BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Objek Fraktal Fraktal memiliki dua arti yang saling berhubungan. Dalam penggunaan sehari-hari, fraktal adalah bentuk yang dibentuk secara berulang atau self-simiar. Atau dengan kata lain, sebuah bentuk yang mirip pada semua tingkat pembesaran. Karena alasan ini objek fraktal seringkali dianggap rumit tidak berhingga infinitely complex. Dalam sudut pandang matematika, fraktal adalah objek yang memenuhi spesifikasi teknis tertentu. Spesifikasi ini adalah: Dimensi Hausdorff > Dimensi Topologi (Mandelbrot, 1983, p361) Objek-objek dengan spesifikasi ini sudah lama dikenal jauh sebelum kata fraktal ini di definisikan. Objek-objek ini dapat ditemukan dalam kerajinan primitif di benua Afrika. Konsep self-similar sudah timbul sejak abad ke 17. Pada tahun 1960, Benoit Mandelbrot mulai mempelajari konsep self-similar dan pada tahun 1975 mulai mempopulerkan istilah fraktal. Asal usul penggunaan kata fraktal adalah: Fraktal berasal dari bahasa Latin, yaitu kata sifat fractus dan kata kerja frangere. Frangere berarti memecah: membuat fragmen-fragmen yang tidak beraturan. Sebagai tambahan untuk istilah terfragmen (seperti dalam fraksi (fraction) atau refraksi (refraction)), fractus juga berarti tidak teratur atau terfragmentasi, tetapi juga dapat berarti dimensi fraksional (fractional dimensional). Keduanya berarti terbagi dalam bentuk fragmen. (Mandelbrot, 1983, p15) 5

2 6 Menurut Mandelbrot, (Mandelbrot, 1983, p16) fraktal adalah bentuk geometri kasar yang terfragmentasi, dapat dibagi dalam beberapa bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya. Berdasarkan uraian tersebut, fraktal dapat dikatakan sebagai objek geometri yang serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala perbesarannya Sifat Objek Fraktal Objek fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakan objek-objek fraktal dengan objek-objek geometri pada umumnya, yaitu: Self-similarity, atau sifat keserupaan diri. Sifat ini berarti suatu objek fraktal terdiri dari banyak tiruan yang sama, dari objek fraktal itu sendiri, dengan ukuran yang lebih kecil terkubur di dalam bentuk aslinya. Dengan kata lain, terdapat kesamaan di dalam bagian-bagian objek dibanding keseluruhan objek fraktal itu sendiri. Infinite detail, atau detil yang tak berhingga. Sifat ini berarti bahwa semakin objek fraktal diperbesar akan didapatkan bentuk objek yang lebih mendetil. Detil dari objek fraktal tidak terlihat langsung, tetapi akan muncul secara bertahap ketika objek fraktal tersebut dilihat semakin dekat dengan perbesaran. Setiap tahap perbesaran yang semakin meningkat akan memunculkan detil-detil baru. Karena itu sifat ini juga berarti bahwa objek fraktal tidak terpengaruh dengan ukuran skala, tidak mempunyai variasi penskalaan (invariance of scale).

3 7 (a) (b) Gambar 2.1 Segitiga Sierpinski Sebagai contoh, segitiga Sierpinski, salah satu jenis objek fraktal, pada Gambar 2.1 ditunjukkan dalam dua macam ukuran perbesaran. Pada Gambar 2.1(b), yang merupakan perbesaran dari Gambar 2.1(a), terlihat detil-detil tambahan yang bentuknya serupa dengan bentuk objek pada Gambar 2.1(a). Jika gambar semakin diperbesar, detil- detil baru akan terus muncul Dimensi Objek Fraktal Di awal bab ini didefinisikan fraktal memiliki sifat: dimensi Hausdorff > dimensi Topologi. Untuk itu diperlukan pengertian mengenai kedua dimensi tersebut. Pada awalnya manusia mengenal dimensi paling dasar, sebuah dimensi klasik yang seringkali disebut dimensi Euclidean. Dimensi ini adalah dimensi yang terdiri dari: - Garis dikenal sebagai satu dimensi, atau dimensi dimana diperlukan satu parameter untuk menemukan sebuah titik. Seperti di gambarkan pada Gambar 2.2. Gambar 2.2 Garis

4 8 - Bidang datar dikenal sebagai dua dimensi, atau dimensi dimana yang memerlukan dua parameter untuk menentukan sebuah titik. Contohnya (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ) dan (x 4,y 4 ). Contoh dua dimensi digambarkan pada gambar 2.3. Gambar 2.3 Bidang Datar - Gambar 2.4 menggambarkan contoh bentuk bangun ruang. Bangun ruang dikenal sebagai tiga dimensi, atau dimensi yang memerlukan tiga buah parameter untuk menentukan sebuah titik di dalamnya. Contohnya (x 1,y 1,z 1 ), (x 2,y 2,z 2 ), (x 3,y 3,z 3 ), (x 4,y 4,z 4 ) dan seterusnya. Gambar 2.4 bangun ruang Dari pengertian dimensi Euclidean, dapat diambil kesimpulan bahwa sebuah garis merupakan satu dimensi, bidang datar merupakan dua dimensi, dan bangun ruang merupakan tiga dimensi dan pada umumnya ruang Euclidean sebagai n-dimensi. Atau, dimensi dari sebuah ruang sama dengan jumlah parameter real yang diperlukan untuk menunjukkan titik yang berbeda pada ruang.

5 9 Pandangan dimensi euclidean mendapat sanggahan pada akhir abad ke-19 oleh dua penemuan berikut: Cantor set membuktikan adanya korespondensi satu-satu antara (satu dimensi) dan (dua dimensi). Konstruksi Peano mengenai pemetaan yang berkelanjutan dari (satu dimensi) ke (dua dimensi). Sanggahan ini menunjukkan bahwa pandangan mengenai dimensi belum cukup kuat. Pada awal abad ke 20, ahli matematika menemukan definisi yang tepat mengenai dimensi. Definisi ini disebut dimensi topologi. Sebagai permulaan perlu dimengerti mengenai open set dan closed set. Dalam sebuah ruang metrik X didefinisikan (Barnsley, 1994, p12): Open ball: sebuah open ball dalam X adalah sebuah subset dalam bentuk Untuk dan radius. Artinya, mengandung semua dengan jarak dari kurang dari. Open: sebuah subset adalah open jika merupakan arbitrary union dari open balls dalam X. Artinya tiap titik dalam S dikelilingi oleh open ball yang seluruhnya berada di dalam X. Closed: sebuah subset adalah closed jika komplemennya dalam X adalah open. Hal ini juga bisa digambarkan dengan mengatakan bahwa titik manapun di dalam X yang merupakan limit dari deretan titik dalam S harus terkandung dalam S.

6 10 Dalam ruang topologi X, dianggap bahwa tidak ada distance function, tetapi dianggap apa yang merupakan open subsets. Artinya dimiliki sekelompok dari subset X yang disebut open subsets dari X. Kelompok ini harus memiliki tiga aksiom dasar topology: Baik X dan open. Union dari open set apapun juga open. Simpangan dari open set apapun adalah open. Sebuah subset S dari ruang topologi X mewarisi sebuah topologi dari X. dikatakan open jika ada open subset seperti. Ini disebut topologi subspace pada S. Kemudian ada konsep lain yang berhubungan yaitu: Covering: Sebuah covering dari subset S adalah kumpulan dari open subset dalam X dimana union-nya mengandung semua S. Refinement: Sebuah refinement dari covering dari S adalah covering lainnya berupa dari S dimana tiap set B dalam berada dalam beberapa set dalam set A dalam. Jadi set dalam lebih kecil dari set dalam dan memberikan cakupan yang lebih rinci dari S. Coverings berperan penting dalam definisi dimensi topologi dan dimensi Hausdorff. Sebagai contoh, pada Gambar 2.5 ditunjukkan covering dari kurva Koch dalam warna merah dengan garis merah putus-putus yang menunjukkan batas dari lingkaran open, dan refinement dari dengan warna biru. Terlihat bagaimana tiap lingkaran biru berada dalam beberapa lingkaran merah, dan kurva Koch berada dalam union dari kedua covering.

7 11 Gambar 2.5 Covering dari kurva Koch Sebuah ruang topologi X memiliki dimensi topologi sebesar m jika tiap covering dari X memiliki refinement dimana tiap titik dari X berada pada paling besar m+1 set pada, dan m adalah paling kecil dari bilangan bulat ini. Gambar 2.5 menunjukkan gambaran untuk menemukan refinement dari covering dari kurva Koch dimana tiap titik dari kurva berada pada paling banyak dalam dua set pada kurva Koch, yang menunjukkan mengapa kurva koch memiliki dimensi topologi bernilai 1. Dimensi Hausdorff, didefinisikan oleh Felix Hausdorff ( ), adalah dimensi dengan definisi: Untuk objek apapun dengan ukuran (P) yang terdiri dari objek-objek dengan ukuran (p), dan jumlah objek (N) yang dapat dimasukkan ke dalam objek yang lebih besar sama dengan rasio ukuran (P/p) dipangkatkan dimensi Hausdorff (d). (Tucek, 2006, p1) N d P = atau p d log n = P log p

8 12 Sebelum memulai dengan objek fraktal, dicontohkan dengan objek sederhana. Pada Gambar 2.6 sebuah garis (satu dimensi) dengan (P) 2cm dibagi menjadi dua, akan didapatkan dua buah garis (N) dengan (p) 1cm. Apabila Rumus diatas diaplikasikan. d log 2 = maka d 2 log 1 = 1 Gambar 2.6 Garis dibagi dua Sedangkan pada Gambar 2.7 sebuah bidang persegi dengan sisi (P) 2cm dibagi dua, didapatkan empat (N) buah persegi dengan sisi (p) 1cm. d log 4 = maka d 2 log 1 = 2 Gambar 2.7 Bidang persegi dibagi empat

9 13 Terakhir, pada Gambar 2.8 tiap sisi sebuah kubus dengan sisi (P) 2cm dibagi dua, akan menghasilkan delapan (N) buah kubus dengan sisi (p) 1 cm. d log8 = maka d 2 log 1 = 3 Gambar 2.8 Kubus dibagi delapan Sekarang persamaan diatas diaplikasikan dengan sebuah objek fraktal. Sebagai contoh digunakan kurva Koch pada Gambar 2.9. Dengan segmen garis yang panjangnya 3cm (P), dibuat kurva Koch, yang berbentuk bintang yang terdiri dari 12 segmen. Jika kurva ini ditingkatkan dan menggunakan segmen garis dengan panjang 1cm (p), jumlah segmen garis yang digunakan meningkat menjadi 48 segmen garis. N = 48 segmen dibagi 12 segmen. d log 4 = maka d 3 log 1 = Hasilnya kurva Koch pada Gambar 2.9 memiliki dimensi Jadi kurva Koch memiliki dimensi Hausdorff > dari dimensi topologi ( > 1).

10 14 Gambar 2.9 Kurva Koch Klasifikasi Objek Fraktal Fraktal diklasifikasikan berdasarkan kemiripannya dengan diri sendiri atau selfsimilarity. Ada tiga jenis self-similarity dalam fraktal: Exact self-similarity bentuk terkuat self-similarity; fraktal tampak sama persis pada ukuran dan rasio berbeda. Fraktal yang dibuat oleh iterated function systems biasanya menghasilkan jenis ini. Quasi-self-similarity bentuk yang lebih lemah dari self-similarity; fraktal tampak mirip (tetapi tidak sama persis) pada ukuran dan rasio yang berbeda. Fraktal Quasiself-similar terdiri dari bentuk yang lebih kecil dari seluruh fraktal dalam bentuk yang terdistorsi. Fraktal seperti ini biasanya dibuat dengan cara recurrence relations. Statistical self-similarity bentuk self-similarity yang paling lemah; fraktal jenis ini memiliki ukuran numerik atau statistik yang dipertahankan pada ukuran dan rasio yang berbeda. Sebenarnya ini bentuk fraktal yang paling dasar karena semua fraktal pasti memiliki bentuk self-similarity karena fraktal adalah ukuran numerik yang dipertahankan pada ukuran apapun. Fraktal seperti ini biasanya di buat dengan Random Fractal.

11 15 Perlu dicatat bahwa tidak semua objek yang self-similar adalah fraktal contohnya garis nyata (garis Euclidean) berbentuk self-similar, tetapi karena dimensi Hausdorff dan dimensi topologinya sama-sama bernilai satu, garis tersebut tidak termasuk fraktal Teori Chaos Teori Chaos adalah adalah teori yang menggambarkan pergerakan rumit dan tidak dapat ditebak atau dinamika sebuah sistem yang mudah berubah dari kondisi inisialnya. Sistem Chaos dapat dijelaskan secara matematika karena mengikuti hukum tertentu. Tapi karena sifat berubah-ubahnya akan tampak acak bagi mata awam. Teori Chaos merupakan suatu bentuk perkembangan dari teori sistem dinamis (dynamical system), yang memfokuskan pembahasan pada gerakan-gerakan yang sangat kompleks (highly complex motions) yang dikenal dengan nama gerakan keotik (chaotic motions). Hal ini ditemukan oleh Henri Poincaré sekitar tahun 1890-an dalam usahanya membuktikan kestabilan sistem tata surya (solar system). Poincaré menyatakan: Mungkin terjadi bahwa perbedaan kecil pada kondisi awal menghasilkan perbedaan yang sangat besar pada fenomena akhirnya. Sebuah kesalahan kecil di awal akan menghasilkan kesalahan besar di akhir. Hal ini menyebabkan prediksi menjadi mustahil (Microsoft Corporation, 2005, p243). Teori sistem dinamis sendiri merupakan cabang ilmu matematika yang membahas berbagai gerakan (motion) dalam berbagai sistem yang terbentuk dan senantiasa berubah berdasarkan aturan-aturan yang sederhana. Teori ini ditemukan pertama kali oleh Isaac

12 16 Newton, sekitar abad ketujuhbelas, untuk memperagakan pergerakan sistem tata surya, bersamaan dengan teori gravitasi universalnya (universal gravitation) (Abraham, 2004, p16). Chaos terjadi didalam suatu sistem dinamis, yaitu jika dua buah titik acak yang mendekati titik pemicu (starting point) terbagi-bagi secara eksponensial, sehingga hasil akhirnya menjadi tidak dapat diprediksi. Fraktal juga merupakan salah satu dari sekian banyak topik menarik dalam teori Chaos. Contohnya, pada Gambar 2.9, adalah jenis fraktal dengan metode Strange Attractor dari persamaan logistik (logistic equation), yang dapat dilihat pada Gambar 2.9(a) berikut, serupa dengan diagram bifurkasi dari metode Chaos pada Gambar 2.9(b) Gambar 2.9 (a) Gambar 2.9 (b) Gambar 2.10 Perbandingan antara Fraktal dengan Chaos 2.9 (a) Objek Fraktal Strange Attractors dan Persamaan Logistik, 2.9 (b) Diagram Bifurkasi Fraktal berhubungan erat dengan chaos karena keduanya sama-sama merupakan sistem yang kompleks, yang memiliki sifat-sifat yang jelas. Fraktal dan chaos, keduanya tidak sama, walaupun fraktal sendiri sering kali dibentuk dari chaos. Devaney (Devaney, 1990, p35) mendefinisikan suatu fungsi sebagai chaotic function jika fungsi tersebut cenderung tergantung pada kondisi-kondisi inisial, jika fungsi tersebut transitif secara topologis, dengan titik-titik periode yang padat dan teratur. Dengan kata lain, sebuah fungsi merupakan chaotic function jika fungsi tersebut tidak terduga, tidak dapat diperkirakan, tidak dapat didekomposisi, tetapi tetap mengandung keteraturan. Sedangkan

13 17 Allgood dan Yorke mendefinisikan chaos sebagai jalur, garis, atau kurva yang tidak stabil baik secara eksponensial maupun menurut periodenya (Strohbeen, 2006, p14). Perilaku Chaotic sering dijumpai pada berbagai sistem seperti jaringan listrik, penyebaran penyakit, laser, ritme jantung, aktivitas listrik pada otak, cairan, populasi binatang dan reaksi kimia Metode Pembuatan Fraktal Ada beberapa teknik yang biasa digunakan untuk membuat fraktal. Teknik-teknik tersebut adalah: Metode Iterated Function Systems Metode Iterated Complex Polynomial Metode L-system Metode Strange Attractor Metode Iterated Function System Iterated function systems atau IFS adalah sebuah metode pembentukan fraktal yang divisualisasikan ke dalam bentuknya seperti sekarang oleh John Hutchinson dan di populerkan oleh Michael Barnsley dalam buku Fractals Everywhere. Fraktal yang dibentuk dari IFS dapat berada pada dimensi spasial manapun (pada dimensi apapun). Tetapi biasanya fraktal IFS di hitung dan di gambar pada dua dimensi. Sebuah fraktal IFS adalah hasil dari sebuah persamaan set rekursif. Fraktal IFS tediri dari union atau gabungan dari beberapa tiruan dirinya sendiri. Masing-masing tiruan ini di transformasikan oleh sebuah fungsi (function system). Contoh utama adalah Sierpinski gasket.

14 18 Fungsi ini biasanya contractive yang berarti fungsi ini membawa titik-titik menjadi lebih dekat dan membuat objek menjadi lebih kecil. Oleh karena itu bentuk fraktal IFS terdiri dari beberapa tiruan objek yang lebih kecil dan saling tumpang tindih, yang masing-masing juga terdiri tiruan dirinya sendiri. Hal ini berlangsung secara tak hingga. Inilah yang membuat fraktal IFS self similar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.11 Umumnya, dimana dan Gambar 2.11 Sierpinski gasket dengan IFS Secara umum ada dua metode dalam membentuk fraktal IFS. Metode pertama adalah Supercopier dan metode kedua adalah metode Chaos game. IFS Supercopier merupakan pendekatan yang menerapkan konsep mesin fotokopi khusus yang memproduksi citra baru I 1 dari citra awal I 0. Citra I 1 ini merupakan superposisi dari beberapa reduksi citra I 0. Kemudian citra I 1 diproses lagi dengan mesin fotokopi tersebut untuk memproduksi citra I 2. Proses ini dilakukan berulang-ulang hingga didapatkan citra- citra baru (I 3, I 4,, I k ) yang merupakan komposisi bentuk yang lebih kecil dari citra awalnya. Sedangkan metode Chaos Game, atau yang dikenal dengan nama Algoritma Iterasi Acak (Random Iteration Algorithm) memberikan konsep nonrekursif yang sederhana untuk memproduksi gambar dari attractor IFS. Konsep ini menghilangkan kebutuhan akan memori komputer yang besar dalam membentuk Fraktal IFS. Chaos Game sendiri merupakan salah satu bentuk penerapan dari teori Chaos.

15 Metode L-System Fraktal L-system dikembangkan oleh seorang ahli biologi, Lindenmayer, yang bekerja dengan ragi dan jamur berfilamen dan meneliti pola pertumbuhan berbagai jenis ganggang (algae), seperti bakteri Anabaena catenula. L-system awalnya di bentuk untuk menyediakan deskripsi formal perkembangan organisme multisel yang sederhaha, dan menggambarkan hubungan antar sel tumbuhan. Kemudian, sistem ini diperluas untuk menggambarkan jenis tumbuhan yang lebih tinggi dan struktur dahan yang rumit Perilaku rekursif L-system mengarah pada self similarity. Hal ini menyebabkan bentuk-bentuk natural seperti fraktal mudah di gambarkan dengan L-system. Bentuk tumbuhan dan bentuk organisme lainnya cukup mudah untuk di definisikan karena dengan memperbesar tingkat perulangan, bentuk ini akan tumbuh dan menjadi lebih rumit. Contoh hasil fraktal L-system digambarkan pada Gambar Gambar 2.12 Contoh hasil fraktal L-system Metode Iterated Complex Polynomial Metode Iterated Complex Polynomial digunakan untuk menggambarkan bentukbentuk fraktal yang menerapkan perhitungan bilangan kompleks. Contoh fungsi perhitungannya adalah Julia set dan Mendlebrot set. Penelitian pertama tentang metode ini dilakukan oleh Julia (1918) dan Fatou ( ).

16 20 Gambar 2.13 Mandelbrot set Metode Iterated Complex Polynomial Metode Strange Attractor Metode strange attractor, berhubungan erat dengan konsep space of phase dan attractor. Space of phase adalah ruang yang memiliki koordinat dari variabel yang digunakan pada persamaan yang mendeskripsikan gerak. Untuk setiap pergerakan keotik, attractor adalah sebuah garis dengan panjang tak terbatas, tapi selalu berisi dalam bagian yang terbatas dari space of phase. Tipe attractor inilah yang disebut dengan strange attractor. Strange attractor ini terbukti juga mempunyai struktur fraktal. Hal ini dapat dilihat dari bentuknya yang tak beraturan yang merupakan garis-garis yang tak terputus dengan detil-detil yang tak berhingga. Strukturnya tampak sangat rumit. Contoh bentuk fraktal yang dapat dibuat dengan menggunakan metode ini dapat dilihat pada Gambar Gambar 2.14 Kurva Simpanim metode Strange Attractor

17 Fraktal Dalam Kehidupan Sehari-Hari Fraktal digunakan hampir di setiap bidang ilmu. Beberapa metode fraktal digunakan pada bidang biologi dan obat-obatan, seperti dalam pemodelan sel, protein, struktur kromosom, bentuk DNA, enzim dan tumbuhan. Bentuk-bentuk fraktal sering dianggap mirip dengan bentuk-bentuk yang ada di bidang biologi, seperti bentuk Julia set yang dianggap mirip dengan bentuk sel, atau bentuk daun pakis yang mendetil dengan menggunakan metode IFS, sehingga untuk menggambarkan bentuk-bentuk biologi pada komputer dapat menggunakan salah satu metode fraktal. Selain aplikasi di bidang biologi, fraktal juga digunakan untuk memperkirakan grafik bursa saham, melukiskan seismic. Dari penerapan-penerapan ini, musik fraktal merupakan bentuk penerapan yang terkenal. Dalam pembuatannya, musik fraktal dapat menerapkan algoritma yang biasa digunakan untuk melukiskan suatu bentuk fraktal. Di bidang lainnya, fraktal juga dimanfaatkan dalam proses pembuatan permainan di komputer. Banyak bentuk-bentuk fraktal yang dimanfaatkan dalam pembuatan permainan seperti Bush yang digunakan sebagai bentuk tumbuhan di dalam permainan, dan Dragon curve yang dapat dijadikan suatu peta wilayah dalam permainan. Sebagai contoh, Gambar 2.15 menunjukkan contoh peta permainan yang digambar dengan menggunakan fraktal Dragon Curve. Gambar 2.15 Peta Permainan dengan Dragon Curve

18 22 Algoritma fraktal juga dapat digunakan dalam membuat permainan itu sendiri. Selain geometri fraktal, musik fraktal yang unik juga digunakan sebagai lagu tema pengiring yang mengisi permainan di komputer. Fraktal juga sedang dikembangkan sebagai metode kompresi gambar. Diharapkan kompresi dengan menggunakan metode fraktal dapat membuat kompresi yang jauh lebih kecil dari metode kompresi yang ada saat ini. Fraktal juga dimanfaatkan di bidang konstruksi untuk membuat antena yang sangat kompak dan optimal untuk penggunaan komunikasi microwave maupun komunikasi selular. Fraktal juga dimanfaatkan dalam fracture mechanics atau ilmu memprediksi kerusakan atau adanya retakan pada sebuah bangunan 2.2 Musik Kata 'musik' berasal dari bahasa Yunani, mousike. Menurut Kamus Besar Miriam- Webster, istilah musik (music) berarti (1) suatu komposisi atau kombinasi berbagai bunyi atau suara (sound); (2) seni bunyi-bunyian, atau kumpulan bunyi atau suara. Sound (suara) dihasilkan dari getaran, baik udara maupun benda-benda padat. Ketika getaran itu bersifat tidak teratur, maka suara itu adalah noise; ketika getaran tersebut teratur, maka suara itu disebut tone atau nada. Musik tergantung dari nada, tidak termasuk noise (seperti bunyi simbal, tabrakan, piring pecah, dan lain-lain). Getaran yang pelan akan menghasilkan nada dan bunyi yang rendah (low), getaran yang cepat akan menghasilkan suara yang lebih tinggi (high). Pada prakteknya suara musik berkisar antara getaran per detik (hertz). Frekuensi dari getaran akan menghasilkan bunyi yang sering disebut pitch. Pitch digunakan sebagai standar tinggi rendah dari sebuah tone atau nada.

19 Tangga Nada Komposisi bunyi atau suara tersebut merupakan kombinasi deretan frekuensi bunyi yang berbeda-beda di dalam suatu interval nada yang disebut dengan satu oktaf. Istilah 'oktaf' dapat diartikan 'jarak' antara nada dasar dan nada oktafnya atau nada kedelapannya. Istilah ini digunakan, misalnya untuk menetapkan luas suara piano atau luas suara seseorang. Satu oktaf, terdiri dari delapan (oktal) tingkat nada, yaitu dari nada do sampai nada do yang lebih tinggi. Secara keseluruhan, satu oktaf terdiri dari dua belas nada, nada C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, dan B. Gambar 2.16 Satu Oktaf Nada pada Tuts Piano Gambar 2.16 menunjukkan gambaran satu oktaf pada sebagian tuts-tuts (keys) piano. Piano mempunyai 88 tuts, sedangkan keyboard biasa mempunyai 61 tuts. Semua nada disusun secara continue dari yang terendah (sisi kiri) ke yang tertinggi (sisi kanan). Tuts putih, dalam urutan dari kiri, disebut dengan nama huruf C D E F G A B, sedangkan yang hitam dinamakan C# atau Db; D# atau Eb; F# atau Gb; G# atau Ab; A# atau Bb. Jarak antara dua tuts putih adalah whole-tone atau satu nada, kecuali E-F dan B-C', dua bagian itu berjarak semitone atau halftone atau setengah nada. Setiap semitone mempunyai perbedaan frekuensi sekitar hz. Tuts hitam memisahkan dua tuts putih, jarak tuts putih ke tuts hitam, dalam hal ini C-C#; D- Eb; F-F#;G- G#;A-A#, adalah semitone. Jarak antar nada atau tone ini disebut interval.

20 24 Gambar 2.16 juga menunjukkan 'derajat' pada nada dasar C diwakili dengan angka 1 sampai dengan 7. Pada Gambar 2.16 juga digambarkan solmisasi (solmization). Solmisasi adalah nada yang pertama kali digunakan oleh Guido d'arezzo (Italia, 1025), dengan nama ut re mi fa sol la untuk 6 nada dari hexachord, pada awal abad XVII nada si ditambahkan dan nada ut diganti menjadi nada do. Antara C ke C' ada 11 tuts (baik hitam maupun putih). Satu oktaf (one octave) adalah jarak terdekat antara dua nada yang sama tapi berbeda pitch, yang dipisahkan oleh 12 semitones atau bisa juga dibilang 11 tuts. Misalnya C ke C' atau E ke E', dan seterusnya. Jika disebutkan dua oktaf maka pengertiannya sama, hanya saja dibedakan oleh (12x2) semitones atau 24 semitones, begitu dengan tiga oktaf dan seterusnya. Pada Gambar 2.16 terdapat tanda # dan b. Tanda 'b' (flat atau mol), artinya nada tersebut diturunkan semitone. Misalnya Eb, artinya nada E diturunkan semitone menjadi Eb. Sebenarnya tanda flat atau mol bukanlah huruf 'b', tapi. Sedangkan tanda '#' (sharp atau cruis), artinya nada tersebut dinaikkan semitone. Misalnya F#, artinya F dinaikkan semitone menjadi F#. C# dan Db; D# dan Eb; F# dan Gb; G# dan Ab; serta A# dan Bb disebut enharmonic, yang artinya berbeda tanda dan huruf tetapi memberikan bunyi yang sama. Tanda ' menunjukkan tingkat oktaf. Misalnya C', berarti C satu oktaf lebih tinggi dari C. Kebalikannya 'C, berarti C satu oktaf lebih rendah dari C. Tanda ''' juga menunjukkan nada tertentu telah melewati C'. Urutan nada pada tangga nada ditentukan oleh nada dasar tangga nada tersebut dan jenis tangga nada, apakah tangga nada mayor (major) atau minor. Tangga nada mayor adalah tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 1 ½ ½. Tangga nada minor

21 25 adalah tangga nada yang memiliki nilai interval nada 1 ½ 1 1 ½ 1 1. Tangga nada paling dasar pada tangga nada mayor adalah (C = do) dan pada tangga nada minor (A = do). Gambar 2.17 Tangga nada C Mayor pada not balok Gambar 2.18 tangga nada A minor pada not balok Pada Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 dijelaskan urutan tangga nada mayor dan minor. Tangga Nada Nada Dasar Tangga nada mayor Urutan Nada (7b) Cb Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab - Bb - Cb (6b) Gb Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb - F - Gb (5b) Db Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb - C - Db (4b) Ab Ab - Bb - C - Db - Eb - F - G - Ab (3b) Eb Eb - F - G - Ab - Bb - C - D - Eb (2b) Bb Bb - C - D - Eb - F - G - A - Bb (b) F F - G - A - Bb - C - D - E - F Natural C C - D - E - F - G - A - B - C (#) G G - A - B - C - D - E - F# - G (2#) D D - E - F# - G - A - B - C# - D (3#) A A - B - C# - D - E - F# - G# - A (4#) E E - F# - G# - A - B - C# - D# - E (5#) B B - C# - D# - E - F# - G# - A# - B (6#) F# F# - G# - A# - B - C# - D# - E# - F# (7#) C# C# - D# - E# - F# - G# - A# - B# - C# Tabel 2.1 Tangga nada mayor

22 26 Tangga Nada Nada Dasar Tangga nada minor Urutan Nada (7b) Ab Ab - Bb - Cb - Db - Eb - Fb - Gb - Ab (6b) Eb Eb - F - Gb - Ab - Bb - Cb - Db - Eb (5b) Bb Bb - C - Db - Eb - F - Gb - Ab - Bb (4b) F F - G - Ab - Bb - C - Db - Eb - F (3b) C C - D - Eb - F - G - Ab - Bb - C (2b) G G - A - Bb - C - D - Eb - F - G (b) D D - E - F - G - A - Bb - C - D Natural A A - B - C - D - E - F - G - A (#) E E - F# - G - A - B - C - D - E (2#) B B - C# - D - E - F# - G - A - B (3#) F# F# - G# - A - B - C# - D - E - F# (4#) C# C# - D# - E - F# - G# - A - B - C# (5#) G# G# - A# - B - C# - D# - E - F# - G# (6#) D# D# - E# - F# - G# - A# - B - C# - D# (7#) A# A# - B# - C# - D# - E# - F# - G# - A# Tabel 2.2 Tangga nada minor Not dan nada (tone atau note) pada dasarnya adalah sama yaitu menunjukkan satu karakter suara dengan pitch tertentu. Beberapa not tunggal dapat dirangkaikan dengan tinggi rendah yang berbeda. Rangkaian semacam ini disebut melodi.

23 Chord Chord adalah dua atau lebih nada yang digunakan pada waktu sama atau hampir bersamaan. Chord terdiri dari sebuah nada dasar yang memberi nama utama chord tersebut dan satu atau lebih nada lainnya. Nama kedua dari chord ditentukan dari nama nada selain nada dasar pada chord tersebut. Chord yang paling banyak digunakan adalah chord mayor, chord minor, chord mayor minor atau yang dikenal sebagai chord ke tujuh, chord mayor ke tujuh dan chord minor ke tujuh. Susunan nada masing-masing jenis chord adalah sebagai berikut: Chord mayor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada mayor ketiga dan nada kelima. Contoh: chord C mayor terdiri dari nada C E G, dimana C adalah nada dasar, E adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada mayor. G adalah nada kelima sesudah C Chord minor terdiri dari sebuah nada dasar, nada pada tangga nada minor ketiga dan nada kelima. Contoh: chord C minor terdiri dari nada C D# - G, dimana C adalah nada dasar, Eb adalah nada ketiga setelah C pada tangga nada minor. G adalah nada kelima. Chord mayor minor atau yang lebih dikenal sebagai chord ke 7 terdiri dari chord mayor yang ditambahkan nada minor ketujuh. Contoh: chord C7 terdiri dari nada C E G Bb. C E G merupakan nada-nada dari chord C mayor dan Bb merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada minor. Chord mayor ke 7 terdiri dari chord mayor yang ditambahkan nada mayor ketujuh. Contoh: chord C7 terdiri dari nada C E G B. C E G merupakan nada-nada

24 28 dari chord C mayor dan B merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada mayor. Chord minor ke 7 terdiri dari chord minor yang ditambahkan nada minor ketujuh. Contoh: chord C7 terdiri dari nada C Eb G Bb. C E G merupakan nadanada dari chord C minor dan Bb merupakan nada ketujuh setelah C pada tangga nada minor Tempo Melodi memerlukan rangkaian nada yang memiliki perbedaan panjang dan pendek nada. Pada notasi balok, panjang pendeknya nada oleh bentuk atau wujud not-notnya, dan tiap bentuk not mempunyai nilai tertentu. Nilai not ini dihitung dengan satuan hitungan yang disebut dengan ketukan. Gambar 2.19 Nilai ketukan not Secara umum nilai ketukan not bernilai 4 ketuk, 2 ketuk, 1 ketuk dan seterusnya. Pada notasi balok, panjang not dapat diperpanjang dengan menambahkan sebuah titik. Titik ini akan menambahkan nilai not sebesar 50% dari nilai not awal. Pada notasi angka, penambahan nilai atau panjang ketukan diwujudkan dengan menambah titik di belakang not yang ditambah. Sebagai contoh, jika not bernilai 4 ketuk maka dalam not angka untuk nada do akan ditulis menjadi (1...). Dalam musik, kecepatan lagu mempengaruhi bagaimana lagu tersebut dinyanyikan dan apa yang di sampaikan oleh lagu.. Istilah untuk menyatakan kecepatan lagu dikenal

25 29 dengan tempo. Pencipta lagu atau komponis, biasanya telah menetapkan tempo lagunya. Jika diperlukan perubahan kecepatan di tengah-tengah lagu, dapat memakai perubahan tempo. Terdapat delapan istilah tempo yang sering digunakan, yaitu seperti yang terdapat pada Tabel 2.3. Tingkat Kecepatan Lambat Sekali Lambat Sedang Cepat Cepat Sekali Largo Lento Adagio Andante Moderato Allegro Vivace Presto Istilah Tempo Kecepatan Ketukan (per menit) Tabel 2.3 Istilah Tempo Utama Delapan istilah tempo tersebut mewakili kecepatan ketukan setiap not per menitnya. Dua istilah yang pertama dan dua istilah yang terakhir lebih sering digunakan dalam musik instrumental Musik Fraktal Musik fraktal adalah musik yang merupakan hasil proses rekursif dimana sebuah algoritma diaplikasikan berulang kali untuk memproses output sebelumnya. Dalam pandangan yang lebih luas, semua bentuk musik, dalam tingkat mikro maupun makro dapat di buat dengan proses ini. Ada beberapa cara untuk membuat musik fraktal yang merupakan bentuk dari komposisi berdasarkan algoritma. Komposisi berdasarkan algoritma bergantung pada algoritma untuk menentukan fitur-fitur lagu. Pada bentuk paling dasar, algoritma digunakan

26 30 untuk menentukan nada apa saja yang dimainkan beserta urutannya. Dalam bentuk yang lebih rumit algoritma digunakan untuk menentukan kekuatan atau volume sebuah not, tempo dan panjangnya not. Algoritma telah digunakan untuk membuat komposisi selama berabad-abad. Contohnya, prosedur yang digunakan untuk menentukan suara utama dalam western counterpoint dapat dipermudah menjadi determinan algoritma. Ada dua macam bentuk komposisi algoritma. Banyak algoritma yang tidak memiliki relevansi langsung terhadap musik digunakan oleh composer sebagai inspirasi untuk musiknya. Diantaranya adalah algoritma fraktal IFS, L- system. Bahkan algoritma dengan data yang acak seperti nilai sensus, koordinat system informasi geografi telah digunakan untuk interpretasi musik. Sukses atau tidaknya prosedur-prosedur ini dalam menghasilkan musik yang baik sangat bergantung pada system mapping yang digunakan oleh komposes untuk menerjemahkan informasi non-musik menjadi data stream musik yang acak. Salah satu cara yang banyak digunakan adalah dengan mengambil suatu angka dengan algoritma kemudian angka tersebut di mod dengan 88. Kemudian hasil mod tersebut digunakan untuk menentukan not mana yang akan dimainkan. Untuk penentuan not mana yang dimainkan, diasumsikan bahwa angka 0 adalah C, angka 1 adalah C#, angka 2 adalah D dan seterusnya hingga angka ke 88 C. Untuk mendapatkan hasil yang lebih melodic dapat range nada dapat diperkecil dari 88 menjadi 2 oktaf atau 25 (nada C hingga C ). Atau dapat juga dengan membatasi not yang dipilih agar berada dalam sebuah chord tertentu pada tiap beberapa bar. Misalnya bar pertama diisi dengan chord C Mayor berarti not yang dimainkan adalah C E G kemudian bar kedua diisi dengan chord DMayor7 (D F# A C#) dan seterusnya.

27 MIDI MIDI, adalah singkatan dari Musical Instrument Digital Interface. Dalam ilmu komputer, MIDI adalah standar serial interface yang memungkinkan koneksi antara synthesizer musik, instrumen musik dan komputer. Standar MIDI dibuat berdasarkan bagian perangkat keras dan bagian penggambaran cara dimana musik dan suara di encode dan dikomunikasikan antara perangkat MIDI. MIDI port adalah bagian perangkat keras dari standar ini yang menentukan tipe saluran input/output. MIDI port menentukan tipe kabel tertentu, sebuah kabel MIDI, yang terhubung ke port tersebut. Ada tiga tipe port yang ditentukan oleh spesifikasi MIDI, yaitu, MIDI In, MIDI Out, dan MIDI Thru. Sebuah synthesizer atau perangkat MIDI lainnya menerima pesan MIDI melalui port MIDI In. pesan MIDI ini juga dikirimkan lagi melalui port MIDI Thru sehingga perangkat lainnya dapat menerima pesan tersebut. Perangkat MIDI dapat mengirim pesan mereka sendiri ke perangkat lainnya melalui port MIDI Out. Informasi yang dikirimkan antar perangkat MIDI berada dalam bentuk yang disebut MIDI message, yang mengkodekan aspek-aspek suara seperti pitch dan volume sebagai informasi digital sebesar 8-bit bytes. Perangkat MIDI dapat digunakan untuk membuat, merekam dan memainkan musik. Dengan menggunakan MIDI, komputer, synthesizer, dan sequencer dapat saling berhubungan, apakah untuk mengendalikan tempo atau mengendalikan musik yang dibuat oleh perangkat lainnya yang juga terhubung. Adanya standarisasi MIDI oleh produsen synthesizer terkemuka cukup berpengaruh dalam suksesnya komputer dalam profesi musik.

28 State Transition Diagram State transition diagram (STD) atau yang juga dikenal sebagai behavioral modeling adalah prinsip operasional untuk semua kebutuhan metode analisis. STD menggambarkan perilaku dari sebuah sistem dengan menunjukkan kondisi (state) dan kejadian (event) yang menyebabkan sistem berubah kondisi. Lebih lanjut, state transition diagram menunjukkan tindakan apa (contohnya aktivasi proses) yang dijalankan sebagai hasil dari sebuah kejadian tertentu. State digambarkan dengan kotak. Alur kendali digambarkan dengan tanda panah memasuki dan keluar dari proses individu. Contoh dari STD digambarkan pada gambar Gambar 2.20 contoh STD pada software fotocopy

29 Flowchart Flowchart adalah representasi skematik dari sebuah algoritma atau proses. Biasanya flowchart digambarkan dengan symbol symbol berikut: Symbol awal dan akhir, digambarkan sebagai kapsul, oval atau kotak dengan sudut tumpul. Biasanya symbol ini berisi kata "Start" atau "End", atau frase lainnya yang menunjukkan awal ataupun akhir dari sebuah proses "Flow of control" atau alur kendali pada ilmu computer digambarkan dengan panah. Sebuah panah berasal dari sebuah symbol menunjuk ke symbol lainnya untuk menggambarkan tahapan alur kendali. Langkah proses digambarkan dengan kotak. Kotak tersebut berisi perintah sederhana Input/Output, digambarkan dengan jajaran genjang. Kondisi digambarkan dengan limas atau diamond. Biasanya mengandung pertanyaan dengan True/False. Contoh flowchart digambarkan pada Gambar 2.21: Gambar 2.21 Contoh Flowchart

30 Borland Delphi 6 Borland Delphi merupakan perangkat lunak yang dikembangkan oleh Borland dan Delphi versi 6.0 ini merupakan pengembangan dari versi-versi sebelumnya. Borland Delphi, atau yang lebih sering disebut Delphi, menggunakan bahasa pemrograman Pascal. Delphi merupakan salah satu perangkat lunak yang banyak digunakan oleh para programmer dunia saat ini. Dukungan Delphi terhadap control Active-X dan VCL (Visual Component Library) menjadikan kompiler ini mudah digunakan dan cukup andal untuk membangun program aplikasi Windows.(Nugroho, 2002, p1) Delphi mengenkapsulasi fungsi-fungsi Windows API (Application Programming Interface) yang terkenal rumit ke dalam fungsi, kelas, atau objek baru yang menjadi lebih mudah digunakan. Dengan Delphi, seorang programmer dapat membuat program dengan interface yang menarik secara lebih cepat dan mudah dengan memanfaatkan komponenkomponen VCL yang telah disediakan. Sebagai salah satu perangkat pemrograman berorientasi objek yang handal, Delphi juga merupakan perangkat aplikasi database berbasis Windows, dengan kemampuan untuk menggunakan bahasa SQL. Saat ini komputer tidak hanya menangani informasi tetapi juga menampilkan gambar di layar, menjalankan video, atau memperdengarkan suara. Delphi juga dapat memanfaatkan multimedia untuk mengeluarkan suara atau musik. Umumnya Delphi akan memanggil prosedur PlaySound dari komponen TMediaPlayer untuk memainkan sebuah file tipe wave (ekstension WAV) atau memainkan suara sistem. Tipe file multimedia yang lain adalah MIDI. File MIDI yang menyimpan suara berisi data mengenai alat musik yang dimainkan, dan

31 35 berapa lamanya musik tersebut. Keuntungan MIDI adalah ukuran filenya jauh lebih kecil daripada file wave (Martina, 2000, p ). Untuk dapat membuat dan mengkomposisi serta memainkan file MIDI, Delphi membutuhkan komponen tambahan, antara lain yaitu komponen TMidiGen. TMidiGen merupakan komponen yang dirancang oleh Alan Warriner yang dapat membantu dalam membuat kreasi sederhana efek suara dan rangkaian not dan nada di dalam aplikasi tanpa membutuhkan file-file ataupun sumber eksternal. TMidiGen merangkaikan data MIDI tersebut di dalam memory. TMidiGen ini menyediakan 175 macam instrumen alat musik yang mungkin disediakan dari sound card, penyesuaian volume suara, metode yang sederhana dalam memainkan not-not tunggal, merangkaikan nada-nada dalam bentuk string, pengaturan durasi sampai 10mS, dan lain sebagainya (Warriner, 2004, p1).