Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Transkripsi

1 Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan IV Konsep Peluang Septian Rahardiantoro - STK IPB 1

2 Populasi Pengambilan contoh dari populasi untuk pendugaan parameter Contoh1 Parameter μ Statistik x Setara dengan UMUM DIDUGA Pola pikir INDUKSI KHUSUS Muncul KETIDAKPASTIAN Septian Rahardiantoro - STK IPB 2

3 KETIDAKPASTIAN bersifat ACAK Suatu fenomena dikatakan ACAK jika hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti Fenomena ACAK sering mengikuti suatu pola tertentu Keteraturan ACAK dalam jangka panjang dapat didekati secara matematika Studi matematika mengenai KEACAKAN TEORI PELUANG peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebut dengan ilmu peluang, kita dapat membuat daftar serentetan kemungkinan kejadian yang dapat terjadi Septian Rahardiantoro - STK IPB 3

4 Teori Peluang Ada dua tipe percobaan: Deterministik : Suatu percobaan yang menghasilkan output yang sama We are waiting the bus Probabilistik : Hasil dari percobaan bisa sembarang kemungkinan hasil yang ada Lama menunggu sampai bus datang Septian Rahardiantoro - STK IPB 4

5 Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan? Perlu pengetahuan mengenai RUANG CONTOH dan RUANG KEJADIAN perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaan Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Notasi dari ruang contoh: S = {e 1, e 2,, e n }, n = banyaknya hasil (n bisa terhingga atau tak terhingga) Ruang Kejadian adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu. Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ). Septian Rahardiantoro - STK IPB 5

6 Ilustrasi 1 Kejadian A: Munculnya sisi Gambar Percobaan: Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG} Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG} Kejadian B: Munculnya sisi yang sama Ruang Kejadian: A = {AA, GG} Septian Rahardiantoro - STK IPB 6

7 Ilustrasi 2 Percobaan: Pelemparan 2 dadu setimbang yang saling bebas Kejadian A: Jumlah dadu ganjil dst Ruang Contoh: S = { 11, 12,, 65, 66} N(S) = 36 Ruang Kejadian: A = {12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 43, 45, 52, 54, 56, 61, 63, 65} n(a) = 18 Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian? Septian Rahardiantoro - STK IPB 7

8 Review Faktorial Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n! = n (n-1) (n-2)... (3)(2)(1) n! = n (n-1)! Kasus khusus 0! 0! = 1 Contoh : 4! = = 24 5! = = 5.4! = 120 6! = 6.5! = ! =.. Kaidah Penggandaan Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas. N(S) = n 1 n 2 n k Contoh: Melempar 3 buah mata uang: N(S) = = 8 Melempar 2 buah dadu: N(S) = 6 6 = 36 Septian Rahardiantoro - STK IPB 8

9 Review Permutasi Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN. Ilustrasi Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara : K WK B = 60 Permutasi tingkat 3 dari 5 objek P 5! (5 3)! 5! ! 2! 2! 5 3 Permutasi tingkat r dari n unsur/objek n n! n ( n 1) ( n 2)... 0! Pr ( n r)! ( n r) ( n r 1)... 0! 60 Septian Rahardiantoro - STK IPB 9

10 Review Kombinasi Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN Ilustrasi Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian. Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menempati tempat duduk yang tersedia A B C D E A B C A B D A B E A C D A C E A D E B C D B C E B D E C D E Kombinasi 3 dari ! (5 3)!3! 5! 2!3! 5.4.3! 10 2!3! Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek C n r n! n ( n 1) ( n 2)... 0! ( n r)! r! ( n r) ( n r 1)... 0! r! Septian Rahardiantoro - STK IPB 10

11 Contoh 1 Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk! L L L L L P P P P Dipilih 2 orang Dipilih 1 orang Banyak tim yang terbentuk = 10 4 = 40 Septian Rahardiantoro - STK IPB 11

12 Setelah mengetahui tentang konsep dasar dalam penentuan banyaknya kemungkinan dalam suatu kejadian, maka selanjutnya konsep yang penting untuk dipelajari ialah konsep PELUANG Peluang Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi relatif. Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/n Hukum Bilangan Besar P(A) m/n Jika suatu proses atau percobaan diulang sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jika karakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan mendekati peluang dari A Septian Rahardiantoro - STK IPB 12

13 Contoh 2 Dari ilustrasi 1, percobaan pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas, tentukan peluang kejadian A = Munculnya sisi Gambar N(S) = 4, n(a) = 3 P(A) = n(a)/n(s) = ¾ Dari contoh 1, tentukan peluang susunan tim yang mungkin terbentuk dgn kondisi tersebut! N(S) = 9 3 = 84, n(a) = 40 P(A) = n(a)/n(s) = 10/21 Septian Rahardiantoro - STK IPB 13

14 Aksioma Peluang Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu: 1. 0 P(x i ) 1, untuk i=1,2,, n 2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1, P x i = 1 3. P(A 1 +A 2 + +A m ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A m ), jika A 1, A 2,, A m merupakan kejadian-kejadian yang terpisah. Hukum Penjumlahan dalam Peluang Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A A B B Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(A B) =0, sehingga P(A B) = P(A) + P(B) A B Septian Rahardiantoro - STK IPB 14

15 Hukum Perkalian dalam Peluang Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) Kejadian Saling Bebas Kejadian saling bebas adalah kejadiankejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah: P(A B)=P(A).P(B) Catatan: Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, serta P(A) > 0 dan P(B) > 0, maka A dan B adalah dua kejadian yang tidak bebas Karena: P(A B)=0, sedangkan P(A)P(B) > 0 Septian Rahardiantoro - STK IPB 15

16 Contoh 3 Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=(0.6)(0.6)=0.36 Septian Rahardiantoro - STK IPB 16

17 Peluang Bersyarat Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi. Peluang A jika diketahui B P(A B) P A B = P(B) Jika kejadian A dengan B saling bebas maka P A B = P(A B) P(B) = P A P(B) P(B) = P(A) Septian Rahardiantoro - STK IPB 17

18 Contoh 4 Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (M) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B). diambil 2 bola Pengambilan 1 Pengambilan 2 M 2/5 B 3/5 M 1/4 B 3/4 M 1/2 B 1/2 P M B = = 1 2 P(M B) P(B) Septian Rahardiantoro - STK IPB 18

19 Teorema Bayes Peluang bersyarat dengan kondisi yang diketahui ialah kejadian kedua, sedangkan yang dicari ialah kejadian pertama Kejadian pertama A tersekat menjadi beberapa bagian A 1, A 2,, A k, dengan kejadian B terjadi setelahnya, maka P B = P(A i )P(B A i ) A 1. A k Kejadian B B=(B A 1 ) + (B A 2 ) +. + (B A k ) P(B)=P(B A 1 ) + P(B A 2 ) +. + P(B A k ) Peluang A i bersyarat B P A i B = P(A i B) P(B) Septian Rahardiantoro - STK IPB 19

20 Contoh 5 Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung? Septian Rahardiantoro - STK IPB 20

21 Misalkan : H = Bogor hujan, P = mahasiswa membawa payung P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P H) = 0.8 P(P TH) = 0.4 Ditanya : P(H P) Jawab : P( H P) P( H P) P( H ) P( P H ) P( H P) P( P) P( H P) P( TH P) P( H ) P( P H ) P( TH ) P( P TH ) P( H P) Sesuai hukum perkalian peluang Septian Rahardiantoro - STK IPB 21

22 Thank you, see you next week Septian Rahardiantoro - STK IPB 22