Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari adalah materi matriks dan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan matriks maka permasalahan yang kompleks dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan lebih cepat dan akurat. Di lain pihak banyak permasalahan kontekstual yang menuntut suatu penyelesaian yang harus memenuhi banyak kendala, seperti ketersediaan dana dengan kebutuhan yang ada. Model matematika sederhana yang dapat digunakan untuk permasalahan seperti ini adalah sistem persamaan linear. Modul berjudul Matriks dan Sistem Persamaan Linear ini membahas tentang pengertian/definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan matriks, invers matriks, sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya, serta penggunaan matriks dalam penyelesian sistem persamaan linear. Modul ini dikemas dalam empat topik dan seluruhnya diberi alokasi waktu enam belas jam pelajaran. Empat topik tersebut disusun dengan urutan sebagai berikut: Topik 1: Pengertian Matriks dan Jenisnya Topik 2: Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya Topik 3: Determinan dan Invers Matriks Topik 4: Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya Setelah mempelajari modul ini Anda peserta PPG DALJAB akan dapat: 1) menjelaskan pengertian/definisi matriks; 2) menyebutkan jenis-jenis matriks dan contohnya; 3) menentukan hasil operasi matriks; 4) menentukan sifat-sifat operasi matriks; 5) menjelaskan pengertian determinan matriks; 6) menghitung determinan matriks; 7) menyebutkan pengertian invers matriks; 8) menentukan invers matriks; 9) menuliskan bentuk sistem persamaan linear (SPL) dua dan tiga variabel; 10) menjelaskan macam-macam SPL; 11) menjelaskan pengertian penyelesaian (solusi) dan himpunan penyelesaian suatu SPL; 12) menentukan 1
himpunan penyelesaian SPL; 13) menyelesaikan SPL dengan operasi matriks. Kompetensi-kompetensi tersebut di atas sangat diperlukan bagi Anda yang bekerja sebagai guru matematika. Penguasaan materi modul ini secara mendalam dapat mendukung Anda untuk dapat melaksanakan pembelajaran di kelas dengan lebih mantap dan profesional. Proses pembelajaran untuk materi matriks dan sistem persamaan linear dalam program PPG DALJAB yang sedang Anda ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar dan berhasil bila Anda mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1. Pahami setiap pengertian/definisi dan contohnya yang ada dalam setiap topik. 2. Buat rangkuman definisi dan sifat/teorema yang ada dalam setiap topik dengan menggunakan bahasa dan notasi matematika yang mudah dipahami. 3. Kerjakan Tugas yang adauntuk memperdalam penguasaan materi. 4. Kerjakan setiap soal Tes Formatif dan cocokan dengan kunci jawaban yang telah tersedia. 5. Kerjakan Tes Sumatif yang ada dalam modul 2.5 yang merupakan bagian akhir bidang kajian aljabar dan program linear. 6. Keberhasilan proses pembelajaran Anda dalam modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan Anda dalam mengerjakan tugas dan tes formatif. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. 7. Bila Anda menemui kesulitan, silakan hubungi instruktur/widiaiswara pembimbing atau fasilitator yang mengajar modul ini. Baiklah saudara perserta PPG DALJAB selamat belajar, semoga Anda sukses menguasai pengetahuan yang disajikan dalam modul ini untuk bekal bertugas sebagai guru mata pelajaran matematika yang profesional. B. Capaian Pembelajaran Menguasai teori bilangan, matriks dan sistem persamaan linear, vektor dan ruang vektor, grup, dan program linear. 2
C. Sub Capaian Pembelajaran 1. Menguasai pengertian/definisi matriks dan jenis-jenisnya. 2. Menguasai operasi matriks dan sifat-sifatnya. 3. Menguasai determinan matriks dan invers matriks serta sifat-sifatnya. 4. Menguasai sistem persamaan linear dan metode penyelesaiannya. D. Uraian Materi 1. Matriks dan Jenisnya 2. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya 3. Determinan dan Invers Matriks a. Determinan Matriks Sebelum sampai pada pengertian determinan matriks, terlebih dahulu dibahas beberapa pengertian/definisi berikut ini. Definisi 2.2.8 Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3,, n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut. Contoh 2.2.9 Permutasi dari {1, 2,3} adalah (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Selanjutnya, sebuah inversi dikatakan terjadi pada suatu permutasi (j 1, j 2,, j n ) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Banyaknya inversi pada sebuah permutasi (j 1, j 2,, j n ) dapat diperoleh melalui: 1. mencari banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j 1 dan mengikuti j 1 dalam permutasi tersebut; 2. mencari banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j 2 dan mengikuti j 2 dalam permutasi tersebut; 3. dan seterusnya hingga j n-1. Banyaknya bilangan-bilangan tersebut sama dengan banyaknya inversi seluruhnya dalam permutasi tersebut. Contoh 2.2.10 3
Banyaknya inversi pada permutasi (6,1,3,7,4,5,2) adalah 5 + 0 + 1+ 3 + 1 + 1 = 11 karena: 1. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 6 dan mengikuti 6 adalah 1, 3, 4, 5, 2 sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 6 dan mengikuti 6 adalah 5. 2. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 1 dan mengikuti 1 adalah tidak ada sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 1 dan mengikuti 1 adalah 0. 3. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 3 dan mengikuti 3 adalah 2 sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 3 dan mengikuti 3 adalah 1. 4. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 7 dan mengikuti 7 adalah 4, 5, 2 sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 7 dan mengikuti 7 adalah 3. 5. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 4 dan mengikuti 4 adalah 2 sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 4 dan mengikuti 4 adalah 1. 6. Bilangan bulat yang lebih kecil dari 5 dan mengikuti 5 adalah 2 sehingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil 5 dan mengikuti 5 adalah 1. Perhatikan bahwa banyaknya inversi dari suatu permutasi merupakan suatu bilangan bulat non negatif. Dengan menggunakan fakta ini, maka permutasi dapat dibedakan menjadi dua jenis, seperti yang dinyatakan dalam definisi berikut. Definisi 2.2.9 Sebuah permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversi seluruhnya adalah bilangan bulat genap. Sebuah permutasi dikatakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi seluruhnya adalah bilangan bulat ganjil. Contoh 2.2.11 Permutasi (6,1,3,7,4,5,2) merupakan permutasi ganjil. Permutasi (7,5,4,6,1,2,3) merupakan permutasi genap. Coba dicek, banyaknya inversi permutasi tersebut. Definisi 2.2.10 Misalkan A=(a ij ) nxn. 4
Hasilkali elementer dari A adalah setiap hasilkali n komponen dari A, yang tidak boleh berasal dari baris maupun kolom yang sama. Contoh 2.2.12 Misalkan A=(a ij ) 2x2 dan B=(b ij ) 3x3, maka: 1) Sebuah hasilkali elementer dari A berbentuk a 1_ a 2_ karena n=2 dan setiap faktor berasal dari baris yang berbeda. Karena tidak ada faktor yang berasal dari kolom yang sama maka nomor kolom haruslah 1, 2 atau 2, 1. Jadi hasilkali elementer dari A adalah a 11 a 22 dan a 12 a 21. 2) Sebuah hasilkali elementer dari B berbentuk b 1_ b 2_ b 3_ dan nomor kolom merupakan permutasi dari {1,2,3}. Jadi hasilkali elementer dari B adalah b 11 b 22 b 33, b 12 b 23 b 31, b 13 b 21 b 32, b 11 b 23 b 32, b 12 b 21 b 33, b 13 b 22 b 31. Definisi 2.2.11 Hasilkali elementer bertanda dari matriks A=(a ij ) nxn adalah hasilkali elementer dikalikan dengan 1 atau -1, dengan aturan dikalikan 1 jika (j 1, j 2,,j n ) adalah permutasi genap dan dikalikan -1 jika (j 1, j 2,,j n ) adalah permutasi ganjil. Contoh 2.2.13 Hasilkali elementer a 11 a 22 bertanda positif, karena (1, 2) permutasi genap. Hasilkali elementer a 12 a 21 bertanda negatif, karena (2, 1) permutasi ganjil. Hasilkali elementer b 11 b 23 b 32 bertanda negatif, karena (1, 3, 2) permutasi ganjil. Hasilkali elementer b 13 b 21 b 32 bertanda positif, karena (3, 1, 2) permutasi genap. Definisi 2.2.12 Misalkan A matriks persegi. Determinan A, ditulis det(a) atau A, dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasilkali elementer bertanda dari A. Contoh 2.2.14 Jika A=(a ij ) 2x2 =, maka det(a)=(1). a 11 a 22 + (-1). a 12 a 21 = a 11 a 22 - a 12 a 21. Bentuk ini sama dengan determinan matriks berukuran 2x2, yakni jika A=, maka det(a) =ad bc. 5
Contoh 2.2.15 Jika A= maka det(a)=3 (-14) = 17. Contoh 2.2.16 Jika B=(b ij ) 3x3 =, maka diperoleh hasil kali elementer dari A adalah b 11 b 22 b 33, b 12 b 23 b 31, b 13 b 21 b 32, b 11 b 23 b 32, b 12 b 21 b 33, b 13 b 22 b 31, dengan rincian sebagai berikut: a) hasil kali elementer yang bertanda positif: b 11 b 22 b 33, b 12 b 23 b 31, b 13 b 21 b 32 b) hasil kali elementger yang bertanda negatif: b 11 b 23 b 32, b 12 b 21 b 33, b 13 b 22 b 31, sehingga diperoleh: det(b)=( b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 +b 13 b 21 b 32 ) (b 11 b 23 b 32 +b 12 b 21 b 33 + b 13 b 22 b 31 ). b. Sifat-sifat Determinan Matriks Ada beberapa sifat yang terkait dengan determinan matriks, seperti yang tercantum dalam teorema di bawah ini. Teorema 2.2.4 Jika A=(a ij ) matriks berukuran nxn, maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. Jika A memuat baris nol maka det(a) = 0. 2. Jika A matriks segitiga maka det(a) = a 11 a 22 a 33 a nn. 3. Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan k kali baris ke i dari A atau kolom ke j dari B sama dengan k kali kolom ke j dari A, maka det(b) = k.det(a). 4. Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan menukar dua baris atau dua kolom dari A maka det(b) = -det(a). 5. Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan baris ke i dari A ditambah k kali baris ke j dari A atau kolom ke i dari B sama dengan kolom ke i dari A ditambah k kali kolom ke j dari A, maka det(b)= det(a). 6. det(a) = det(a T ). 7. Jika C suatu matriks nxn maka det(ac) = det(a) det(c). 6
Contoh 2.2.17 Misalkan A= maka det(a)=3 (-14) = 17. Jika B= Jika C= Jika D= Jika E=, maka det(b)= 6 (-28)=34=2det(A)., maka det(c)=24 7=17=det(A)., maka det(d)=3 (-14)=17=det(A). maka det(a)=(-14) 3 = -17 = -det(a). Perhatikan bahwa dalam Contoh..., matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan baris ke-1 matriks A dengan 2, matriks C diperoleh dari matriks A dengan cara menambahkan baris ke-2 pada baris ke-1, matriks D merupakan transpose dari matriks A, sedangkan matriks E diperoleh dari matriks A dengan menukar 2 baris. c. Invers Matriks Sebagimana diketahui bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif, artinya tidak berlaku AB=BA untuk setiap matriks A dan B. Namun demikian, dapat ditemukan suatu matriks A dan B yang bersifat AB=BA, dengan A atau B bukan merupakan matriks I atau matriks O. Dari kondisi ini, muncul pengertian berikut. Definisi 2.2.14 Misalkan A matriks persegi. Jika ada matriks persegi B yang berukuran sama dan berlaku AB=BA=I, maka dikatakan bahwa matriks A dapat dibalik (invertible atau mempunyai invers). Invers dari matriks A, ditulis A -1, dan A -1 =B. Contoh 2.2.18 Jika A = dan B=, maka AB= dan BA=. Jadi AB=BA=I, sehingga dapat ditulis A -1 =. 7
Definisi 2.2.15 Misalkan A=(a ij ) matriks berukuran nxn. Minor a ij,ditulis M ij, didefinisikan sebagai determinan sub matriks A setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Bilangan C ij =(-1) i+j M ij, disebut kofaktor a ij. Matriks (C ij ) nxn disebut matriks kofaktor dari A. Matriks (C ij ) T disebut adjoin dari A, ditulis adj(a). Sifat yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks, antara lain dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 2.2.5 Misalkan A=(a ij ) matriks berukuran nxn, maka: 1. Deteminan dari A atau det(a) sama dengan jumlah dari hasilkali komponenkomponen pada satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya, yaitu det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) atau det(a)= a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j). 2. A invertible jika dan hanya jika det(a) 0. 3. Jika A invertible maka det(a -1 ) =. 4. Jika A invertible maka A -1 = adj(a). Teorema 2.2.6 Jika A dan B matriks berukuran nxn, dengan det(a) 0, det(b) 0, maka: 1. (A -1 ) -1 = A. 2. Untuk n=0, 1, 2,... berlaku (A n ) -1 =(A -1 ) n. 3. Untuk skalar tak nol k berlaku (ka) -1 = A -1. 4. (AB) -1 = B -1 A -1. 5. (A T ) -1 =(A -1 ) T. E. Rangkuman Dari uraian materi di atas, maka untuk mengingat kembali pengertian/ definisi dan sifat-sifat/teorema yang terkait dengan matriks dan sistem persamaan linear, disajikan dalam rangkuman berikut. 8
1. Hasilkali elementer bertanda dari matriks A adalah hasilkali elementer dikalikan dengan 1 atau -1, dengan aturan dikalikan 1 jika (j 1, j 2,,j n ) permutasi genap dan dikalikan -1 jika (j 1, j 2,,j n ) permutasi ganjil. 2. Misalkan A matriks persegi. Determinan A, ditulis det(a) atau A, didefinisikan sebagai jumlah semua hasilkali elementer bertanda dari A. 3. Jika A matriks yang mempunyai invers maka A -1 = adj(a). 4. Jika A dan B matriks berukuran nxn, dengan det(a) 0, det(b) 0, maka: a. (A -1 ) -1 = A. b. (AB) -1 = B -1 A -1. c. (A T ) -1 =(A -1 ) T. d. Untuk skalar tak nol k berlaku (ka) -1 = A -1. 9