UJI OBUST T -HOTELLING DENGAN MENGGUNAKAN PENDUGA MINIMUM COVAIANCE DETEMINANT AINI TIMU DEPATEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PETANIAN BOGO BOGO
ABSTACT AINI TIMU A obust Hotellg s T Test Usg Mmum Covarace Determat Estmator Suervsed by I WAYAN MANGKU ad SISWANDI Hotellg s T statstc s a good statstc for ferece about the mea of a multvarate ormal oulato I Hotellg s T statstc, aroxmato wth Boferro cofdece tervals rovdes shorter terval tha T cofdece tervals Therefore, to fd the mea of a multvarate ormal oulato, smultaeous t-tervals based o the Boferro method s ofte aled However, hyothess test ad cofdece tervals based o T statstc ca be sgfcatly affected by outlers a set of multvarate ormal data Therefore, to fd a good estmator for the mea of a multvarate ormal oulato, the Mmum Covarace Determat (MCD estmator s used To crease the effcecy of the MCD estmator, ths test statstc s aled usg the reweghted MCD whch gves weghts to the mea ad covarace based o the robust of the observatos
ABSTAK AINI TIMU U obust T -Hotellg dega Megguaka Peduga Mmum Covarace Determat Dbmbg oleh I WAYAN MANGKU da SISWANDI Statstk T -Hotellg meruaka statstk yag teat utuk dguaka dalam meark kesmula tetag usat oulas ormal gada Pada statstk T -Hotellg, edekata dega selag keercayaa Boferro meghaslka selag yag lebh semt dbadgka dega selag keercayaa T Oleh karea tu, dalam meetuka usat oulas ormal gada selag smulta lebh serg ddasarka ada metode Boferro Namu, u hotess da selag keercayaa berdasarka statstk T daat degaruh secara sgfka dega adaya ecla yag terdaat dalam data ormal gada Oleh karea tu, utuk meetuka eduga usat oulas ormal gada yag bak dguaka eduga Mmum Covarace Determat (MCD yag taha terhada ecla Utuk megkatka efses dar eduga MCD, dalam u statstk dguaka reweghted MCD, yatu dega meghtug bobot utuk la rata-rata da ragam yag ddasarka ada arak robust dar egamata
UJI OBUST T -HOTELLING DENGAN MENGGUNAKAN PENDUGA MINIMUM COVAIANCE DETEMINANT Skrs sebaga salah satu syarat utuk memeroleh gelar Saraa Sas ada Dearteme Matematka Oleh : AINI TIMU G546868 DEPATEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PETANIAN BOGO BOGO
Judul : U obust T -Hotellg dega Megguaka Peduga Mmum Covarace Determat Nama : A Tmur NP : G546868 Meyetuu, Pembmbg I Pembmbg II Dr Ir I Waya Magku, MSc Drs Sswad, MS NIP 9635 9873 NIP 96469 993 Megetahu, Ketua Dearteme Matematka Dr Berla Setawaty, MS NIP 96555 9893 4 Taggal Lulus :
IWAYAT HIDUP Peuls dlahrka d Jakarta ada Agustus 989 sebaga aak bugsu dar tga bersaudara, aak dar asaga Nurdaya da Sutarm Tahu euls lulus dar SDN Paraat 3 Karawac Tahu 3 euls lulus dar SLTPN 6 Tagerag Tahu 6 euls lulus dar SMAN 8 Tagerag da ada tahu yag sama lulus seleks masuk IPB melalu alur Ua Sarga Masuk IPB (USMI Tahu 7 euls memlh Jurusa Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Selama megkut erkulaha, euls mead asste dose mata kulah Kalkulus II ada tahu aara 8/9, asste dose mata kulah Persamaa Dferesal Basa ada tahu aara 8/9, asste dose mata kulah Persamaa dferesal Parsal ada tahu 9/, da asste mata kulah Pegatar Teor Peluag ada tahu 9/ Peuls uga aktf ada kegata kemahasswaa Gumatka (Gugus Mahasswa Matematka sebaga staf Dearteme kelmua erode 8/9 Sela tu, euls uga terlbat dalam beberaa kegata, atara la Koordator Kesekretarata Matematka a 8, Aggota Tm Khusus Try Out SPMB se-bogor 8, Peserta Olmade Matematka Nasoal Tgkat Mahasswa 9
KATA PENGANTA Pu da syukur euls aatka keada Allah SWT atas segala rahmat da karua-nya serta shalawat da salam keada Nab Muhammad SAW sehgga karya lmah berhasl dselesaka Peyusua karya lmah uga tdak leas dar batua berbaga hak Utuk tu euls megucaka terma kash yag sebesar-besarya keada: Dr Ir I Waya Magku, MSc selaku dose embmbg I (terma kash atas semua lmu, kesabara, motvas, da batuaya selama eulsa skrs Drs Sswad, MS selaku dose embmbg II (terma kash atas semua lmu, sara, da motvasya 3 Dr Ir Edar Hasafah Nugraha, MS selaku dose egu (terma kash atas semua lmu da saraya 4 Semua dose Dearteme Matematka (terma kash atas semua lmu yag telah dberka 5 Bu Sus, Bu Ade, Pak Yoo, Mas Boo, Mas Her, da Mas De 6 Keluargaku tercta: Baak da Mamah (terma kash atas doa, dukuga, kesabara, keercayaa, da kash sayagya, Kakak-kakakku; Mba Da&Mas Tatt, Mas Day&Mba Sar (terma kash atas doa, dukuga, kash sayg, da motvasya, da keoakkaku, Keze, Kayla, da Javas (kala lucu baget! da semua saudara-saudaraku serta akle da bude (terma kash atas doaya 7 adhta S Putra (terma kash atas doa, dukuga, kesabara, keercayaa, eruaga, da kash sayagya selama, semoga teta ad yag terbak bag drku da keluarga yag telah memberka dukuga, doa, da kash sayagya 8 Sahabatku Astra Syam (terma kash atas doa, motvas, dukuga, semagat, eruaga bak susah mauu seag, da kebersamaaya selama Tema-tema alum SMAN 8 Tagerag: setyo, sad, der, salma, sela, ma, hedra, desmo, zero, deky, a, da laya (terma kash atas doa, dukuga, motvas, semagat da kebersamaaya, serta tematema -gakure squad (terma kash atas doaya 9 Tema-tema satu bmbga: Kabl, Ndya, Sur, Putr, Destya (terma kash atas doa, dukuga, batua, da motvasya Tema-tema matematka 4 : ka acuy, ka ages, ka ayeeb, ka ayu, ka achy, ka de-de, ka dawa, ka erl, ka fachr, ka hkme, ka ha-ha, ka du, ka le, ka ut, ka ae, ka mocco, ka ke, ka yoma, ka vo, ka oby, ka rcke, ka tt, ka vera, ka waro, da laya (terma kash atas batua da dukugaya Tema-tema matematka 43 : ar, tam, cohy, suc, vera, wra, marge, farda, a, ras, ftra, faar, qe, resty, ee, adrew, ercha, ace, sabar, arf, arum, sr, agug, subro, gad, emta, ecka, rata, la, la, albra, adam, bertra, davd, des, obo, dw, dad, elly, fazal, fazul, hedra, rsyad, syahrul, cc, au, maraug, razo, el, rzk s, sed, arsh, zul, da laya (terma kash kawa atas doa, dukuga, batua, da kebersamaaya Tema-tema matematka 44 : ruhyat, ayu, rrh, wet, rachma, melo, ayum, sr, ayug, ma, faar, deda, della, ad, tyas, am, yam, da laya (terma kash atas dukugaya 3 Tema-tema kosa seeruaga : Adaleb (suc, la, ar, smaw, rma, mesl da tematema terma kash atas kebersamaa da dukugaya WJ house (sa, terma kash buat semagat, doa, dukuga, da motvasya selama, Wsma Padasuka (tema-tema math, ta, vera, eml, elv, da laya terma kash atas kebersamaa da doaya 4 Tema-tema laya yag telah medukug selama, bak morl mauu materl Semoga karya lmah daat bermafaat bag dua lmu egetahua khususya Matematka da mead sras bag eelta-eelta selautya Bogor, Maret A Tmur
DAFTA ISI Halama DAFTA ISI v DAFTA LAMPIAN v DAFTA TABEL v DAFTA GAMBA v PENDAHULUAN Latar Belakag Tuua LANDASAN TEOI uag Cotoh, Keada, da Peluag Peubah Acak da Fugs Sebara Matrks da Vektor 3 Nla Haraa da agam 4 Sebara Normal Gada 5 T -Hotellg 6 Beberaa Defs da Lema Teks 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Dugaa Nla µ utuk Nla Tegah Poulas Normal 7 Metode Pembadga Bergada Boferro 9 Pedugaa Determa Kovara Mmum Statstk obust T Cotoh Kasus 6 KESIMPULAN DAFTA PUSTAKA LAMPIAN 4 v
DAFTA LAMPIAN Halama Peabara Teks Defs 4 Pembukta Lema 5 Pembukta Lema 8 Pembukta Lema 3 9 Pembukta Lema 4 da Lema 5 3 Pembukta Lema 7, Lema 8, da Lema 9 3 Pembukta Lema da Lema 33 Pembukta Dugaa Nla m da c 34 Smulas Cotoh Kasus 35 DAFTA TABEL Halama Tabel Daftar Nla k utuk Beberaa Dmes 4 Tabel Seuluh Perusahaa Idustr Terbesar d Amerka 6 Tabel 3 Selag Keercayaa T da Selag Keercayaa Boferro 6 d da q 7 Tabel 4 Kuadrat arak ( Tabel 5 Kuadrat Jarak ada H ( d ( H, lalu Durutka dar Terkecl ( ( d H 9 Tabel 6 Pembobot ada eweghted MCD 9 Tabel 7 Selag Keercayaa T,Selag Keercayaa Boferro, da Selag Keercayaa eweghted MCD DAFTA GAMBA Halama Gambar Plot Pecara (scatter lot q da d 7 Gambar Matrx Plot atar Peubah Peelas 8 Gambar 3 Plot Hasl Pegua Keormala Ssaa 8 v
PENDAHULUAN Latar Belakag Dalam earka kesmula suatu oulas ada dsl lmu statstka daurka utuk megguaka suatu hotess Hotess statstka meruaka eryataa atau dugaa megea satu atau lebh oulas Bear atau salahya suatu hotess tdak aka erah dketahu dega ast, kecual bla harus memerksa seluruh oulas Hal tu tdak mugk daat dlakuka dkareaka sumber daya terbatas, waktu yag terseda terbatas, da mustahl utuk megamat seluruh aggota oulas Oleh karea tu, utuk memerksaya daat dambl suatu cotoh acak dar oulas tersebut da megguaka formas yag ada utuk memutuska hotess tersebut adalah bear atau salah Pada tulsa dka earka kesmula tetag usat oulas ormal gada T -Hotellg meruaka statstk yag teat utuk dguaka Namu, u hotess da selag keercayaa berdasarka statstk daat degaruh dega adaya ecla Oleh karea tu, ddetfkas alteratf tekk earka kesmula dega megguaka eduga Mmum Covarace Determat (MCD Peduga MCD bag la ragam cotoh yag deroleh dar subhmua data berukura h yag memlk la determa matrks kovara terkecl aka meghaslka efses yag lebh redah Utuk tu dguaka reweghted MCD yag memuya efses yag lebh tgg yatu dega meghtug bobot utuk la rata-rata da ragam Hasl aroksmas lebh akurat darada statstk T -Hotellg (Wllems et al Utuk memberka gambara yag lebh elas, dalam tulsa dberka ula cotoh kasus eetua usat oulas ormal gada Tuua Tuua eulsa karya lmah adalah utuk : Megdetfkas edekata yag bak utuk meemuka usat oulas ormal gada Membadgka aroksmas yag akurat dalam earka kesmula usat oulas ormal gada dega statstk T - Hotellg dega eduga Mmum Covarace Determat (MCD LANDASAN TEOI uag Cotoh, Keada, da Peluag Suatu ercobaa yag daat dulag dalam kods yag sama, yag haslya tdak daat dredks secara teat teta daat dketahu semua kemugka hasl yag mucul dsebut ercobaa acak Defs (uag cotoh uag cotoh adalah hmua semua hasl yag mugk dar suatu ercobaa acak, da dotaska dega Ω (Grmmett ad Strzaker 99 Defs (Keada Keada adalah suatu hmua baga dar ruag cotoh Ω (Grmmett ad Strzaker 99 Defs 3 (Keada leas Keada A da B dsebut salg leas ka rsa dar keduaya adalah hmua kosog (Ø (Grmmett ad Strzaker 99 Defs 4 (Meda-σ Meda-σ adalah suatu hmua F yag aggotaya terdr atas hmua baga ruag cotoh Ω, yag memeuh syarat berkut: φ F Jka A, A, F maka A F c Jka A F maka A F (Grmmett ad Strzaker 99
Defs 5 (Ukura eluag Msalka Ω adalah ruag cotoh dar suatu ercobaa da F adalah meda-σ ada Ω Suatu fugs P yag memetaka usur-usur F ke hmua blaga yata, atau P : F dsebut ukura eluag ka : P tak egatf, yatu utuk seta A F, P(A P bersfat adtf tak hgga, yatu ka A, A, F, dega A A φ, k, k maka P A P ( A 3 P(Ω Pasaga (Ω,F, P dsebut ruag ukura eluag atau ruag robabltas (Hogg et al 5 Defs 6 (Keada salg bebas Keada A da B dkataka salg bebas ka : P(A B P(AP(B Secara umum, hmua keada { A, I } dkataka salg bebas ka: P A J J P( A utuk seta hmua baga J dar I (Grmmett ad Strzaker 99 Peubah Acak da Fugs Sebara Defs 7 (Peubah acak Msalka Ω adalah ruag cotoh dar suatu ercobaa acak Fugs yag terdefs ada Ω yag memetaka seta usur ω Ω ke satu da haya satu blaga real ( ω x dsebut eubah acak uag dar adalah hmua baga { x : x ω, ω Ω } blaga real A ( (Hogg et al 5 Peubah acak dotaska dega huruf katal seert, Y, Z Sedagka la eubah acak dotaska dega huruf kecl seert x, y, da z Seta eubah acak memlk fugs sebara Defs 8 (Fugs sebara Msalka adalah eubah acak dega ruag A Msalka keada A (, x] A, maka eluag dar keada A adalah ( A P ( x F ( x Fugs F dsebut fugs sebara dar eubah acak (Hogg et al 5 Defs 9 (Peubah acak dskret Peubah acak dkataka dskret ka semua hmua la dar eubah acak tersebut meruaka hmua tercacah (Hogg et al 5 Defs (Fugs massa eluag Fugs massa eluag dar eubah acak dskret adalah fugs : [,], yag dberka oleh: ( x P( x (Hogg et al 5 Defs (Fugs tertegralka lokal Fugs testas λ adalah tertegralka lokal, ka utuk sembarag hmua Borel terbatas B deroleh µ ( B λ( s ds< B (Dudley 989 Defs (Peubah acak kotu Peubah acak dkataka kotu ka ada fugs f sehgga fugs sebara F daat dyataka sebaga : F ( x x f (u du, x, dega f : [, adalah fugs yag tertegralka lokal Fugs f dsebut fugs keekata eluag bag eubah acak (Grmmett ad Strzaker 99 Defs 3 (Peubah acak ormal Peubah acak kotu dsebut meyebar Normal dega la haraa µ da ragam σ, aabla fugs keekata eluagya dberka oleh
3 f ( x ( x µ ex, < x< σ π σ (Grmmett ad Strzaker 99 Defs 4 (Peubah acak kh-kuadrat (chsquare Peubah acak kotu dsebut meyebar kh-kuadrat dega deraat bebas r, aabla fugs keekata eluagya dberka oleh x r e x, x> r f ( ( r x Γ, selaya (Hogg et al 5 Defs 5 (Sebara F Peubah acak kotu dsebut meyebar F dega arameter r da r, aabla fugs keekata eluagya dberka oleh r r + r r Γ r r x r+ r f ( x r, x r > Γ Γ r x + r, selaya (Hogg et al 5 Defs 6 (Nla haraa Msalka adalah eubah acak dskret x Nla dega fugs massa eluag ( haraa dar, dotaska dega E(, adalah ( ( E x x x (Hogg et al 5 Defs 7 (agam Msalka adalah eubah acak dskret x da la dega fugs massa eluag ( haraa E( Maka ragam dar, dotaska dega Var ( atau σ, adalah (( ( ( ( ( σ E E x x E x x (Hogg et al 5 Matrks da Vektor Defs 8 (Vektor da matrks acak Vektor acak adalah vektor yag aggotaya meruaka eubah acak Matrks acak adalah matrks yag aggotaya meruaka eubah acak (Johso ad Wcher 998 Defs 9 (Kedefta matrks Msalka A matrks berukura x Maka A dkataka: Semdeft ostf ka yay, utuk seta y, Deft ostf ka yay>, utuk seta y, y, Semdeft egatf ka yay, utuk seta y, Deft egatf ka yay<, utuk seta y, y, Tak deft ka yay>, utuk suatu y y, da yag la yay<, utuk suatu (Syma 5 Defs (Akar kuadrat matrks Msalka A adalah matrks deft ostf yag berukura kxk Matrks A daat dtuls k A λ e e dega λ adalah la ege ke- da e adalah vektor ege ke- ; e e, P Msalka [ e e e ],,, maka k k ( kxk λ e ( e ( kx xk ( kxk ( kxk ( kxk A P Λ P dega PP P P I da Λ adalah matrks dagoal, λ λ dega λ > Λ ( kxk λk k - A ( kxk e ( e kx ( xk P( kxk Λ ( kxk P ( kxk λ
4 karea - PΛ P PΛP PΛP - PΛ P PP I ( ( Berdasarka eabara d atas A k / ( λ e ( e kxk kx ( xk / ( kxk ( kxk ( kxk P Λ P Nla Haraa da agam (Johso ad Wcher 998 Defs (Nla haraa vektor da matrks acak Nla haraa dar matrks acak (atau vektor acak adalah matrks (vektor yag terdr dar la haraa dar masg-masg aggotaya Nla haraa dar eubah acak, dotaska E( Msalka { x } adalah matrks acak berukura x maka la haraa E( adalah E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( E( µ E( µ µ E( µ (Johso ad Wcher 998 Defs (Matrks koragam Matrks koragam (covara dar dtuls Σ atau Cov( adalah matrks yag aggotaaggotaya adalah cov( x, x, utuk ( σ, ad var( x, utuk ( σ σ σ σ σ σ Cov( dega Σ σ σ σ Σ - µ - µ E( ( (Johso ad Wcher 998 Defs 3 (Matrks koragam cotoh Matrks koragam cotoh eubah tuggal berukura adalah S S S S S S S S S S ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x (Johso ad Wcher 998 Defs 4 (Vektor rataa cotoh Vektor rataa dsebut vektor rataa cotoh ka xr,,,, adalah rataa r cotoh eubah tuggal (Johso ad Wcher 998 Lema Msalka,, adalah gabuga sebara dar cotoh acak dega vektor la tegah µ dar matrks koragam Σ, maka adalah eduga tak bas dar µ, da matrks koragam dar adalah Σ Jad E ( µ (vektor la tegah oulas Cov( Σ (matrks koragam oulas dbag dega ukura cotoh Utuk matrks koragam cotoh S E( S Σ Σ Σ Karea E( S Σ maka S adalah eduga tak bas dar Σ (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra
5 Lema (Vektor la haraa da ragam kombas lear eubah acak Jka eubah acak tuggal dkalka E c cµ dega suatu kostata c maka ( da ( Var c c σ Utuk kombas lear dar E Var c c Σc ( c c µ da ( c memuya (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 3 Lema 3 Jka ~ N ( µ, Σ maka utuk seta kombas lear dar eubah A a + a + + a memlk sebara N( Aµ, AΣA (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 4 Sebara Normal Gada Lema 4 Jka da ( q x ( q x da masg-masg meyebar da adalah salg bebas N N ( ( µ, Σ q maka ( ( µ, Σ q memlk sebara ormal gada µ Σ N q, + q µ Σ (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 5 Lema 5 Msalka meyebar N (, Σ > Maka : - a ( - µ Σ ( µ Σ dega - µ meyebar χ, dega χ meyataka sebara chsquare dega deraar bebas b Sebara N ( µ, Σ memberka eluag α, { x :( x - µ Σ - ( x - µ χ ( α } χ α meyataka ( α dega ( ercetle dar sebara χ (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 5 Lema 6 (Teorema lmt usat Msalka,,, adalah eubah yag salg bebas dar suatu oulas dega la haraa µ da matrks koragam Σ, maka ( - µ memuya sebara N (, Σ utuk cotoh ( yag berukura besar (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Aderso 984 Defs 5 (Pemerksaa Normal Gada Salah satu arak terbobot yag umum dguaka dalam aalss eubah gada adalah arak Mahalaobs Jarak Mahalaobs daat dlakuka egua utuk memerksa ormal gada sela dega lot ch-square U hotess utuk memerksa ormal gada yatu : H data meyebar ormal gada H data tdak meyebar ormal gada U megguaka statstk u arak mahalaobs d ( x x S ( x x d arak mahalaobs ke- x vektor kolom yag bers la egamata ke- x vektor kolom yag bers la rataa S verse matrks koragam d d d da adalah,,, ( bayakya varabel yag dguaka yag dbadgka dega la kebalka eluag kumulatf sebara ch-square dega deraat bebas da taraf yata sebesar α, yatu Jka d < χ ( α table, maka H dterma ( Jka d χ ( α > table, maka ( H dtolak (Krzaowsk 988
6 T -Hotellg Defs 6 (T -Hotellg Jka α daat ddefska sebaga m d M - d dega d da M adalah salg bebas yag N,I da W ( I, m secara meyebar ( berturut-turut maka daat dkataka α memuya sebara T -Hotellg dega arameter da m daat dtuls α ~ T (, m (Marda et al 979 Lema 7 (Sebara T -Hotellg Jka da M adalah salg bebas yag N W Σ, m secara meyebar ( µ, da ( berturut-turut maka - m( - µ M ( - µ ~ (, T m (Marda et al 979 Bukt : daat dlhat ada Lamra 6 Lema 8 m T (, m F, m + m (Marda et al 979 Bukt : daat dlhat ada Lamra 6 Beberaa Defs da Lema Teks Defs 7 (Jarak vektor devas Jarak kuadrat vektor devas adalah ( x x Ld dd da ( x x ( x x Ld, d k k k k d d (Johso ad Wcher 998 Defs 8 (Sebara wshart Jka M adalah matrks berukura sehgga matks M dega x, ( mx adalah matrks data yag meyebar N (, Σ maka matrks M memuya sebara W( Σ, m Ketka Σ I, maka sebara dkataka betuk stadar (Marda et al 979 Lema 9 Msalka M ~ W (, m matrks berukura B MB ~ Wq(, m B ΣB Σ da B adalah xq maka (Marda et al 979 Bukt : daat dlhat ada Lamra 6 Lema (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz Msalka b da ( x d adalah vektor ( x berukura x maka ( b d b bd d dega b cd atau d cb utuk c adalah suatu kostata (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 7 Lema (Perluasa Ketaksamaa Cauchy- Schwarz Msalka b ( x da x da msalka d ( x adalah vektor berukura B ( x adalah matrks deft ostf maka ( b d ( b b( d d B B dega b cb d atau d cb b utuk c adalah suatu kostata (Johso ad Wcher 998 Bukt : daat dlhat ada Lamra 7
7 HASIL DAN PEMBAHASAN Dugaa Nla µ utuk Nla Tegah Poulas Normal Pada Kasus eubah tuggal, egua suatu oulas aakah memuya la tegah sebesar µ atau tdak, daat drumuska melalu hotesa berkut: H : µ µ vs H : µ µ dega H hotess ol (hotess awal megea µ adalah la tegah oulas yag sebearya H hotess alteratf Aabla,,, adalah cotoh acak dar suatu oulas yag meyebar ormal, maka u statstk yag dguaka utuk megu hotess tersebut adalah µ t dega da s s ( U statstk t meyebar t-studet dega deraat bebas Jka t melebh t ( α ( >, maka tolak H sehgga ( P t t α α Peolaka H ketka la t lebh besar dar t ( α adalah seada dega eolaka H aabla la sebara t dkuadratka ( ( µ ( ( µ µ t s s lebh besar dar t ( α taraf yataα ka ( Jad, tolak H ada ( ( µ ( µ ( s > t α ( Aabla H tdak dtolak daat dsmulka bahwa belum bukt utuk meymulka µ buka la tegah oulas tersebut Utuk la µ la bag la tegah oulas tersebut daat ddetfkas dega selag keercayaa bag µ yatu (terma H : µ µ ada taraf yata (α atau ( t ( α s µ sama halya dega µ terletak ada selag α %, keercayaa ( ( α s ( α s µ ( α ± t atau s t + t (3 Selag keercayaa tersebut memuat semua la µ yag tdak dtolak H : µ µ ada taraf yata α Utuk meetuka vektor µ yag berukura x adalah la rata-rata dar sebara ormal gada dega adalah bayakya eubah bebas, maka daat deroleh dar erluasa ersamaa ( T S ( - µ ( - µ dega - ( - µ S ( - µ ( x, (4 S( ( ( x da µ µ µ ( x µ Statstk T damaka sebaga T - Hotellg, sebab Harold Hotellg sebaga eloor dalam aalss eubah gada yag ertama kal memerkealka sebara cotoh dega S adalah eduga matrks koragam dar (Johso da Wcher 998 Jka la T htug terlalu besar, yatu melebh egua formal hotess tersebut (ka terlalu auh dar µ maka hotess H : µ µ d tolak Aka teta,
8 tdak derluka tabel T utuk egua formal hotess tersebut karea T meyebar ( F (5, ( (berdasarka Lema 8, dega F, meruaka eubah acak yag meyebar F dega deraat bebas da Msalka,,, adalah cotoh acak dar suatu oulas ormal gada N µ, Σ dega ( ( x, S( ( ( x maka ( ( α PT > F, ( α ( P( - µ S ( - µ > F, ( α ( (6 Sehgga ada egua hotess H : µ µ vs H : µ µ ada taraf yata α, H dtolak aabla la ( ( ( ( T > F, ( α - µ S - µ (7 Secara teor, sebara Wshart meruaka geeralsas dar sebara kh kuadrat, sehgga T ( - µ ( ( ( - µ yag meggabugka vektor acak ormal, W N ( Σ da matrks acak Wshart ( dalam betuk T,, Σ vektor _ acak matrks _ acak _ wshart vektor _ acak ormal _g ada deraat _ bebas ormal _g ada (, Σ, ( Σ (, Σ N W N umusa d atas adalah seada dega ( µ ( ( µ t s atau ( (8 _ eubah acak eubah acak kh kuadrat dskalaka eubah acak t ormal deraat _ bebas ormal utuk kasus eubah tuggal T Salah satu sfat dar statstk adalah bahwa statstk tdak berubah aabla satua egukura eubah dubah mead betuk Y( C( x x ( x + d dega ( x C adalah matrks osgular ( x (9 Msalka dketahu x, x,, x maka deroleh y Cx + d da ( (, S y y - y y - y CSC Berdasarka Lema µ y E( Y E( C + d E( C + E( d Cµ + d Sehgga, T yag dhtug dar Y da suatu la hotess µ y Cµ + d adalah T, - ( y - µ y Sy ( y - µ y - ( x - µ C ( CSC C( x - µ ( x - µ C ( C S C C( x - µ ( ( x - µ S x - µ Hasl tersebut meuukka bahwa dhtug dar T Daerah keercayaa ada T - Hotellg, adalah ( x - µ ( c S x - µ dega c adalah suatu kostata yag secara teat memberka formas yag berkata dega kemugka la bag µ Msalka memlk sebara N ( membetuk kombas lear Z a a + a + + a sehgga memlk sebara ( µ, Σ da N a µ,aσa berdasarka Lema 3 Selag keercayaa smulta daat d betuk dar eyusua selag keercayaa ( α % bag µ z a µ utuk berbaga la a yag ddasarka ada statstk ( a x a µ z µ z t, sehgga sz / a Sa sz sz z t ( α / µ z z + t ( α / atau a Sa a x a µ a x t + ( α / t ( α / a Sa (
9 Pedekata megabaka struktur koragam dar eubah, sehgga s x t x + t ( α / µ ( α / s x t x + t ( α / µ ( α / s s s s x t ( α / µ x + t ( α / ( Sebaga lustras, dega a [ ] maka a µ µ da a Sa s Utuk beberaa eryataa selag keercayaa tetag komoe µ, µ,, µ dega masgmasg koefse keercayaa α, dega memlh koefse yag berbeda utuk vektor a Namu, keercayaa yag berkata dega semua eryataa tersebut tdak sama dega α karea egamata ada eubah ertama bebas dega egamata ada eubah kedua, da seterusya Daat dlhat ada kasus khusus dega egamataegamata memlk sebara bersama da σ σ, sehgga Σ σ P[ semua selag t ada ( mecaku µ ] ( α( α ( α ( α Utuk meam eluag α berlaku utuk semua eryataa tetag komoe la tegah secara smulta maka masg-masg selag harus lebh lebar dbadgka dega yag dsusu dar oe at a tme t method (satu selag t sekalgus yag lebar selag tu aka tergatug ada,, da α ( a x a µ seada dega t t ( α a Sa / ( a x a µ ( a ( x µ t t ( α / a Sa a Sa ( Suatu daerah keercayaa yag dberka oleh a µ dega t relatf kecl darada t ( α utuk semua lha a Dharaka kostata t ( α ada ( dgat dega la lebh / besar yatu c bla eryataa dbuat utuk bayak lha a Dega meetuka la a maka t c, ( ( max t max a x µ a Sa berdasarka Lema aka deroleh ( ( a x µ ( ( max a x µ max a Sa a Sa x µ S x µ T ( ( (3 Berdasarka ersamaa (3 T x µ S x µ c dyataka dalam ( ( ( a x a µ a Sa c a Sa a x c a µ a x+ c utuk seta a, atau a Sa Dega memlh ( c ( utuk seta a F, ( α ada ersamaa (7 aka deroleh terval yag memuat a µ utuk seta a dega eluag α P T c Maka utuk keseluruha a secara smulta utuk selag T meghaslka kesmula ( s ( s x F, ( α µ x + F, ( α ( ( ( ( ( ( s ( ( α µ ( α ( s x F, x + F, ( ( s x F, ( α µ x + F ( α s, (4 Metode Pembadga Bergada Boferro (The Boferro Method of Multle Comarsos Utuk medaatka selag keercayaa yag lebh bak dbadgka dega selag keercayaa smulta T ada kombas lear a µ a µ + a µ + + a µ daat dsusu selag keercayaa yag lebh semt Metode alteratf utuk embadga bergada damaka sebaga metode Boferro dkareaka metode dsusu berdasarka ertdaksamaa eluag Boferro Msalka C meuukka eryataa dega keercayaa la a µ
[ bear] α, dega,,, [ semua bear] [ alg tdak satu salah ] P C P C P C [ ] ( P[ C ] P C salah bear ( α α α + + + (5 Pertdaksamaa (5 adalah kasus khusus dar ertdaksamaa Boferro utuk megotrol keseluruha tgkat kesalaha α + α + + α dega selag keercayaa t ada (, α x t α α / ± s,,,, dega Karea α s P x ± t α /,,,, maka dar ersamaa (5, α s α α α Px ± t + + + α sebayak Utuk tu, dega semua tgkat keercayaa lebh besar atau sama dega α adalah α s α s x t µ x + t α s α s x t µ x + t α s α x t µ x + t s (6 Pedugaa Determa Kovara Mmum (Mmum Covarace Determat Estmator Msalka terdaat eubah eelas (,,, Jka terdaat ecla dalam data maka utuk meduga la tegah oulas ada ersamaa (4 derluka eduga robust utuk meduga la rata-rata S Dalam hal, metode ( da ragam ( robust yag dguaka adalah Mmum Covarace Determat (MCD MCD mecar hmua baga yag berukura h dar x, x,, x ;,, da,,, { } yag matrks kovaraya memuya determa yag terkecl dega ( + + h, h Namu, ka dyak kurag dar 5% data yag deroleh megadug ecla (terkotamas maka daat dguaka h [ 75] (ousseeuw da Dresse, 999 * * MCD ( TJ, CJ dega * J m det CJ, # J meyataka J {,,, } # J h umlah dar aggota ada hmua J Utuk meduga usat (ceter ddefska sebaga la rata-rata dar dugaa tersebut, yatu T * J x h J (7 da utuk meduga ragam adalah * * * C x T x T ( ( J J J h J (8 Adau lagkah-lagkah algortma yag dguaka utuk meyusu eduga MCD, yatu x, x,, x, Agga { } msalka H {,, } dega # H h Temuka T da H C H (ka ( H det C maka tambahka amata sela amata yag megadug ecla ke dalam subhmua H sama deroleh ( H det C Htuglah arak ( ( d x T C x T da H H H H lakuka eguruta dar yag terkecl hgga terbesar d π, d π,, d π H ( ( ( ( ( ( H H Deroleh H : { π (, π (,, π ( h } kemuda htuglah berdasarka ada H T da H C H
Aka dketahu det( CH det( C H aabla det( CH det( CH maka T T da C H H C H H Utuk megkatka efses dar MCD, dhtug dega reweghted MCD Peduga reweghted utuk bobot la rata-rata adalah T ( ( w d ( ( w d (9 da eduga reweghted utuk bobot ragam adalah w( d( ( T ( T C c δ ( dega c δ ( ( w d ( ( w d δ, q δ F χ + ( q δ χ δ ( χ,975, ka d, selaya ( dega * * * d( ( TJ ( CJ ( TJ, adalah arak robust dar egamata * * berdasarka ada eduga MCD ( J, J T T C Statstk obust Utuk memeroleh tekk earka kesmula robust utuk la tegah sebara ormal gada daat deroleh dega meggat eduga klask dalam T -Hotellg dega eduga reweghted MCD Utuk N µ,, dega cotoh berukura dar ( sebara T -Hotellg klask dberka sebaga berkut : T ( - µ S ( - µ ~( F, ( ( α Terdaat tga sfat dar sebara, yatu a ~ N µ, Σ W Σ, b ( S ~ ( (Sebara Wshart c da S salg bebas Bukt: a Berdasarka Teorema Jka N adalah matrks data dar ( x ( µ, Σ da memlk sebara Bukt maka N µ, Σ Berdasarka Lema E ( µ da Var( Σ Sehgga E( E( µ da Var Σ ( ( Cov,, ka Var Var Cov [ Σ + ] Σ b Dketahu bahwa da S salg bebas (lhat c maka utuk S dega ( ( + (, ( ( ( S matrks berukura x da ( matrks berukura x sehgga ( S ( ( meyebar σ χ karea ( S ~ χ Msalka σ S σ Z + σ Z + σ Z, dega ( x µ z maka berdasarka Lema 6 σ / N, σ sehgga matrks σ Z ~ ( ( S memuya matrks Σ yag σ memuya era sama ada dalam sebara Wshart dega deraat bebas berdasarka Defs 8
c x x x x x x x atau, dega, ( da x ( x ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( x S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dega, x x x x da x x x x x x x x x x x x x x x maka S ( I, utuk I ( x karea + I I I I Bukt : da I I I x + + + + + + + + + sebayak kal sebayak kal sebayak kal + + + + + + + + + sebayak kal sebayak kal sebayak kal + + + + + + + + + sebayak kal sebayak kal sebayak kal + + + + + + I + + +
3 Berdasarka eabara d atas deroleh da S I sehgga da S salg bebas Sama halya, berdasarka eduga T, C daat ddefska reweghted MCD ( sebaga u robust statstk yatu T : T µ C T µ Sebara cotoh ( ( ( dar reweghted MCD, µ da Σ tdak dketahu teta µ da Σ memuya kesamaa dega edugaa sebelumya, yatu utuk cotoh berukura dar N µ, sfat aroksmas eduga ( reweghted MCD memeuh Terdaat la k sedemka sehgga T ~ N µ, k Terdaat la m da c sedemka sehgga mc C W, m da E( C c ~ ( 3 T da C salg bebas Sfat memerkeaka utuk memeroleh aroksmas sebara F utuk T yag aalog dega sebara F utuk T -Hotellg sehgga berdasarka Lema 8 deroleh m T kc F (, m + m m da c adalah arameter berdasarka da C secara berturut-turut, arameter * J * T J da c daat dduga (ada Lamra 8 berdasarka ada Croux da Haesbroeck (999 m Taa meetuka la utuk k, m da c daat dguaka edekata yag secara lagsug yatu T df (, q yag lebh sederhaa dega haya ada dua kostata d da q yag dtetuka Faktor d da q deroleh dega mecocokka la rata-rata da ragam dar sebara T ada ersamaa (, sehgga daat deroleh aroksmas yag elas utuk sebara secara teat Oleh karea tu, utuk medaatka la d da q utuk cotoh dar N I, sebara (, q E( T d q q ( + q Var( T d ( q 4( q Dega meulska dua ersamaa sebelumya daat deroleh kostata d da q yatu q E( T d q ( ( E( T ( q E T q dq d (3 q Telah dketahu q ( + q Var( T d Dega ( q 4( q melakuka substtus E( T ( q d q sehgga deroleh T ( Var T d q q Var T ( q ( + q ( 4( ( ( ( + q ( q 4( q E T q q q
4 Var T ( E( T ( + q ( q 4 ( ( + q 4 Var T E T q 4 ( q 4 Var( T E( T ( + q 4 ( 4 ( ( + ( 4 ( ( ( ( ( ( 4 + 4 q Var T Var T E T q E T E T q Var T q E T E T E T Var T q Var( T ( ( 4 ( 4 ( E T E T E T + Var T ( ( ( + Var( T E( T E T 4 E T 4 Var T q ( ( ( ( + + Var( T E( T E T 4 E T 8 E T 4 Var T ( + E( T ( E( T E T 4 + 4 Var T E( T ( ( E( T + + 4 Var T ( E( T Var T ( + + 4 E( T (4 Karea la rata-rata da ragam dar sebara T tdak daat deroleh secara aaltk, sehgga aka daroksmas dega smulas Aka dtuukka bahwa hasl edekata aroksmas sagat akurat dar sebara yag sebearya Sela tu, aka dtuukka E T fugs yag memberka la utuk ( da Var( T utuk semua la da sehgga tdak derluka smulas lebh laut Telah dketahu bahwa sebara T T adalah asmtotk ormal dar T daat T µ N, k dyataka dega ( ( dega k adalah asmtotk ragam dar komoe T Asmtotk ragam dar arameter yag beregaruh terhada reweghted MCD D bawah dberka la k utuk beberaa dmes (Wllems et al Tabel Daftar la k utuk beberaa dmes 3 5 3 k 58 45 85 63 5 4 Oleh karea tu, daat dtuukka, ( µ ( ( µ T T C T kχ
5 sehgga tereuh ( k da Var( T E T k Selag keercayaa dar statstk (5 (6 T utuk kombas lear dar usat oulas, sama halya dega selag keercayaa ada T -Hotellg ada ersamaa (3 yatu ( a T a µ max T a C a (7 Oleh karea tu, selag keercayaa robust α % utuk kombas lear a µ ( adalah d T ± F, q, α C a a a atau d d T F ( α C µ T + F ( α C, q, q d d T F ( α C µ T + F ( α C, q, q d d T F ( α C µ T F ( α C, q +, q (8
6 Cotoh Kasus Tabel Seuluh Perusahaa Idustr Terbesar d Amerka Perusahaa xsales xrofts (mlo of dollars (mllos of dollars Geeral Motors 6,974 4,4 Ford 96,933 3,835 Exxo 86,656 3,5 IBM 63,438 3,758 Geeral Electrc 55,64 3,939 Mobl 5,976,89 Phl Morrs 39,69,946 Chrysler 36,56 359 Du Pot 35,9,48 Texaco 3,46,43 Sumber : Fortue 5, Fortue, (3 Arl 99 Ddaatka dar erusahaa dustr 5 43x terbesar d Amerka ada tabel d atas yag 973 69975 µ meyataka x adalah umlah euala 5 (dalam satua dollars da x adalah umlah 43x 973+ 69975 keutuga (dalam satua dollars Dar data tersebut deroleh 978 µ 3975 639 x da Jka dbadgka dega metode 973 embadga begada Boferro aka 5 55756 deroleh selag keercayaa smulta 9% x 5 S bag µ da µ ada ersamaa (6, yatu 55756 43 Aka deroleh selag keercayaa smulta s s x t ( α / µ x + t ( α / 9% bagµ da µ ada ersamaa (4, s s yatu x t ( α / µ x + t ( α /, ( s ( s x F, ( α µ x + F, ( α ( ( dega ( s ( s t α x F, ( α µ x + F, ( α ( ( t t ( 5 6 ( ( 9 4 9 Dega ( 5 ( 5x 639 6 µ, (,8( ( α ( 5 5x ( 9 3 69975, sehgga µ 639+ 6 8 3968334 µ 5 8493486 5x 5 639 69975 µ 43x 973 6 µ 5 5x 639+ 69975 3584987 µ 8876863 5 43x 973+ 6 79 µ 37868 Tabel 3 Selag keercayaa T da selag keercayaa Boferro Varabel Selag keercayaa T Selag keercayaa Boferro Batas bawah Batas atas Batas bawah Batas atas 3584987 8876863 3968334 8493486 978 3975 79 37868
7 Daat dsmulka bahwa selag keercayaa Boferro 9% memlk selag yag lebh semt dbadgka dega selag keercayaa T yag mecaku semua µ da µ sehgga selag Boferro berada d dalam selag T Maka seta earka feresa, selag smulta lebh serg ddasarka ada metode Boferro Selautya ddetfkas, adaya ecla atau tdak dalam data tersebut yatu dega megguaka lot ch-square Utuk membagktka lot ch square harus d yatu deroleh kuadrat arak ( d ( x x S ( x x dega,,, da q ( yag meruaka ( ( / / ercetle dar sebara ch square dega deraat bebas, sehgga (( q / χ + / Sehgga terlebh dahulu durutka kuadrat arak dar yag terkecl hgga terbesar d d d lalu buat lot ( q, d Tabel 4 Kuadrat arak ( J Perusahaa d d da q q Exxo,5945, Du Pot,865,33 3 IBM,8956,58 4 Texaco,97356,86 5 Mobl,86, 6 Phl Morrs,356,6 7 Ford,9886, 8 Geeral Electrc,8794,77 9 Geeral Motors 4,3497 3,79 Chrysler 5,3337 5,99 Keteraga: egamata aka meyebar ormal ka d χ ( sesua dega arak Mahalaobs ada Defs 5 Pada data tersebut terdaat satu data yag d luar kotor (ecla atau sektar % data terkotamas karea χ ( 46 atau daat uga dlhat ada scatter lot ( q d, Gambar Plot ecara (scatter lot q da d 6 Scatterlot of d vs q 5 4 d 3 3 q 4 5 6 Terlhat ada scatter lot (, q d, tebara ttk dega betuk medekat gars lurus sehgga data eubah gada tersebut meyebar ormal gada (Johso da Wcher, 999 Pada matrx lot dbawah terlhat ola hubuga atara seta asaga eubah, yatu atara x da x
8 Gambar Matrx Plot atar eubah eelas Matrx Plot x da x 3 4 xsales (mlo of dollars 8 6 4 4 3 xrofts(mllos of dollars 4 6 8 Gambar 3 Plot hasl egua keormala ssaa Probablty Plot of ESI Normal Percet 99 95 9 8 7 6 5 4 3 Mea -4,885E-6 StDev,53 N KS,45 P-Value >,5 5 -,5 -, -,5, ESI,5, Karea terdaat ecla, yatu ada Chrysler, maka dguaka eduga robust dalam hal dguaka MCD utuk meaggulaggya Data tersebut terdr dar x, x,, x ;,, da, { } yag matrks kovaraya memuya determa yag terkecl dega ( + + h, h, sehgga * * MCD T, C Namu dyak data yag ( J J deroleh megadug % (kurag dar 5% ecla maka daat dguaka h 75 (ousseeuw da Dresse 999 [ ] [ ] h 75 75x 75 7 T x da * J h J C x T x T ( ( * * * J J J h J maka deroleh la haraa da ragam yag ddasarka ada h, yag selautya dguaka reweghted MCD yag ddasarka ada ( d ( H da ( ( d H
9 Tabel 5 Kuadrat arak ada H ( d ( H, lalu durutka dar terkecl ( d ( H J Perusahaa sales rofts d d ( H J Perusahaa d ( H Exxo 86656 35,5945 556 Du Pot 975 Du Pot 359 48,865 975 Texaco 446 3 IBM 63438 3758,8956 98748 3 Phls 354 Morrs 4 Texaco 346 43,97356 446 4 Exxo 556 5 Mobl 5976 89,86 44368 5 IBM 98748 6 Phl 3969 946,356 354 6 Ford 734 Morrs 7 Ford 96933 3835,9886 734 7 Mobl 44368 8 Geeral 5564 3939,8794 459933 8 Geeral 459933 Electrc Electrcs 9 Geeral 6974 44 4,3497 88 9 Geeral 88 Motors Motors Chrysler 3656 359 5,3337 333 Chrysler 333 Aka dlh yag memlk matrks kovara dega determa terkecl T H C H 57839 da 96443 563995 4938 x 5, deroleh 4938 58485 ( H det C 3688x T H C H 57839 da 96443 563995 4938 x 5, deroleh 4938 58485 ( H det C 3688x sehgga det( CH det( C H * * MCD ( TH, CH ( TH, CH ( TJ, CJ 4 4 maka lh Utuk megkatka efses dar Mmum Covarace Determat, dhtug dega megguaka reweghted MCD, yatu: T C c δ ( ( w d ( ( w d da ( ( ( ( w d T T ( ( w d Keteraga : δ 5 cδ F q F q q δ χ ( ( δ +, δ χ,975 ( 5 975 796 dega 484 738 χ ( ( w d δ χ,975 738 (, ka d χ, selaya,975 dega χ,975 χ,975 738 766 ( da * * * d( ( TJ ( CJ ( TJ, Tabel 6 Pembobot ada reweghted MCD J Perusahaa sales rofts d ( d ( w( d( Du Pot 359 48 975 954 Texaco 346 43 446 697 3 Phls Morrs 3969 946 354 4 4 Exxo 86656 35 556 98 5 IBM 63438 3758 98748 497
6 Ford 96933 3835 734 647 7 Mobl 5976 89 44368 53 8 Geeral Electrcs 5564 3939 459933 446 9 Geeral Motors 6974 44 88 9666 Chrysler 3656 3593 333 459 Sehgga deroleh eduga la rata-rata da ragam bag reweghted MCD sebaga berkut: 57495 T da 3865 34899 998 x 5 C 998 4983 Berdasarka eduga reweghted MCD T, C daat ddefska sebaga u robust ( statstk yatu ( µ ( ( µ ( µ ( ( µ T : T C T dega T T C T k sehgga tereuh ( k da Var( T E T χ k Dega da k 45 maka deroleh ( k ( ( ( E T 45 9 da Var T k 45 4 544 ( E( T Var T q ( + + 4 E( T ( ( ( 9 544 9 ( + + 4 4 ( ( q ( 9( 4 E T d 45 q 4 Selautya deroleh selag keercayaa smulta 9% bagµ da µ ada ersamaa (8, yatu d d T F, q( α C µ T + F, q( α C d d T F ( α C µ T + F ( α C,, q, q dega F ( F (, α,4 43 maka q 45 57495 43 34899x 5 ( ( 45 µ 57495+ 43 34899x 4936475 µ 6566375 5 ( ( 45 ( ( 3865 43 4983 45 µ 3865+ 43 4983 844 µ 335846 ( ( T, selag keercayaa Boferro, da selag keercayaa reweghted MCD Selag keercayaa T Selag keercayaa Boferro Selag Keercayaa eweghted MCD Batas bawah Batas atas Batas bawah Batas atas Batas bawah Batas atas Tabel 7 Selag keercayaa Peubah Peelas 3584987 8876863 3968334 8493486 4936475 6566375 978 3975 79 37868 844 335846 Daat dsmulka bahwa selag keercayaa reweghted MCD 9% memlk selag yag lebh semt dbadgka dega selag keercayaa T mauu dega selag keercayaa Boferro
KESIMPULAN Pada tulsa dka suatu metode utuk megdetfkas earka kesmula utuk meemuka usat oulas ormal gada, statstk T -Hotellg meruaka statstk yag teat utuk dguaka Pedekata dega selag keercayaa Boferro meghaslka selag yag lebh semt dbadgka dega selag keercayaa T sehgga utuk seta µ, µ, µ, selag keercayaa Boferro atuh d dalam selag keercayaa T utuk la,, da α yag sama Oleh karea tu, saat meetuka usat oulas ormal gada, selag smulta lebh serg ddasarka ada metode Boferro Sela tu, aka delaar suatu metode statstk T sebaga suatu metode robust alteratf utuk statstk klask T - Hotellg Statstk T deroleh dega meggat la rata-rata klask da kovara ada statstk T -Hotellg dega reweghted MCD (Mmum Covarace Determat Smulas meuukka bahwa statstk T memuya keuggula dbadgka dega statstk T -Hotellg, yatu data yag terdetfkas adaya ecla daat dtemuka usat oulas ormal gada dega edekata yag lebh bak
DAFTA PUSTAKA Aderso, TW 984 A Itroducto to Multvarate Statstcal Aalyss Ed Ke- Joh Wley New York Croux, C, Haesbroeck, G 999 Ifluece Fucto ad Effcecy of the Mmum Covarace Determat Scatter Matrx Estmator Joural of Multvarate Aalyss 7:6-9 Dudley M 989 eal Aalyss ad Probablty Wadsworth & Brooks Calfora Grmmett G, Strzaker D 99 Probablty ad adom Processes Ed Ke- Claredo Press Oxford Hogg V, Crag AT, McKea JW 5 Itroducto to Mathematcal Statstcs Ed Ke-6 Pretce Hall, Eglewood Clffs New Jersey Johso A, Wcher DW 998 Aled Multvarate Statstcal Aalyss Ed Ke-4 Pretce Hall, Eglewood Clffs New Jersey Krzaowsk WJ 988 Prcles of Multvarate Aalyss, A User s Persectve Oxford Claredo Press Marda KV, Ket JT, Bbby JM 979 Multvarate Aalyss Academc Press Lodo ousseeuw PJ, Va Dresse K 999 A Fast Algorthm for the Mmum Covarace Determat Estmator Techometrcs 4:-3 Syma JA 5 Practcal Mathematcal Otmzato Srger New York Wllems G, Pso PJ, ousseeuw, S Va Aelst A obust Hotellg Test Metrka 55:5-38
LAMPIAN 3
4 Lamra Peabara Teks Defs (Matrks koragam Nla haraa dar matrks acak berukura x daat dtuls: E( E( E( E( µ E( E( E( E( µ E( µ E( E( E( E( µ Matrks koragam ddefska sebaga E[{ E( }{ E( }] yag meruaka egembaga dar la cov( x, x E[{ x E( x }{ x E( x }] da Var( x E[{ x E( x }] (Krzaowsk, 998 Dalam betuk matrks, matrks koragam dtuls sebaga (Johso ad Wcher 998 E( - µ ( - µ µ µ E µ, µ,, µ µ ( µ ( µ ( µ ( µ ( µ ( ( ( ( ( E µ µ µ µ µ ( µ ( µ ( µ ( µ ( µ E( µ E( µ ( µ E( µ ( µ E( µ ( µ E( µ E( µ ( µ E( µ ( µ E( µ ( µ E( µ atau σ σ σ σ σ σ Cov( σ σ σ
5 Lamra Pembukta Lema Lema Msalka,, adalah gabuga sebara dar cotoh acak dega vektor la tegah µ dar matrks koragam Σ, maka adalah eduga tak bas dar µ, da matrks koragam dar adalah Σ Jad E ( µ (vektor la tegah oulas Cov( Σ (matrks koragam oulas dbag dega ukura cotoh Utuk matrks koragam cotoh S E( S Σ Σ Σ Karea E( S Σ maka S adalah eduga tak bas dar Σ (Johso ad Wcher 998 Bukt : ( + + + Msalka E( E( + + + E( + E( + + E( E( + E( + + E( µ + µ + + µ µ Utuk ( - µ ( - µ ( - µ ( ( ( - µ - µ - µ l l Cov( E( µ ( µ E( ( µ l µ l
6 Utuk seta l maka E( ( - µ l - µ aka berla ol, karea koragam atara komoe da salg bebas, sehgga Cov( E( ( - µ - µ Karea E( - µ ( - µ adalah matrks koragam oulas utuk seta, maka deroleh Cov( E( - µ ( - µ Σ + Σ + + Σ ( Σ Σ Utuk memeroleh la haraa dar (, k dar ( ( matrks daat d tuls sebaga : S, daat d tuls ( ( k k adalah aggota ke - - sehgga eumlaha dar kuadrat da erkala dalam betuk ( - ( - ( - + ( - ( - Karea ( - da E E E, maka la haraaya adalah ( ( - Utuk sembarag vektor eubah acak V dega ( V V V E VV Σ + µ µ Selautya deroleh ( Σ µµ da E( E ( V µ V da Cov ( V V E + Σ + µµ Dega megguaka hasl ddaatka ( ( ( E E Σ + µµ Σ + µµ Σ + µµ Σ µµ Σ - Σ Σ ( Σ, deroleh
7 Karea S, maka E( S E( E( ( Σ Karea E S Σ maka matrks koragam cotoh S S ( ( - - S adalah eduga tak bas dar Σ Daat dsmulka,
8 Lamra 3 Pembukta Lema Lema (Vektor la haraa da matrks koragam kombas lear eubah acak Jka eubah acak tuggal dkalka dega suatu kostata c maka E( c cµ da ( c σ Var c Utuk kombas lear dar Bukt: Jka eubah acak tuggal c memuya E ( c c µ da Var ( c c c (Johso ad Wcher 998 E c ce cµ dkalka dega suatu kostata c maka ( ( µ σ Var c E c c c Var c da ( ( ( Utuk kombas lear dar c a + b dega Msalka c memuya E ( c c µ da Var ( c c c a b c maka x ax + bx c dega, Sehgga, la haraa E c E a + b ae + be a + b c µ ( ( ( ( µ µ ( c ( ( ( + + µ + µ Var Var a b E a b a b Jka dmsalka ( µ b( µ E a + E a µ + ab µ µ + b µ a Var + abcov, + b Var ( ( ( ( ( ( ( a σ + abσ + b σ σ σ σ σ ( ( c Var a + b Var c Σc karea adalah matrks koragam dar maka σ σ a c c [ a b] a σ+ abσ + b σ σ σ b Maka daat dtuls Var ( c c Σc Sehgga c memlk sebara N( µ,c Σc
9 Lamra 4 Pembukta Lema 3 Lema 3 N µ, Σ maka utuk seta kombas lear dar eubah A a + a + + a Jka ~ ( memlk sebara N( Aµ, AΣA Bukt: Msalka q adalah kombas lear dar eubah acak + + + Msalka Z a + + a Z a + + a Z a + + a q q, Z a a a Z a a a Z A, Zq aq aq aq µ E Z E A Aµ z z ( ( x, ( Cov( Σ Cov Z A AΣ A Sehgga A ( qx ( x a + + a a a + + aq + + aq x meyebar N( Aµ, AΣA (Johso ad Wcher 998
3 Lamra 5 Pembukta Lema 4 da Lema 5 Lema 4 Jka da ( q x ( q x N ( ( µ, Σ q maka Bukt : Jka meyebar ( da haya ka Σ Σ adalah salg bebas da masg-masg meyebar memlk sebara ormal gada N µ, Σ dega Σ Maka da ( q x Utuk ( - µ Σ ( - µ ( µ ( µ N q + q N µ Σ da ( (, q µ Σ, µ Σ (Johso ad Wcher 998 adalah salg bebas ka ( q x Σ µ Σ µ Sehgga, memlk sebara ormal gada Lema 5 Msalka meyebar (, - c ( - µ Σ ( deraar bebas ( µ ( µ ( µ ( µ Σ + Σ N q + q N µ Σ dega > - µ meyebar Σ Maka : µ Σ, µ Σ χ, dega χ meyataka sebara ch-square dega d Sebara N ( µ, Σ memberka eluag α, ( - ( χ ( α χ α meyataka ( { } x : x - µ Σ x - µ dega ( α ercetle dar sebara χ (Johso ad Wcher 998 Bukt : a Dketahu bahwa χ ddefska sebaga eumlaha dar sebara Z + Z + + Z, dega adalah eubah acak salg bebas yag meyebar N (, Z, Z,, Z Defs deroleh Akbatya Σ ee dega λ λ e e ad ( λ ( ( ( ( ( ( ( e / e Dar ( ( ( ( λ λ λ - µ Σ - µ / - µ e e - µ / e - µ / e - µ
3 Msalka Z A( - µ dega Z ( x Z Z, A Z ( x dketahu ( e λ e λ e λ Z A - µ meyebar N ( da ( - µ meyebar (,, AΣA dega N Σ Dar Lema 3, e λ e e λ A( Σ x ( x A λ ( x λee e e e λ λ λ λ e λ e e e e I λ λ λ λ e Dar Lema 4, maka Z, Z, Z adalah eubah acak yag salg bebas yag meyebar - µ Σ - µ memlk sebara ormal baku da daat dsmulka ( ( b Daat dketahu dar baga a (( ( P - χ - µ Σ - µ α χ
3 Lamra 6 Pembukta Lema 7, Lema 8, da Lema 9 Lema 7 (Sebara T -Hotellg Jka da M adalah salg bebas yag meyebar N ( µ, da W (, m Σ secara berturutturut maka - m( - µ M ( - µ ~ (, T m (Marda et al 979 Bukt : * - Jka d Σ ( dega - - * - µ da M Σ MΣ, meurut Defs 6 terdaat α ~ T (, m * * - * m( - d M d - µ M ( - µ ~ (, α m T m Lema 8 (, m m T m F, m + Bukt : (Marda et al 995 - Dega megguaka Defs 6, msalka α md M d sehgga daat dtuls - d M d d d α m d d Karea M da d salg bebas, daat dmsalka β - d d d M d dega d meyebar χ + Kods sebara tdak bergatug ada d melaka ada sebara β, m sehgga β bebas terhada d - Msalka - d Σ ( x - µ sehgga daat deroleh ( ( 5a daat deroleh d d ~ χ χ Maka m α m F χm + m Lema 9 Msalka M ~ W (, m, m + Σ da B adalah matrks berukura xq maka d d x - µ Σ x - µ berdasarka Lema B MB ~ Wq (, m B ΣB (Marda et al 979 Bukt : Dega megguaka Defs 8, karea B MB B B Y Y dega Y B da ~ N(, Σ Dega megguaka Lema 3 maka Y ~ (, maka B MB ~ Wq (, m B ΣB N B ΣB sehgga berdasarka Defs 8
33 Lamra 7 Pembukta Lema da Lema Lema (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz Msalka atau d b ( x da d ( x adalah vektor berukura x cb utuk c adalah suatu kostata Bukt : Utuk ertaksamaa tersebut elas ka adalah sembarag skalar maka aag b ( ( ( < b xd b xd b b xd b b xd + x d d ( b d ( b d maka ( b d b bd d dega b cd b da d Agga vektor b xd ostf yatu b xd, sehgga ( + b b x b d x d d ( < b b x b d x d d d d + d d + ( b d b d < b b + ( d d x d d d d Dega memlh x b d ( b d deroleh d d (Johso ad Wcher 998 xd, dega x < b b atau ( b d ( b b( d d ka b xd d d Lema (Perluasa Ketaksamaa Cauchy-Schwarz Msalka b ( x da d ( x adalah vektor berukura x da msalka B ( x adalah matrks deft ostf maka ( b d ( b b ( d d kostata B B dega b cb d atau d cb b utuk c adalah suatu (Johso ad Wcher 998 Bukt : Utuk ertaksamaa tersebut elas ka b da d Utuk kasus laya, agga akar kuadrat dar matrks / λ e e / B ddefska dalam betuk la egeλ da vektor ege e sehgga / B berdasarka Defs maka daat uga dyataka B e e Sehgga b d b d b / / ( / d b ( / d Schwarz ( b d b bd d I B B B B da dega ketaksamaa Cauchy- / / / / ( B b ( B b( B d ( B d / / / / b ( B B bd ( B B d B B b bd d λ
34 Lamra 8 Dugaa Nla m da c Parameter c daat dduga dega P( χ + < χ(, h / c h / Parameter m daat dduga dega α, dega adalah bayakya cotoh da ( + + h q α daat ddefska sebaga α P( χ q α c α α P χ + ( qα ( χ + qα P c, P( χ + 4 qα c3, c 3c, 4 3 (,, h cα c3 c4 b, α cα qα α b 5+ c3 c +, α cα qα v α b α c cα 3 b b + + b b b ( ( ( ( ( 3 ( ( ( α v b b b c α, v v, v m c v α,
35 Lamra 9 Smulas Cotoh Kasus I[]: Trasose[{{6974, 96933, 86656, 63438, 5564, 5976, 3969, 3656, 359, 346}, {44, 3835, 35, 3758, 3939, 89, 946, 359, 48, 43}}] Out[] {{6974, 44}, {96933, 3835}, {86656, 35}, {63438, 3758}, {5564, 3939}, {5976, 89}, {3969, 946}, {3656, 359}, {359, 48}, {346, 43}} I[]: xbar Mea[] // N Out[] {639, 973} I[3]: S Covarace[] // N Out[3] {{5*^9, 55756*^7}, {55756*^7, 43*^6}} I[4]: Iverse[S] // N Out[4] {{843*^-9, -393*^-8}, {-393*^-8, 886*^-6}} I[5]: {6974, 44} Out[5] {6974, 44} I[6]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[6] {{43497}} I[7]: {96933, 3835} Out[7] {96933, 3835} I[8]: { - xbar}iverse[s]trasose[{subscrt[, ] - xbar}] Out[8] {{9886}} I[9]: {86656, 35} Out[9] {86656, 35} I[]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[] {{594497}} I[]: {63438, 3758} Out[] {63438, 3758} I[]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - - xbar}] Out[] {{8956}} I[3]: - {5564, 3939} Out[3] {5564, 3939} I[4]: { - xbar}iverse[s]trasose[{{ - xbar}] Out[4] {{8794}} I[5]: { {5976, 89} Out[5] {5976, 89}
36 I[6]: {{ - xbar}iverse[s]trasose[{ ] - xbar}] Out[6] {{86}} I[7]: {3969, 946} Out[7] {3969, 946} I[8]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[8] {{356}} I[9]: {3656, 359} Out[9] {3656, 359} I[]: { xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[] {{53337}} I[]: {359, 48} Out[] {359, 48} I[]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[] {{8653}} I[3]: {346, 43} Out[3] {346, 43} I[4]: { - xbar}iverse[s]trasose[{ - xbar}] Out[4] {{973559}} I[5]: H Trasose[{{86656, 359, 63438, 346, 5976, 3969, 96933}, {35, 48, 3758, 43, 89, 946, 3835}}] Out[5{{86656, 35}, {359, 48}, {63438, 3758}, {346, 43}, {5976, 89}, {3969, 946}, {96933, 3835}} I[6]: Hx Plus[86656, 359, 63438, 346, 5976, 3969, 96933] Out[6] 44697 I[7]: Hx Plus[35, 48, 3758, 43, 89, 946, 3835] Out[7] 75 I[8]: TH {{Hx/7}, {Hx/7}} // N Out[8] {{57839}, {96443}} I[9]: CH Plus[(86656-57839^, (359-57839^, (63438-57839^, (346-57839^, (5976-57839^, (3969-57839^, (96933-57839^]/7 Out[9] 563995*^8 I[3]: CH Plus[(86656-57839*(35-96443, (359-57839*(48-96443, (63438-57839*(3758-96443, (346-57839*(43-96443, (5976-57839*(89-96443, (3969-57839*(946-96443, (96933-57839*(3835-96443]/7 Out[3] 4938*^7
37 I[3]: CH Plus[(35-96443^, (48-96443^, (3758-96443^, (43-96443^, (89-96443^, (946-96443^, (3835-96443^]/7 Out[3] 58485 I[3]: CH Trasose[{{563995`*^8, 4938`*^7}, {4938`*^7, 58485}}] Out[3] {{563995*^8, 4938*^7}, {4938*^7, 58485}} I[33]: Det[CH] Out[33] 3688*^4 I[34]: x {86656, 35} Out[34] {86656, 35} I[35]: Trasose[x - TH]Iverse[CH](x - TH Out[35] {{556}} I[36]: x {359, 48} Out[36] {359, 48} I[37]: Trasose[x - TH]Iverse[CH](x - TH Out[37] {{975}} I[38]: x3 {63438, 3758} Out[38] {63438, 3758} I[39]: Trasose[x3 - TH]Iverse[CH](x3 - TH Out[39] {{98748}} I[4]: x4 {346, 43} Out[4] {346, 43} I[4]: Trasose[x4 - TH]Iverse[CH](x4 - TH Out[4] {{446}} I[4]: x5 {5976, 89} Out[4] {5976, 89} I[43]: Trasose[x5 - TH]Iverse[CH](x5 - TH Out[43] {{44368}} I[44]: x6 {3969, 946} Out[44] {3969, 946} I[45]: Trasose[x6 - TH]Iverse[CH](x6 - TH Out[45] {{354}} I[46]: x7 {96933, 3835} Out[46] {96933, 3835} I[47]: Trasose[x7 - TH]Iverse[CH](x7 - TH Out[47] {{734}}
38 I[48]: x8 {5564, 3939} Out[48] {5564, 3939} I[49]: Trasose[x8 - TH]Iverse[CH](x8 - TH Out[49] {{459933}} I[5]: x9 {6974, 44} Out[5] {6974, 44} I[5]: Trasose[x9 - TH]Iverse[CH](x9 - TH Out[5] {{88}} I[5]: x {3656, 359} Out[5] {3656, 359} I[53]: Trasose[x - TH]Iverse[CH](x - TH Out[53] {{333}} I[54]: H Trasose[{{359, 346, 3969, 86656, 63438, 96933, 5976}, {48, 43, 946, 35, 3758, 3835, 89}}] Out[54] {{359, 48}, {346, 43}, {3969, 946}, {86656, 35}, {63438, 3758}, {96933, 3835}, {5976, 89}} I[55]: Hx Plus[359, 346, 3969, 86656, 63438, 96933, 5976] Out[55] 44697 I[56]: Hx Plus[48, 43, 946, 35, 3758, 3835, 89] Out[56] 75 I[57]: TH {{Hx/7}, {Hx/7}} // N Out[57] {{57839}, {96443}} I[58]: CH Plus[(359-57839^, (346-57839^, (3969-57839^, (86656-57839^, (63438-57839^, (96933-57839^, (5976-57839^]/7 Out[58] 563995*^8 I[59]: CH Plus[(359-57839*(48-96443, (346-57839*(43-96443, (3969-57839*(946-96443, (86656-57839*(35-96443, (63438-57839*(3758-96443, (96933-57839*(3835-96443, (5976-57839*(89-96443]/7 Out[59] 4938*^7 I[6]: CH Plus[(48-96443^, (43-96443^, (946-96443^, (35-96443^, (3758-96443^, (3835-96443^, (89-96443^]/7 Out[6] 58485 I[6]: CH Trasose[{{563995`*^8, 4938`*^7}, {4938`*^7, 58485}}] Out[6] {{563995*^8, 4938*^7}, {4938*^7, 58485}}
39 I[6]: Det[CH] Out[6] 3688*^4 I[63]: eweghted Plus[359, 346, 3969, 86656, 63438, 96933, 5976, 5564] Out[63] 45996 I[64]: eweghted Plus[48, 43, 946, 35, 3758, 3835, 89, 3939] Out[64] 469 I[65]: Treweghted Trasose[{{eweghted}/8, {eweghted}/8}] // N Out[65] {{57495, 3865}} I[66]: creweghted 796*Plus[(359-57495^, (346-57495^, (3969-57495^, (86656-57495^, (63438-57495^, (96933-57495^, (5976-57495^, (5564-57495^]/8 Out[66] 34899*^8 I[67]: creweghted 796*Plus[(359-57495*(48-3865, (346-57495*(43-3865, (3969-57495*(946-3865, (86656-57495*(35-3865, (63438-57495*(3758-3865, (96933-57495*(3835-3865, (5976-57495*(89-3865, (5564-57495*(3939-3865]/8 Out[67] 998*^6 I[68]: creweghted 796*Plus[(48-3865^, (43-3865^, (946-3865^, (35-3865^, (3758-3865^, (3835-3865^, (89-3865^, (3939-3865^]/8 Out[68] 4983 I[69]: Creweghted Trasose[{{34899`*^8, 998`*^6}, {998`*^6, 4983}}] Out[69] {{34899*^8, 998*^6}, {998*^6, 4983}}