Kata Kunci: TBC, Laju Kesembuhan, Analisis Survival, Regresi Cox-Weibull

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 4 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN MODEL REGRESI COX-WEIBULL UNTUK MENENTUKAN FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI LAMA KESEMBUHAN PASIEN TUBERCULOSIS (STUDI KASUS : PASIEN TBC DI RUMAH SAKIT DR M DJAMIL PADANG) STEPANI BURNI SAFITRI, HAZMIRA YOZZA, IZZATI RAHMI HG Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia stepaniburni@gmailcom Abstrak Tuberculosis (TBC) merupakan suatu penyakit saluran pernafasan yang disebabkan bakteri Mycobacterium Tuberculosis dan dapat menyebabkan kematian Meskipun demikian, dengan perawatan yang tepat, penyakit ini dapat disembuhkan Penelitian ini bertujuan untuk menentukan faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien penderita TBC di Rumah Sakit dr M Djamil Padang serta memodelkan laju kesembuhan pasien dan mengetahui laju kesembuhannya Data lama rawat inap pasien penderita TBC di Rumah Sakit dr M djamil Padang berdistribusi Weibull sehingga metode analisis yang digunakan adalah analisis survival dengan model regresi Cox-Weibull Diketahui bahwa faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien TBC penderita TBC adalah usia dan jenis kelamin Dari nilai odds ratio diketahui bahwa pasien dengan jenis kelamin perempuan memiliki resiko sembuh sebesar 0,721 kali lebih besar dibandingkan pasien dengan jenis kelamin laki-laki dan diketahui juga bahwa jika usia bertambah satu tahun maka resiko penderita TBC untuk mencapai kesembuhan bertambah sebesar 1,007 kali dibandingkan pasien lain Dari penelitian ini diketahui juga bahwa kebiasaan merokok berkolerasi dengan variabel jenis kelamin Sehingga meskipun pengaruh kebiasaan merokok terhadap laju kesembuhan pasien penderita TBC tidak nyata,namun pengaruh ini dapat dianggap diwakili oleh variabel jenis kelamin Kata Kunci: TBC, Laju Kesembuhan, Analisis Survival, Regresi Cox-Weibull 1 Pendahuluan Penyakit Tuberculosis atau yang sering dikenal dengan sebutan TBC adalah penyakit infeksi pada saluran pernafasan yang disebabkan oleh bakteri mycobacterium tuberculosis [5] Bakteri mycobacterium tuberculosis ini merupakan bakteri basil yang sangat kuat dan biasanya menyerang paru-paru, dan juga organ tubuh lainnya seperti kelenjar getah bening, usus, ginjal, kandungan, tulang, bahkan otak Penyakit TBC ini adalah suatu jenis penyakit yang mudah menular Penyakit TBC ini masih menjadi perhatian dunia, karena hingga saat ini belum ada satu negarapun yang terbebas dari penyakit ini Dari awal abad ke-20 hingga saat ini jumlah kasus baru TBC meningkat di seluruh dunia, 95 % kasus terjadi di negara berkembang 62

2 Penerapan Model Regresi Cox-Weibull 63 [8] Meskipun merupakan penyakit berbahaya dan dapat menyebabkan kematian, penyakit TBC dapat disembuhkan melalui pengobatan yang tepat Masa penyembuhan penderita TBC membutuhkan waktu yang tidak sebentar, biasanya penderita dirawat terlebih dahulu di rumah sakit selama beberapa waktu sampai penderita dinyatakan dapat rawat jalan Laju kesembuhan adalah perubahan keadaan pasien tiap satuan waktu sampai keadaan pasien membaik atau dinyatakan sembuh Laju kesembuhan berhubungan dengan data lamanya rawat inap Laju kesembuhan pasien diduga dipengaruhi oleh beberapa faktor seperti usia, jenis kelamin, lama batuk, jenis dahak, batuk darah, sesak nafas, berat badan, riwayat OAT (Obat Anti Tuberkulosis), merokok, kadar hemoglobin, kadar hematokrit, jumlah trombosit, serta kadar leukosit Data lamanya rawat inap termasuk data tahan hidup seseorang Analisis yang tepat digunakan untuk data tahan hidup seseorang adalah analisis ketahanan hidup Pada penelitian ini data lama rawat inap pasien penderita TBC terdistribusi Weibull Salah satu analisis yang tepat analisis survival dengan model regresi Cox-Weibull Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien penderita TBC serta memodelkan laju kesembuhan pasien penderita TBC dan mengetahui laju kesembuhannya 2 Analisis Survival Pembahasan tentang analisis survival merujuk dari [2] Analisis survival merupakan suatu teknik statistika yang digunakan untuk menganlisis data yang variabelnya adalah waktu sampai terjadinya suatu kejadian Kejadian yang dimaksud merupakan suatu peristiwa khusus yang terjadi misalnya keluar dari rumah sakit Waktu survival (T ) merupakan lamanya waktu dimulai dari awal pengamatan terhadap suatu objek sampai pengamatan berakhir atau terjadinya suatu kejadian tertentu Dalam menentukan waktu survival, terdapat tiga faktor yang harus diperhatikan, yaitu: (1) Waktu awal adalah waktu dimulainya suatu pengamatan (2) Waktu akhir adalah waktu berakhirnya suatu pengamatan Waktu ini menjadi kejadian inti dari pengamatan (3) Interval waktu (dalam satuan waktu) adalah interval dari dimulainya pengamatan sampai berakhirnya suatu pengamatan atau terjadinya suatu kejadian tertentu Dalam analisis survival terdapat dua fungsi yaitu fungsi survival dan fungsi hazard Fungsi survival (S(t)) didefinisikan sebagai peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari t (waktu survival) [1] dan fungsi distribusi kumulatif diperoleh S(t) = P (T > t), S(t) = 1 P (T t) = 1 F (t) Fungsi hazard (h(t)) didefinisikan sebagai peluang kegagalan atau tejadinya event selama interval waktu yang sangat kecil dengan asumsi individu telah berta-

3 64 Stepani Burni Safitri dkk han sampai waktu ke-t h(t) = f(t) S(t) Model regresi Cox secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: dimana h(t) = h 0 (t) exp(β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x β n x n ), h 0 (t) : nilai baseline hazard yang merupakan nilai fungsi hazard pada saat semua variabel bebas benilai 0 Fungsi ini hanya melibatkan waktu survival t x 1, x 2,, x p : nilai dari variabel bebas β 1, β 2,, β p : parameter regresi p : banyaknya variabel bebas Pendugaan parameter pada model Cox Proportional Hazard dilakukan dengan menduga menduga β dari sebaran Weibull adalah [9] dimana x j L(β) = r (j=1) exp(βx j ) exp(βx i ), : nilai variabel ketika individu yang diamati mampu bertahan pada waktu l : individu yang mampu bertahan dalam pengamatan β = β 1, β 2,, β p Untuk memperoleh nilai β yang memaksimumkan nilai L(β), digunakan ln L(β) yang diturunkan terhadap β, yaitu: d ln L(β) dβ = 0 Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan algoritma Newton Raphson dengan titik awal β 0 = 0 yang dituliskan sebagai berikut: [ ] 1 β j+1 = β j d 2 L(β j ) d ln L(β) j dβ 2 dβ Uji signifikansi parameter pada model yang diperoleh dilakukan pengujian secara dua tahap, yaitu uji serentak dan uji parsial atau uji Wald Uji serentak regresi Cox- Weibull dilakukan untuk mengetahui apakah variabel bebas berpengaruh signifikan secara serentak Hipotesis yang digunakan yaitu dengan statistik uji H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 H 1 : paling sedikit ada sesuatu ada satuβ k 0, k = 1, 2,, p G 2 = 2 ln = 2[ln L(0) ln L(β j )]

4 Penerapan Model Regresi Cox-Weibull 65 Pada pengujian ini, H 0 ditolak G 2 > X 2 p,a jika nilai p < α yang berarti bahwa paling tidak ada satu variabel bebas yang berpengaruh signifikan terhadap model Uji parsial atau uji Wald dilakukan untuk mengetahui apakah variabel bebas berpengaruh signifikan secara individu terhadap fungsi hazard Hipotesis yang digunakan yaitu : dengan statistik uji X 2 w = H 0 : β k = 0 H 1 : β k 0 ( ) 2 βk SE(β k ) Pada pengujian ini, tolak H 0 jika Xhitung 2 atau nilai p < α dengan α adalah taraf nyata Setelah dilakukan uji signifikansi parameter maka langkah selanjutnya adalag dengan memilih model yang tebaik dengan mneggunakan eliminasi backward [9] 21 Distribusi Weibull Distribusi Weibull memiliki dua parameter yaitu β (parameter bentuk) dan (parameter skala) Fungsi kepekatan peluang peubah acak Weibull (β, ) adalah f(t) = ( β )( ) β 1 ( t exp Dengan fungsi distribusi kumulatif Weibull [ ( F (t) = 1 exp t ( ) β ) t ) β ] ; t > 0 Dengan menggunakan turunan rumus pada pendugaan parameter diperoleh pendugaan parameter sebagai berikut = [ ] 1 Σ n β i=1 tβ i, dan dengan menggunakan langkah metode Newton-Raphson diperoleh pendugaan parameter β sebagai berikut β n+1 = β n Σ n i=1 tβ i ln ti 1 Σ n i=1 tβ β Σn i=1 ln ti n i Σ n i=1 tβ i Σn i=1 tβ i (ln ti)2 (Σ n i=1 tβ i ln ti)2 + 1 (Σ n I=1 tβ i )2 β 2 Jika T adalah waktu survival yang menyebar menurut sebaran Weibull maka fungsi hazard, fungsi kumulatif hazard, dan fungsi survival adalah sebagai berikut Fungsi hazard h(t) = f(t) S(t) = β ( ) β t

5 66 Stepani Burni Safitri dkk Fungsi kumulatif hazard didefinisikan Dengan Fungsi Survival H(t) = t 0 h(t)dt = S(t) = 1 F (t) = exp ( ) β t, [ ( ) β ] t 22 Uji Hipotesis Mengenai Sebaran Data Uji distribusi data dapat dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov sebagai berikut Misalkan ingin diuji apakah suatu data terdistribusi menurut suatu sebaran teretentu Hipotesis yang digunakan adalah Statistik uji yang digunakan adalah dengan: H 0 : Data mengikuti distribusi tertentu H 1 : Data tidak mengikuti distribusi tertentu D = max F (x) S(x), F (x) : Fungsi sebaran kumulatif populasi S(x) : Fungsi sebaran kumulatif sampel Daerah penolakan H 0 adalah jika nilai D hitung > D tabel yang berarti bahwa data tidak mengikuti distribusi tersebut Jika α yang digunakan adalah 005 dengan jumlah sampel sebanyak n, maka D tabel yang digunakan : D tabel = 136 n 3 Metodologi Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari bagian rekam medik Rumah Sakit dr M Djamil Padang berupa hasil rekam medik dari pasien penderita TBC yang dirawat di Rumah Sakit dr M Djamil Padang Variabel respon (Y ) pada penelitian ini adalah waktu survival yaitu lamanya pasien dirawat di Rumah Sakit dan variabel bebas (X) adalah X 1 : Usia X 2 : Jenis Kelamin X 3 : Lama Batuk X 4 : Jenis Batuk X 5 : Batuk Darah X 6 : Sesak Nafas X 7 : Berat Badan X 8 : Riwayat OAT X 9 : Merokok X 10 : Kadar Hemoglobin X 11 : Kadar Hematokrit X 12 : Jumlah Trombosit X 13 : Kadar Leukosit Langkah-langkah pada penelitian ini adalah (1) Mendeskripsikan karakteristik pasien penderita penyakit TBC (2) Mengidentifikasi variabel-variabel yang digunakan

6 Penerapan Model Regresi Cox-Weibull 67 (3) Melakukan metode regresi Cox-Weibull untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi fungsi survival penderita penyakit TBC dengan langkahlangkah: (a) Melakukan pemeriksaa distribusi data waktu survival dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov (b) Menyusun model regresi (c) Melakukan seleksi model terbaik dengan eliminasi Backward (d) Mencari faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien TBC berdasarkan model terbaik (4) Menduga laju kesembuhan pasien penderita penyakit TBC dengan menghitung taksiran fungsi hazard dari model yang terbentuk pada waktu t (5) Menghitung nilai odds ratio dari variabel bebas yang berpengaruh terhadap model (6) Membuat kesimpulan dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan 4 Hasil dan Pembahasan Berikut akan dipaparkan hasil dan pembahasan dalam penelitian ini 41 Pendugaan Distribusi Waktu Survival Untuk mengetahui distribusi lamanya rawat inap pasien TBC dilakukan pendugaan distribusi Weibull dengan melakukan uji Kolmogorov-Smirnov, dengan hipotesis H 0 : Data mengikuti distribusi Weibull, H 1 : Data tidak mengikuti distribusi Weibull Dengan melakukan langkah pendugaan parameter distribusi Weibull diperoleh = 957 dan parameter β = 128 Berdasarkan perhitungan densitas sebaran Weibull waktu survival, diperoleh D hitung = Sementara D tabel diperoleh dengan rumus : D tabel = 136 n Dengan taraf uji α = 0, 1 dan n = 242 maka diperoleh D tabel = Karena D hitung < D tabel maka tidak tolak H 0 dengan kata lain H 0 diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa data mengikuti sebaran W eibull(β, ) 42 Pemodelan Waktu Survival Menggunakan Model Regresi Proportional Hazard Untuk memodelkan waktu survival dengan menggunakan model regresi proportional hazard terlebih dahulu kita akan mensubsitusikan parameter = 957 dan β = 128 (taraf uji α = 0, 1) sehingga diperoleh fkp dari waktu survival t sebagai berikut: f(t) = ( )( t 957 ) exp ( ( t 957 ) 128 ),

7 68 Stepani Burni Safitri dkk dan fungsi kumulatif F (t) = t 0 ( )( ) ( ( ) 128 ) 128 y y exp dy Sedangkan fungsi Hazard adalah h(t) = f(t) ( ) 128 t S(t) = Fungsi hazard untuk pasien ke-i dapat dinyatakan sebagai berikut: ( ) 128 t h i (t) = exp( β i x i ) 957 Selanjutnya akan dibentuk model regresi untuk mengetahui variabel bebas apa saja yang berpengaruh terhadap laju kesembuhan dengan menggunakan metode eliminasi backward Langkah awal dari metode eliminasi backward adalah dengan memasukkan semua variabel bebas pada model, selanjutnya variabel satu persatu dikeluarkan dari model sehingga tidak ada lagi variabel yang akan dikeluarkan Pada akhirnya diperoleh model dengan variabel bebas yang sifnifikan saja Setelah didapatkan model maka selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter dengan cara melakukan uji serentak regresi Cox-Weibull Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut: Dengan statistik uji : H 0 : β 1 = β 2 = 0 H 1 : paling sedikit ada β j 0; j = 1, 2 G 2 = 2 ln = = 6807 Dengan menggunakan taraf nyata α = 005 maka diperoleh = 5991 Karena nilai statistik uji G 2 > maka tolak H 0 yang artinya paling tidak ada satu variabel bebas yang berpengaruh signifikan terhadap model Tahapan selanjutnya dilakukan uji parsial atau uji Wald, maka hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut H 0 : β 1 = 0 vs H 1 : β 1 0 H 0 : β 2 = 0 vs H 1 : β 2 0 Dalam Tabel 421 diperlihatkan nilai taksiran parameter pada model terbaik dengan menggunakan uji Wald

8 Penerapan Model Regresi Cox-Weibull 69 Dari tabel 421 dapat dilihat bahwa dengan taraf α = 01 dan nilai p untuk usia dan jenis kelamin lebih kecil dari α, maka dapat disimpulkan bahwa variabel usia dan jenis kelamin signifikan mempengaruhi laju kesembuhan penderita TBC Berdasarkan Tabel 421 dapat dibentuk model regresi sebagai berikut: dimana h(t) = h 0 (t) exp( 0007x 1 + ( 0327x 2 )), ( ) 128 t h 0 (t) = merupakan nilai fungsi hazard saat usia = 0 dan jenis kelamin = 0 43 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Laju Kesembuhan Pasien Penderita Tuberkulosis Berdasarkan nilai odds ratio yang diperoleh dari variabel yang signifikan dengan taraf nyata α = 0, 1 diperoleh hasil sebagai berikut Variabel usia merupakan variabel kontinu, nilai dari mempunyai interpretasi perbandingan odds ratio antara individu dengan usia lebih besar satu tahun dibandingkan individu lain Berdasarkan Tabel 431 dapat dilihat bahwa nilai odds ratio untuk variabel usia adalah 0,993 yang artinya jika usia bertambah satu tahun maka resiko penderita TBC untuk mencapai kesembuhan bertambah sebesar 1,007 kali dibandingkan pasien lain Pada Tabel 431 dapat dilihat juga bahwa jenis kelamin nilai odds ratio sebesar 0,721 artinya pasien dengan jenis kelamin perempuan memiliki resiko sembuh sebesar 0721 kali lebih besar dibandingkan pasien dengan jenis kelamin laki-laki Maka dapat disimpulkan bahwa pasien dengan jenis kelamin perempuan memiliki resiko sembuh lebih besar dibandingkan dengan pasien yang berjenis kelamin laki-laki 44 Analisis Pengaruh Merokok terhadap Laju Kesembuhan Pasien Tuberkulosis Berdasarkan berbagai literatur dan penelitian sebelumnya diketahui bahwa kebiasaan merokok merupakan variabel yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien TBC Namun berdasarkan hasil analisis peubah yang mempengaruhi laju dengan menggunakan metode eliminasi backward diperoleh bahwa variabel merokok tidak berpengaruh terhadap laju kesembuhan pasien TBC Ketidaksesuaian tersebut diduga terjadi karena adanya korelasi antara kedua variabel jenis kelamin dan

9 70 Stepani Burni Safitri dkk variabel merokok, sehingga pengaruh dari kebiasaan merokok akhirnya diwakili oleh variabel jenis kelamin Untuk memeriksa hal tersebut dilakukan uji khi-kuadrat terhadap variabel jenis kelamin dan variabel merokok Ditahap awal, dibentuk tabel kontingensi antara kedua variabel kategorik tersebut, sebagaimana yang terlihat pada Tabel 441 Dari Tabel 441 dapat dikatakan bahwa proporsi penderita TBC merokok yang berjenis kelamin laki-laki lebih banyak daripada penderita perempuan yang merokok Selanjutnya akan dilakukan uji khi-kuadrat untuk mengetahui hubungan antara variabel jenis kelamin dan variabel merokok Selanjutnya akan dilakukan uji khi-kuadrat untuk mengetahui hubungan antara variabel jenis kelamin dan variabel merokok e 11 = 242 = 115, 698 Untuk sel yang lain diperoleh seperti pada Tabel 442 Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan diperoleh bahwa Xh 2 = 52, 34 Ini berarti bahwa terdapat hubungan antara variabel jenis kelamin dengan variabel merokok Hasil pengujian ini dapat digunakan untuk menjelaskan hasil analisis regresi Cox-Weibull yang menyatakan kenapa jenis kelamin mempengaruhi kebiasaan merokok, sementara kebiasaan merokok tidak mempengaruhi laju kesembuhan tersebut

10 5 Kesimpulan Penerapan Model Regresi Cox-Weibull 71 Faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan penderita penyakit TBC adalah usia dan jenis kelamin dengan model regersi Cox-Weibull adalah sebagai berikut ( ) 128 t h(t) = exp( 0007x 1 + ( 0327x 2 )), 957 dimana X 1 merupakan variabel usia dan X 2 merupakan variabel jenis kelamin Berdasarkan nilai odds ratio diperoleh bahwa untuk variabel usia memiliki nilai odds ratio sebesar 0,993 yang artinya jika usia bertambah satu tahun maka resiko penderita TBC untuk mencapai kesembuhan bertambah sebesar 10,07% dibandingkan pasien lain Nilai odds ratio untuk variabel jenis kelamin adalah sebesar 0,721 yang artinya pasien dengan jenis kelamin perempuan memiliki resiko sembuh sebesar 0721 kali lebih besar dibandingkan pasien dengan jenis kelamin laki-laki Dengan melakukan uji khi-kuadrat diperoleh bahwa terdapat hubungan antara variabel jenis kelamin dan variabel merokok Dapat dikatakan bahwa variabel jenis kelamin dapat mewakili variabel merokok terhadap laju kesembuhan pasien penderita TBC 6 Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr Ferra Yanuar, Bapak Dr Mahdhivan Syafwan, dan Ibu Radhiatul Husna, MSi yang telah memberikan masukan dan saran dalam penyempurnaan penulisan artikel ini Daftar Pustaka [1] Collect, D 1994 Modelling Survival Data in Medical Research Edisi ke-2 Chapman and Hall [2] Cox, DR, Oakes, D 1984 Analysis of Survival Data London: Chapman and Hall [3] Hosmer, DW, Lemeshow, S dan May, S 2008 Applied Survival Analysis Wiley & Sons, Inc, Hoboken, New Jersey [4] Kementerian Kesehatan RI 2014 Profil Kesehatan Indonesia tahun 2013 Jakarta: Kementerian Kesehatan RI [5] Kementerian Kesehatan RI 2015 Profil Kesehatan Indonesia tahun 2014 Jakarta: Kementerian Kesehatan RI [6] Law, A M, & D W Kelton 2000 Simulation Modelling Analysis Edisi ke-3 MacGraw-Hill, New York [7] Maulana, dkk 2012 Analisis Survival Untuk Mengetahui Laju Kesembuhan Penyakit TB Paru di Jakarta Berbasis Dekstop Application Universitas Bina Nusantara : Jakarta Barat [8] Rahajoe, dkk 2005 Pedoman Nasional Tuberkulosis Anak Jogjakarta: DIVA Press [9] Rahayu 2015 Analisis Survival untuk Data Kejadian Berulang Tidak Identik dengan Model Cox Stratifikasi Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta [10] Siegel 1992 Statistik Nonparametik Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama