ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO

Transkripsi

1 ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Analisis Ketahanan dan Aplikasinya untuk Pemodelan Interval Kelahiran Anak Pertama adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2008 Harnanto NIM

3 ABSTRACT HARNANTO. Survival Analysis and Its Application on Modeling of First Birth Interval. Supervised by HADI SUMARNO and RETNO BUDIARTI. First birth interval is one of an example of survival data. The characteristic of survival data is the presence of survival time that cannot be observed completely (censored), so a correct method to analysis these kind of data is needed. There are two kinds of survival analysis, namely nonparametric and parametric analysis. The aims of this thesis are to determine best analytical method for first birth interval data and to identify dominant factors influencing first birth interval. The sample to be analyzed is the demographical data of West Java and Yogyakarta province, according to Indonesian Demography and Health Survey (IDHS) The result of thesis shows that the most appropriate method is Cox s proportional hazard. The Cox s proportional hazard method shows that the dominant factors affected are residence, education, and age of marriage. Keywords: Survival Data, Survival Analysis, Nonparametric and Parametric Analysis.

4 RINGKASAN HARNANTO. Analisis Ketahanan dan Aplikasinya untuk Pemodelan Interval Kelahiran anak Pertama. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI. Interval kelahiran anak pertama dibangun dengan melakukan transformasi yaitu selisih antara umur perkawinan dengan umur kelahiran anak pertama. Pada kenyataannya panjang interval kelahiran anak pertama dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, interval kelahiran anak pertama ditentukan oleh berbagai faktor sosial dan budaya seperti: tempat tinggal, tingkat pendidikan, umur perkawinan, status bekerja serta faktor fisiologi. Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun sebagian lainnya belum mempunyai anak pertama sehingga data yang diperoleh berupa data tersensor. Untuk menganalisis data yang mengandung data tersensor menggunakan metode biasa akan menimbulkan bias, sehingga untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu yaitu analisis ketahanan. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan menentukan metode analisis terbaik bagi data interval kelahiran anak pertama, dan mempelajari faktor-faktor yang dominan mempengaruhi interval kelahiran anak pertama. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan langkah pertama melakukan manipulasi matematik untuk memperoleh data interval kelahiran anak pertama. Langkah berikutnya menganalisis data menggunakan analisis ketahanan nonparametrik. Analisis ketahanan nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis data adalah metode Life Table dengan berbagai panjang selang, metode Kaplan-Meier, dan metode hazard proporsional Cox. Sebelum dianalisis menggunakan metode hazard proporsional Cox, dilakukan analisis menggunakan metode Kaplan-Meier pada beberapa peubah bebas untuk mendukung asumsi yang digunakan dalam metode proporsional hazard Cox. Dalam menentukan nilai pendugaan parameter dan untuk menganalisis pengaruh peubah bebas secara simultan pada metode hazard proporsional Cox digunakan software SPSS 13.0 for windows. Selanjutnya dilakukan uji sebaran data dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov untuk mengetahui apakah data dapat dianalisis dengan menggunakan analisis ketahanan parametrik. Dari metodemetode tersebut digunakan satu metode yang lebih sesuai untuk melihat pengaruh peubah bebas terhadap peubah tak bebas (interval kelahiran anak pertama). Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan: 1) semakin kecil panjang selang yang digunakan dalam metode Life Table memberikan hasil analisis yang cenderung semakin baik, walaupun secara statistik dari keempat panjang selang yang digunakan menghasilkan kesimpulan yang sama, 2) hasil analisis untuk beberapa peubah bebas dengan menggunakan metode Kaplan-Meier menunjukkan bahwa hazard dari beberapa peubah bebas bersifat proporsional, sehingga untuk menganalisis data dengan peubah bebas dapat digunakan metode hazard proporsional, 3) hasil uji sebaran dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov adalah data tidak memiliki suatu sebaran tertentu, sehingga metode yang lebih sesuai untuk memodelkan data interval kelahiran anak pertama adalah metode

5 nonparametrik yaitu metode hazard proporsional Cox, 4) dari empat peubah bebas yang diuji, peubah yang nyata berpengaruh terhadap interval kelahiran anak pertama adalah tempat tinggal, tingkat pendidikan, dan umur perkawinan pertama, sedangkan peubah status bekerja tidak nyata berpengaruh. Nilai rasio hazard untuk peubah tempat tinggal sebesar artinya risiko kelahiran anak pertama untuk individu di kota besarnya lebih tinggi daripada mereka yang tinggal di desa. Secara umum tingkat pendidikan nyata berpengaruh terhadap interval kelahiran anak pertama. Pada peubah bebas tidak tamat SD nilai rasio hazardnya artinya mereka memiliki risiko melahirkan anak pertama kali lebih rendah dibanding yang tamat SLTA. Untuk kenaikan umur perkawinan satu tahun risiko kelahiran anak pertama akan meningkat sebesar kali, atau setiap penambahan umur satu tahun ada kenaikan risiko kelahiran anak pertama sebesar 2.4 % dari umur sebelumnya. Kata kunci: data survival, analisis ketahanan, analisis nonparametrik dan parametrik. ii

6 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Ir. N.K. Kutha Ardana, MSc.

9 Judul Tesis Nama NIM : Analisis Ketahanan dan Aplikasinya untuk Pemodelan Interval Kelahiran Anak Pertama : Harnanto : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Hadi Sumarno,MS Ketua Ir. Retno Budiarti, MS Anggota Diketahui Ketua Program Studi MatematikaTerapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani,MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS Tanggal Ujian: 7 Agustus 2008 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas sebagala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini adalah masalah cara menganalisis data, dengan judul Analisis Ketahanan dan Aplikasinya untuk Pemodelan Interval Kelahiran Anak Pertama. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS dan Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta kepada Bapak Ir. N.K Kutha Ardana, MSc selaku penguji luar komisi. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan fasilitas beasiswa, dan BKKBN Jakarta yang telah memberikan bantuan data SDKI 2002 sebagai bahan penelitian ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan orang tua atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2008 Harnanto

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Purworejo pada tanggal 7 Mei 1966 dari ayah Pawiro Taruno dan ibu Tarsih. Penulis merupakan putra keempat dari lima bersaudara. Tahun 1987 penulis lulus dari SMA Negeri Kutoarjo jurusan A-1 (Ilmuilmu Fisika), kemudian melanjutkan pendidikan di IKIP Negeri Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika program Diploma III pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun Tahun 1991 penulis masuk PNS di Departemen Pendidikan dan Kebudayaan bekerja sebagai staf pengajar diperbantukan di Madrasah Tsanawiyah Negeri Yogyakarta II sampai sekarang. Tahun 1997 penulis melanjutkan studi ke jenjang sarjana di IKIP Negeri Yogyakarta Jurusan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun Pada tahun 2006 penulis masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan daerah Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2008.

12 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR.... DAFTAR LAMPIRAN Halaman BAB I PENDAHULUAN Latar belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian BAB II TINJAUAN PUSTAKA Beberapa Pengertian Beberapa Teorema BAB III METODOLOGI PENELITIAN Sumber Data Definisi Operasional Langkah-langkah Penelitian.. 10 BAB IV MODEL DAN PEMBAHASAN Sebaran Data Interval Kelahiran Anak Pertama Analisis Ketahanan Nonparametrik Metode Life Table Metode Kaplan-Meier Metode Hazard Proporsional Cox Analisis Ketahanan Parametrik Fungsi Ketahanan dan Fungsi Hazard Metode Weibull Penduga dan Standar Error bagi Parameter dan Metode Weibull dengan Kovariat Bentuk Log-linear dari Metode Weibull Proporsional Hazard Uji Kolmogorov-Smirnov Analisis Faktor-faktor yang Dominan Mempengaruhi Interval Kelahiran Anak Pertama 42 BAB V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi xii xiii x

13 DAFTAR TABEL 1. Pemisahan waktu kelahiran masing-masing grup pada uji Logrank Hasil uji Logrank metode Life Table berdasarkan tempat tinggal Hasil uji Logrank metode Kaplan-Meier berdasarkan tempat tinggal Hasil analisis regresi dari rasio hazard peubah bebas tempat tinggal Hasil analisis metode hazard proporsional Cox untuk peubah tempat tinggal Hasil analisis regresi dari rasio hazard peubah status bekerja Hasil analisis metode hazard proporsional Cox untuk peubah status bekerja Hasil analisis peubah tempat tinggal dan status bekerja secara simultan Hasil analisis ketahanan model hazard proporsional Cox untuk peubah gabungan. 43 xi

14 DAFTAR GAMBAR 1. Grafik fungsi sebaran data interval kelahiran anak pertama Grafik fungsi ketahanan metode Life Table Grafik fungsi hazard metode Life Table Grafik fungsi ketahanan metode Life Table untuk beberapa panjang selang Grafik fungsi hazard kumulatif metode Life Table untuk beberapa panjang selang Grafik fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier dan Life Table Grafik fungsi hazard metode Kaplan-Meier Grafik selang kepercayaan fungsi ketahanan metode Life Table dan Kaplan-Meier Grafik fungsi ketahanan metode Life Table untuk peubah tempat tinggal Grafik fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier peubah tempat tinggal Grafik hazard peubah tempat tinggal dengan metode Kaplan-Meier Grafik hazard peubah status bekerja dengan metode Kaplan-Meier Grafik sebaran Weibull Grafik fungsi distribusi kumulatif teoritik dan empirik. 41 xii

15 DAFTAR LAMPIRAN 1. Pengertian beberapa istilah Hasil penghitungan fungsi ketahanan dan fungsi hazard metode Life Table Hasil penghitungan fungsi ketahanan dan fungsi hazard metode Kaplan- Meier Hasil penghitungan selang kepercayaan fungsi ketahanan metode Life Table dan Kaplan-Meier Hasil penghitungan uji Logrank untuk metode Life Table Hasil penghitungan uji Logrank untuk metode Kaplan-Meier Nilai hazard peubah tempat tinggal dan status bekerja dengan metode Kaplan-Meier Penentuan nilai parameter pada metode Weibull dengan kovariat Program SAS untuk fitting distribusi kumulatif Weibull Hasil penghitungan nilai statistik Kolmogorov Smirnov xiii

16 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam demografi ada tiga hal yang sangat berpengaruh, yaitu kematian (mortality), perpindahan (migration), dan kelahiran (fertility). Banyak negara termasuk Indonesia berusaha mengendalikan laju kelahiran (fertility rate) penduduk, karena laju kelahiran yang tinggi akan menimbulkan dampak sosial yang besar. Di Indonesia hanya wanita yang berstatus menikah saja yang menurut norma agama dan sosial dianggap sah untuk hamil dan melahirkan anak. Secara umum pasangan yang baru menikah ingin segera mempunyai anak, sehingga mereka tidak menggunakan alat kontrasepsi (Bhattacharya et all. dalam Sumarno et all.,1998). Dengan demikian interval kelahiran anak pertama dapat digunakan sebagai salah satu indikator dari fertilitas. Interval kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur perkawinan dengan umur kelahiran anak pertama. Pada kenyataannya panjang interval kelahiran anak pertama dari tiap wanita menikah tidaklah sama. Berdasarkan penelitian yang ada, interval kelahiran anak pertama ditentukan oleh pelbagai faktor sosial dan budaya serta faktor fisiologi. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi interval kelahiran anak pertama antar lain tempat tinggal, tingkat pendidikan, umur perkawinan, dan pengalaman bekerja. Sebagian wanita menikah telah melahirkan anak pertama beberapa bulan setelah perkawinan sehingga data yang diperoleh merupakan data lengkap, namun sebagian lainnya belum mempunyai anak pertama sehingga data yang diperoleh berupa selang terbuka. Interval kelahiran anak pertama merupakan salah satu contoh dari data survival. Data survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya sesuatu peristiwa. Ciri khas dari data survival adalah survival time (waktu bertahan hidup) seringkali tidak dapat diamati secara lengkap (tersensor). Menganalisis data survival menggunakan metode biasa tidak cocok karena akan menimbulkan bias (Widyaningsih,2006). Untuk mengurangi bias tersebut diperlukan suatu metode tertentu untuk menganalisisnya, yaitu analisis ketahanan.

17 2 Analisis ketahanan yang dapat digunakan ada dua macam yaitu metode nonparametrik dan metode parametrik. Metode nonparametrik adalah suatu metode analisis data yang tidak menggunakan asumsi sebaran tertentu misalnya metode Life Table, Kaplan-Meier dan hazard proporsional, sedangkan metode parametrik adalah metode analisis data yang memiliki asumsi sebaran tertentu misalnya metode Weibull. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1 Menentukan metode analisis terbaik bagi data interval kelahiran anak pertama. 2 Mempelajari faktor-faktor yang dominan mempengaruhi interval kelahiran anak pertama. 1.3 Manfaat Penelitian 1 Bagi keilmuan, dapat menyumbangkan suatu model interval kelahiran anak pertama di Indonesia. 2 Bagi pengambil kebijakan seperti BKKBN, sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan prioritas kebijakan yang akan diambil.

18 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan. (Grimmet dan Stirzaker,1992) Definisi 2 [Medan- ] Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari yang memenuhi kondisi, jika 3. jika (Grimmet dan Stirzaker,1992) Definisi 3 [Peubah Acak] Misalkan F adalah medan- dari ruang contoh. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat untuk setiap (Grimmet dan Stirzaker,1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital (X, Y, Z), dan nilai peubah acak dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z). Definisi 4 [Fungsi Kepekatan Peluang] Fungsi kepekatan peluang adalah limit dari peluang suatu individu mengalami kejadian pada interval pendek t ke per satuan panjang, dan dapat diekspresikan sebagai, (Cox dan Oakes, 1984)

19 4 Definisi 5 [Waktu Ketahanan] Waktu ketahanan adalah jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang berupa kegagalan, kematian, respon, timbulnya gejala, dan lain-lain. (Lee, 1992) Definisi 6 [Analisis Ketahanan] Analisis ketahanan adalah suatu analisis statistika yang memperhatikan waktu bertahannya sesuatu, yang disebut sebagai waktu ketahanan (survival time). (Lee, 1992) Definisi 7 [Fungsi Ketahanan (Survivor Function)] Fungsi ketahanan adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami kejadian sesudah waktu t). Misal T adalah peubah acak, maka fungsi ketahanan didefinisikan sebagai, S(t) = P(T t). Misalkan f fungsi kepekatan peluang, fungsi ketahanan merupakan komplemen dari fungsi kumulatif F dengan, S(t) = = P(T>t) = 1 P(T? t) = 1 F(t). (Collett,1994) Definisi 8 [Fungsi Hazard (The Hazard Function)] Fungsi hazard adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu mengalami kejadian pada waktu t dengan syarat bahwa individu itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya diberikan sebagai berikut,. (Cox dan Oakes, 1984) Definisi 9 [Metode Life Table] Metode Life Table adalah cara menganalisis data dengan mengelompokkan data dalam selang-selang yang panjangnya sama, dan selanjutnya data disusun dalam suatu tabel sebagai berikut.

20 5 j 1 2 m Keterangan: Nilai awal selang - j : selang pengamatan, j = 1, 2,..., m - d j : banyaknya kejadian pada setiap selang j - c j : banyaknya data yang tersensor pada setiap selang j - n j : banyaknya individu yang bertahan dan berisiko untuk mengalami kejadian - : rata-rata dari banyaknya individu yang berisiko tersensor - : peluang bertahan individu pada selang j - (t) dan : penduga fungsi ketahanan dan penduga fungsi hazard Definisi 10 [Metode Kaplan-Meier] (t) (Lee, 1992) Pada dasarnya metode Kaplan-Meier hampir sama dengan metode Life Table. Bedanya dalam metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, kemudian data disusun dalam suatu tabel sebagai berikut. (t) Keterangan: - n j : banyaknya individu pada awal selang j - t : waktu - : panjang selang j - d j : banyaknya kejadian pada setiap selang j - c j : banyaknya data yang tersensor pada setiap selang j - : peluang bertahan individu pada selang j - (t) dan : penduga fungsi ketahanan dan penduga fungsi hazard. (Lee, 1992)

21 6 Definisi 11 [Metode Hazard Proporsional] Metode hazard proporsional menggunakan asumsi bahwa hazard tiap kelompok individu bersifat proporsional, dan secara umum fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan:, dengan = dengan: t = waktu hingga suatu kejadian tertentu terjadi = fungsi hazard dasar (baseline hazard function) = vektor koefisien peubah penjelas = peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i. (Cox dan Oakes,1984) Definisi 12 [Sebaran Weibull] Sebaran Weibull merupakan generalisasi dari sebaran eksponensial. Sebaran Weibull dicirikan oleh adanya dua parameter yaitu? dan?. Nilai? menunjukkan kemiringan kurva distribusi, sedangkan nilai? menunjukkan penskalaan. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran Weibull adalah. (Lee, 1992) Definisi 13 [Fungsi Likelihood] Misalkan adalah peubah acak yang saling bebas dari sebaran yang mempunyai fungsi kepekatan peluang dengan parameter dimana himpunan ruang parameter. Fungsi likelihood adalah fungsi kepekatan peluang bersama yang merupakan fungsi dari yang dinotasikan dengan Penduga yang memaksimumkan fungsi likelihood dapat dicari dengan menentukan solusi dari persamaan (Hogg &Craig,1995)

22 7 Definisi 14 [Deret Taylor] Jika diberikan fungsi f, kontinu dan terturunkan sampai turunan ke n+1. Misalkan, untuk setiap terdapat yang terletak antara x dan sehingga Definisi 15 [Sifat Ragam] Bila X suatu peubah acak dan a konstanta, maka (Hogg &Craig,1995) (Hogg &Craig,1995) Definisi 16 [Ragam bagi Penduga Parameter] Ragam bagi penduga parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood didefinisikan sebagai berikut, Ketika nilai harapan dari turunan kedua sulit diperoleh, maka ragam dari diperoleh dari pendekatan dan standar error merupakan akar dari ragam, yaitu (Collett,1994) Definisi 17 [Interval Kelahiran Anak Pertama] Interval kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur kelahiran anak pertama (L) dengan umur perkawinan pertama (K), yaitu Definisi 18 [Peubah Acak T] oleh Peubah acak T yang menyatakan interval kelahiran anak pertama dinyatakan dengan

23 8 P : umur pada saat pengamatan s : status data 1 : data lengkap, jika sampai dengan pengamatan telah terjadi kelahiran anak pertama 2 : data tersensor, jika sampai dengan pengamatan belum terjadi kelahiran anak pertama 2.2 Beberapa Teorema Teorema 1 Jika fungsi ketahanan S dengan peluang dari T adalah f dengan, maka fungsi kepekatan. Bukti:, kedua ruas diturunkan terhadap t,. Dengan teorema dasar kalkulus (TDK) didapat. Teorema 2 Untuk T suatu peubah acak kontinu, maka dapat dibuktikan bahwa (Collett,1994) = d ln[s(t)], bukti:.

24 9 = f(t) = = ds( t) 1 dt S( t) 1 ds( t) S( t) dt = d ln[s(t)]. (Cox dan Oakes, 1984) Teorema 3 Sebaran Weibull dengan fungsi kepekatan peluang mempunyai fungsi ketahanan dan fungsi hazard. Bukti: karena, maka. Misal maka, sehingga =, dengan c suatu konstanta Jadi., (Lee, 1992)

25 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah hasil Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun Sampel yang digunakan adalah data pada dua provinsi yaitu Jawa Barat dan Daerah Istimewa Yogyakarta sebagai representasi dari daerah yang tingkat fertilitasnya tinggi dan rendah. Data dibatasi hanya untuk interval kelahiran anak pertama, dari wanita yang menikah untuk pertama kali. Banyaknya responden seluruhnya semula ada 2671 orang, dan setelah diseleksi banyaknya data yang digunakan ada Seleksi data ini berdasarkan pada asumsi bahwa kelahiran anak terjadi paling cepat 7 bulan pada masa kehamilan, sehingga data yang nilainya kurang dari 7 bulan diabaikan. Dari 2349 data yang diperoleh, 6.4% diantaranya yaitu sebanyak 151 buah merupakan data tersensor dan sisanya 2198 buah merupakan data tidak tersensor. 3.2 Definisi Operasional Peubah tak bebas yang digunakan dalam penelitian ini adalah interval kelahiran anak pertama wanita yang menikah untuk pertama kali. Sedangkan peubah bebas yang diduga mempengaruhi interval kelahiran anak pertama adalah: 1 Tempat tinggal, dikelompokkan dalam unit wilayah administrasi terkecil yaitu daerah perkotaan dan pedesaan/kelurahan. Suatu kelurahan digolongkan dalam daerah perkotaan, jika memenuhi tiga syarat berikut: a. Mempunyai tingkat kepadatan penduduk lebih besar atau sama dengan 5000 per km 2. b. Persentase penduduk yang bekerja di sektor pertanian tidak lebih dari 25%. c. Jumlah berbagai fasilitas umum seperti kantor pos, bank, bioskop, rumah sakit/balai pengobatan, dan gedung sekolah tidak kurang dari 8 buah. Tempat tinggal dibedakan menjadi dua kategori, yaitu kota = 1 dan desa = 2.

26 11 2 Pendidikan, sekolah adalah sekolah formal mulai dari pendidikan dasar, menengah dan tinggi, termasuk pendidikan yang disamakan. Tidak tamat SD adalah mereka yang tidak pernah mengikuti pendidikan formal atau pernah di SD tetapi tidak sampai mendapatkan tanda kelulusan. Pendidikan tertinggi dibagi menjadi empat kategori, yaitu tidak tamat SD =0, tamat SD = 1, tamat SLTP = 2, dan tamat SMA atau lebih = 3. 3 Status pekerjaan, bekerja adalah kegiatan melakukan pekerjaan dengan maksud memperoleh atau membantu memperoleh penghasilan atau keuntungan selama paling sedikit satu jam dalam semimggu berturut-turut dan tidak terputus (termasuk pekerja keluarga tanpa upah yang membantu dalam usaha/kegiatan ekonomi). Status pekerjaan dikategorikan menjadi dua, yaitu tidak bekerja = 0 dan bekerja = 1. 4 Umur Ibu, umur ibu/wanita yang menikah untuk pertama kali dinyatakan dalam tahun. 3.3 Langkah-langkah penelitian 1 Mempelajari sifat-sifat analisis data survival dengan metode nonparametrik, diantaranya dengan metode Life Table dan Kaplan-Meier. 2 Mempelajari sifat-sifat analisis data survival dengan metode hazard proporsional Cox. 3 Mempelajari sifat-sifat analisis data survival dengan metode parametrik, yaitu dengan sebaran Weibull. 4 Mempelajari pendugaan parameter. 5 Menentukan metode yang sesuai untuk menganalisis data interval kelahiran anak pertama. 6 Mengaplikasikan model yang paling sesuai pada data interval kelahiran anak pertama.

27 BAB IV MODEL DAN PEMBAHASAN 4.1 S Sebaran ebaran Data Interval nterval Kelahiran elahiran Anak Pertama ertama Sebaran data interval kelahiran anak pertama merupakan suatu fungsi dari T yang menunjukkan hubungan antara waktu ketahanan dan frekuensi. Grafik sebaran data interval kelahiran anak pertama tidak tersensor ditampilkan dalam Gambar 1. Gambar 1. Grafik fungsi sebaran data interval kelahiran anak pertama Dalam kenyataan ada sebag sebagian ian wanita yang telah menikah belum mempunyai anak pertama sehingga data yang diperoleh berupa selang terbuka terbuka, sehingga interval kelahiran anak pertama berupa data tersensor. Untuk menganalisis data tersensor tidak dapat digunakan regresi biasa sehingga di diperlukan perlukan metode tertentu yaitu analisis ketahanan ((survival survival analysis). analysis Analisis ketahanan adalah suatu analisis statistika yang memperhatikan waktu bertahannya sesuatu yang disebut sebagai waktu ketahanan. Dalam penelitian ini waktu ketahanan ((survival survival times times) adalah waktu dari seseorang menikah sampai waktu melahirkan anak yang pertama. Dalam analisis ketahanan sebaran dari waktu ketahanan biasanya dicirikan oleh tiga fungsi yaitu fungsi ketahanan, fungsi kepekatan peluang, dan fungsi hazard. Analisis ketahanan ketahanan secara umum dibedakan menjadi dua metode yaitu metode nonparametrik dan metode parametri parametrik. 4.2 Analisis Ketahanan Nonparametrik Analisis ketahanan nonparametrik adalah metode analisis data yang tidak me menggunakan nggunakan asumsi sebaran tertentu tertentu.. Metode ini cocok digunakan untuk

28 13 menganalisis data yang sulit ditentukan jenis sebarannya. Metode nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis data interval kelahiran anak pertama dalam penelitian ini adalah metode Life Table, Kaplan-Meier dan hazard proporsional Cox Metode Life Table Metode Life Table biasa digunakan pada data pengamatan yang besar sehingga data tersebut dapat dikelompokkan dalam beberapa grup selang. Metode ini juga digunakan jika data yang diperoleh berupa data dalam suatu selang, tanpa informasi yang lengkap tentang waktu kejadiannya. a. Cara penyusunan Life Table Pendugaan fungsi ketahanan dari data interval kelahiran anak pertama dengan metode Life Table disusun dengan langkah sebagai berikut. Pertama dibuat m buah selang yang panjangnya sama, j = 1, 2,..., m. Kemudian setiap selang j ditentukan banyaknya kelahiran anak pertama ( d j ), data yang tersensor (c j ), dan individu yang bertahan dan berisiko untuk mengalami kejadian (n j ). Dengan asumsi proses sensor dalam setiap selang j menyebar seragam, maka rata-rata dari banyaknya individu yang berisiko tersensor adalah, dan. Dalam setiap selang j peluang kelahiran anak pertama diduga dengan dan peluang bertahannya adalah Peluang individu yang bertahan hingga selang ke-k dapat diduga dengan penduga fungsi ketahanan sebagai berikut, untuk t k t t k 1, k = 1, 2,..., m. (t) = 1 untuk t t 1 dan (t) = 0 untuk t t m+1 Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi ketahanan metode Life Table data interval kelahiran anak pertama dengan panjang selang 4 bulan dapat dilihat pada Lampiran 2. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut adalah sebagai berikut,

29 Cumulatif Survival Survival Times Gambar 2 Grafik fungsi ketahanan dengan menggunakan metode Life Table. Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa pada periode awal fungsi ketahanan menurun tajam, hal ini sesuai dengan keadaan pada umumnya bahwa pasangan yang baru menikah ingin segera mempunyai anak. Pada periode selanjutnya sekitar tahun ke-5 fungsi ketahanan menurun perlahan, dan pada sekitar tahun ke- 15 (bulan ke-180) fungsi ketahanan mendekati nol karena pengaruh besarnya risiko bagi keselamatan ibu untuk melahirkan anak pertama pada usia tinggi. Fungsi hazard disusun dengan asumsi bahwa proses sensor dan kejadian kelahiran anak pertama seragam dalam setiap selang j, sehingga rata-rata dari banyaknya individu yang berisiko tersensor adalah dan rata-rata waktu individu bertahan adalah, dengan adalah panjang selang j. Penduga fungsi hazard Life Table diberikan oleh persamaan untuk, j = 1, 2,..., m. Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi hazard metode Life Table untuk data interval kelahiran anak pertama dapat dilihat pada Lampiran 2. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan tersebut ditampilkan dalam Gambar 3.

30 15 Hazard Survival Times Gambar 3 Grafik fungsi hazard dengan menggunakan metode Life Table Dari Gambar 3 di atas dapat dilihat bahwa nilai fungsi hazard untuk waktu yang berbeda tidak sama. Pada periode awal fungsi hazard tinggi kemudian menurun dengan bertambahnya waktu. Dengan demikian fungsi hazard untuk data interval kelahiran anak pertama tidak konstan. b. Pengaruh Panjang Selang dalam Metode Life Table. Panjang selang yang digunakan untuk menyusun data interval kelahiran anak pertama dalam Life Table dapat bermacam-macam, misalnya 2 bulan, 4 bulan, 8 bulan, atau lainnya. Panjang pendeknya selang yang dibuat dalam penghitungan penduga fungsi ketahanan akan mempengaruhi ketajaman penurunan fungsi ketahanan, seperti ditunjukkan dalam Gambar 4. Cumulatif Survival : selang 16 : selang 8 : selang 4 : selang Survival times Gambar 4. Grafik fungsi ketahanan metode Life Table untuk beberapa panjang selang Dari Gambar 4 terlihat bahwa panjang selang yang berbeda menghasilkan pola fungsi ketahanan yang sama. Semakin panjang selang yang digunakan semakin tajam penurunan fungsi ketahanannya, dan sebaliknya semakin pendek selang yang digunakan semakin landai penurunannya, sehingga dapat lebih jelas digunakan untuk melihat perbedaan ketahanan dari survival times.

31 16 Pada metode Life Table panjang pendeknya selang yang dibuat memberikan hasil yang berbeda-beda pada fungsi hazard kumulatifnya. Makin kecil selang yang dibuat semakin jelas untuk membedakan nilai hazard kumulatifnya, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5. Cumulatif Hazard : interval 16 : interval 8 : interval 4 : interval 2 Gambar 5. Grafik fungsi hazard kumulatif metode Life Table untuk beberapa panjang selang Metode Kaplan-Meier Pada metode Kaplan-Meier asumsi sebaran data adalah diskret. Berbeda dengan metode Life Table, dalam metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, sehingga setiap satu kelahiran anak pertama dibuat selang. Misalkan waktu kelahiran anak pertama adalah r dan banyaknya wanita yang menikah adalah n, dengan r Survival Times n. Peluang kelahiran anak pertama dalam setiap selang j diduga dengan, dan peluang bertahannya diduga dengan persamaan,. Penduga fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier diberikan oleh, (4.3) untuk t k t t k 1, k = 1, 2,..., m, (t) = 1 untuk t t 1. Untuk menggambarkan penghitungan penduga fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier untuk data interval kelahiran anak pertama dapat dilihat pada Lampiran 3. Penyajian dalam bentuk grafik hasil penghitungan metode Kaplan-

32 17 Meier tersebut dan metode Life Table dengan panjang selang 4 adalah sebagai berikut. Cumulatif Survival : Life T 4 Kaplan M Survival times Gambar 6. Grafik fungsi ketahanan dengan metode Kaplan-Meier dan Life Table Dari Gambar 6 terlihat bahwa hasil penghitungan dengan metode Kaplan- Meier sedikit berbeda dengan hasil penghitungan metode Life Table. Pada Kaplan-Meier penurunan fungsi ketahanan baru terjadi mulai bulan ke-7 dan penurunannya lebih lambat, sedangkan pada Life Table penurunan sudah terjadi pada waktu awal dengan laju penurunan yang tajam. Namun dari kedua metode menunjukkan kesamaan pola, yaitu pada awalnya ketahanan tinggi lalu menurun dan menuju nol pada waktu ketahanan yang besar. Pendugaan fungsi hazard untuk data interval kelahiran anak pertama adalah rasio dari banyaknya kelahiran anak pertama dengan banyaknya wanita menikah yang berisiko untuk melahirkan anak pertama pada waktu itu. Jika fungsi hazard diasumsikan konstan antara waktu kelahiran anak pertama secara berturut-turut, maka hazard per unitnya dapat ditentukan dengan membagi rasio tersebut dengan waktu selangnya. Misal adalah banyaknya kelahiran anak pertama pada waktu, untuk dan menyatakan banyaknya wanita menikah yang berisiko melahirkan anak pertama pada waktu, maka fungsi hazard dalam selang dapat diduga dengan (4.4) untuk dan. Hasil penghitungan fungsi hazard metode Kaplan-Meier untuk data interval kelahiran anak pertama dapat dilihat pada Lampiran 3 dan grafiknya ditampilkan sebagai berikut.

33 18 Hazard Survival Times Gambar 7. Fungsi Hazard interval kelahiran anak pertama metode Kaplan-Meier Dari Gambar 7 di atas dapat dilihat bahwa nilai fungsi hazard pada metode Kaplan-Meier menunjukkan pola yang sama dengan pada metode Life Table yaitu nilai hazard untuk waktu yang berbeda tidak sama. Pada periode awal nilai fungsi hazard tinggi kemudian menurun dengan bertambahnya waktu. a. Standar Error dan Selang Kepercayaan Penduga Fungsi Ketahanan Penduga fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier untuk suatu nilai t dalam selang dari sampai dapat dinyatakan dalam bentuk, (4.5) untuk k = 1,2,,r dan adalah penduga dari peluang bahwa seseorang bertahan pada selang waktu yang dimulai dari, j = 1,2,,r. Untuk mempermudah penghitungan, persamaan (4.5) diambil logaritmanya menjadi. Ragam dari diberikan oleh (4.6) Banyaknya wanita menikah yang belum melahirkan anak pertama pada selang yang dimulai pada waktu diasumsikan menyebar binom dengan parameter dan. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran binom adalah:, x = 0,1, dan ragamnya adalah Karena nilai yang diamati adalah banyaknya wanita menikah yang belum melahirkan anak pertama pada selang yang dimulai pada waktu atau maka ragamnya menjadi. (4.7) Persamaan (4.7) dikalikan dengan diperoleh

34 19. Untuk nilai maka persamaan di atas menjadi. (4.8) Dengan menggunakan sifat ragam dan pendekatan deret Taylor, maka ragam dari suatu fungsi dengan X adalah peubah acak yang diberikan adalah (4.9). (4.10) Dari persamaan (4.8) dan (4.10) diperoleh. (4.11) Nilai disubstitusikan ke (4.11) diperoleh aproksimasi ragam dari log =. (4.12) Berdasar pada persamaan (4.12) maka persamaan (4.6) menjadi. Sebagai aplikasi dari persamaan (4.9) maka, sehingga

35 20 Jadi standar error dari fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier adalah. (4.13) Untuk metode Life Table, standar error dari fungsi ketahanan sedikit berbeda dengan metode Kaplan-Meier yaitu mengganti dengan menjadi. (4.14) Setelah standar error diperoleh selanjutnya akan dihitung selang kepercayaan dari. Nilai selang kepercayaan dari fungsi ketahanan pada waktu t diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai yang diduga dari fungsi ketahanan pada waktu t menyebar normal, dengan nilai tengah ragamnya. Selang kepercayaan bagi adalah Grafik selang kepercayaan 95% untuk penduga fungsi ketahanan data interval kelahiran anak pertama dengan metode Life Table (8.a) dan metode Kaplan-Meier (8.b) ditunjukkan pada Gambar 8. Cumulatif Survival Survival Times (8a) Gambar 8. Grafik selang kepercayaan metode Life Table dan Kaplan-Meier Pada Gambar 8 dapat dilihat bahwa jarak antara nilai bawah dan nilai atas pada metode Life Table (8.a) maupun pada metode Kaplan-Meier (8.b) sangat kecil yang berarti dapat dikatakan bahwa penduga fungsi ketahanan kedua metode cukup baik. Tabel selang kepercayaan 95% untuk penduga fungsi ketahanan data interval kelahiran anak pertama dengan metode Life Table dan metode Kaplan- Meier dapat dilihat pada Lampiran cumulatif survival Survival Times (8b) dan

36 21 b. Membandingkan Dua Grup dalam Data Survival Dalam dua grup data survival ada dua kemungkinan penjelasan yang mungkin untuk perbedaan fungsi ketahanan yang diduga. Salah satu penjelasan mengatakan bahwa ada perbedaan yang nyata antara waktu ketahanan dari kedua kelompok individu, sehingga kemampuan bertahannya juga berbeda. Penjelasan lain mengatakan bahwa perbedaan keduanya tidaklah nyata, kalaupun ada mungkin hanya faktor kebetulan. Untuk membedakan kedua pernyataan tersebut dapat digunakan uji hipotesis, misalnya uji Logrank. Uji Logrank disusun dengan memisahkan waktu kelahiran dalam dua kelompok data survival, masing-masing kelompok diberi nama grup I dan grup II. Misalkan ada r buah waktu kelahiran yang berbeda, pada kedua kelompok tersebut, dan pada waktu terjadi kelahiran sebanyak untuk grup I dan untuk grup II, Misalkan pula ada sebanyak individu yang berisiko melahirkan dalam grup I dan, maka ada buah kelahiran dari sebanyak individu. Sebagai ilustrasi ditampilkan dalam Tabel 1. untuk grup II pada waktu Tabel 1 Jumlah kelahiran pada j waktu kelahiran masing-masing grup Grup I II Total Jumlah Kelahiran pada waktu Jumlah individu yang bertahan hingga waktu Jumlah individu yang berisiko sebelum Misalkan hipotesis berbunyi: tidak ada perbedaan survival antara individuindividu dalam kedua kelompok tersebut. Untuk mendapatkan validitas hipotesis tersebut dapat dengan membandingkan berapa banyak kelahiran pada masingmasing grup pada setiap waktu kelahiran terhadap nilai harapannya. Jika benar bahwa ketahanan tidak terpengaruh oleh grup maka keempat entri pada Tabel 1 di atas hanya ditentukan oleh nilai. Dapat dianggap sebagai peubah acak yang bernilai antara nol hingga minimum dari atau, dan memiliki sebaran hipergeometrik. Peluang banyaknya kelahiran pada grup I sebesar ditentukan oleh

37 22 Ekspresi menyatakan banyaknya cara berbeda dapat dipilih dari dengan Peluang kelahiran pada waktu tidak tergantung pada letak individu di grup mana berada, sehingga peluang kelahiran pada waktu adalah. Rataan untuk peubah acak hipergeometrik adalah adalah nilai harapan banyaknya wanita menikah yang melahirkan pada waktu di grup I. Selanjutnya mengumpulkan informasi menyeluruh atas penyimpangan pada nilai-nilai amatan dari nilai harapannya, yaitu. (4.16) Ruas kanan persamaan (4.16) sama dengan, yaitu selisih antara total dari nilai amatan dan nilai harapan kelahiran di grup I. Statistik ini mempunyai nilai tengah nol karena. Ragam adalah jumlah dari ragam-ragam dengan waktu kelahiran saling bebas. Karena menyebar hipergeometrik maka ragamnya adalah sehingga ragam dari adalah var (4.18) Sebaran dari mendekati sebaran normal baku dengan rataan 0 dan ragam 1, dan dapat dinyatakan dengan

38 23 Kuadrat dari peubah acak normal baku mempunyai sebaran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan satu yang dinotasikan dengan, yang selanjutnya dikenal dengan uji Logrank. Statistik menyatakan penyimpangan amatan waktu ketahanan dengan nilai harapannya. Sebagai ilustrasi pada data interval kelahiran anak pertama, akan dianalisis menggunakan metode Life Table dan metode Kaplan-Meier. Peubah responnya adalah waktu dari menikah sampai melahirkan anak pertama dan peubah yang mempengaruhi tingkat ketahanan adalah tempat tinggal (1= kota dan 2= desa). 1 Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Life Table Hasil analisis menggunakan Life Table untuk peubah bebas tempat tinggal (desa, kota) untuk beberapa panjang selang yang berbeda, grafik fungsi ketahanannya adalah sebagai berikut. Gambar 9 Grafik fungsi ketahanan dengan beberapa panjang selang Pada Gambar 9 di atas menunjukkan bahwa penggunaan panjang selang yang berbeda-beda pada metode Life Table memberikan hasil yang konsisten untuk membandingkan fungsi ketahanan dengan peubah bebas tempat tinggal (desa, kota). Bedanya panjang selang yang kecil dapat lebih teliti untuk melihat perbedaan ketahanan antara yang bertempat tinggal di desa dan di kota. Dari

39 24 keempat macam panjang selang tersebut semua menunjukkan adanya perbedaan antara ketahanan individu di kota dan di desa. Untuk lebih menyakinkan hasil perbandingan secara grafik di atas, selanjutnya akan dilakukan uji hipotesis untuk masing-masing panjang selang pada metode Life Table tersebut. Hipotesis yang digunakan adalah, Daerah penolakan adalah jika nilai statistik Logrank,. Data dianalisis berdasarkan tempat tinggal untuk masing-masing panjang selang tersebut, dan hasil uji Logrank seperti tabel berikut. Tabel 2 Hasil uji Logrank berdasarkan tempat tinggal Panjang selang Dari Tabel 2 di atas terlihat bahwa hasil uji statistik Logrank untuk keempat panjang selang pada taraf nyata 0.05 ( ) menunjukkan bahwa cukup signifikan untuk menolak. Dengan demikian perbedaan panjang selang yang digunakan dalam metode Life Table tidak mempengaruhi keputusan hasil analisis. 2 Membandingkan dua kelompok data survival dengan metode Kaplan-Meier Hasil analisis ketahanan menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas tempat tinggal dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut. Gambar 10 Fungsi ketahanan metode Kaplan-Meier untuk peubah bebas tempat tinggal

40 25 Dari Gambar 10 terlihat bahwa ketahanan individu yang bertempat tinggal di kota berbeda dengan yang di desa. Hal ini sesuai dengan hasil analisis dengan menggunakan metode Life Table sebelumnya. Selanjutnya akan dilakukan uji hipotesis untuk melihat apakah perbedaan itu nyata atau kebetulan saja, dengan hipotesis sebagai berikut. Daerah penolakan adalah jika nilai statistik Logrank,. Data interval kelahiran anak pertama dianalisis berdasarkan tempat tinggal (desa, kota), dan hasil uji Logrank seperti tabel berikut. Tabel 3 Hasil uji Logrank berdasarkan tempat tinggal dengan metode Kaplan- Meier Statistik Nilai Statistik Dengan taraf nyata 0.05 uji khi-kuadrat berderajad bebas 1 didapat nilai W tersebut cukup signifikan untuk menolak. Jadi dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat ketahanan individu di desa dan tingkat ketahanan individu di kota. Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu, misalnya ingin melihat perbedaan karakteristik tingkat pendidikan, jenis pekerjaan, tempat tinggal, umur perkawinan pertama, dan lain-lain maka metode Life Table dan Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam metode Life Table dan Kaplan-Meier setiap dua kelompok populasi harus diuji secara tersendiri, sehingga jika ada beberapa kelompok maka harus dilakukan uji berulang-ulang Metode Hazard Proporsional Cox Jika responden mempunyai beberapa karakteristik, metode hazard proporsional Cox dapat menerangkan pengaruh karakteristik-karakteristik tersebut terhadap peubah respon secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah hazard dalam peubah bebas kategori bersifat proporsional. Dalam motode hazard

41 26 proporsional Cox karakteristik-karakteristik ini disebut sebagai kovariat, peubah penjelas atau peubah bebas (covariates, explanatory variables or independent variables) dan sebagai peubah tak bebasnya adalah waktu ketahanan. Untuk mengetahui tingkat kegagalan bersyarat atau tingkat hazard dari individu dengan karakteristik tertentu (nilai peubah bebas) dapat dinyatakan dengan model hazard proporsional Cox. Misalkan suatu data survival untuk individu suatu populasi, maka fungsi hazardnya dapat ditentukan dengan. Jika ada populasi lain dengan fungsi hazard yang bersifat proporsional terhadap, maka dapat dinyatakan, dengan adalah konstanta positip. Karena maka dapat dilakukan transformasi dengan menggunakan fungsi eksponen, yaitu. Misal x adalah peubah indikator dengan nilai Jika adalah nilai dari x untuk individu ke- i, maka fungsi hazard individu tersebut dapat dinyatakan dengan. (4.19) Persamaan (4.19) adalah model hazard proporsional Cox untuk membandingkan dua populasi. Model tersebut dapat dibuat lebih umum yaitu risiko melahirkan anak pertama individu ke-i bergantung pada nilai dari p peubah penjelas. Himpunan nilai peubah penjelas pada model hazard proporsional Cox dinyatakan oleh vektor. Misalkan adalah fungsi hazard dari individu yang nilai peubah penjelasnya membuat vektor sama dengan nol, maka disebut baseline fungsi hazard. Fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan, dengan adalah nilai fungsi dari vektor peubah penjelas untuk individu ke-i. Nilai sehingga dapat dinyatakan dengan, dimana merupakan kombinasi linear dari p peubah penjelas pada, yaitu =.

42 27 Selanjutnya bentuk umum hazard proporsional Cox menjadi =. (4.20) Persamaan (4.21) menunjukkan bahwa model hazard proporsional Cox dapat dilihat sebagai model linear logaritma dari rasio hazard. a. Penduga parameter Parameter dalam model hazard proporsional Cox merupakan parameter yang belum diketahui nilainya dan akan diduga menggunakan metode maximum likelihood. Pendugaan dengan metode maximum likelihood adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood adalah peluang bersama dari data pengamatan yang dianggap sebagai fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya dalam asumsi model. Misalkan data n wanita menikah yang terdiri dari r individu telah melahirkan anak pertama dan n-r individu tersensor kanan, data r individu diurutkan menjadi. Diasumsikan hanya ada satu kelahiran pada tiap waktu kelahiran. Jika kejadian A adalah wanita menikah dengan nilai peubah penjelas melahirkan anak pertama pada waktu dan kejadian B adalah kelahiran tunggal pada waktu, maka = (4.22) Pembilang pada (4.22) di atas adalah bentuk sederhana dari risiko melahirkan anak pertama individu ke-i pada waktu sehingga fungsi hazardnya dapat dinyatakan sebagai. Penyebutnya merupakan jumlah dari risiko kelahiran anak pertama pada waktu ( untuk semua individu yang mempunyai risiko melahirkan anak pertama pada waktu dan dapat dinyatakan

43 28 dengan. adalah himpunan risiko pada waktu yang terdiri dari individu-individu yang bertahan hingga. Ekspresi (4.22) dapat dinyatakan dengan, dan menggunakan persamaan (4.20) menjadi Fungsi likelihoodnya menjadi: Misalkan waktu kejadian dan waktu sensor dari data n pengamatan dinyatakan dalam notasi pasangan peubah acak (, dan merupakan indikator yang menunjukkan apakah waktu survival tidak tersensor ( atau tersensor (, maka persamaan (4.23) dapat ditulis menjadi Jika persamaan di atas di ln-kan maka diperoleh Penduga dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi ln-likelihood yaitu dengan menentukan solusi dari persamaan

44 29 Persamaan di atas sulit diselesaikan secara analitis tetapi lebih mudah diselesaikan secara numerik, misalnya dengan bantuan program SPSS 13.0 for windows. Ragam dari dapat didefinisikan sebagai dan standar error dari adalah. Selanjutnya selang kepercayaan untuk dapat ditentukan dengan menghitung nilai. b. Fungsi Ketahanan Model Hazard Proporsional Cox Fungsi ketahanan dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan antara fungsi ketahanan dan fungsi hazard kumulatif yaitu. Fungsi hazard kumulatif untuk individu ke i diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (4.20), Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan diperoleh fungsi ketahanan untuk individu ke- i, dan mengeksponenkannya, akan

45 30 (4.26) c. Penduga Fungsi Hazard dan Fungsi Ketahanan Misalkan suatu model hazard proporsional Cox dengan p peubah penjelas dan koefisien penduga dari peubahnya adalah. Penduga fungsi hazard untuk individu ke-i adalah dengan adalah nilai peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i, dan adalah penduga baseline fungsi hazard. Penduga baseline fungsi hazard diturunkan menggunakan pendekatan metode maksimum likelihood. Misal ada r waktu kelahiran anak pertama yang diurutkan, buah kelahiran anak pertama, dan individu yang berisiko melahirkan anak pertama. Penduga baseline fungsi hazard pada waktu adalah (4.28) dimana adalah solusi dari persamaan untuk = kumpulan semua kelahiran anak pertama pada waktu, = kumpulan semua individu yang berisiko melahirkan anak pertama pada waktu. Untuk kasus tidak ada keterkaitan waktu kelahiran anak pertama, yaitu, maka ruas kiri persamaan (4.29) akan mempunyai bentuk tunggal sehingga persamaan tersebut dapaat diselesaikan untuk mendapatkan

46 31 Dengan asumsi bahwa risiko kelahiran anak pertama adalah konstan untuk waktu kelahiran anak pertama yang berdekatan, dan dapat dianggap sebagai penduga dari peluang individu bertahan dari sampai, maka penduga baseline fungsi ketahanan adalah untuk, dan untuk. Kumulatif baseline fungsi hazard adalah sehingga penduganya adalah untuk. Penduga baseline fungsi hazard, fungsi ketahanan, dan kumulatif fungsi hazard pada persamaan (4.28), (4.30), dan (4.31) dapat digunakan untuk mencari hubungan penduga untuk individu dengan nilai peubah penjelas. Penduga fungsi hazard kumulatif untuk individu ke-i dapat diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (4.27), yaitu Penduga fungsi ketahanan untuk individu ke-i dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan (4.32) dengan, dan mengeksponenkannya, yaitu