Titik pada graf dapat dilabel dengan huruf, seperti a, b, c,, z atau

D. Uraian Materi 1. Konsep-konsep Dasar Teori raf a. Pengertian raf raf adalah pasangan himpunan (V(), E()) atau cukup disingkat (V, E), ditulis dengan notasi = (V(), E()) atau = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari titik (vertices atau nodes) dan E adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan satu atau dua titik, dengan E mungkin merupakan himpunan kosong. Definisi ini menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi, tetapi titiknya harus ada, minimal satu. raf yang tidak memiliki sisi dinamakan graf kosong (null graph). raf kosong dengan n titik, dinotasikan dengan N n. Titik pada graf dapat dilabel dengan huruf, seperti a, b, c,, z atau v 1, v 2,, v n atau dengan bilangan asli 1, 2, 3,, n, sedangkan sisi yang menghubungkan titik u dengan titik v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang e 1, e 2,., e n. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik u dengan titik v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u, v). Sisi e tersebut dapat juga ditulis sebagai uv atau vu. Misalkan u dan v adalah dua titik di dan e = (u, v) adalah sebuah sisi, maka titik u dan v dikatakan berhubungan langsung atau bertetangga (adjacent). Sedangkan sisi e dikatakan terkait (incident) dengan titik v dan juga titik u. Perhatikan graf dan H berikut. v 3 v 1 v 2 ambar 1. raf kosong e v 3 1 e 5 e 1 e 2 e 4 e v 6 v 4 e 7 6 v 5 H ambar 2. raf tak sederhana 4

ambar 1 merupakan graf kosong dengan 3 titik. Pada ambar 2 terdapat suatu sisi yang dikaitkan dengan sepasang titik v 3 dan v 3. Sisi yang dua titik ujungnya sama disebut loop (gelang). Sisi e 5 pada ambar 2 merupakan sebuah loop. Dalam sebuah graf dimungkinkan adanya lebih dari satu sisi yang dikaitkan dengan sepasang titik. Sebagai contoh, e 1 dan e 2 pada ambar 2 di atas dikaitkan dengan sepasang titik v 2 dan v 4. Pasangan sisi semacam ini disebut sisi rangkap atau sisi paralel. Kemudian titik v 1 merupakan titik terasing atau titik terisolir karena tidak ada sisi yang terkait dengan v 1. raf yang tidak memuat sisi rangkap dan loop disebut graf sederhana (simple graph), sedangkan graf yang memuat sisi rangkap atau loop disebut graf tak sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). raf ganda adalah graf yang memuat sisi rangkap dan tidak memuat loop. raf semu adalah graf yang memuat loop, termasuk juga jika memuat sisi rangkap. Jika sisi-sisi graf diberi orientasi arah, maka disebut graf berarah (directed graph atau digraph). Sisi berarah (busur) a = (u, v) merupakan pasangan berurutan, dengan u adalah titik awal sisi berarah a dan v adalah titik akhir sisi berarah a. Jika sisi-sisi graf tidak diberi orientasi arah, maka disebut graf tak berarah (undirected graph). Sisi e = (u, v) pada graf tak berarah bukanlah merupakan pasangan berurutan, sehingga sisi e tersebut juga bisa ditulis sebagai e = (v, u). Untuk selanjutnya dalam pembahasan ini yang dibahas hanya graf tak berarah dan penulisan kata graf tak berarah cukup ditulis dengan kata graf saja. Teorema-teorema yang ada tidak dibuktikan di sini, bukti lengkapnya dapat dibaca pada referensi-referensi dalam Daftar Pustaka. b. raf Bagian (Subgraf) Misalkan adalah graf dengan himpunan titik V() dan himpunan sisi E(). Sebuah graf H dengan himpunan titik V(H) dan himpunan sisi E(H), disebut graf bagian (subgraf) dari graf, dinotasikan H, jika 5

V(H) V() dan E(H) E(). Jika V(H) = V() dan E(H) E(), maka H disebut graf bagian rentang (spanning subgraph). Karena konsep graf bagian dapat dianalogikan dengan konsep himpunan bagian dalam teori himpunan, maka sebuah graf bagian dapat dipandang sebagai bagian dari graf yang lain. Sifat-sifat dari graf bagian adalah sebagai berikut. 1) Setiap graf merupakan graf bagian dari dirinya sendiri. 2) raf bagian dari suatu graf bagian merupakan graf bagian dari. 3) Sebuah titik dalam graf merupakan graf bagian dari. 4) Sebuah sisi dari bersamaan dengan kedua titik ujungnya juga merupakan graf bagian dari. Berikut ini adalah contoh graf bagian dari sebuah graf. v 1 v 4 v 1 v 4 v 1 H K ambar 3. raf bagian dari graf Pada ambar 3, H adalah graf bagian rentang dari dan K adalah graf bagian dari tetapi bukan graf bagian rentang. c. Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Sikel Misalkan adalah graf, maka jalan (walk) di adalah sebuah barisan berhingga W = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 v i 1 e i v i e k v k yang sukusukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian sehingga v i 1 dan v i adalah titik-titik akhir (titik ujung) sisi e i untuk 1 i k di mana v 0 dan v k berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir jalan W. Titik-titik v 1, v 2,, v k 1 disebut titik-titik internal jalan W. Panjang jalan W adalah 6

banyaknya sisi dalam W. Jadi panjang jalan W di atas adalah k. Jalan tertutup di adalah jalan yang titik awal dan akhirnya sama. Jejak (trail) di adalah jalan dengan semua sisinya e 1, e 2, e 3,, e k berbeda. Lintasan (path) di adalah jejak dengan semua titiknya v 1, v 2, v 3,, v k berbeda. Jejak tertutup (sirkuit) di adalah jejak yang titik awal dan akhirnya sama dan sikel (cycle) adalah sirkuit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda. Perhatikan ambar 4 berikut. v 2 v 1 e 5 e 1 e 2 e 6 e 11 e 10 v 6 e 7 v 3 e 9 e 8 e 3 v 7 v 5 e 4 v 4 ambar 4 Sebuah graf Pada ambar 4 dapat dibuat: (a) jalan W: v 1 e 10 v 6 e 6 v 2 e 6 v 6 e 7 v 3 e 3 v 4 e 3 v 3 atau cukup ditulis dengan W: v 1 v 6 v 2 v 6 v 3 v 4 v 3 ; (b) jalan tertutup W 1 : v 1 e 1 v 2 e 6 v 6 e 7 v 3 e 11 v 7 e 11 v 3 e 7 v 6 e 9 v 5 e 5 v 1 atau cukup ditulis dengan W 1 : v 1 v 2 v 6 v 3 v 7 v 3 v 6 v 5 v 1 ; (c) jejak J: v 1 e 10 v 6 e 7 v 3 e 3 v 4 e 8 v 6 e 6 v 2 atau cukup ditulis dengan J: v 1 v 6 v 3 v 4 v 6 v 2 ; (d) lintasan P: v 1 e 5 v 5 e 9 v 6 e 7 v 3 e 11 v 7 atau cukup ditulis dengan P: v 1 v 5 v 6 v 3 v 7 ; (e) jejak tertutup (sirkuit) J 1 : v 1 e 10 v 6 e 7 v 3 e 3 v 4 e 8 v 6 e 6 v 2 e 1 v 1 atau cukup ditulis dengan J 1 : v 1 v 6 v 3 v 4 v 6 v 2 v 1 ; (f) sikel C: v 1 e 10 v 6 e 9 v 5 e 4 v 4 e 3 v 3 e 2 v 2 e 1 v 1 atau cukup ditulis dengan C: v 1 v 6 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1. 7

d. raf Terhubung dan Tidak Terhubung raf disebut terhubung (connected) jika setiap dua titik berbeda pada graf tersebut terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Komponen graf adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (titik dan sisi) dari. raf H dikatakan graf bagian terhubung maksimal dari graf, jika tidak ada graf bagian lain dari yang terhubung dan memuat H. raf terhubung terdiri satu komponen. Apabila suatu graf tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri dari beberapa komponen yang masingmasing komponennya adalah suatu graf terhubung atau suatu titik terisolir. 1 2 ambar 5. raf terhubung 1 dan graf tak terhubung 2 raf terhubung terdiri satu komponen, sedang graf tak terhubung terdiri paling sedikit dua komponen. raf 1 terdiri satu komponen dan graf 2 terdiri empat komponen. e. Isomorfisme raf raf bisa digambar dengan beragam bentuknya. Walaupun dua buah graf tampak berbeda bentuknya, dengan penamaan titik-titik yang berbeda pula, tetapi sebenarnya keduanya merupakan graf yang sama. Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf dan H dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e 1 di yang memiliki titik akhir u 1 dan u 2 maka berkorespondensi dengan sisi e 2 di H yang memiliki titik akhir v 1 dan v 2, demikian sebaliknya. 8

Contoh H raf dan H isomorfik karena ada korespondesi satu-satu sebagai berikut: u 1 v 1, u 2 v 3,, u 3 v 5, u 4 v 2, u 5 v 4, u 6 v 6 f. Derajat Titik Misalkan v adalah titik dalam suatu graf. Derajat (degree) titik v, disimbolkan d(v), adalah jumlah sisi yang terkait dengan titik v dan sisi suatu loop dihitung dua kali. Derajat total adalah jumlah derajat semua titik dalam. Derajat minimum dari graf dinotasikan dengan δ() dan derajat maksimumnya dinotasikan dengan (). Contoh v 1 v 6 v 4 v 5 Pada graf di atas, derajat masing-masing titik adalah d(v 1 ) = 0, d(v 2 ) = 4, d(v 3 ) = 3, d(v 4 ) = 2, d(v 5 ) = 4, d(v 6 ) = 3. Derajat minimumnya adalah δ() = 0 dan derajat maksimumnya adalah () = 4. 9

Teorema 1 Jumlah derajat semua titik pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika = (V(), E()), maka d(v) = 2 E(). v V() E() menyatakan jumlah sisi pada graf. Teorema 2 Banyaknya titik yang berderajat ganjil pada sebuah graf adalah genap. Barisan monoton turun dari derajat titik-titik graf disebut barisan derajat graf. Jika graf sederhana, maka barisan derajat disebut graphik. Teorema 3 Barisan bilangan bulat non negatif (d 1, d 2, d 3,, d n ) adalah barisan derajat sebuah graf jika dan hanya jika i=1 d(v) genap. n Teorema 4 Misalkan π = (d 1, d 2, d 3,, d n ) barisan bilangan bulat non negatif monoton turun. Barisan π adalah graphik jika dan hanya jika barisan (d 2 1, d 3 1, d 4 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n ) graphik. Contoh Apakah barisan π = (5,5,4, 4, 4,3,2,1) merupakan graphik? Penyelesaian: π = (5,5,4,4,4,3,2,1) π 1 = (4,3,3,3,2,2,1) π 2 = (2,2,2,1,2,1) = (2,2,2,2,1,1) π 3 = (1,1,2,1,1) = (2,1,1,1,1) 10

π 4 = (0,0,1,1) = (1,1,0,0) π 5 = (0,0,0) Karena ada graf sederhana dengan barisan π 5 = (0,0,0) berikut ini maka π 5 adalah graphik. Jadi π adalah graphik. Dari barisan derajat π = (5,5,4, 4, 4,3,2,1) di atas dapat dikonstruksi sebuah graf sederhana sebagai berikut. g. Matriks Ketetanggaan dan Matriks Keterkaitan Selain dengan gambar, sebuah graf dapat disajikan dengan sebuah matriks. Matriks yang digunakan untuk menyajikan graf tersebut diberi nama Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) dan Matriks Keterkaitan (incidence matrix). Misalkan sebuah graf dengan V() = {v 1, v 2, v 3,, v n }. Matriks ketetanggaan graf adalah matriks persegi A = (a ij ), berordo n n yang baris-baris dan kolom-kolomya dilabel dengan label titik-titik graf sedemikian hingga elemen a ij menyatakan banyaknya sisi yang menghubungkan titik v i dan v j. Matriks A adalah matriks simetris dan unsur-unsurnya bilangan bulat non negatif. Jika tidak memiliki loop, maka semua elemen diagonal utama A adalah 0. Jika graf sederhana, maka elemen-elemen matriks A adalah 0 atau 1. Derajat titik graf diperoleh dengan menjumlahkan semua elemen A yang terletak di baris yang bersesuaian dengan titik tersebut, setelah elemen pada diagonal utama pada baris tersebut dikalikan 2. 11

Sebuah graf juga dapat disajikan dengan matriks keterkaitan M = (m ij ), berordo n t dengan n adalah banyaknya titik dan t adalah banyaknya sisi, yang baris-barisnya dilabel dengan label titik-titik dan kolom-kolomya dilabel dengan label sisi-sisi sedemikian hingga m ij = { 0, jika sisi e j tidak terkait dengan titik v i 1, jika sisi e j terkait dengan titik v i dan e j bukan loop 2, jika sisi e j terkait dengan titik v i dan e j loop Perhatikan gambar graf berikut. e 2 v 1 e 1 v 2 e 3 e 4 e 5 v 3 v 4 Matriks ketetanggaan dari graf ini adalah e 6 v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 0 1 1 0 v 2 1 1 1 0 A = v [ ] 3 1 1 0 2 v 4 0 0 2 0 Matriks keterkaitan dari graf ini adalah sebagai berikut. e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 v 1 1 0 1 0 0 0 v 2 1 2 0 1 0 0 M = v [ ] 3 0 0 1 1 1 1 v 4 0 0 0 0 1 1 12