepercayaan dari S( t ). Nilai selang kepercayaan dari fungsi survivor pada waktu t, diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai yang diduga dari fungsi survivor pada waktu t adalah menyebar normal, dengan nilai tengah S(t) dan ragam mengikuti persamaan: k d var { S( t) } S( t) n ( n d ) Didapat persamaan : α α = S( t) Z s. e S( t), S( t) + Z s. e S( t) (3.3) untuk mencari selang kepercayaan dari fungsi survivor. Selang Z α adalah nilai yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α. 3.5 Fungsi Hazard Fungsi lain yang berkaitan dengan fungsi ketahanan adalah fungsi hazard yaitu fungsi yang menyatakan peluang seseorang meninggal pada waktu t dengan syarat bahwa seseorang itu telah bertahan hidup dalam waktu t. Fungsi tingkat hazard didefinisikan sebagai tingkat kegagalan bersyarat yaitu limit dari peluang suatu individu gagal bertahan. Waktu kelangsungan hidup seseorang pada saat T terletak antara t dan t + δt, ika seseorang itu telah bertahan hidup hingga waktu t, dengan nilai T lebih besar dari t yang ditulis: h( t) = P t T t + δt T t (3.4) ( ) Limit dari fungsi hazard dibagi dengan δt ketika δt mendekati, adi: P ( t T < t + δt T t ) h ( t ) = lim δt o δt Dari definisi di atas didapat hubungan antara fungsi ketahanan dan fungsi hazard. Berdasarkan teori peluang bersyarat P(A A ) yaitu peluang A ika diketahui keadian A : ' ' p( A A ) Pr( X = x, X = x ) A = = ' p( A ) Pr( X = x) p( A ) Sehingga fungsi hazard didapat: P( t T < t + δt) P( t T t + δt T t) = P( T t) Yang sama dengan : F ( t + δ t ) F ( t ) S ( t ) ( δ ) F t + t F ( t ) h( t ) = lim δ t δ t S ( t ) f ( t ) h ( t ) = S ( t ) ds( t) Karena f ( t) = dt Maka : d h( t) = { log S ( t) } dt S( t) = exp H ( t) (3.5) { }. 7

18 Dimana : t H ( t) = h( u) du (3.6). Langkah-langkah Penyusunan Metode Life Table Penduga Fungsi Hazard Pada prinsipnya perhitungan Life Table untuk fungsi hazard sama seperti fungsi survivor, yang berbeda adalah peluang hazardnya. Rata-rata dari individu yang c beresiko tersensor adalah n ' = n dengan asumsi bahwa tingkat kematian konstan. Rata-rata waktu individu bertahan d diberikan n' τ, dimana τ adalah hazard dalam interval waktu diberikan oleh persamaan: d (3.7) h * ( t ) = d n τ ' ' untuk t t < t +, =,,,m Contoh 4 Dengan menggunakan data 48 pasien multiple myeloma, sama pada pembahasan Life Table untuk fungsi survivor perhitungannya diberikan pada Tabel 4 dibawah ini : panang interval. Life Table penduga fungsi Tabel 4 Life Table Penduga Fungsi Hazard dari 48 Pasien multiple myeloma Periode Interval Waktu d c n τ h* ( t ) dengan τ : Panang interval pertengahan pengamatan, begitu memasuki minggu ke- angka kematian menurun Penyaian dalam bentuk grafik dari Tabel 4 drastis, dan kembali naik pada minggu ke-4 disaikan pada Grafik 4. dan seterusnya. Faktor lain yang mempengaruhi peluang seseorang meninggal Grafik 4 Life Table Fungsi Hazard adalah umur pasien. E stimated H azar d Functio n Survival Times Dari Grafik 4 fungsi hazard dapat dilihat bahwa peluang seseorang meninggal tidak stabil. Peluang seseorang meninggal tinggi pada awal pengamatan, dikarenakan treatment yang diterapkan belum begitu berdampak pada pasien. Tingkat kematian rendah pada 3. Metode Kaplan Meier Penduga Fungsi Hazard Pendugaan fungsi hazard untuk data survival yang tidak dikelompokan rasio dari umlah individu yang mati dengan umlah individu yang beresiko untuk mati pada waktu itu. Jika fungsi hazard diasumsikan konstan antara waktu kematian secara berturut-turut, maka hazard per unitnya dapat ditemukan dengan membagi waktu intervalnya. Dengan demikian ika d adalah kematian pada waktu waktu kematian t (), untuk =,,,r dan n yang beresiko pada waktu t () fungsi hazard dalam interval dari t () ke t (+) dapat diduga dengan : d h( t) = (3.8) n τ 8

19 untuk t t < t ( + ) dimana τ = t( + ) t( ) Peluang kematian dalam tiap interval d adalah h ( t )τ = dan peluang seseorang n d bertahan hidup adalah ( ). n Contoh 5 Penghitungan penduga Kaplan Meier untuk fungsi hazard ditampilkan pada Lampiran 3. Dari Lampiran 3 dapat dilihat bahwa peluang seseorang meninggal tidak dapat ditentukan, dengan angka peluang yang tidak beraturan. Standard Error dan Selang Kepercayaan Standard error adalah hampiran atau model. Dilihat dari Tabel 5 bahwa tingkat survival pasien berbanding terbalik dengan standard error, ini menandakan model yang digunakan untuk mencari tingkat survival itu semakin akurat dikala tingkat survivalnya semakin tinggi. Pada Contoh 4 telah dibahas fungsi survivor dari data 48 pasien dengan multiple myeloma. Sekarang akan ditentukan standard error dari fungsi survivor tersebut. Penghitungan standard error dan selang kepercayaannya disaikan pada Tabel 5. Tabel 5 Standard error dan Selang Kepercayaan n d S ( t ) s.e {S ( t )} Selang Kepercayaan 95% 48.. (.,. ) (.9388,.96 ) (.937,. ) (.89,.978 ) (.869,.957 ) (.8334,.9338 ) (.874,.978 ) (.7679,.8859 ) (.7339,.856 ) (.7,.844 ) (.675,.794 ) (.6346,.76 ) (.5968,.73 ) (.568,.695 ) (.57,.666 ) (.4655,.639 ) (.438,.588 ) (.383,.5395 ) (.35,.56 ) (.645,.45 ) (.6,.44 ) (.934,.3368 ) ( -.44,.564 ) 9

20 S tandard Erro r S elang Kpercayaa n Grafik 5 Standard Error Survival Times Grafik 6 Selang Kepercayaan Survival Times 3.6 Membandingkan Dua Grup Dalam Survival Data Ada dua kemungkinan penelasan yang mungkin dalam pengamatan untuk beda dua fungsi survivor yang diduga. Salah satu penelasan menyebutkan bahwa ada perbedaan yang nyata antara survival times dari kedua kelompok individu, sehingga diketahui kemampuan survival uga berbeda. Namun ada uga yang berpendapat bahwa perbedaan keduanya tidaklah nyata, kalaupun ada mungkin faktor ketidaksengaaan. Untuk membedakan kedua pernyataan bisa digunakan ui hipotesis. Dalam perbandingan data survival, ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung tingkat perbedaan tersebut. Dua prosedur nonparametrik akan dielaskan disini, yaitu ui Logrank dan ui Wilcoxon.. Ui Logrank Ui Logrank dibangun dengan memisahkan waktu kematian dalam dua kelompok data survival, masing-masing kelompok diberi nama grup I dan grup II. Misalkan ada r buah waktu yang berbeda, t () < t () < < t (r) pada kedua kelompok tersebut, dan pada waktu t () teradi kematian sebanyak d untuk grup I dan sebanyak d untuk grup II, =,,,r. Misalkan pula ada sebanyak n individu yang beresiko meninggal dalam grup I sebelum waktu t (), dan ada uga n individu yang beresiko untuk mati pada grup II pada waktu t (), maka d = d + d buah kematian dari sebanyak n = n + n resiko kematian yang ada. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Tabel 6 dibawah ini: Tabel 6 Jumlah Kematian Pada Waktu Kematian Pada Masing-masing Grup Grup Jumlah Kematian pada waktu t () Jumlah individu yang bertahan hingga waktu t () Jumlah individu yang beresiko sebelum t () I d n d n II d n d n Total d n - d n Misalkan hipotesis nol berbunyi: tidak ada perbedaan survival antara individu-individu dalam kedua kelompok tersebut. Satu cara oleh kelompok, maka keempat entri pada tabel tersebut hanya ditentukan oleh nilai d (banyaknya kematian pada t () dalam grup I). mendapatkan validitas hipotesis tersebut Bisa dianggap d sebagai peubah acak, yang adalah dengan membandingkan berapa bernilai antara nol hingga minimum dari d banyak kematian pada masing-masing dan n. Nyatanya d memiliki sebaran yang kelompok pada setiap waktu kematian dikenal dengan nama sebaran hipergeometrik, terhadap nilai harapannya dibawah H. dengan kemungkinan bahwa peubah acak Informasi untuk tiap waktu kematian yang berkaitan dengan banyaknya kematian kemudian dikumpulkan. pada grup I sebesar d ditentukan oleh : Jika total pada Tabel 6 dianggap tetap, dan benar bahwa survival tidak terpengaruh

21 d n d d n d n n d Ekspresi menyatakan banyaknya d cara berbeda d bisa dipilih dari d dan dibaca d d dengan d d! = d d!( d d )! Rataan untuk peubah acak hipergeometrik d adalah: n d e = (3.9) n e adalah harapan banyaknya individu yang mati pada waktu t () di grup I. Probabilitas kematian pada waktu t () tidak bergantung pada posisi individu pada kelompok manapun, maka probabilitas kematian pada t () adalah d n. Langkah berikutnya menumlahkan setiap waktu kematian untuk memperoleh ukuran menyeluruh atas penyimpangan pada nilainilai amatan d dari nilai harapannya. Statistiknya diberikan oleh: r ( ). (3.) U = d e L i i = Perhatikan bahwa ruas kanan sama dengan d e, yaitu beda antara total dari nilai i i amatan dan nilai harapan kematian di grup I. Statistik ini memiliki nilai tengah nol, karena E(d i ) = e i. Ragam U L adalah umlah dari ragam-ragam d i, dengan waktu kematian saling bebas. Karena d i menyebar hipergeometrik maka ragam dari d i diberikan: v ( ) ( n ) n n d n d = n Sehingga ragam U L adalah : r L L = (3.) var( U ) = v = V. (3.) Selanutnya dapat ditunukkan bahwa U L mendekati sebaran normal ika banyaknya waktu kematian tidak terlalu kecil. Sehingga U L V L mendekati sebaran normal dengan rataan dan ragam, N(,) bisa dituliskan : U L V : L N (,) Kuadrat dari variabel acak standar normal mempunyai sebaran khi-kuadrat dengan deraat kebebasan satu yang dinotasikan dengan χ ( ) : U L : χ () (3.3) VL kemudian dikenal dengan ui Logrank. U L Statistik WL = menyatakan VL penyimpangan amatan waktu survival dengan nilai harapannya dibawah H. Karena distribusi nol dari W mendekati khi-kuadrat dengan deraat bebas satu, dari ui khi kuadrat dapat ditentukan taraf nyatanya. Ilustrasinya dibahas dalam contoh kasus pada bab berikutnya.. Ui Wilcoxon Ui wilcoxon tidaklah berbeda auh dari ui Logrank. Ui Wilcoxon didasarkan pada statistik : r ( ) U = n d e (3.4) w = dengan d banyaknya kematian pada waktu t () untuk grup I dan e adalah harapan banyaknya individu yang mati pada waktu t () di grup I. Perbedaan antara U w dan U L adalah bahwa dalam ui Wilcoxon setiap perbedaan (d e ) diboboti oleh n ( total banyaknya individu yang beresiko mati pada waktu t () ). Akibatnya bobot kecil diberikan pada perbedaan antara d dan e pada waktu-waktu dimana total banyaknya individu yang masih hidup adalah sedikit, statistik ini kurang sensitif dibandingkan dengan statistik Logrank dalam hal penyimpangan d terhadap e. Ragam dari statistik U w diberikan oleh: V r w n v = = (3.5) dengan v diberikan pada persamaan (3.) Sehingga statistik Wilcoxon didapat: U w Ww = (3.6) Vw yang memiliki sebaran khi-kuadrat dengan deraat bebas satu ketika H benar.

22 IV CONTOH KASUS ( Pengaruh enis kelamin dan Kandungan protein pada darah dalam penentuan tingkat survival pada pasien multiple myeloma ) Multiple myeloma adalah penyakit yang berbahaya yang ditandai dengan penimbunan plasma sel yang tidak normal dan sel darah putih dalam sumsum tulang. Perkembangbiakan plasma sel yang tidak normal dalam tulang menyebabkan rasa sakit dan merusak aringan tulang. Pasien yang mengidap multiple myeloma selalu mengalami kekurangan darah sehingga menyebabkan kambuhnya infeksi dan lemah. Salah satu universitas di USA telah memeriksa hubungan antara variabel yang mempengaruhi atau covariates dan waktu ketahanan (survival times) dari pasien. Dalam pengamatan variabel respon utama adalah waktu dari diagnosa waktu awal sampai pasien meninggal. Pada data Lampiran terdapat 48 pasien multiple myeloma, 48 pasien tersebut beumur antara 5 sampai 8 tahun. Beberapa dari mereka belum meninggal pada saat pengamatan berakhir, pasien tersebut termasuk enis sensor kanan. Untuk pasien dengan status meninggal pada saat pengamatan dengan survival times tertentu ditandai dengan angka, sedangkan menelaskan bahwa pasien mengalami sensor. Pada waktu diagnosis nilai dari variabelvariabel yang mempengaruhi tingkat survival pasien kemudian dicatat, meliputi umur, enis kelamin ( = laki-laki, = perempuan ), dan adanya kandungan protein pada darah (= ada, = tidak ada ). Sebenarnya masih banyak variabel lain yang diamati, tetapi dalam karya ilmiah ini hanya mengambil variabel. Diantara 48 pasien tersebut ada 6,4 % pasien laki-laki, sisanya perempuan dan 3,5 % pasien yang mengandung protein pada darah sisanya tidak mengandung protein. Banyaknya pasien yang mati pada tiap waktu kematian dan banyaknya pasien yang beresiko mati pada tiap waktu tersebut kemudian dihitung. Nilai-nilai tersebut dinotasikan : d : banyaknya pasien laki-laki yang mati pada tiap waktu kematian dalam grup I d : banyaknya pasien wanita yang mati pada tiap waktu kematian dalam grup II n : banyaknya pasien laki-laki yang beresiko mati pada tiap waktu kematian dalam grup I n : banyaknya pasien wanita yang beresiko mati dalam tiap waktu kematian dalam grup II. n : total banyaknya pasien yang beresiko mati d : total banyaknya pasien yang mati pada tiap waktu kematian e : rataan untuk peubah acak d e : rataan untuk peubah acak d U L : ui statistik log-rank V L : ragam untuk ui Logrank W L : statistik Logrank Kurva yang dibuat dinamakan survival curve. Titik-titik yang terdapat pada kurva tersebut memberi dugaan atas proporsi pasien yang akan bertahan, setidaknya untuk rentang waktu tertentu, umlah dari entri-entri menghasilkan d dan e dengan menggunakan ui hipotesis: H : S ( t) = S ( t) H : S ( t) S ( t) 4. Penyelesaian Data Survival Data diolah berdasarkan pengelompokan enis kelamin dan kandungan protein, kemudian hasilnya didekatkan pada pendekatan tabel khi kuadrat. Data hasil dari ui Logrank dan ui Wilcoxon ditampilkan pada Tabel 7. Tabel 7 Hasil Penyelesaian Data Survival Berdasarkan Jenis Kelamin dan Kandungan Protein Ui Logrank Ui Wilcoxon Jenis Kelamin Laki-Laki U L =.4784 U w =. V L = V w = W L =.73 W w =.446 Perempuan U L = U w = -. V L = V w =

23 W L =.73 W w =.446 Kandungan Protein Ada U L = U w = -9. V L = 8.47 V w = W L =.93 W w =.965 Tidak ada U L =.699 U w = 89. V L = 8.47 V w = W L =.4 W w =.9439 Pengaruh Jenis Kelamin Data Lampiran dikelompokkan menadi tersebut tidak signifikan atau tidak nyata. Maka dapat disimpulkan untuk tidak menolak grup yaitu laki-laki untuk grup I dan H, bahwa tidak ada perbedaan tingkat perempuan grup II. Hipotesis nol menyatakan bahwa peluang bertahan atau tingkat survival pasien laki-laki akan sama dengan peluang survival antara pasien yang ada kandungan protein dengan pasien yang tidak mengandung protein. bertahannya pasien perempuan, dan hipotesis tandingan sebaliknya. Dengan pendekatan U L : χ (). Ui khi kuadrat dengan deraat VL bebas dapat digunakan untuk membandingkan proporsi keduanya. Nilai χ untuk pengamatan berdasarkan enis kelamin pada Lampiran 5 bahwa nilai W W yang didapat tidak signifikan atau tidak nyata, maka dapat disimpulkan untuk tidak menolak H, bahwa tidak ada perbedaan tingkat survival antara pasien laki-laki dan pasien perempuan. Pengaruh Kandungan Protein Untuk data kandungan protein, data uga dibagi menadi grup berdasarkan ada tidaknya kandungan protein pada darah. U L Dengan menggunakan : χ () dengan H VL berbunyi bahwa tingkat survival antara pasien yang mengandung protein sama dengan tingkat survival pasien yang tidak ada kandungan protein. Dengan ui khi kuadrat berderaat bebas didapat bahwa nilai W W 4. Sifat-sifat Ui Logrank dan Ui Wilcoxon DalamUi Logrank untuk mencari Ui statistik nya tidak terboboti oleh umlah orang yang beresiko untuk mati sehingga besar kecilnya umlah pasien yang akan diamati tidak berpengaruh dalam penentuan ui statistiknya, sedangkan untuk ui Wilcoxon ui statistiknya terboboti oleh umlah orang yang beresiko mati atau umlah pasien yang akan r diamati U w = n ( d e ) akibatnya bobot = kecil diberikan pada perbedaan antara d dan e pada waktu-waktu dimana total banyaknya individu yang masih hidup adalah sedikit (survival times terpanang). Statistik ini kurang sensitif dibandingkan dengan statistik Logrank dalam hal penyimpangan d terhadap e. 3

24 SIMPULAN Data survival adalah data tentang pengamatan angka waktu dari awal pengamatan sampai teradinya suatu peristiwa (survival times). Data survival sering kali tersedia secara tidak lengkap (tersensor), untuk menganalisis data-data survival diperlukan metode lain yang sesuai, dalam karya ilmiah ini metode yang digunakan adalah metode Life Table dan Kaplan Meier. Metode Life Table mengabaikan informasi waktu kematian sehingga semua keadian yang teradi pada individu tidak dapat dimonitor dengan baik (sensor selang). Metode Kaplan Meier, selang dibuat dengan satu angka kematian, adi keadian pada individu dapat dimonitor dengan baik (sensor titik). Untuk membandingkan dua atau lebih populasi digunakan ui Logrank dan ui Wilcoxon. Dari data enis kelamin dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan tingkat survival antara laki-laki dan perempuan, begitu uga dengan data kandungan protein tidak ada perbedaan tingkat survival antara pasien yang ada kandungan proteinnya dengan pasien yang tidak ada kandungan protein. DAFTAR PUSTAKA Collet, D Modelling Survival Data in Medical Research. 3 th ed. London Glasgow-Weinheim-Newyork-Tokyo- Melbourne-Madrass: Chapman and Hall Hogg, V. R. and Craig, T. A Introduction to Mathematical Statistics, 5 th ed. New Jersey: Prentice Hall, englewood Cliffs publisher. Klein, J & Moeschberger, M Survival Analysis. Springer, Newyok. Lee, E. T 99. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Second ed. New York:A wiley Interscience Publication. Leung, et. al Censoring Issues in Survival Analysis. Annu. Rev. Public Health. Mathews, J. H. 99. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. th ed. California: Prentice Hall, englewood Cliffs publisher. Walpole, E. R Pengantar Statistika, edisi ke-3. Penerbit PT Gramedia Putaka Umum Jakarta. 4

25 LAMPIRAN 7

26 LAMPIRAN : Data survival times dari 48 pasien multiple myeloma No. Pasien Survival Times Status Umur Jenis Kelamin Protein

27 Keterangan: Status : Pasien yang meninggal Pasien Lolos Jenis Kelamin : Laki-laki Perempuan Protein : Adanya kandungan Protein pada pasien Pasien tidak mengnadung protein Lampiran : Penghitungan penduga Kaplan Meier dari fungsi survivor untuk data 48 pasien multiple myeloma. Interval Waktu n d c ( n - d ) / n S ( t )

28 Lampiran 3 : Penghitungaan penduga Kaplan Meier dari fungsi hazard untuk Interval Waktu data 48 pasien multiple myeloma. τ n d c h( t )

29 Lampiran 4 : Grafik Penyelesaian dari fungsi survivor dan fungsi hazard E stimated S urvivo r Functio n Survival Times Grafik 4. Penduga Kaplan Meier penduga fungsi survivor E stimated H azar d Functio n Survival Times Grafik 4. Penduga Kaplan Meier penduga fungsi hazard

30 Lampiran 5 : Penghitungan V data 48 pasien multiple myeloma untuk enis kelamin Death Time d n d n d n e e V = VL Vw S * ( t ) S ( t ) Total

31 Lampiran 6 : E stimated S urvivo r Functio n Grafik 6. Tingkat survival bagi Jenis kelamin laki-laki Survival Times E stimated S urvivo r Functio n Grafik 6. Tingkat survival bagi Jenis kelamin perempuan Survival Times Grafik 6.3 Perbandingan antara tingkat survival lakilaki dan perempuan E stimated S urvivo r Functio n Survival Times 3

32 Lampiran 7: Penghitungan V data 48 pasien multiple myeloma atas kandungan proteinnya. Death Time d n d n d n e e V = VL Vw S ( t ) S ( t ) Total

33 Lampiran 8 : Grafik Tingkat Survival Untuk Kandungan Protein E stimated S urvivo r Functio n Grafik 8. Tingkat survival berdasarkan adanya kandungan protein pada pasien Survival Times Grafik 8.3 Perbandingan antara adanyakandungan Protein dengan tidak adanya kandungan protein E stimated S urvivo r Functio n Grafik 8. Tingkat survival berdasarkan tidak adanya kandungan protein pada pasien Survival Times E stimated S urvivo r Functio n Survival Times 5

34 Lampiran 9 : Penghitungan V Data 48 pasien multiple myeloma untuk Jenis kelamin n n d n n (n-d) n- nnd(n-d) n(n-) v Total