HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Beberapa Distribusi Khusus Diskrit URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Bernoulli Peubah acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: p(x) = P(X = x) = p x (1 p) 1 x ; x = 0, 1 Penulisan notasi peubah acak yang berdistribusi Bernoulli adalah B(x; 1, p), artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal dinyatakan dengan x, banyak eksperimen yang dilakukan satu kali, dan peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Bernoulli, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: - Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa yang diperhatikan (sering disebut peristiwa sukses) dan peristiwa yang tidak diperhatikan (sering disebut peristiwa gagal) - Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja Rataan, Varians, dan Fungsi Pembangkit Momen μ = p σ = p(1 p) M x (t) = (1 p) + p. e t ; t R Apakah artinya X~B(x; 1, 1 )? Kemudian tuliskan bentuk fungsi peluangnya! 4 B. Distribusi Binomial Misalkan kita melakukan suatu eksperimen yang menghasilkan dua peristiwa, yaitu peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G). Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G), sebesar 1 p. Eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali pengulangan itu, periatiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n-x) kali terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa sukses dalam eksperimen itu sebanyak x kali.
Banyak susunan yang mungkin keseluruhan peristiwa S ada ( n ) cara, maka peluang bahwa x peristiwa S terjadi dalam x kali adalah : P(X = x) = ( n x ) px (1 p) n x Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial, jika dan hanya jika fungsi peluangnya adalah : B(x; n, p) = p(x) = P(X = x) = ( n x ) px (1 p) n x ; x = 0, 1,, 3,, n B(x; n, p), artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimen sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses sebesar p, dan banyak peristiwa sukses terjadi ada x. μ = np σ = np(1 p) M x (t) = (1 p) + p. e t ; t R 1. Tuliskan bentuk fungsi peluang dari (y; 6, 1 4 )!. Misalkan kita mengundi sebuah dadu yang seimbang sebanyak 8 kali. Hitung peluang bahwa munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali! 3. Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3. Hitung peluang 4 bahwa tepat dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak! 4. Peluang seorang akan sembuh dari operasi jantung yang rumit adalah 0,7. Bila dari 10 orang menjalani operasi jantung, tentukan: a. Tepat 5 orang akan sembuh c. Kurang dari 3 orang akan sembuh b. Paling sedikit 3 orang akan sembuh d. Antara 3 sampai dengan 8 akan sembuh C. Distribusi Trinomial Peubah acak X dikatakan berdistribusi trinomial, jika dan hanya jika fungsi peluangnya adalah : p(x, y) = n! x! y! (n x y)! p 1 x p y p 3 n x y ; x + y n Notasinya T(x, y; n, p 1, p ), artinya peubah acax dan Y berdistribusi trinomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali, peluang terjadinya peristiwa sukses pertama dan kedua berturut-turut p 1 (x) dan p (y), banyak peristiwa sukses pertama dan kedua masing-masing x dan y.
Fungsi pembangkit momen Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial adalah: M(t 1, t ) = (p 1. e t1 + p. e t + p 3 ) n ; t 1, t R D. Distribusi Poisson Distribusi Poisson diperoleh dari distribusi Binomial. Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Percobaan poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebadning dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan. Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: p(x) = P(X = x) = e λ.λ x e=,788 x! ; x = 0, 1,, 3, ; e =, 788 ; x=0, 1,,3, ; Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah P(x;λ), artinya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut: μ = λ σ = λ M x (t) = e λ(et 1) ; t R 1. Misalkan 0,5% dari bola lampu yang diproduksi oleh suatu perusahaan lampu selama sebulan adalah rusak. Jika kita mengambil 800 buah lampu secara acak, maka berapa peluangnya akan terdapat paling sedikit buah lampu rusak?
. Misalkan X adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika P(X=0) = 0,, maka hitung P(X=)! 3. Rataan jumlah hari sekolah ditutup karena banjir di musim hujan di aliran Bengawan Solo adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah di tempat akan ditutup selama 6 hari dalam suatu musim penghujan? E. Distribusi Geometrik Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: P(x) = P(X=x) = p.(1-p) x-1 ; x=1,, 3, Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah X ~ G(x;p), artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi geometrik, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.. Eksperimennya diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali. 3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap. 4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas. μ = 1 p σ = 1 p p M x (t) = p.e t 1 (1 p).e t ; t R Misalkan diundi sebuah dadu yang seimbang. Kemudian pengundian itu diulang beberapa kali sampai dadu itu menghasilkan mata dadu 6 pertama kali. Hitung peluang bahwa mata dadu 6 itu akan muncul pertama kalai pada pengundian ke-10. F. Distribusi Hipergeometrik Misalkan sebuah populasi suatu barang yang berukuran N terdiri atas k buah barang baik dan sisanya (N-k) buah barang rusak. Kemudian diambil sebuah sampel secara acak berukuran n(n N)secara sekaligus, ternyata dari sampel acak itu berisi x buah barang baik dan sisanya (n-x) buah
barang yang rusak. Dalam hal ini, kita akan menghitung peluang bahwa dari sampel acak itu akan berisi x buah barang baik. Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan x buah barang baik dari k buah barang baik ada ( k ) cara yang berbeda. x Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan(n-x) buah barang rusak dari (N-k) buah N k barang yang rusak ada ( ) cara yang berbeda. n x Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan n buah barang dari N buah barang yang ada ( N ) cara yang berbeda. n Peubah acak X dikatakan berdistribusi hipergeometrik jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: P(x) = P(X = x) = (k x )(N k n x ) ( N n ), x = 0, 1,, 3,..., n Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik adalah X ~ H(x; N, n), artinya peubah acak X berdistribusi hipergeometrik dengan banyak barang baik/peristiwa sukses dari sampel acak sebanyak x, banyak barang dari populasi sebanyak N, banyak barang dari sampel acak sebanyak n, dan banyak barang baik/sukses dari populasi sebanyak k. Rataan dan Varians μ = nk N σ = nk(n k)(n n) N (N 1) Misalkan Sandi mempunyai setumpukan kartu bridge yang berjumlah 5 buah, dengan 6 buah kartu berwarna merah dan 6 kartu berwarna hitam. Jika Sandi mengambil 4 buah kartu secara sekaligus dari setumpukan kartu itu, maka berapa peluang bahwa dari 4 kartu yang terambil itu ada buah kartu berwarna hitam?
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distribusi Normal Umum dan Normal Baku URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Normal Umum Distribusi Normal adalah model distribusi kontinu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ). Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk: f(x) = 1 π.σ 1 e [ (x σ μ) ] < x <, < μ <, σ > 0 Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah N(x; µ, σ ), artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan µ dan varians σ. Rataan,Varians dan Fungsi Pembangkit Momen Rataan E(X) = µ Varians Var(X) = σ Fungsi pembangkit momen M x (t) = exp ( μt+σ t ) ; t R B. Distribusi Normal Baku Distribusi normal umum dengan rataan dan varians dinamakan distribusi normal baku dan fungsi densitasnya berbentuk: f(x) = 1 exp [ 1 π x ] < x < Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal baku adalah N(x; 0, 1), artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan 0 dan varians 1. µ = E(X) = 0 σ = Var(X) = 1 Fungsi pembangkit momen M x (t) = exp ( 1 t ) ; t R
Pendekatan Distribusi Normal Umum ke Normal Baku Penghitungan peluang dari peubah acak yang berdistribusi normal umum bisa dilakukan melalui distribusi normal baku. Artinya peubah acak yang berdistribusi normal umum bisa didekati oleh peubah acak yang berdistribusi normal baku. Hal tersebut bisa dilihat dalam dalil berikut ini: Jika X adalah peubah acak berdistribusi normal umum dengan rataan dan simpangan baku, maka: mengikuti distribusi normal baku. Z = X μ σ C. Distribusi Normal Dua Peubah Acak Jika X dan Y dikatakan berdistribusi normal dua peubah acak, jika dan hanya jika fungsi densitas gabungannya berbentuk: f(x, y) = 1 π. σ 1. σ. 1 p exp ( 1 (1 p ) Q) dengan Q = ( x μ 1 ) p ( x μ 1 ) ( y μ ) + ( y μ ) σ 1 σ 1 σ σ Untuk < x <, < y <, σ 1 > 0, σ > 0, 1 < p < 1, < μ 1 <, < μ < Parameter Distribusi Normal Dua Peubah Acak a. E(X) = µ 1 b. Var(X) = σ 1 c. E(Y) = µ d. Var(Y) = σ e. Kov(X,Y) = ρ σ 1 σ