PENGANTAR Buku Referes Statstka Matematka Eds Pertama b S m t a w q Sgt Nugroho, Ph.D. UNIB Press
PENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKA
Saks Pelaggara Pasal 7 Udag-Udag Nomor 9 Tahu 00 tetag Hak Cpta. Baragsapa dega segaja da tapa hak melakuka perbuata sebagamaa dmaksud dalam Pasal ayat ( atau Pasal 49 ayat ( da ( dpdaa dega pdaa pejara masg-masg palg sgkat (satu bula da/atau deda palg sedkt Rp..000.000,00 (satu juta rupah, atau pdaa pejara palg lama 7 (tujuh tahu da/atau deda palg bayak Rp. 5.000.000.000,00 (lma mlar rupah. Baragsapa dega segaja meyarka, memamerka, megedarka, atau mejual kepada umum suatu cptaa atau barag hasl pelaggara Hak Cpta atau Hak Terkat sebagamaa dmaksud pada ayat ( dpdaa dega pdaa pejara palg lama 5 (lma tahu da/atau deda palg bayak Rp. 500.000.000,00 (lma ratus juta rupah
Pegatar Statstka Matematka Sgt Nugroho, Ph.D. Uverstas Begkulu UNIB Press Begkulu 008
PENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKA Sgt Nugroho, Ph.D. ISBN : 978-979-943-33- 360hal. Cetaka Pertama. Eds. 008. Peyeleks Naskah : Fachr Fasal Edtor : Jose Rzal Desa Sampul : Rata Astut Nugrahae Sgt Nugroho,Ph.D. 008 Hak Cpta dldug udag-udag. Dterbtka pertama kal oleh UNIB Press, Jala WR Supratma, Begkulu. Dlarag keras meerjemahka, memotokop, atau memperbayak sebaga atau seluruh s buku tapa z tertuls dar peerbt.
Kata Pegatar Buku yag berjudul Pegatar Statstka Matematka dperluka sebaga ladasa, pedoma atau rujuka bag para mahasswa atau sapa saja yag g mempelajar statstka matematka atau serg juga dsebut dega teor statstka dega bak, mudah da bear. Mater buku basaya dsajka utuk mata kulah Teor Statstka atau Statstka Matematka d jurusa Matematka atau jurusa Statstka selama semester, yag masg-masg bobotya 4 SKS. Mater utuk baga pertama adalah Peluag, Peubah Acak, Sebara Bersama, Sebara Fugs Peubah Acak da Sfat Beberapa Sebara Kotu khususya yag berkata dega Sebara Normal. Sedagka mater utuk baga kedua berska Lmt Sebara Peubah Acak da Sebara Nla Ekstrm, yag dlajutka dega Teor Pedugaa Ttk, Statstk Cukup da Legkap, Pedugaa Iterval da Teor Peguja Hpotess Statstka tetag parameter parameter populas. Alteratf dar beberapa defs maupu teorema juga dberka dalam buku, agar pemaka memperoleh gambara adaya varas cara peyampaa otas aka hal tersebut. Ucapa terma kash peuls sampaka sebelum da sesudahya kepada mereka yag memberka masuka bak berupa sara atau krtk yag membagu. Peuls sampaka kepada str, Ir. Mucharromah, M.Sc., Ph.D., da aak-aak, Shofa Ulfyat Nugrahae da Rata Astut Nugrahae, yag telah dega peuh pegerta da sabar memberka motvas serta doroga gua peyelesaa tulsa. Kepada reka-reka sejawat yag telah memberka masuka-masuka utuk usaha peerbta, peuls ucapka rbua terma kash. Kepada semua peggua, juga ducapka terma kash da semoga medapatka mafaat dar karya tuls saya. Begkulu, 0 Jul 008 Sgt Nugroho, Ph.D. Sgt Nugroho v
Oetoek: Mucharromah Nugroho, Ph.D., Shofa Ulfyat Nugrahae, da Rata Astut Nugrahae
Daftar Is KATA PENGANTAR... V DAFTAR ISI... VII PELUANG... PENDAHULUAN... CARA MENYATAKAN PELUANG... 6 DEFINISI PELUANG... 9 PELUANG DALAM RUANG DISKRIT... 0 PELUANG BERSYARAT... 5 TOTAL PELUANG DAN ATURAN BAYES... 8 PERISTIWA BEBAS... TEKNIK PENGHITUNGAN... 3 Prsp Multplkas... 3 Permutas da Kombas... 4 LATIHAN...7 PEUBAH ACAK... 3 PENDAHULUAN... 3 PEUBAH ACAK DISKRIT... 34 Sebara Beroull... 38 Sebara Bomal... 39 Sebara Hypergeometrk...4 Sebara Geometrk... 44 Sebara Negatf Bomal...46 Sebara Posso... 49 Sebara Seragam Dskret...5 PEUBAH ACAK KONTINU... 5 Sebara Seragam Kotu... 56 Sebara Gamma... 57 Sebara Ekspoesal...60 Sebara Webull... 6 Sebara Normal... 63 PARAMETER LOKASI DAN SKALA...65 SEBARAN CAMPURAN... 67 LATIHAN...67 SEBARAN BERSAMA... 7 PENDAHULUAN... 7 SEBARAN DISKRET BERSAMA... 7
v Sebara -Hypergeometrk... 7 Sebara Multomal... 7 SEBARAN KONTINU BERSAMA... 78 PEUBAH ACAK INDEPENDEN... 84 SEBARAN BERSYARAT... 87 LATIHAN... 9 SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK... 95 PENDAHULUAN... 95 TEKNIK FUNGSI SEBARAN KUMULATIF... 95 TEKNIK TRANSFORMASI... 99 TRANSFORMASI BERSAMA... 03 FORMULA KONVOLUSI... 06 SEBARAN STATISTIK TATAAN... 07 PENARIKAN CONTOH TERSENSOR... 3 LATIHAN... 5 SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK... 7 PENDAHULUAN... 7 SIFAT-SIFAT NILAI HARAPAN... 7 MENDUGA RATA-RATA DAN RAGAM... 5 BATAS-BATAS PELUANG... 8 KORELASI... 30 NILAI HARAPAN BERSYARAT... 34 SEBARAN BIVARIAT NORMAL... 40 APROKSIMASI RATA-RATA DAN RAGAM... 4 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN... 4 SIFAT-SIFAT FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN... 46 MOMEN FAKTORIAL DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN FAKTORIAL... 48 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN BERSAMA... 50 LATIHAN... 5 SIFAT BEBERAPA SEBARAN KONTINU... 55 PENDAHULUAN... 55 SIFAT-SIFAT SEBARAN NORMAL... 55 SEBARAN KAI-KUADRAT... 58 SEBARAN T-STUDENT... 6 SEBARAN F-SNEDECOR... 64 SEBARAN BETA... 66 LATIHAN... 68 LIMIT SEBARAN... 73 Sgt Nugroho
DERETAN PEUBAH ACAK... 73 PENDEKATAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN... 77 PENDEKATAN SEBARAN BINOMIAL... 8 SEBARAN ASIMTOTIK NORMAL...84 SIFAT-SIFAT KONVERGEN STOKASTIK... 84 BEBERAPA TEOREMA LIMIT LAINNYA... 87 LATIHAN... 9 SEBARAN NILAI EKSTRIM... 95 SEBARAN ASIMTOTIK STATISTIK TATAAN EKSTRIM... 95 LIMIT SEBARAN MAKSIMUM... 96 LIMIT SEBARAN MINIMUM... 0 LATIHAN... 06 TEORI PENDUGAAN TITIK... 07 PENDAHULUAN... 07 BEBERAPA METODE PENDUGAAN... 0 Metode Mome... 0 Metode Kemugka Maksmum... 3 KRITERIA UNTUK MENGEVALUASI PENDUGA... 4 PENDUGA TAK-BIAS RAGAM MINIMUM SERAGAM... 7 CONTOH BERUKURAN BESAR...38 SIFAT-SIFAT ASIMTOTIK PKM...43 PENDUGA BAYES DAN MINIMA...46 PENDUGA KUADRAT MINIMUM...5 MODEL LINIER SEDERHANA... 53 MODEL LINIER UMUM... 56 PENDUGA KUADRAT TENGAH INVARIAN MINIMUM... 57 LATIHAN... 59 STATISTIK CUKUP DAN LENGKAP... 65 PENDAHULUAN... 65 STATISTIK CUKUP... 66 STATISTIK LENGKAP DAN KELAS EKSPONENSIAL... 76 LATIHAN... 87 PENDUGAAN INTERVAL... 9 PENDAHULUAN... 9 INTERVAL KEPERCAYAAN... 9 METODE KUANTITAS PIVOT... 96 PENDEKATAN INTERVAL KEPERCAYAAN... 30 METODE UMUM... 304 Sgt Nugroho
LATIHAN... 305 PENGUJIAN HIPOTESIS... 307 PENDAHULUAN... 307 HIPOTESIS MAJEMUK... 3 UJI PALING KUASA... 33 UJI PALING KUASA SERAGAM... 38 LATIHAN... 35 LAMPIRAN... 37 DAFTAR PUSTAKA... 34 INDEKS... 343 Sgt Nugroho
Peluag Pedahulua Dalam setap stud lmah megea feomea fsk, kta mugk g megguaka model matematk utuk meggambarka atau mempredks la observas beberapa karakter yag dgka. Sebaga cotoh, dalam ruag hampa udara, kecepata beda yag jatuh setelah beberapa saat, t. Rumus v = gt dmaa g = percepata gravtas bum memberka gambara model matematk yag bermafaat utuk kecepata sebuah beda jatuh dalam ruag hampa udara. I merupaka cotoh suatu model determstk (determstc model. Percobaa berulag dalam kods yag deal aka tetap meghaslka hal yag sama, yag sudah tetu dapat dpredks dega megguaka model yag sudah ada. Namu, apabla kods deal tak mugk dperoleh, maka hasl tersebut tak dapat kta peroleh. Mugk dapat dakbatka oleh varabel yag tak dketahu atau tak dapat dkedalka, sepert msalya suhu da kelembaba udara, yag dapat mempegaruh hasl stud. Demka juga dapat dkareaka karea kesalaha pegukura atau hal la yag dapat mempegaruh hasl stud lmah tersebut. Lebh jauh lag, kta tdak memelk pegetahua utuk meuruka model yag lebh rumt yag sudah memperhtugka semua peyebab keragama. Terdapat tpe feomea la dmaa perbedaa hasl mugk secara alam mucul karea suatu kebetula, da dega demka model determstk tdak aka cocok lag. Msalya, dalam pegamata jumlah partkel yag dpacarka oleh sumber radoaktf, waktu hgga suatu kompoe elektrok gagal berfugs, atau memeagka suatu permaa. Motvas mempelajar peluag adalah sebaga dasar dalam mempelajar model probablstk (probabltc model atau model stokastk (stochastc model. Termolog percobaa (epermet meujuk kepada proses utuk medapatka hasl observas beberapa feomea, da performas suatu percobaa dsebut sebaga suatu tdaka
Peluag (tral dar suatu percobaa. Sedagka hasl observas, pada suatu tdaka percobaa, dsebut dega keluara (outcome. Defs.. Suatu percobaa acak atau percobaa statstk adalah suatu percobaa dmaa (a semua jes keluara percobaa dketahu terlebh dahulu (b hasl dar percobaa tdak dketahu, da (c percobaa dapat dulag pada kods yag sama. Dalam teor peluag, yag kta pelajar adalah ketdakmeetua percobaa acak atau percobaa statstk. Percobaa semacam basaya dasosaska dega suatu gugus, yatu suatu gugus semua kemugka keluara suatu percobaa. Lebh jauh lag kta hubugka, suatu -feld S aak gugus dar. Kta gat bahwa -feld merupaka kelas aak gugus yag tak kosog dar yag tertutup pada operas gabuga da kompleme terhgga da mecakup gugus. Eleme-eleme dar dsebut dega ttk cotoh. Defs.. Gugus semua keluara yag mugk dar suatu percobaa dsebut dega ruag cotoh (sample space, da dotaska dega S. Bla dkatka dega percobaa acak, maka kta puya defs sepert berkut Defs. 3. Ruag cotoh percobaa statstk merupaka pasaga (,S dmaa (a, yatu suatu gugus semua kemugka keluara suatu percobaa, da (b S -feld aak gugus dar. Sgt Nugroho
Peluag Telada.. Dalam percobaa pelempara dua ko, da muka dar tap ko adalah yag aka damat, maka ruag cotohya adalah S = {GG, GA, AG, AA}. Catata G = Gambar da A = Agka. Telada.. Sepert dalam Telada. amu kta tdak g pegamata muka dar tap ko, tap g melhat atau mecatat bayakya G atau muculya Gambar keluar, maka S = {0,,} Telada. 3. Jka sebuah bola lampu dyalaka da yag g damat adalah umur sampa lampu tersebut tdak berfugs lag atau mat. Mmal secara kosep, kta dapat tulska S = {t 0 t < }. Suatu ruag cotoh S dkataka terhgga (fte jka memlk keluara yag jumlahya terhgga, sepert S = {e, e,, en} da dkataka terblag tak terhgga (coutably fte atau tak terblag jka keluaraya dapat dtulska sebaga fugs satusatu dega blaga bulat postf S = {e, e, }. Pegamata bayakya Gambar yag mucul sepert dalam Telada.. membetuk ruag cotoh terhgga. Sedagka pegamata umur lampu sepert dalam Telada.3. membetuk ruag cotoh tek terhgga. Sedagka pegamata sepert bayakya semut yag berada dalam suatu kawasa tertetu membetuk suatu ruag cotoh terblag tak terhgga. Defs.4. Jka suatu ruag cotoh S terhgga atau terblag tak terhgga, maka ruag cotoh dsebut ruag cotoh dskrt (dscrete sample Sgt Nugroho 3
Peluag space. Ruag koseptual yag mecakup keluara yag megambl sembarag la blaga yata datara dua ttk, maka ruag cotoh dkataka ruag cotoh kotu (cotuous sample space. Suatu gugus yag terhgga atau terblag tak terhgga dsebut terblag (coutable. Telada. 4. Sebuah lampu pjar dyalaka da = bayakya sar yag dhaslka (lume da Y = bayak eerg paas (joule dukur atau damat. Ruag cotoh dar percobaa adalah S = [0, [0, atau S = {(,y 0 < da 0 y < } merupaka ruag cotoh kotu. Namu apabla msalya kta bcara bayakya lampu pjar d sebuah wlayah yag mat atau tdak berfugs (Z aka membetuk ruag cotoh S = {0,,, } Defs.5. Suatu perstwa (evet adalah aak gugus dar ruag cotoh. Jka A adalah suatu perstwa, kta kataka bahwa A terjad, apabla A mecakup keluara yag terjad. Sembarag gugus A S dkeal dega stlah perstwa atau kejada. Irsa atau Gabuga dar perstwa terhgga atau terblag tak terhgga dkataka sebaga Irsa atau Gabuga terhgga. Keseluruha ruag cotoh S merupaka suatu perstwa khusus yag dsebut dega perstwa past (sure evet, da hmpua kosog dsebut dega perstwa ol (ull evet. Defs.6. Perstwa yag haya terdr satu keluara dsebut sebaga perstwa sederhaa (smple evet atau perstwa elemeter (elemetary 4 Sgt Nugroho
Peluag evet sedagka yag terdr lebh dar satu keluara dsebut dega perstwa majemuk. Dalam ruag cotoh dskrt, sembarag aak gugus dapat dtulska sebaga gabuga terhgga dar perstwa sederhaa, da tak ada kesulta dalam peggabuga tap aak gugus dega suatu perstwa dalam kasus dskrt. Tdaklah mudah utuk merepresetaska perstwa-perstwa kotu. Defs.7. Dua perstwa A da B dsebut salg lepas (mutually eclusve jka A B =. Jka dua perstwa salg lepas, maka kedua perstwa tersebut tdak memlk keluara yag sama. Dega demka, keluara yag mucul dsalah satu perstwa tdak mugk mucul d perstwa laya. Telada. 5. Msalka dalam tdaka pelempara dua ko sepert dalam Telada terdahulu, bla A adalah perstwa muculya palg sedkt satu Gambar, sedagka B adalah perstwa muculya kedua ss ko Agka, adalah cotoh dua perstwa yag salg lepas. Defs.8. Perstwa-perstwa A, A, A3. dkataka salg lepas berpasaga (parwse mutually eclusve jka A Aj = utuk j. Sgt Nugroho 5
Cara Meyataka Peluag Peluag Metode Klask atau A Pror. Jka dketahu bahwa perstwa A dapat mucul dalam m cara da total seluruh kemugka perstwa adalah, maka peluag muculya perstwa A bayakya cara A m P( A total semua cara Telada. 6.. Tapa percobaa melempar mata uag logam (msalka ss yag dapat mucul dber ama: Gambar da Agka, maka peluag muculya Gambar = ½, karea m = = bayakya cara Gambar mucul, dar total muculya semua cara =.. Dar setumpuk kartu brdge stadar, bla dambl sebayak satu kartu secara acak, maka peluag mucukya kartu dapat dhtug sebaga berkut: karea bayakya cara kartu mucul ada 3 yatu dar A,K,Q,J,0,9,8,7,6,5,4,3, sedagka total semua cara ada 5 yatu bayakya semua kartu dalam tumpuka, maka peluag muculya kartu adalah 3/5 atau ¼. 3. Dar pelempara sebuah dadu yag sembag, maka peluag muculya mata palg kecl 3 dapat dhtug sebaga berkut: mata palg sedkt 3 berart mata 3, 4, 5, atau 6 sehgga bayakya cara ada 4, sedagka total semua cara ada 6 (yatu muculya mata,, 3, 4, 5, atau 6; sehgga peluag muculya mata dadu sedktya 3 adalah 4/6 atau /3. 4. Apabla peserta pelatha Statstka dkut oleh 4 peserta dega ama-ama berkut: Al, Amr, Atyo, Aref, Artka, Badu, Cadra, Dw, Edo, Fahm, Ff, Gatot, Hamda, Hamzah Hasa, Idra, Jarot, Kucug, Nugroho, Reto, Soegeg, Utar, Wawa, da Yud. Apabla dlakuka pemlha secara acak utuk pembera hadah tket grats pesawat Walet Arles, maka peluag Soegeg medapatka tket tersebut adalah 6 Sgt Nugroho
Peluag /4. Sedagka peluag seorag peserta dega ama depa A memeagka hadah adalah 5/4, karea ada lma orag yag megguaka ama berawala A. Metode Frekues atau A Posteror. Jka perstwa serupa A mucul m kal dalam total percobaa, maka peluag pegamata bayakya A mucul m P( A total percobaa Telada. 7. Metode dpaka dega megguaka data percobaa. Sebaga telada perhatka hal-hal berkut:. Bla dalam 80 kal pelempara mata uag (yag tak harus sembag muculya Agka sebayak 45 kal (ssaya Gambar sebayak 35 kal, maka P(muculya Agka = 45/80.. Dar 50 kal pelempara sebuah dadu (juga tak perlu asums sembag dperoleh data muculya mata sebayak 8 kal, mata sebayak 7 kal, mata 3 sebayak 0 kal, mata 4 sebayak 6 kal, mata 5 sebayak 9, da mata 6 sebayak 0 kal, dega demka peluag muculya mata dadu atau dsgkat p( = 8/50; da seterusya p( = 7/50; p(3 = 0/50; p(4 = 6/50; p(5 = 9/50 da p(6 = 0/50; da peluag muculya mata dadu palg besar 4 adalah sama dega jumlah peluag muculya mata dadu satu, dua, tga da empat yatu sama dega = p(+p(+p(3+p(4 = 8/50 + 7/50 + 0/50 + 6/50 = (8+7+0+6/50 = 3/50. Metode Subyektf. Kadag merupaka dugaa atau perkraa terbak dar peluag aka muculya suatu perstwa A; yag tetuya haya dperluka da sah, apabla tdak terdapat cukup data umerk. Sgt Nugroho 7
Peluag Msalka saudara puya usaha baru dega barag yag dproduks belum perah ada d pasara; bahka barag yag mrppu bsa jad belum perah ada d pasara. Pertayaa sepert berapa peluag barag yag dproduks tersebut aka habs dalam sebula, merupaka pertayaa peluag yag dapat djawab dega metode subyektf, karea tdak terdapat data yag cukup utuk meyatakaya dega metode frekues. Jka utuk suatu perstwa A, lmt dar fa = m(a/m apabla m(a adalah bayakya perstwa A terjad dar seluruh M tdaka, utuk M, maka peluag dar perstwa A juga dapat dyataka sebaga P( A lm f m( A A lm M M M Utuk memotvas pedefsa aksoma peluag, perhatka propert frekues relatf berkut. Jka S adalah ruag cotoh suatu percobaa da A adalah suatu perstwa, maka jelaslah berlaku 0 m(a da m(s = M, karea m(a adalah jumlah muculya keluara perstwa A, da S mucul pada setap tdaka. Lebh jauh lag, jka A da B merupaka perstwa yag salg lepas, keluara dalam A berbeda dar keluara dalam B, dega demka m(a B = m(a + m(b. Lebh umum lag, jka A, A, adalah salg lepas berpasaga, maka m(a A = m(a + m(a +. Dega demka propert berkut berlaku utuk frekues relatf 0 f A f S f A... A... f A f A atau f A f A jka A, A, A3. adalah perstwa-perstwa yag salg lepas berpasaga. 8 Sgt Nugroho
Peluag Defs Peluag Bla dberka suatu percobaa dega ruag cotoh S, tujua utama pemodela peluag adalah memberka tap perstwa A dega suatu blaga yata P(A, yag dsebut dega peluag perstwa A, yag merupaka ukura kemugka bahwa perstwa A aka mucul atau terjad apabla percobaa dlakuka. Secara matemats, kta dapat memadag bahwa P(A sebaga suatu fugs gugus (set fucto. Dega perkataa la, peluag adalah suatu fugs dmaa daerah fugsya adalah kumpula gugus (perstwa, da rage atau jagkauaya adalah aak gugus dar blaga yata. Defs.9. Utuk suatu percobaa, S melambagka ruag cotoh da A, A, A3. melambagka perstwa-perstwa yag mugk. Suatu fugs gugus yag berkeaa dega blaga yata P(A dega tap perstwa A dsebut dega suatu fugs gugus peluag, da P(A dsebut sebaga peluag perstwa A, jka propert berkut dpeuh: 0 P ( A utuk setap P ( S P A A jka A, A, A3. adalah perstwa-perstwa yag salg lepas berpasaga. Defs. 0. Trplet (,S,P dsebut dega ruag peluag. A Sgt Nugroho 9
Peluag Seluruh propert datas tampakya sesua dega kosep peluag secara tutf, da beberapa propert cukup utuk membetuk suatu struktur matematk. Salah satu dar propert adalah perstwa ol yag memlk peluag ol, P( = 0. Juga, jka A da B adalah perstwa yag salg lepas, maka P(A B = P(A + P(B Dega cara yag sama, jka A, A,, Ak adalah perstwaperstwa yag salg lepas berpasaga terhgga, maka P A A... A P( A P( A... P( A ( k k atau P k A Peluag dalam Ruag Dskrt k P( A Msalka utuk setap perstwa elemeter {e} dberka suatu la blaga bulat p, sedemka rupa sehgga P({e} = p. Agar kods peluag terpeuh sesua dega defs peluag, maka p 0 utuk semua. p Notas jumlah terakhr megadug art bahwa merupaka pejumlaha basa apabla S terhgga, da merupaka jumlah dar suatu deret tak hgga apabla S terblag tak terhgga. Sebaga kosekuesya, P ( A P { e } e A pejumlaha peluag dlakuka utuk seluruh subskrp dmaa e sebaga keluara dar perstwa A. Telada. 8. Tdaka melempar sebuah ko aka meghaslka ruag cotoh (,S, dmaa ={M, B}, da S merupaka -feld semua aak 0 Sgt Nugroho
Peluag gugus. Bla ddefska P pada S dega P{M} = p da P{B} = -p, maka P medefska suatu peluag atau ukura peluag (probablty measure. 0 p. Telada. 9. Msalka = {,, 3, } merupaka gugus blaga bulat postf, da msalka S merupaka kelas semua aak gugus. Bla ddefska P pada S sepert berkut P{ },,,3,... Maka P{ }, da P medefska sebaga peluag. Defs.. Jka suatu obyek dambl dar sekumpula obyek yag berbeda sedemka sehgga setap obyek memlk peluag yag sama utuk terplh, maka kta kataka bahwa obyek tersebut dplh secara acak. Dega cara yag sama apabla suatu gugus obyek dambl dar sekumpula gugus obyek yag berbeda sedemka sehgga setap gugus obyek memlk peluag yag sama utuk terplh, maka kta kataka bahwa setap gugus obyek tersebut dplh secara acak. Teorema.. Jka A adalah suatu perstwa da A adalah komplemeya, maka P(A=-P(A Bukt Karea A merupaka kompleme dar A relatf terhadap S, maka S=AA. Karea juga AA =, maka A da A adalah dua Sgt Nugroho
Peluag perstwa yag salg lepas, maka berdasarka propert peluag dperoleh =P(S=P(AA =P(A+P(A Teorema.. Utuk sembarag perstwa A da B, maka P(AB=P(A+P(B- P(AB Bukt Dar propert hmpua, kta peroleh bahwa AB=(AB B da juga berlaku bahwa A=(AB (AB. Perstwa (AB da B merupaka perstwa yag salg lepas, karea (AB B=. Sehgga P(AB=P(AB +P(B. Juga dketahu bahwa AB da AB juga dua perstwa yag salg lepas, sehgga P(A=P(AB+P(AB. Da akhrya P(AB = P(AB +P(B = [P(A-P(AB]+P(B = P(A+P(B-P(AB Teorema.3. Utuk sembarag tga perstwa A, B da C, berlaku Bukt P(ABC=P(A+P(B+P(C-P(AB-P(AC- P(BC+P(ABC Sebaga latha. Teorema. 4. Prsp Iklus-Eksklus. Jka A, A, A merupaka deret perstwa, maka P A P( A P( Ak ( Ak P Ak Ak A k3 k k k k k 3 P Ak A k A k A 3 k P 4 Ak k k k3 k4 k (... ( ( Sgt Nugroho
Peluag Bukt Sebaga latha. Teorema.5. Jka A B, maka P(A P(B Bukt Sebaga latha. Petujuk: B ( A B ( B A Teorema.6. Pertdaksamaa Boole. Jka A, A, merupaka deret perstwa, maka P A P( A Bukt Msalka ' B A, B A A da secara umum ' B A A j. Hal berart bahwa A B da B, j B, salg lepas. Karea B A sebaga akbat dar Teorema.4. maka P( A P( B P( B P( A. Hasl yag sama juga berlaku utuk gabuga perstwa terhgga. Secara khusus dperoleh P(AA Ak P(A+P(A+ +P(Ak. Teorema.7. Pertdaksamaa Bofero. perstwa-perstwa, maka Jka A, A,, Ak merupaka Sgt Nugroho 3
Bukt k P k A k P( A ' Peluag Guaka Teorema.. dega megguaka k ' ' bersamaa dega pegguaa Teorema.5. A A Teorema. 8. Msalka {A} merupaka sekue perstwa tdak meuru dalam S atau dega kata la A S, =,, da A A-, =, 3,, maka lm P( A P(lm A P A Bukt Msalka A Aj, maka A A Aj Aj j j megguaka sfat adtf terhgga, kta peroleh bahwa j j j. Dega P( A P( A P( A A. Sebagamaa maka P( Aj Aj 0, karea P Aj j j ( Aj sehgga lm P( A P(lm A P A Teorema. 9. Msalka {A} merupaka sekue perstwa tdak meak dalam S atau dega kata la A S, =,, da A A-, =, 3,, maka lm P( A P(lm A P A 4 Sgt Nugroho
Peluag Bukt Msalka { A c } merupaka sekue perstwa tak meuru dalam S, maka lm A c c c Aj A j. Dar Teorema. 8. dperoleh hasl bahwa lm P( A c (lm c c ( c P A P Aj P A. Dega perkataa j la lm( P( A P( A. Dega argumetas demka, pembukta dapat dlakuka. Peluag Bersyarat Tujua utama dalam pemodela peluag adalah utuk meetuka seberapa serg perstwa A aka terjad blamaa sebuah percobaa tertetu dlakuka. Namu demka, terdapat bayak kasus dmaa peluag terjadya suatu perstwa A aka dpegaruh oleh formas terjad atau tdak terjadya perstwa la, B msalya. Termolog yag serg dguaka adalah peluag bersyarat perstwa A terjad setelah perstwa B da dotaska dega P(A B yag aka membedaka dega peluag basa P(A. Telada.0. Dalam percobaa dega setumpuk kartu brdge stadard, sebuah kartu dambl secara acak. Jka A adalah perstwa teramblya kartu, maka A = { A,K,Q,J,0,9,8,7,6,5,4,3, }. Jka B adalah perstwa teramblya kartu K, maka B = { K,K, K, K }. Dega demka P(A = 3/5 = ¼ da P(B = 4/5 = /3. Namu apabla kta g meghtug P(A B yatu Sgt Nugroho 5
Peluag peluag muculya A setelah B kta seolah-olah haya memadag aggota B saja yag dapat terjad, da dar apa yag ada ds berapa frekues relatf teramblya kartu. Jad, P(A B = ¼. Msalka kta melakuka suatu percobaa dega ruag cotoh S, da msalka pula perstwa B telah terjad. Kta g megetahu peluag perstwa A terjad dega syarat perstwa B telah terjad, yag dotaska dega P(A B. I sama artya dega kta meghtug peluag bahwa perstwa A terjad apabla kta haya memperhatka ruag cotoh tereduks B. Kta tahu bahwa B=(AB(A B. Perstwa (AB adalah sub perstwa B dmaa perstwa A bear, sehgga peluag A setelah B harus proporsoal terhadap P(AB, sebut saja P(A B=k P(AB. Dega cara yag sama P(A B=k P(A B. Apabla kedua peluag, P(A B da P(A B djumlahka adlah total peluag relatf terhadap perstwa B. Maka P(A B+ P(A B = k.[p(ab+ P(A B ] = k.p[(ab(a B ] = k.p(b = Dega demka la k=/p(b, yag juga merupaka kostata proporsoal yag membuat peluag dalam ruag cotoh tereduksya berjumlah satu. Defs.. Msalka (,S,P merupaka ruag peluag, da msalka BS dega P(B>0. Maka, Peluag Bersyarat suatu perstwa AS, terjad setelah perstwa B, ddefska sebaga P( A B P( A B apabla P(B 0. P( B Relatf terhadap ruag cotoh tereduks B, peluag bersyarat juga megkut atura-atura peluag laya, sepert 6 Sgt Nugroho
Peluag P(A B=-P(A B 0 P(A B P(AA B=P(A B+P(A B-P(AA B Teorema.0. Utuk sembarag perstwa A da B, P(AB=P(BP(A B=P(AP(B A Teorema serg dsebut dega Teorema Perkala Peluag. Dalam pegambla cotoh tapa pegembala, teorema sagat bermafaat. Sebaga lustras, apabla sebuah kartu dambl satu per satu tapa pegembala dar setumpuk kartu brdge stadard yag sudah dacak, berapakah peluag teramblya 3 kartu As berturut-turut? Jka Aj adalah perstwa teramblya kartu As pada pearka ke-j maka P(A A A 3=P(A P(A A P(A 3 A A =(4/5(3/5(/50 Perstwa AAA3 adalah perstwa teramblya kartu As pada pegambla pertama, kedua, da ketga yag g dcar peluagya. Bla setumpuk kartu mash legkap aka terdapat 5 buah da ddalamya terdapat 4 kartu As. Dega syarat bahwa pada pegambla pertama ada satu kartu As yag terambl, maka dalam tumpuka sekarag haya ada 3 kartu As dar 5 kartu terssa. Perstwa dotaska dega A A. Da akhrya akbat teramblya kartu As pada pearka kedua, maka jumlah kartu As terssa ada lag dar 50 buah kartu terssa, da perstwaya dapat dtulska sebaga A3 AA. Teorema.. Atura Perkala Msalka (,S, P merupaka ruag peluag da A, A,, A S, dega P A j j 0, maka Sgt Nugroho 7
P Aj P( A P( A A P( A3 A A... P{ A Aj} j j Bukt: sebaga latha. Total Peluag da Atura Bayes Peluag Kadag sagat bermafaat membag suatu perstwa mejad dua atau lebh perstwa yag salg lepas. Secara umum jka B, B,, Bk adalah perstwa-perstwa yag salg lepas da jeuh (mutually eclusve ad ehaustve yag maa BB Bk = S, maka A=(AB (AB (ABk Teorema.. Jka B, B,, Bk adalah sekumpula perstwa yag salg lepas da jeuh, maka utuk sembarag perstwa A, P( A k P( B P( A B Bukt Karea perstwa-perstwa AB, AB, ABk salg lepas, maka kta peroleh P( A k P( A Da dega megguaka P(AB=P(BP(A B yag daplkaska utuk setap term dalam pejumlaha tersebut. Teorema serg dsebut dega Teorema Total Peluag. Dagram poho datas dapat dperguaka utuk memudahka kosep total peluag sepert tertera pada Teorema.8. Peluag yag berkeaa dega perstwa setap B adalah P(B, da peluag yag berkeaa dega aak cabag yag dtada dega A adalah peluag bersyarat P(A B. B 8 Sgt Nugroho
Peluag A B A A B A A B 3 A Telada.. Jka B adalah perstwa mcroprocessor bka pabrk, B adalah perstwa mcroprocessor bka pabrk Y, da B3 adalah perstwa mcroprocessor bka pabrk Z. Msalka dar pabrk, Y, da Z masg-masg dambl sampel berturut-turut sebayak 35, 5, da 40 da kemuda dperksa apakah terdapat mcrochp yag cacat (perstwa A atau tdak (perstwa A, haslya dperoleh sepert pada tabel berkut: Y Z Total Cacat, A 0 5 5 0 Tdak Cacat, A 5 0 35 80 Total 35 5 40 00 Sgt Nugroho 9
Peluag Dar tabel datas tampak bahwa P(B=35/00, P(B=5/00 da P(B3=40/00 serta P(A B=0/35, P(A B=5/5 da P(A B3= 5/40. Sehgga dega megguaka total peluag, kta peroleh P(A = P(BP(A B + P(BP(A B + P(B3P(A B3 = (35/00(0/35+(5/00(5/5+(40/00(5/40 = 0,0 + 0,05 + 0,05 = 0,0 Dar telada dapat dlhat bahwa cara medapatka la peluag dperoleh mcropocessor yag cacat dapat dguaka tabel ataupu dega megguaka total peluag. Sekarag perhatka modfkas dar telada. Msalka mcroprocessor tersebut dsortr dalam tga kotak dmaa kotak I terdr dar mcroprocessor dar pabrk, kotak II dar pabrk Y, da kotak III dar pabrk Z. Bla percobaa baru adalah memlh satu kotak secara acak, kemuda memlh sebuah mcroprocessor dar kotak terplh, maka berapakah peluag medapatka sebuah mcroprocessor dalam keadaa cacat? Dalam hal tdaklah bsa dguaka dar tabel secara lagsug dalam perhtuga mecar peluag tersebut. Kta harus meredfs peluag teramblya masg-masg kotak atau P(B=/3, P(B=/3 da P(B3=/3 serta P(A B=0/35, P(A B=5/5 da P(A B3= 5/40. Dega demka P(A = P(BP(A B + P(BP(A B + P(B3P(A B3 = (/3(0/35+(/3(5/5+(/3(5/40 = 0/05+5/75+5/0 = 57/80 Teorema.3. Atura Bayes Jka kta asumska kods sepert pada Teorema.8, maka utuk setap j =,,,k 0 P( B j A k P( B P( A B j P( B P( A B j Sgt Nugroho
Peluag Bukt Dega megguaka defs peluag bersyarat P( A B P( B A da P(AB=P(BP(A B P( A juga dar total peluag P( B j k P( A P( B P( A kta peroleh B P( B j A P( A B j A P( A P( A P( B P( A B k j P( B P( A B j Telada.. Dega megguaka telada sebelumya, apabla sebuah mcroprocessor ddapatka cacat, berapakah peluag bahwa mcroprocessor yag cacat tersebut datagya dar pabrk? atau kta g mecar P(B A (/ 3(0 / 35 80 P ( B A 0,468 (/ 3(0 / 35 (/ 3(5 / 5 (/ 3(5 / 40 7 Dega cara yag sama bsa dperoleh bahwa P(B A = 0,37 da P(B3 A = 0,05. Perstwa Bebas Pegetahua tetag perstwa A telah terjad, dalam beberapa stuas, tdak aka mempegaruh peluag perstwa B aka terjad. Secara otas statstk dtulska dega P(B A=P(B. Sebaga akbatya Teorema Perkala aka meghaslka P(AB=P(AP(B A=P(AP(B. Secara umum, apabla hal terjad, dua perstwa dsebut salg bebas atau salg bebas stokastk. Sgt Nugroho
Peluag Defs.3. Dua perstwa A da B dkataka perstwa-perstwa bebas atau salg bebas (depedet jka P(AB=P(AP(B. Sela tu, perstwa A da B dyataka salg terkat (depedet. Teorema.4. Jka A da B adalah perstwa-perstwa sedemka rupa sehgga P(A>0 da P(B>0, maka perstwa A da B salg bebas jka da haya jka salah satu hal berkut dpeuh: Teorema.5. P(A B=P(A atau P(B A=P(B Dua perstwa A da B salg bebas jka da haya jka pasaga perstwa berkut juga salg bebas. A da B. A da B 3. A da B Bukt Sebaga latha. Defs.4. Sebayak k perstwa A, A,, Ak dkataka bebas atau salg bebas jka utuk setap j=,3,,k da setap aak gugus dar deks,,,j P ( A A... A ( ( P A j P A... P( A j Sgt Nugroho
Peluag Tekk Peghtuga Dalam berbaga hal apabla kta megguaka ruag cotoh terbatas, sepert permaa, mugk lebh beralasa utuk megasumska bahwa semua kemugka mucul dega kesempata yag sama. Dega demka, model peluag realsts megguaka metode klask da peluag suatu perstwa A dotaska dega P(A = (A/N, dmaa N adalah total seluruh kemugka keluara da (A adalah bayakya kemugka perstwa A terjad. Meghtug bayakya cara suatu perstwa dapat terjad dapat saja merupaka masalah yag rumt dalam percobaa yag kompleks. Beberapa tekk meghtug yag mugk bergua aka dsajka ds. Prsp Multplkas Apabla suatu operas dapat dlakuka dalam cara da operas berkutya dapat dlakuka dalam cara, maka secara keseluruha terdapat sebayak cara dmaa kedua operas tersebut dlakuka. Telada.3. Msalka Atyo memlk 5 baju lega pajag wara terag yag dperbolehka dpaka dkator serta 4 celaa pajag wara gelap utuk keguaa yag sama. Dega demka, Atyo dapat memaka (5(4 = 0 kombas baju da celaa pajag yag dapat dpaka bekerja. Prsp multplkaks dapat dperluas utuk lebh dar dua operas. Lebh khusus lag, jka sebayak r operas ke-j dapat dlaksaaka Sgt Nugroho 3
Peluag dalam j cara, maka keseluruha r operas tersebut aka meghaslka sebayak Teorema.6. r j ( (...( r j Jka terdapat N kemugka keluara dar tap r tdaka dalam suatu percobaa, maka aka ddapatka sebayak N r kemugka keluara dalam ruag cotohya. Telada.4. Msalka ada 5 soal plha bergada dalam suatu uja, dmaa setap soal memlk 5 jawaba. Dega demka, total seluruh kemugka jawaba yag terjad adalah 5 5. Permutas da Kombas Dalam satu hal teramblya 5 kartu {A, K, Q, J, 0} da {0, A, K, J, Q} dapat merupaka perstwa yag sama, tetap juga dapat merupaka perstwa yag tdak sama. Apabla kta gka keluara tersebut berdasarka uruta keluarya, maka sudah jelas kedua perstwa tersebut tdak sama. Namu apabla uruta keluarya tdak dpetgka, melaka apa-apa saja yag mejad aggota dalam perstwa tersebut, maka kedua perstwa tersebut dkataka sama. Hasl kal dar blaga-blaga bulat postf dar sampa dega, yatu (((3 (-(-( =! (dbaca faktoral. Msalya 3! = (3(( = 6 da 5! = (5(4(3(( = 0 da sebagaya. 4 Sgt Nugroho
Peluag Teorema.7. Bayakya permutas dar sebayak obyek yag dapat dbedaka adalah! Bukt Dega megguaka tekk multplkas. Utuk megs poss dega obyek yag berbeda, maka poss pertama dapat ds dega cara, poss kedua dega - cara, da seterusya sampa obyek terakhr dtempatka pada poss terakhr. Dega demka, operas dapat dlakuka dalam (-(- =! cara. Teorema.8. Bayakya permutas dar obyek yag berbeda dambl sebayak r sekalgus adalah P r P r! ( r! Teorema dpaka apabla seseorag tertark pada bayakya cara memlh r obyek dar sebayak obyek yag berbeda da kemuda megurutka r obyek tersebut. Telada.5. Dar keempat pema Pecak Slat terbak yag dmlkya (A, B, C, da D, IPSI harus memlh dua teratas dataraya berdasarka rakg. Oleh kareaya seluruh kemugka susua dua pema terbak tersebut adalah: AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC Sgt Nugroho 5
Peluag Soal. Suatu kotak terdr dar tket yag dber omor,, 3,,. Jka tga tket dplh secara acak tapa pegembala, berapakah peluag medapatka tket dega omor yag berurut? Teorema.9. Bayakya kombas obyek yag berbeda da dambl sebayak r sekalgus adalah! Cr r r!( r! Bukt Sebagamaa telah dsaraka dalam telada sebelumya, bahwa P r mugk dterpretaska sebaga bayakya cara memlh r obyek dar obyek da kemuda melakuka permutas r obyek dega r! cara da meghaslka! P r r! r ( r! Dega membag r! kta peroleh hasl yag dmaksud. Teorema.0. Bayakya permutas yag dapat dbedaka dar sebayak obyek dmaa sebayak r darya adalah sejes da -r adalah jes la adalah! Cr r r!( r! Beberapa catata petg yag berkata dega peghtuga kombas. C 0. C 3. C 6 Sgt Nugroho
Peluag 4. C Teorema.. Bayakya permutas dar obyek yag terdr dar k jes dmaa masg-masg jes berturut-turut bayakya r, r,,rk adalah! r! r!... r! k Telada.6. Bayakya susua huruf (belum tetu merupaka kalmat dar huruf-huruf peyusu BARBARA adalah Latha 7!!3!! (7(6(5(4(3(( (((3(((( 0. Lakuka verfkas utuk hal-hal berkut, utuk > r : a. C C b. C r r r C r C k 0 r c. ( a b Ck a. Tetuka laya 4 4 a. C C b. C c. C 4 0 C4 6 6 6 6 0 C C4 C6 0 k 3. Nyataka, dega metode yag maa peluag dar tap peryataa d bawah dtetuka: Sgt Nugroho 7 k b
Peluag a. Berdasarka data pemasara masa lalu, maka peluag mejual lebh dar 5000 tket bus dalam satu bula adalah 0,5 b. Seorag teks meduga bahwa terdapat 50 perse kemugka pegguaa jasa telepo meuru sebesar 0 perse dalam 3 tahu terakhr. c. Walaupu terdapat 0 dar 35 barag rusak, peluag barag yag rusak dasumska sebesar 0,0. d. Tdaklah bear utuk meyataka bahwa dar 4 kartu yag dambl dar setumpuk kartu brdge stadar adalah. 4. Ada berapa bayak aak gugus yag dapat dbuat dar suatu gugus yag memlk aggota sebayak m? 5. Ada berapa kemugka apabla 5 buah kartu dambl dega pegembala dar setumpuk kartu brdge stadar? 6. Tetuka bayakya kemugka susua huruf yag dapat dbuat dar huruf-huruf peyusu kata sepert d bawah : a. MAHAKAM b. MISSISSIPPI c. LONDON d. ABRACADABRA e. MARTAPURA f. MATAHARI g. KOMODO 7. Dar sebuah pelatha yag dkut oleh 4 peserta, berapa peluag terdapat tga orag atau lebh yag memlk bula kelahra yag sama? 8. Apabla terdapat 5 orag (3 lak-lak da perempua yag dyataka lolos tahap pertama seleks uja pegawa d suatu sttus, da apabla tahap kedua atau terakhr haya aka dambl orag saja, berapakah peluag yag aka lolos lak-lak da perempua? 8 Sgt Nugroho
Peluag 9. Sebuah kotak berska tga kartu Joker da dua kartu As. S A megambl sebuah kartu dar kotak tersebut secara acak, kemuda dkut s B. htuglah a. P(A dapat kartu Joker b. P(B kartu Joker A kartu Joker c. P(B kartu Joker A kartu As d. P(B kartu Joker A kartu Joker e. P(A kartu As B kartu Joker 0. Msalka P(Aj=/(3+j utuk j=,,3,4. Carlah batas atas utuk P(AAA3A4.. Katog A terdr dar 5 kelereg merah da 3 kelereg bru, da katog B terdr dar 4 kelereg merah da 4 kelereg bru. Seluruh kelereg tersebut berukura sama sehgga susah sekal dbedaka jka draba. Sebuah tdaka megambl dua kelereg sekalgus dar katog A, da tapa melhat dmasukka ke katog B. Kemuda dua buah kelereg dambl secara acak dar katog B. Htugkah: a. P(teramblya merah da bru dar katog B b. P(teramblya bru dar katog B. Plat omor kedaraa utuk suatu daerah megguaka dua huruf da dkut dega 4 dgt-agka. a. Berapa bayak kemugka susua plat omor yag dapat dbuat apabla huruf da agka dperbolehka dulag? b. Berapa bayak kemugka susua plat omor yag dapat dbuat apabla huruf tak boleh dulag tetap agka dperbolehka dulag? c. Berapa bayak kemugka susua plat omor yag dapat dbuat apabla huruf boleh dulag tetap agka tdak dperbolehka dulag? 3. Sepuluh orag yag semuaya bsa megedara mobl g beperga bersama dega megguaka tga jes mobl Alfa Romeo, Bugatt, da Lamborgh. Apabla setap Sgt Nugroho 9
Peluag mobl haya boleh ds palg bayak 4 orag sesua peratura yag berlaku d suatu daerah a. Berapakah bayakya kemugka susua mereka duduk dalam mobl? b. Berapakah bayakya kemugka susua mereka duduk dalam mobl jka s A da s B harus berada dalam satu mobl? c. Berapakah bayakya kemugka susua mereka duduk dalam mobl jka s C da s D harus berada dalam satu mobl? 4. Utuk ( + y + z 7 maka tetuka besarya koeffse dar masg-masg suku-suku berkut: a. 4 yz b. 5 y c. 3 y z d. y z 5 5. Suatu kelas memlk sebayak r mahasswa. Taggal lahr dar r mahasswa membetuk suatu cotoh berukura r dar 365 dalam setahu. Tetuka peluag bahwa semua mahasswa memlk taggal lahr yag tdak sama 6. Tetuka peluag seorag sekretars melakuka kesalaha bahwa surat yag dketkya semuaya salah dmasukka kedalam amplop yag seharusya? 7. Msalka (,S,P merupaka ruag peluag, da msalka H S dega P(H > 0. Tujukka bahwa (,S,PH merupaka ruag peluag, jka P ( A P{ A H} utuk semua A S. 8. Sebayak r kelereg ddstrbuska secara acak kedalam kotak. Msalka Ak merupaka kejada bahwa kotak tertetu berska sebayak k kelereg. Tetuka peluag Ak tersebut. H 30 Sgt Nugroho
Peubah Acak Pedahulua Tujua kta ds adalah megembagka model matemats utuk meggambarka peluag terjadya suatu keluara atau suatu perstwa dalam suatu ruag cotoh. Karea persamaa matemats dekspreska dalam la-la umerk darpada muculya Gambar, Wara, atau hal laya; kareaya kta defska suatu fugs, yag dkeal dega ama Peubah Acak yag meghubugka setap keluara dar suatu percobaa dega suatu blaga rel. Dega demka kta dapat megekspreska peluag model suatu percobaa dega megguaka peubah acak. Sudah tetu, dalam beberapa percobaa haslya memag sudah berupa agka, da dalam kasus tu fugs atural yag dguaka sebaga peubah acak adalah fugs dettas. Defs.. Suatu peubah acak, msalka saja, adalah suatu fugs yag terdefs pada suatu ruag cotoh, S, yag dhubugka dega suatu blaga yata, (e= dega tap kemugka keluara e dalam S. Atau dapat ddefska sepert berkut Defs.. Msalka (,S merupaka ruag cotoh. Suatu fugs berla tuggal terhgga yag memetaka kedalam R dsebut dega peubah acak jka ( B { : ( B} S utuk semua B B (gugus Borel dalam blaga rl, R.
Teorema.. Peubah Acak merupaka peubah acak jka da haya jka utuk setap R, {: ( } = { } S. Teorema.. Msalka merupaka peubah acak yag terdefs pada (, S, da a, b kostata, maka a+b juga merupaka peubah acak yag tersefs pada (, S. Bukt: sebaga latha. Telada.. Msalka = {H, T}, da S merupaka kelas semua aak gugus. Dega medefska (H = da (T=0, maka, 0 (, ] { T}, 0 { H, T}, Da sesua defs maka adalah peubah acak, karea S, {T}S, da {H,T}S. Telada.. Sebuah dadu empat muka (tetrahedral memlk omor yag berbeda yatu,, 3, atau 4. Msalka bahwa dadu tetrahedral tersebut sembag, artya setap muka dadu memlk kesempata yag sama utuk mucul. Utuk kasus yag dmaksud dega mucul adalah yag megahadap kebawah. Suatu permaa dega dadu dlakuka dega cara melempar dadu dua kal beruruta, da skor yag dambl adalah maksmum dar agka yag mucul dar tap dadu. Meskpu skor 3 Sgt Nugroho
Peubah Acak tak dapat dpredks, kta dapat meetuka gugus la yag mugk da medefska peubah acak. Msalka e = (, j dmaa,j {,,3,4}, maka (e=ma(,j Ruag cotoh dar percobaa datas adalah {(,, (,, (,3, (,4, (,, (,, (,3, (,4, (3,, (3,, (3,3, (3,4, (4,, (4,, (4,3, (4,4}. Da ={,, 3, 4,,, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. Apabla peubah acak la ddefska, msalya Y(e=+j maka Y={,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8} Kosep peubah acak juga dapat dpaka apabla ruag cotohya adalah blaga yata, da dega demka bahwa perstwaya adalah aak gugus dar blaga yata. Seadaya perstwa berlaka blaga yata tersebut adalah A, maka gugus B { e e S ad ( e A} adalah perstwa yag berada dalam ruag cotoh S. Meskpu perstwa A da B adalah aak gugus dar ruag yag berbeda, amu basaya dapat dkataka merupaka perstwa-perstwa yag ekuvale, da P[A]=P(B. Notas P(A basaya dguaka darpada P[A]. I medefska fugs gugus pada kumpula perstwa-perstwa berlaka blaga bulat, da dapat dtujukka memeuh tga kods dasar suatu fugs gugus peluag. Pedekata yag lebh umum dalam pembera la peluag utuk perstwa-perstwa dalam ruag cotoh blaga yata dapat berdasarka pembera peluag pada terval dalam betuk (-, utuk semua blaga yata. Utuk semua blaga yata, gugus dalam betuk B = [ ] = { e es da (e (-, } adalah perstwa dalam ruag cotoh S. Sgt Nugroho 33
Peubah Acak Dskrt Peubah Acak Defs.3. Jka gugus semua la yag mugk dar peubah acak merupaka gugus terhtug,,, atau,, maka dsebut dega peubah acak dskrt. Fugs f( = P[=] utuk =,, megalokaska peluag utuk setap kemugka la yag dsebut dega Fugs Kepekata Peluag Dskrt atau Fugs Destas Peluag Dskrt. Pedefsa la dar yag tersebut datas Defs. 4. Suatu peubah acak yag terdefs pada (,S,P dkataka dskrt, jka terdapat suatu gugus terhgga E R sedemka rupa sehgga P(E } =. Ttk-ttk atau eleme E yag memlk peluag postf dsebut dega ttk lompata atau ttk keaka fugs sebara, da peluagya merupaka besarya lompata atau keaka fugs sebara tersebut. Defs. 5. Sekumpula blaga {p } yag memeuh P{ = } = p 0, utuk semua da p dsebut dega fugs kepekata peluag. Notas la yag dguaka adalah f(. 34 Sgt Nugroho
Peubah Acak Teorema.3. Suatu fugs f( merupaka fugs kepekata peluag dskrt (fkp dskrt jka da haya jka memeuh kedua sfat berkut : utuk setap aggota gugus blaga terblag tak terhgga,, f( 0 utuk semua, da f ( Telada.3. Fugs kepekata peluag dskret maksmum la yag mucul dar pelempara dua kal dadu tetrahedral dapat dsajka sepert berkut: 3 4 f( /6 3/6 5/6 7/6 Sedagka bla peubah acak yag kta gka adalah jumlah la yag mucul dar dua kal pelempara dadu tersebut, maka fugs kepekata peluagya adalah sepert berkut y 3 4 5 6 7 8 f(y /6 /6 3/6 4/6 3/6 /6 /6 Defs. 6. Fugs Sebara Kumulatf dar suatu peubah acak ddefska utuk sembarag blaga yata dega F( = P[ ] Atau dapat ddefska sepert berkut Defs. 7. Msalka peubah acak terdefs pada (,S,P. Suatu fugs F(. pada R ddefska dega F(=P{: ( } utuk semua R.. Fugs F dsebut dega fugs sebara peubah acak. Sgt Nugroho 35
Peubah Acak Fugs F( serg cukup dsebut dega Fugs Sebara peubah acak, juga otasya serg megguaka F(. Teorema.4. Msalka adalah peubah acak dskret dega fugs kepekata peluag f( da fugs sebara kumulatf F(. Jka la yag mugk dar peubah acak ddeks dalam uruta meak, <<3< maka f( = F(, da utuk sembarag >, f(=f(-f(- Lebh lajut, jka < maka F(=0 da utuk sembarag la blaga yata laya F ( f ( dmaa pejumlaha dlakuka utuk seluruh deks sedemka rupa sehgga. Fugs Sebara Kumulatf utuk sembarag peubah acak harus memeuh sfat-sfat sepert yag ada pada teorema berkut. Teorema. 5. Utuk suatu peluag Q pada (R, B, terdapat suatu fugs sebara F yag memeuh Q(-,] = F( utuk semua R, da begtupula sebalkya bla dberka suatu fugs sebara F, aka terdapat peluag yag khas Q terdefs pada (R, B yag memeuh Q(-,] = F( utuk semua R. Teorema.6. Suatu fugs F( adalah fugs sebara kumulatf dar peubah acak, jka da haya jka persyarata berkut dpeuh:. lm F( 0 36 Sgt Nugroho
Peubah Acak lm F(. 3. lm F( h F( h0 4. Jka a<b, maka F(a F(b Syarat pertama sebaga akbat bahwa fugs peluag suatu ttk atau perstwa elemeter tdak egatf, da utuk la yag sagat egatf la kumulatfya sama dega ol, sedagka sebaga akbat bahwa total peluag adalah, maka kosekues dar kumulatf peluag tertuag dalam syarat omor dua. Syarat omor 3 serg dsebut dega kotu dar sebelah kaa, sedagka syarat omor 4 dsebut dega fugs yag tdak meuru. Defs.8. Jka adalah peubah acak dskret dega fugs kepekata peluag f(, maka la harapa dar ddefska sebaga E ( f (. Pejumlaha bsa saja dlakuka utuk rage la yag terhgga jumlahya atau bsa jad pejumlaha tersebut utuk seluruh kemugka yag jumlahya terblag tak terhgga sehgga perlu pegetahua tetag deret suatu blaga. Telada.4. Sebaga maa telada sebelumya tetag percobaa dega dadu tetrahedral dperoleh 3 4 f( /6 3/6 5/6 7/6 Dega demka la harapa dar maksmum muculya mata dadu dar pelempara dua kal dadu tetrahedral adalah : ((/6+((3/6+(3(5/6+(4(7/6 = 50/6 = 3,5 Sgt Nugroho 37
Peubah Acak Hal yag lebh umum lag bsa dkembagka utuk mecar la harapa dar suatu fugs peubah acak, msalya u(. Jka adalah peubah acak dskret dega fugs kepekata peluag f(, serta u( adalah suatu fugs dar, maka la harapa dar u( ddefska sebaga E [ u( ] u( f (. Ragam atau Vara peubah acak merupaka salah satu la harapa petg yag dapat dperoleh dega cara, dega u(=(- Notas yag umum dpaka utuk meyataka ragam adalah, atau V( yag laya adalah E[u(]=E[(- ] Var( = ( f ( = ( f ( = f ( f ( f ( = E ( E( = E ( = E ( Catata : Nla harapa dar adalah juga merupaka la rata-rata dar yag dlambagka dega μ. Sebara Beroull Performas dar suatu percobaa dega haya memlk dua macam keluara dsebut dega tdaka Beroull. Bla 38 Sgt Nugroho
Peubah Acak kemugka keluara tersebut kta sebut dega Berhasl da Gagal, maka peubah acak Beroull adalah jka e E ( e c 0 jka e E Sedagka fugs kepekata peluagya adalah f(0=q da f(=p. Sebara dmaksud serg dsebut dega Sebara Beroull, da fugs kepekata peluagya dapat dekspreska sebaga p f ( q utuk = 0 atau Besarya q = -p da 0 < p <. Nla harapa dar atau E( = (0(q+((p = p sedagka E( =(0 (q+( (p = p. Oleh kareaya Var( = E( -(E( = p-p = p(-p = pq. Sebara Bomal Bla percobaa terdr dar sedereta tdaka Beroull yag salg bebas, dmaa kuattas yag damat adalah bayakya Berhasl dar sebayak tdaka tersebut. Jka peluag Berhasl pada setap tdaka Beroull tersebut adalah p, da melambagka bayakya Berhasl tersebut, maka fugs kepekata peluag dar adalah b( ;, p C p q 0,,,..., Perstwa [=] terjad apabla terdapat sebayak Berhasl da - Gagal dalam keseluruha tdaka Beroull yag salg bebas tersebut. Seluruhya aka ada sebayak C cara. Sehgga dperolehlah fugs kepekata peluag Beroull sepert b(;,p. Notas dguaka sebaga peggat f(, yag sekalgus megdkaska bahwa b sgkata dar Beroull, dega argume serta fugs tersebut sagat tergatug dar besara parameter da p. Sgt Nugroho 39
Hal-hal yag harus dperhatka adalah 0 b( ;, p 0 C p q Sedagka fugs sebara kumulatfya k 0 ( p q B( ;, p b( k;, p utuk =0,,,, Catata utuk Sebara bomal B( ;, p B( ;, p b( ;, p B( ;, p B( ;, p Peubah Acak Bomdst(umber_s;trals;probablty_s;cumulatf adalah suatu fugs dalam Mcrosoft Ecel yag dapat dguaka utuk meghtug la fugs kepekata peluag da fugs sebara peluag dar peubah acak Bomal. Parameter umber_s adalah bayakya Berhasl (, trals adalah total tdaka (; probablty_s adalah peluag Berhasl dalam setap tdaka Beroull (p, da cumulatf dska la Logka TRUE apabla kta gka fugs sebara kumulatf da FALSE apabla kta gka fugs kepekata peluagya. Dega megguaka Mcrosoft Ecel kta dapat mecar b(3;0, 0 3 7 0,35 artya secara rumus kta g mecar C 3 (0,35 (0,65 yag cukup dega meulska =bomdst(3;0;0,35;false pada lembar kerja Mcrosoft Ecel yag aka memberka hasl 0,5. Namu apabla kta tulska =bomdst(3;0;0,35;true yag haslya adalah 0,538 yag tdak la adalah sebaga akumulas dar b(0;0, 0,35+ b(;0, 0,35+ b(;0, 0,35+ b(3;0, 0,35 40 Sgt Nugroho
Peubah Acak Telada.5. Dar pelempara sebuah mata uag logam yag sembag 0 kal, berapakah peluag medapatka ss Agka sebayak 6 kal? 0 6 4 Jawab: b(6;0,½ = C 0,5 0,5 0, 0046. 6 Dervas Nla harapa apabla memlk sebara Bomal dega parameter da p atau dsgkat B(,p E( = C 0 p q! = p q 0!(! (! = pp (!(! = p C k 0 = p k E((- = ( C 0 p k q ( k Sgt Nugroho 4 p q! = ( p 0!(! ( (! = p p (!(! = ( p C k 0 = (-p k p k q q ( ( q q ( k ( ( Karea E[(-] = E( E(, maka E( = E[(-]+E[] = (-p + p = p p + p = p + p p = p(p + p(-p = p(p+q.
Da dega demka Var( = E( [E(] = p(p+q-(p = pq. Peubah Acak Sebara Hypergeometrk Suatu populas atau kumpula obyek yag terdr dar N tem, da dar sejumlah tu ada sebayak M tem dar kategor pertama, sedagka ssaya sebayak N-M dar kategor kedua. Msalka sejumlah tem dambl secara acak tapa dkembalka, da adalah peubah acak bayakya tem dar kategor pertama terambl. Fugs Kepekata Peluag Dskret dar peubah acak adalah M N M C C h( ;, M, N utuk ma(0,-n+m m(,m N C N Ruag cotoh dar tdaka datas beraggotaka sebayak C kemugka. Apabla bayakya yag terambl dar sebayak cotoh tersebut ada sebayak dar kategor pertama, maka ssaya ada sebayak - dar kategor kedua. Bayakya kemugka terplhya pada kods tersebut adalah megguaka perhtuga kombas terplhya sebayak dar kategor pertama, atau sebesar C kemugka da dar kategor N M kedua ada sejumlah C. Bayak cara perstwa terjad dperoleh dega megguaka prsp multplkas. Akhrya fugs kepekata peluag hypergeometrk dturuka dega kosep peluag dega megguaka metode klask atau apror. Telada.6. Sebuah katog berska 00 bus, dmaa 0 dataraya rusak atau cacat. Bayakya bus yag rusak atau cacat tersebut tdak dketahu oleh pembel yag g memutuska utuk megambl 0 bus secara acak tapa pegembala. Apabla bus yag damblya M 4 Sgt Nugroho
Peubah Acak secara acak tersebut tdak megadug bus yag rusak lebh dar tga, maka a aka meermaya. Berapakah peluag pembel tersebut meerma bus yag dambl secara acak tersebut? Jawab: P [ 3] 3 0 C C 0 80 0 00 C0 0 C0 C 00 C 0 80 0 0 C C 00 C 0 80 9 0 C C 00 C 0 80 8 0 C3 C 00 C 0 80 7 0,890 Hypgeomdst(sample_s;umber_sample;populato_s;umber_ pop adalah fugs kepekata peluag dar sebara hypergeometrk yag dsedaka oleh Mcrosoft Ecel dmaa sample_s adalah besarya cotoh yag Berhasl atau, umber_sample adalah besarya cotoh yag dambl, populato_s meujuk ke besarya populas Berhasl atau M da umber_pop sebaga ukura populas atau N. Sebaga msal =hypgeomdst(0;0;0;00 = 0,095 = hypgeomdst(;0;0;00 = 0,679 = hypgeomdst(;0;0;00 = 0,38 = hypgeomdst(3;0;0;00 = 0,09 Fugs Sebara Kumulatf Hypergeometr dapat dtulska sebaga Teorema.7. H ( ;, M, N Sgt Nugroho 43 0 h( ;, M, N Jka peubah acak memlk sebara HYP(,M,N maka utuk setap la =0,,, da utuk N da M dega M/N p, suatu kostata postf, maka C lm N Bukt : sebaga latha. M C C N M N C p ( p
Peubah Acak Sebara Geometrk Ds kta sekal lag memaka sekue atau deret dar tdaka Beroull yag salg bebas dega peluag Berhasl utuk tap tdaka Beroull sebesar p. Dalam kasus Bomal, jumlah tdaka yag aka dlakuka adalah tetap, da peubah yag damatya adalah bayakya perstwa Berhasl. Kal aka dpelajar peubah acak yag meujuk pada bayakya tdaka yag harus dlakuka utuk mecapa Berhasl yag pertama kal dar sedereta perstwa yag harus dlakuka dar tdaka Beroull. Dega demka, bsa saja sekal tdaka lagsug memperoleh Berhasl, dua kal tdaka baru memperoleh Berhasl pertama, tga kal, empat kal, da seterusya hgga bla dgambarka G sebaga Gagal da B sebaga Berhasl adalah sepert berkut = B = GB =3 GGB = GG... G B Fugs Kepekata Peluag Geometr dapat dtulska sepert berkut g( ; p q p utuk =,, 3, Dapat dlhat bahwa fugs datas adalah fugs kepekata peluag yag apabla djumlahka utuk seluruh kemugka la haslya aka sama dega satu. 3 p g( ; p p q p( q q q... p q p 44 Sgt Nugroho
Peubah Acak Nama la dar Sebara Geometrk adalah Sebara Pascal. Fugs Sebara Kumulatf dar peubah acak adalah G ( ; p pq q utuk =,, 3, Telada.7. Seorag pemaah dapat megea sasara lgkar palg tegah dega peluag 0,3 setap melepaska aak paah dar busurya. Peluag a pertama kal megea lgkar sasara palg tegah pada tembaka ke lma adalah g(5;0,3=0,7 4 (0,3. Setelah tu peluag a baru megea sasara dmaksud pada tembaka kesepuluh juga mash sama yatu 0,7 4 (0,3. Namu peluag bahwa pertama kal a meembak megea sasara pertama kal sebelum atau pada tembaka ke lma adalah G(5;0,3 = -(0,7 5 = 0,8393. Teorema.8. Jka memlk sebara Geometrk dega parameter p, maka Bukt P[ j k j] = P[ j k j] P[ k] P[ j k] P[ j] ( p ( p jk = j k = ( p = P[ k] Nla harapa peubah acak yag meyebar meurut sebara Geometrk dapat dcar sepert berkut: Sgt Nugroho 45
Peubah Acak E( = pq = d p q dq d = k p q dq k 0 d = p ( q dq = = p ( q p Perlu dperhatka walaupu sedkt agak berbeda, msalka peubah acak Y adalah meujuk pada bayakya perstwa Gagal sebelum Berhasl pertama kal. Dega demka sebetulya Y =, da y P[ Y y] ( p p utuk y = 0,,, Peubah acak Y tersebut juga memlk sebara yag dsebut dega Geometrk. Sebara Geometrk merupaka betuk khusus dar Sebara Negatf Bomal yag aka kta bahas dalam sub bab berkut. Sebara Negatf Bomal Dalam tdaka Beroull serupa sepert dalam sebara Geometrk, msalka melambagka peubah acak bayakya tdaka yag dperluka hgga tercapa r Berhasl. Peubah acak dkataka memlk sebara Negatf Bomal yag fugs kepekata peluagya dapat dtulska sebaga berkut. r r b( ; r, p C p q utuk =r,r+,r+, 46 r Sgt Nugroho
Peubah Acak Agar perstwa [=] terjad, kta past memlk sedereta tdaka Beroull dmaa Berhasl yag ke-r ( Berhasl pada tdaka ke-r terjad pada tdaka ke-. Dega demka sampa dega tdaka ke - sudah terdapat sebayak r- Berhasl dalam uruta apapu, da utuk tdaka yag ke harus Berhasl. Msalka Berhasl ke-3 terjad pada perstwa ke 5, maka kemugka susua uruta terjadya perstwa dmaksud adalah BBGGB BGBGB BGGBB GBBGB GBGBB GGBBB Jad ada sebayak 6 atau kombas dar 4 susua perstwa dmaksud. Mcrosoft Ecel juga memberka fugs utuk meghtug fugs kepekata peluag dar sebara Negatf Bomal. =egbomdst(umber_f;umber_s;probablty_s Number_f adalah bayakya Gagal ; umber_s adalah bayakya Berhasl da probablty_s adalah peluag Berhasl pada setap tdaka Beroull. Jad msalka utuk meghtug b(6;4, 0,6 =egbomdst(;4;0,6 aka meghaslka 0,0736 b(5;3, 0,4 =egbomdst(;3;0,4 aka meghaslka 0,384 g(5;0,3 =egbomdst(4;;0,3 aka meghaslka 0,0703 g(4;0,7 =egbomdst(3;;0,7 aka meghaslka 0,0890 Karea 0 < p < maka r C r r r r r r r p q p Cr q p ( q 0 sebaga akbat dar r r C r q ( q. Nama Negatf 0 Bomal dambl dar hubuga ekspas deret bomal dega pagkat egatf r. Sgt Nugroho 47
Peubah Acak Ada beberapa yag membuat peubah acak Y yag ddefska sebaga bayakya Gagal yag terjad sebelum Berhasl ke r kalya. Dega demka = Y + r da fugs kepekataya adalah sebaga berkut yr r y b ( y; r, p P[ Y y] Cr p ( p utuk y=0,,, Terdapat hubuga atara Negatf Bomal da Bomal. Kadag kala permasalaha egatf bomal juga dsebut dega pearka cotoh vers bomal. Msalka memlk sebara Negatf Bomal (r,p da W memlk sebara Bomal (,p. Maka P[ ] P[ W r] Perstwa [W r] adalah perstwa terjadya sebayak r atau lebh Berhasl dalam tdaka, da berart bahwa atau kurag tdaka aka dperluka utuk memperoleh r Berhasl pertama. Jelaslah bahwa sebara egatf bomal dapat dekspreska dalam sebara bomal dalam hubuga sepert berkut: F( ; r, p P[ ] B( r ;, p B( r; ; q Telada.8. Sebuah pertadga fal Bola Basket yag dmaka dega sstem The Best of Seve dlakuka oleh Tm A da Tm B. Apabla peluag tm A memeagka pertadga d setap pertadga adalah 0,6 berapakah peluag Tm A aka mejad juara palg lama harus bertadg 6 kal? Jawab: Tm A harus memeagka pertadga ke-empat kalya palg bayak pada pertadga ke-6. Jka adalah peubah acak Negatf Bomal dega = 6 da r = 4 serta p = 0,6, maka P(Tm A meag selambat-lambatya pada pertadga ke-6 tersebut = P [ 6] = F(6;4, 0,6 48 Sgt Nugroho
Peubah Acak 6 = C 4 = B(;6, 0,4 = C w0 4 4 3 (0,6 (0,4 6 w = 0,5443 (0,4 w (0,6 6w Sebara Posso Suatu peubah acak dskret dkataka memlk sebara Posso dega parameter > 0 jka memlk fugs kepekata peluag sepert berkut e f ( ; 0,,,...! Kta dapat perksa bahwa f ( ; e e e 0 0! Fugs Sebara Kumulatf dar peubah acak Posso ddefska sebaga F( ; f ( k; k 0 Betuk sederhaa dar fugs sebara kumulatf tdak dapat dbuat, tetap basaya dtabulaska. Nla harapa dar peubah acak atau E( dapat dcar sebaga berkut: E( = f ( ; 0 = e 0! Sgt Nugroho 49
= e (! = k e k 0 k! = e e = Peubah Acak Teorema.9. Jka meyebar meurut sebara Bomal(,p maka utuk setap la =0,,, da blamaa p0 dega p= kosta maka Bukt C p lmc ( p = = p ( p!!(! Hasl pembukta dperoleh karea e!...! lm e da lm Telada.9. Apabla besarya resstor yag cacat yag dproduks pabrk A sebesar %. Suatu jes peralata elektrok baru membutuhka 00 resstor ddalamya, da 00 resstor dplh secara acak dar sekumpula resstor yag dproduks pabrk A tersebut. Berapakah peluag medapatka 3 buah resstor yag dambl tersebut cacat? 50 Sgt Nugroho
Peubah Acak Jawab: Dega megguaka sebara Bomal b(3;00, 0,0 = 0,060 Da bla dguaka sebara Posso f(3; = 0,063 Sebara Seragam Dskret Terdapat beberapa permasalaha yag umumya meyagkut pembera la peluag secara klask, dapat dbuat modelya dega sebara seragam dskret. Basaya dmugkka meghubugka permasalaha tersebut dega megguaka gugus blaga bulat,, 3,, N. Peubah acak memlk sebara seragam dskret pada blaga bulat,,3,,n jka memlk fugs kepekata peluag dalam betuk f ( utuk =,,3,,N N Nla harapa peubah acak dapat dcar sepert berkut: N E( = (... N N N N( N = N N = Sedagka N E( = (... N N N N( N (N = N 6 Sgt Nugroho 5
( N (N = 6 Sehgga Var ( N Peubah Acak Peubah Acak Kotu Telah kta bahas peubah acak dskret yag sagat bayak djumpa dalam dua kehdupa, termasuk dataraya, atau kalau dapat dkataka kebayaka peubah acak yag laya ddapat dega cara meghtug tergolog dalam peubah acak dskret. Namu demka, apabla stuas tdak memugkka utuk megguaka model dar peubah acak dskrt, tetu kta aka guaka peubah acak kotu. Pada umumya, peubah acak yag cara medapatka laya dega cara megukur atau megguaka alat ukur, sepert alat pegukur pajag, berat, kecepata, da mash bayak lag, tergolog dalam peubah acak kotu. Fugs Sebara Kumulatf yag kta defska pada peubah acak dskret juga berlaku utuk peubah acak kotu. Telada.0. Setap har kerja seorag pekerja ak bus utuk mecapa tempat kerjaya. Meskpu bus aka datag tepat setap 5 met, pekerja tersebut umumya datag d tempat pemberheta bus sembarag waktu secara acak datara waktu kedataga bus. Dega demka, waktu tuggu pekerja tersebut d setap pag merupaka suatu peubah acak (kotu. Cara la utuk mempelajar sebara tersebut adalah megamat frekues relatf kedataga bus pada terval waktu yag pedek berukura sama, tetap meyebar dalam terval waktu tuggu [0,5]. Bsa saja frekues kedataga bus selama terval waktu dalam betuk (,+ utuk la yag kecl da proporsoal terhadap 5 Sgt Nugroho
Peubah Acak terval waktu da tdak tergatug dar. Dega demka kta dapatka P[ ] F( F( c Utuk semua 0 < + 5 da beberapa c > 0. Sudah tetu bahwa F( dfferesabel (memlk turua atau dapat dturuka pada, da turuaya kosta, F (=c>0. Catata bahwa utuk < 0 atau > 5 turuaya juga ada amu laya F ( = 0, karea P[ < +] = 0 apabla da + buka la kemugka peubah acak, da tdak ada turua utuk =0 da =5. Secara umum, jka F( adalah fugs sebara kumulatf peubah acak kotu, maka turua atau dfferesal dar fugs tersebut adalah f(, da dega kods tertetu kta sebut sebaga fugs kepekata peluag dar peubah acak. Dalam telada kta tad, F( dapat drepresetaska utuk la dalam terval [0, 5] sebaga tegral dar turuaya: F( f ( t dt dt 5 0 5 Defs.9. Peubah acak dkataka sebaga peubah acak kotu jka memlk fugs f(, yag dsebut sebaga fugs kepekata peluag dar, sehgga fugs sebara kumulatfya dapat dtulska sebaga F ( f ( t dt Sgt Nugroho 53
Defs. 0. Peubah Acak Msalka terdefs pada (,S,P dega fugs sebara F. Maka dkataka kotu jka F kotu mutlak, yatu jka terdapat fugs tak egatf f( sedemka rupa sehgga utuk setap blaga rl, F( f ( t dt. Fugs f dsebut dega fugs kepekata peluag atau fugs destas peluag peubah acak. Megkut teorema dasar Kalkulus, fugs kepekata peluag peubah acak kotu dapat dperoleh dar fugs sebara kumulatfya dega cara melakuka dfferesas atau turuaya. d f ( F( F'( d asalka turuaya ada. Dalam peubah acak kotu, perstwa [ = c ] dmaa c adalah kostata, memlk peluag ol. Utuk peubah acak kotu berlaku : Jka a < b P[ a < b ] = P[ a < b ] = P[ a < < b ] = P[ a b ] = F(b F(a Teorema.0. Suatu fugs f( adalah fugs kepekata peluag utuk beberapa peubah acak kotu jka da haya jka memeuh syarat bahwa utuk semua blaga yata berlaku f( 0 da f ( d 54 Sgt Nugroho
Peubah Acak Defs.. Jka adalah peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag f(, maka la harapa dar ddefska sebaga E ( f ( d jka etgralya ada atau koverge. Jka tdak, maka dkataka E( tdak ada. Defs.. Jka 0 < p <, maka persetl ke-p dar sebara peubah acak adalah la terkecl p, sedemka rupa sehgga F(p p. Jka kotu, maka p adalah jawaba dar persamaa F(p = p Telada.. Msalka sebara umur suatu lampu pjar memlk fugs sebara 5 sepert berkut: F( e, utuk > 0, da ol utuk selaya. Maka meda umur lampu dapat dcar sebaga berkut: m 5[ l( 0,5] 5 l 4,63 bula Jka dgka utuk mecar waktu t sedemka rupa sehgga 0% kompoe gagal berfugs sebelum waktu t, maka la persetl ke-0 tersebut adalah 0,0 5[ l( 0,0] 5 l(0,9,63 bula Sgt Nugroho 55
Defs.3. Peubah Acak Jka fugs kepekata peluag memlk la maksmum yag khas pada = m0, sebut saja ma f ( f ( m0 maka m0 kta sebut dega modus dar peubah acak. Defs.4. Suatu sebara dega fugs kepekataka peluag f( dkataka smetrs terhadap c jka f(c-=f(c+ utuk semua. Sebara Seragam Kotu Msalka peubah acak dapat memlk la dalam terval (a,b, da juga fugs kepekata peluagya kosta, katakalah f(=c pada terval tersebut. Utuk memeuh syarat sebaga fugs kepekata peluag, hedaklah la c=/(b-a. Fugs kepekata peluag peubah acak kotu yag meyebar meurut sebara seragam dapat dtulska sebaga berkut: jka a b f ( b a 0 jka laya Sedagka fugs sebara kumulatfya adalah 0 jka a a F( ; a, b jka a b b a jka b Nla harapa dar beberapa kuatt peubah acak sebara seragam dapat dcar sepert berkut: 56 Sgt Nugroho
Peubah Acak b E( = d b a = = = b a b a ( b a ( b a( b a ( b a a b E( = d b a = = = Akhrya dperoleh Var( = Sebara Gamma = = a 3 3 b a 3( b a ( b b ab a ( b a 3( b a ab a 3 E Sgt Nugroho 57 ( [ E( b ab a 3 ( b a ] ( a b 4 Bayak aplkas yag memlk peubah acak dega sebara Gamma. Nama Gamma ada hubugaya dega fugs gamma.
Peubah Acak Defs.5. Fugs Gamma, dotaska dega ( utuk semua > 0, ddefska sebaga Teorema.. t ( t e dt 0 Fugs Gamma memlk sfat-sfat sepert berkut: ( ( ( utuk ( (! utuk,,3,... Peubah acak kotu dkataka memlk sebara Gamma dega parameter > 0 da > 0 jka fugs kepekata peluagya memlk betuk da ol utuk laya. f ( ;, ( e 0 Parameter serg dsebut dega parameter betuk (shape parameter karea besarya meetuka betuk dasar dar grafk fugs kepekata peluagya. Lebh khusus lag, terdapat tga betuk kurva utuk <, =, atau >. Fugs sebara kumulatf dar peubah acak yag meyebar dega sebara gamma adalah sepert berkut 58 Sgt Nugroho
Peubah Acak F( ;, t ( 0 e t dt 0 Substtus u=t/ dalam tegral aka meghaslka F( ;, F( ;; yag haya tergatug melalu peubah /. Parameter serg dsebut dega parameter skala (scale parameter. Fugs sebara kumulatf datas secara umum tak dapat dselesaka secara eksplst, amu jka merupaka blaga bulat postf, maka tegralya dapat dselesaka sebaga jumlah. Teorema.. Jka memlk sebara Gamma(, dmaa adalah blaga bulat postf, maka fugs sebara kumulatf F( ;, 0! e Telada.. Besarya presptas hara terukur d suatu lembah suga meyebar meurut Sebara Gamma dega parameter = 0, da = 6. Berapakah peluag presptas melebh ch? P[>] = 6 e 6 (0, (6 = F(;0,,6 ( / 0, d Sgt Nugroho 59
5 0 =! 0 e 0 0,067 Peubah Acak Nla harapa dar dperoleh sepert berkut / E( = e d ( 0 = ( 0 ( ( = ( ( = ( ( = ( = 0 e / ( d ( e / Dega cara yag sama aka dperoleh E ( ( da dega demka kta peroleh bahwa Var (. d Sebara Ekspoesal Suatu peubah acak kotu memlk sebara ekspoesal dega parameter > 0 jka fugs kepekata peluagya memlk betuk f ( ; e utuk 0 da ol utuk laya. 60 Sgt Nugroho
Peubah Acak Fugs sebara kumulatf dar F( ; e utuk 0 Dega demka kta bsa lhat bahwa adalah parameter skala. Bla kta perhatka, sebara ekspoesal merupaka betuk khusus dar sebara Gamma dega =. Teorema.3. Utuk peubah acak kotu, yag meyebar meurut sebara ekspoesal dega parameter jka da haya jka P[ > a+t > a] = P[ > t] utuk semua a > 0 da t > 0. Bukt : sebaga latha. Telada.3. Msalka umur bola lampu LCD Projector merk Gedho memlk sebara ekspoesal dega parameter = 00 jam. Berapakah peluag bahwa sebuah bola lampu tersebut apabla dplh secara acak memlk umut sedktya 50 jam? P [ 50] F(50;00 e 0,5 0,6065 Karea sebara ekspoesal adalah betuk khusus dar sebara gamma dega parameter =, maka E( = da E( =. Sebara Webull Seorag ahl fska W. Webull meyaraka megguaka suatu sebara dar peubah acak yag sergkal mucul dalam Sgt Nugroho 6
Peubah Acak permasalaha fska, khususya lmu baha dsampg serg juga dpaka utuk mempelajar sebara umur suatu barag. Suatu peubah acak kotu dkataka memlk dstrbus Webull dega parameter > 0 da > 0 jka memlk fugs kepekata peluag dalam betuk f ( ;, e utuk 0 da ol utuk laya. Dalam sebara merupaka parameter betuk, tergatug apakah <, =, atau >. Salah satu keutuga sebara Webull adalah bahwa Fugs Sebara kumulatfya dapat dperoleh secara eksplst dega megtegralka fugs kepekata peluagya mejad F( ;, e utuk 0 Betuk yag lebh khusus dar sebara Webull adalah apabla = yag dsebut dega Sebara Raylegh. Telada.4. Sebara jarak atara tempat jatuhya peerju dega ttk pusat peerjua dketahu meyebar meurut sebara Webull dega parameter =0 da =. Berapakah peluag seorag peerju jatuhya berjarak kurag dar 5 meter dar ttk pusat peerjua? P [ 5] F(5;0, e 5 0 0, Nla harapa peubah acak dapat dcar sepert berkut E( = e d 6 0 Sgt Nugroho
Peubah Acak = 0 ( e Dega megguaka substtus t da beberapa smplfkas, maka tegral datas mejad ( t t e dt 0 Cara yag sama dapat dperguaka utuk medapatka E ( sehgga Var (. Sebara Normal Pada tahu 733 Abraham de Movre mempublkaska sebara Normal sebaga pedekata dar sebara jumlah dar peubah acak Bomal. Sebara Normal adalah sebara palg petg dalam teor peluag da statstka. Suatu peubah acak dkataka megkut sebara Normal dega rata-rata da smpaga baku jka memlk fugs kepekata peluag f ( ;, e Dega megguaka substtus peluagya mejad d ; ;0 Z, fugs kepekata Sgt Nugroho 63
z ( z e utuk z Fugs Sebara Kumulatf dar sebara Z adalah z ( z ( t dt Peubah Acak Beberapa sfat geometr dasar dar fugs kepekata peubah acak Z atau sebara ormal baku adalah ( z ( z ' ( z z( z "( z ( z ( z (z memlk maksmum mutlak pada z=0 (z memlk ttk belok pada z=- da z=+ (z0 apabla z (z0 apabla z Dega megguaka sfat-sfat tersebut datas, dapat dtujukka bahwa E(Z = z ( z dz '( z dz ( z 0 Var(=E(Z = z ( z dz [ "( z ( z] dz '( z ( z dz 0 Teorema.4. Jka peubah acak kotu memlk sebara Normal dega parameter rata da smpaga baku, maka fugs sebara kumulatf dar dapat dekspreska sebaga F ( 64 Sgt Nugroho
Peubah Acak Kumulatf peluag stadar ormal yag dotaska dega (z pada umumya bayak dtabelka dalam buku-buku statstka. Mcrosoft Ecel memberka fugs statstka utuk yatu =ormsdst(z msalya =ormsdst(- = 0,08 =ormsdst(+ = 0,977 =ormsdst(0 = 0,5000 Utuk sebara ormal dega rata-rata da smpaga baku juga dfasltas oleh Mcrosoft Ecel. Berkut adalah hal-hal yag dapat dperoleh: Probablty Mass Fucto atau besarya la f( =ormdst(;mea;stadard_dev;false msalya =ormdst(48;60;6;false = 0,0090 =ormdst(5;0;;false = 0,05 Cumulatve Dstrbuto Fucto atau kumulatf peluag sampa dega =ormdst(;mea;stadard_dev;true msalya =ormdst(48;60;6;true = 0,08 =ormdst(5;0;;true = 0,8944 Parameter Lokas da Skala Dalam setap defs berkut, F0(z meujuk kepada fugs sebara kumulatf da f0(z fugs kepekata peluag. Sgt Nugroho 65
Defs.6. Peubah Acak Kuatt merupaka parameter lokas utuk suatu sebara peubah acak jka fugs sebara kumulatfya memlk betuk F ( ; F0 (. Dega perkataa la, fugs kepekata peluagya memlk betuk f ( ; f 0 (. Telada. 5. Perhatka sebuah sebara yag memlk fugs kepekata peluag ( f ( ; e utuk da ol utuk selaya. Parameter lokas ds kadag juga serg dsebut dega threshold parameter. Defs.7. Suatu kuatt postf dsebut sebaga parameter skala utuk sebara peubah acak jka fugs sebara kumulatfya memlk betuk F ( ; F0 da dega demka fugs kepekata peluagya dalam betuk f ( ; f 0. Defs.8. Kuatt da kuatt postf dsebut sebaga parameter lokasskala utuk sebara peubah acak jka fugs sebara kumulatfya memlk betuk F ( ;, F0 da dega demka fugs kepekata peluagya dalam betuk f ( ;, f 0. 66 Sgt Nugroho
Peubah Acak Sebara Campura Sagat dmugkka suatu peubah acak memlk sebara yag tak sepeuhya dskret ataupu kotu, melaka campura. Fugs sebara kumulatfya memlk betuk F( Fd ( ( Fc ( Dmaa Fd( da Fc( masg-masg berturut-turut adalah fugs sebara kumulatf dar tpe dskret da kotu. Telada.6. D sebuah perempata jala dega rambu lalu ltas STOP, seorag pegemud aka meghadap dua hal, yatu berhet beberapa saat meuggu glra jala, atau berhet lagsug jala lag. Dega demka peubah acakya megambl la (karea waktu ol atau postf, keduaya dega peluag yag tdak ol. Msalka fubgs sebara waktu tuggu tersebut adalah F( 0,4F ( 0,6F ( d Msalka Fd(= da Fc(=-e - jka 0 da ol selaya. Dega demka peluag tapa harus meuggu adalah P[=0] = 0,4. Da peluag waktu tugguya kurag dar 0,5 met adalah P[0,5]=0,4+0,6(-e -0,5 = 0,636 c Latha. Bla sebuah dadu bermuka dua belas (dodecahedral yag sembag dlempar dua kal. Bla setap muka dber omor sampa dega, maka setap omor memlk kesempata mucul yag sama. Buatlah fugs kepekata peluag dar peubah acak maksmum la dar muculya kedua mata dadu.. Sebuah permaa dkataka adl apabla la harapa permaa tersebut adalah ol. Verfkas peryataa berkut : Sgt Nugroho 67
68 Peubah Acak Dar sebuah permaa agka dar 00 sampa dega 99, seseorag harus memasag sebesar Rp.,-- utuk sebuah omor yag dplhya. Apabla omor yag dplhya keluar, maka a aka medapatka hadah sebesar 60 kal uag yag dpertaruhkaya atau Rp. 60,-- amu apabla kalah maka uag utuk memasag omor tersebut hlag. Apabla keluarya omor dar 00 sampa dega 99 tersebut acak, maka s pema aka memlk la harapa yag egatf. Artya, s pema dalam jagka pajag aka megalam kekalaha. Berapakah la harapa s pema dalam soal? 3. Suatu peubah acak dskret memlk fugs kepekata peluag f(. a. Jka f(=k(/ utuk =,, da 3. Utuk la peluagya ol. Tetuka la k agar f( memeuh defs fugs kepekata peluag. b. Apakah fugs dalam betuk f(=k[(/ -/] utuk = 0,, da merupaka suatu fugs kepekata peluag? 4. Fugs [] adalah fugs blaga bulat yag tdak melebh. Fugs Sebara Kumulatf dar f(=(-/44 utuk =,,, adalah F(=([]/ utuk 0 < < 3, ol utuk < da satu utuk > 3. 5. Suatu peubah acak memlk fugs kepekata peluag f( = c(8- utuk = 0,,, 3, 4, 5 da ol utuk selaya. a. Tetuka besarya c. b. Car Fugs Sebara Kumulatfya. c. Berapakah P[>] d. Carlah E( e. Carlah Var( 6. Suatu peubah acak blaga bulat tdak egatf memlk fugs sebara kumulatf F(=-(/ + utuk =0,,, da ol utuk < 0 a. Car Fugs Kepekata Peluagya. b. Tetuka P[0<0] c. Carlah P[ blaga bulat] Sgt Nugroho
Peubah Acak 7. Apabla memlk sebara hypergeometrk dega parameter, M, da N. Lakuka verfkas bahwa a. M E( N b. M M N Var ( N N N 8. Apabla memlk sebara Geometrk dega parameter p, maka lakuka verfkas bahwa a. q E( p b. q Var( p 9. Lakuka verfkas ragam peubah acak peubah acak d bawah a. rq Var( p jka meyebar dega sebara Negatf Bomal(r,p b. Var ( jka meyebar dega sebara Posso( 0. Jka adalah peubah acak kotu yag meyebar meurut sebara Webull dega parameter da, tujukka l( p. bahwa persetl ke-p ya adalah. Suatu peubah acak kotu dkataka memlk sebara Pareto dega parameter > 0 da > 0 jka memlk fugs kepekata peluag dalam betuk : utuk >0 ( f ( ;, da ol utuk yag laya. a. Tetuka F ( ;, b. Carlah E( c. Carlah Var( d. Carlah persetl ke-p Sgt Nugroho 69 p
Peubah Acak. Buktka bahwa. Petujuk : guaka lagkahlagkah berkut a. Guaka substtus t dalam tegral t t e dt 0 b. Rubahlah kedalam koordat polar (kutub dalam tegral gada dua 0 0 4e y ddy 70 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Pedahulua Dalam peerapaya, aka bayak dtemu pegguaa lebh dar satu peubah, sebut saja,,, k. Secara matemats peubahpeubah acak sebaga kompoe dar vektor berdmes-k, dotaska dega = (,,, k, yag dapat megasumska la = (,,, k dalam ruag Eucld berdmes-k. Nla pegamata bsa saja merupaka hasl pegukura dar sebayak k cr (karakterstk dar tap dvdu, atau hasl pegukura satu cr sebayak k kal. Kasus terakhr bsa juga keluara tdaka yag dulag sebayak k kal dar suatu percobaa. Sebara Dskret Bersama Defs 3.. Fugs kepekata peluag bersama dar peubah acak dskret berdmes-k = (,,, k ddefska sebaga f (,,..., k P[,,..., k utuk semua kemugka la = (,,, k dar. k Dalam koteks, otas [ =, =,, k=k ] melambagka terseks atau potoga dar sebayak k perstwa [ = ] [ = ] [ k=k ]. Notas la utuk fugs kepekata peluag bersama mecakup subskrp yag meujukka peubah acak apa saja yag termasuk ddalamya, sepert berkut,,..., f, (,..., k k ] Telada 3.. Sebuah katog yag bers 00 kelereg yag terdr dar 40 kelereg wara merah, 40 kelereg wara bru, da 0 kelereg wara hjau. Jka sebayak 0 kelereg dambl secara acak sekalgus atau satu-satu tapa pegembala, maka yag
Sebara Bersama meyataka bayakya kelereg merah terplh, da yag meyataka bayakya kelereg bru terplh adalah peubah acak dskret bersama yag memlk fugs kepekata peluag bersama sepert berkut 40 40 C C C f (, 00 C0 utuk semua 0, 0 da + 0. 0 0 Sebara -Hypergeometrk Sar sejumlah terbatas (N tem, terdr dar (k+ tem yag berbeda, terdapat M tem, M tem, da seterusya.. Bla dplh secara acak sebayak cotoh dar N tem yag ada tapa pegembala, da msalka merupaka bayakya tem tpe yag dplh. Vektor = (,,, k memlk sebara -Hypergeometrk (Eteded Hypergeometrc da memlk fugs kepekata peluag bersama dalam betuk sepert berkut M M M k M k C C... C C k k f (,,..., k N C utuk semua 0 M, dmaa k k. M N da k M k Sebara Multomal Bla terdapat k+ perstwa yag salg lepas da meeggag (mutually eclusve ad ehaustve, sebut saja E, E,..., Ek, Ek+ yag dapat terjad pada sembarag tdaka dar suatu percobaa, da msalka p = P(E utuk =,,, k+. Pada tdaka yag 7 Sgt Nugroho
Sebara Bersama salg bebas dar suatu percobaa, merupaka bayakya perstwa E terjad. Vektor = (,,, k dkataka memlk sebara multomal dega fugs kepekata peluag! k f (,,..., k p p... pk!!...! k utuk semua 0, dmaa k p k p da k. Notas khusus utuk sebara multomal adalah ~ Multomal(,p,p,,pk Rasoalsas multomal adalah sebaga pegembaga dar Bomal. k Telada 3.. Sebuah dadu empat muka yag sembag dlempar sebayak 0 kal. Dega demka, p = p = p3 = p4 = 0,5. Peluag muculya (meghadap ke bawah 4 kal mata, 6 kal mata, 5 kal mata 3 (da tetu ssaya 5 kal mata 4 adalah 0! 0,5 0 0,0089 4!6!5!5! Sedagka kalau kta memlk peubah muculya mata, mata 3, da mata geap, yag bermplka bahwa p = p3 = 0,5 da pgeap = -p-p3 = 0,5. Peluag muculya 4 kal mata, 5 kal mata 3, da ssaya mata geap adalah! (0,5 4!5!! 0 9 (0,50 0,0394 Sgt Nugroho 73
Teorema 3.. Sebara Bersama Suatu fugs f(,,, k merupaka fugs kepekata peluag bersama utuk beberapa vektor la peubah acak = (,,, k jka da haya jka sfat-sfat berkut dpeuh. f(,,, k 0 utuk semua kemugka la (,,, k da f,,, k ( k Telada 3. 3. Dalam beberapa permasalaha dua dmes, aka lebh yama bla fugs kepekata peluag bersama dsajka dalam betuk tabel, khususya betuk sederhaa fugs tersebut tdak dketahu. Utuk Multomal(3; 0,4 ; 0,4 aka kta peroleh fugs kepekata peluag bersamaya sepert berkut Tabel 3.. Multomal(3; 0,4 ; 0,4 0 3 0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,6 0,048 0,9 0,9 0,000 0,43 0,096 0,9 0,000 0,000 0,88 3 0,064 0,000 0,000 0,000 0,064 0,6 0,43 0,88 0,064,000 Utuk Multomal(3; 0,3 ; 0,4 haslya aka mejad 74 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Tabel 3.. Multomal (3; 0,3 ; 0,4 0 3 0 0,07 0,08 0,44 0,064 0,343 0,08 0,6 0,44 0,000 0,44 0,08 0,08 0,000 0,000 0,89 3 0,07 0,000 0,000 0,000 0,07 0,6 0,43 0,88 0,064,000 Sedagka Multomal(3; 0,4 ; 0, aka dperoleh Tabel 3. 3. Multomal (3; 0,4 ; 0, 0 3 0 0,064 0,096 0,048 0,008 0,6 0,9 0,9 0,048 0,000 0,43 0,9 0,096 0,000 0,000 0,88 3 0,064 0,000 0,000 0,000 0,064 0,5 0,384 0,096 0,008,000 Dar ketga telada fugs kepekata Tromal tu, apa yag dapat ada smpulka? Defs 3.. Jka pasaga (, dar peubah acak dskret memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, maka fugs kepekata peluag marjal dar da adalah f ( f (, da f ( f (, Sgt Nugroho 75
Sebara Bersama Sgt Nugroho 76 Pada telada terakhr, agka pada baga bawah yag merupaka jumlah pada masg-masg kolom, meujukka fugs kepekata peluag marjal utuk. Sedagka agka d baga kolom palg kaa, merupaka jumlah pada masg-masg bars, yag merupaka fugs kepekata peluag marjal. Seadaya, (, ~ Multomal(,p,p, maka fugs kepekata peluag marjal dapat dturuka sepert berku ( f =, ( f = 0, ( f = 0 ( ]!![(! ] [(! p p p p = 0 ( ]!![( ] [(! (!!(! p p p p = 0 ( ] [(!!(! p p p C p = ] ( [ p p p p C = ( p p C Dega demka, kta dapat kataka bahwa ~ B(,p. Defs 3. 3. Fugs Sebara Kumulatf Bersama dar k peubah acak,,, k adalah fugs yag ddefska sebaga berkut ],,, [,,, ( k k k P F
Sebara Bersama Fugs meujukka peluag bahwa vektor peubah acak tersebut megambl suatu la dalam ruag berdmes-k, A. Sebagamaa dalam kasus ruag berdmes satu, perstwa la dapat dekspreska dega betuk perstwa sepert A, sehgga fugs sebara kumulatf secara legkap meggambarka model peluag. Sepert dalam kasus satu dmes, terdapat beberapa persyarata yag harus dpeuh sebaga suatu fugs sebara peluag. Fugs sebara kumulatf bersama harus memeuh sfatsfat yag tetuya aalog dega apa yag berlaku utuk kasus satu dmes. Utuk kasus bvarat atau peubah gada dua, aka dsajka dalam teorema berkut. Utuk peubah gada-k aka mrp haslya. Teorema 3.. Suatu fugs F(, merupaka fugs sebara kumulatf bvarat, jka da haya jka a. lm F(, F(, 0 utuk semua b. lm F(, F(, 0 c. lm F(, F(, utuk semua d. F ( b, d F( b, c F( a, d F( a, c 0 utuk semua a < b da c < d. e. lm F( h, lm F(, h F(, utuk h0 semua da. h0 Sfat ke-4 (d merupaka kods mootok vers dua dmes. Hal dperluka utuk mecegah adaya la egatf dar suatu peluag perstwa dalam betuk A = (a,b](c,d]. Secara khusus, P[ a b, c d] F( b, d F( b, c F( a, d F( a, c yag merupaka la dsebelah kr po d. Sgt Nugroho 77
Sebara Kotu Bersama Sebara Bersama Defs 3. 4. Suatu vektor peubah acak berdmes-k = (,,, k dkataka kotu jka terdapat suatu fugs f(,,, k, yag dsebut dega fugs kepekata peluag bersama dar, sedemka rupa sehgga fugs sebara kumulatf bersamaya dapat dtulska sepert berkut k F(,..., k f ( t,..., tk dt dt utuk semua = (,,, k. Sebagamaa dalam kasus satu dmes, fugs kepekata peluag bersama dapat dperoleh dar fugs sebara kumulatf bersama dega megguaka tekk dferesal (turua, sepert berkut : k f (,..., k F(,..., k k blamaa turua parsalya ada. Teorema 3. 3. Sembarag fugs f(,,, k merupaka fugs kepekata peluag bersama dar peubah acak berdmes-k jka da haya jka f (,..., 0 utuk semua,, k da k f (,..., k d d k Bayak aplkas yag dapat dmodelka dega peubah acak kotu bersama. k 78 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Telada 3. 4. Msalka merupaka kosetras suatu campura dalam tdaka pertama, da merupaka kosetras campura dalam tdaka kedua. Msalka fugs kepekata peluag bersama f(, = 4; 0<<, 0<<. Carlah fugs sebara kumulatf bersamaya! Utuk mejawab tu semua, sebakya harus dfaham terlebh dahulu daerah fugs dar fugs sebara kumulatf bersamaya. Sebaga telada, utuk 0<<, 0<< F (, = f ( t = 0 0 4t t, t dt dt dt dt = 0 ; 0 Utuk <, 0<< F (, = karea f(, = 4; 0<<, 0<< Dega cara yag sama, kta bsa peroleh la fugs sebara kumulatf bersama secara legkap sepert berkut: Sgt Nugroho 79
F(, 0 utuk utuk utuk utuk utuk 0 0 ; ; 0 ; Sebara Bersama ; 0 selaya Secara umum, utuk peubah acak = (,,, k da perstwa A berdmes-k kta peroleh bahwa P[ A] f (,..., d d Telada 3. 5. k A Dega megguaka permasalaha pada Telada 3.4. peluag utuk medapatka rata-rata kosetras kurag dar 0,5 dapat dcar sepert berkut. P [( / 0,5] = P[(, A] f (, d d = A = 4dd 0 0 = ( d 0 = 6 Fugs sebara kumulatf marjal dapat dperoleh dega cara sepert berkut F ( = P[ ] = P [, ] = F (, k 80 Sgt Nugroho
Sebara Bersama = = f f ( t dt, ( t, t dt dt Dega demka, utuk peubah acak kotu, fugs sebara kumulatf marjal bag adalah F(, da fugs kepekata peluag marjalya adalah d f ( = F ( d d d = = f ( t,, f ( d d Defs 3. 5. Jka pasaga peubah acak kotu (, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, maka fugs kepekata peluag marjal da masg-masg berturut-turut adalah f f ( f (, d ( f (, d Telada 3. 6. Mash dega kelajuta permasalaha pada Telada 3.4. maka fugs kepekata peluag marjal adalah Sgt Nugroho 8
f ( = 4d 0 4 d = 0 Sebara Bersama = utuk sembarag 0 < <, da ol selaya. Cara yag sama juga dguaka utuk medapatka fugs kepekata peluag marjal adalah f ( = 4d 0 4 d = 0 = utuk sembarag 0 < <, da ol selaya. Defs 3. 6. Jka = (,,, k merupaka suatu vektor peubah acak berdmes-k dega fugs sebara kumulatf F(,,,k, maka fugs sebara kumulatf marjal j adalah F lm F(,...,,..., adalah j ( j j k j Apabla dskret, fugs kepekata peluag marjalya f j ( j f (,..., j,..., k j da jka kotu, fugs kepekata peluag marjalya adalah f ( f (,...,,..., d d j j j k j k 8 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Telada 3. 7. Msalka,, da 3 merupaka peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag bersama f(,,3 = c; 0<<<3<; da ol selaya; karea total peluag harus sama dega, maka la c = 6. Bla kta tertark utuk medapatka fugs kepekata peluag marjal dar 3, aka kta dapatka dega cara sepert berkut 3 f 3 ( 3 = 0 0 3 6d d Sgt Nugroho 83 6 d = 0 = 3 3 utuk 0 < 3 <, da ol selaya. Sedagka utuk medapatka fugs kepekata peluag bersama (, dlakuka dega megtegralka fugs kepekata peluag f(,,3 terhadap 3 sepert berkut f, = f (,, 3 d3 ( = 6d = 6( utuk 0 < < <, da ol utuk selaya. 3 Formula yag lebh umum utuk medapatka fugs kepekata peluag bersama dar sembarag gugus peubah acak aka melbatka ekspres yag lebh rumt, da kta tak aka mecoba memberka formula tersebut. Namu demka, prosedur yag telah dgambarka datas, dega melbatka pegtegrala meurut peubah yag tak dkehedak, memberka suatu pedekata utuk peyelesaa masalah yag lebh umum.
Sebara Bersama Peubah Acak Idepede Msalka kta memlk peubah acak dskrt da yag fugs kepekata peluag bersamaya dapat dlhat pada Tabel 3. 4. Jelas terlhat bahwa f(,=0,=f(f(. Dega demka P[ = da = ] = P[ = ]P[ =], da aka kta kataka bahwa perstwa [ = ] da [ = ] adalah perstwa yag salg bebas, sebagamaa yag telah dsebutka dalam bab awal dalam buku. Namu demka, juga dapat dperksa dega cara yag sama f(,=0,f(f(, maka kta kataka bahwa perstwa [ = ] da [ = ] adalah buka perstwa yag salg bebas. Sehgga, secara umum kta dapat kataka bahwa da merupaka dua peubah yag salg tdak bebas. Jad, jka f(,=f(f( utuk semua kemugka (,, maka hal baru kta dapat kataka bahwa kedua peubah da salg bebas. Tabel 3. 4. Peluag bersama dua peubah acak da 0 f( 0 0, 0, 0, 0,4 0, 0, 0, 0,4 0, 0, 0,0 0, f( 0,3 0,5 0,,0 Hal yag sama, juga berlaku utuk peubah acak kotu, msalka f(, = f(f( utuk semua da. Sebaga akbatya, jka a < b da c < d, maka d b P[ a b, c d] = c a f (, dd 84 Sgt Nugroho
Sebara Bersama d b = c a f ( f ( dd b d f ( d a c P[ a b] P[ c d = ( d f = ] Perstwa A=[ab] da B=[cd] merupaka dua perstwa yag salg bebas, sebagamaa kosep dua perstwa yag salg bebas yag telah dbahas dalam bab awal buku. Kosep salg bebas atar perstwa dkembagka utuk peubah acak-peubah acak. Dua peubah acak da dkataka salg bebas, apabla semua betuk perstwa A da B salg bebas. Kosep berlaku utuk peubah acak bak dskrt maupu kotu. Defs 3. 7. Peubah acak,, k dkataka salg bebas jka utuk setap a<b P[ a k b,..., ak k bk ] P[ a b ] Ekspres ss sebelah kaa merupaka hasl kal peluag-peluag marjalya P[ab], P[ab],, P[akkbk]. Termolog bebas stokastk juga serg dguaka dalam hal. Jad, jka kods datas tdak berlaku utuk semua a<b, maka peubah acakpeubah acak tersebut dkataka terkat atau salg tdak bebas. Teorema 3. 4. Peubah acak,,k salg bebas jka da haya jka salah satu dar yag berkut dpeuh F,..., F ( F ( ( k k k Sgt Nugroho 85
Sebara Bersama f (,..., k f( f k ( k dmaa F( da f( berturut-turut adalah fugs sebara kumulatf da fugs kepekata peluag peubah acak. Teorema 3. 5. Peubah acak da dega fugs kepekata peluag bersama f(, salg bebas jka da haya jka. gugus pedukug {(, f(,>0}, merupaka hasl kal Cartesa, A B, da. fugs kepekata peluag bersamaya dapat dfaktorka mejad haslkal fugs da, f(,=g(h(. Telada 3. 8. Fugs kepekata peluag bersama da adalah f (, 8 0 da ol selaya. Jelas bahwa fugs dapat dfaktorka sesua po Teorema 3. 5., amu gugus pedukugya {(, 0 < < < } merupaka segtga yag tak dapat drepresetaska sebaga hasl kal Cartesa. Dega demka da dkataka salg terkat. Telada 3. 9. Sepasag peubah acak da dega fugs kepekata peluag bersama f (, 0, 0 da ol selaya. Meskpu gugus pedukug merupaka hasl kal Cartesa, amu fugs kepekata peluag bersamaya tdak dapat dfaktorka sebagamaa dsyaratka oleh po Teorema 3. 5. sehgga da salg terkat. 86 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Sebara Bersyarat Kebebasa atau depedes juga berhubuga dega kosep peluag bersyarat, yag juga dsaraka bahwa defs peluag bersyarat suatu perstwa dapat dperluas utuk kosep peubah acak bersyarat. Dalam telada terdahulu, formula umum utuk meyataka peluag bersyarat adalah sepert berkut: P[, T t] f, T (, t P[ T t ] P[ ] f ( Defs 3. 8. Jka da merupaka peubah acak dskrt atau kotu dega fugs kepekata peluag bersama f(,, maka fugs kepekata peluag bersyarat dar blamaa = ddefska sebaga f (, f ( f( utuk la-la sedemka rupa sehgga f( > 0, da ol selaya. Demka pula fugs kepekata peluag bersyarat blamaa = adalah f (, f ( f ( utuk la-la sedemka rupa sehgga f( > 0, da ol selaya. Sebagamaa telah dberka dalam telada terdahulu, utuk peubah acak dskrt, suatu fugs kepekata peluag bersyarat sebearya adalah suatu peluag bersyarat. Msalya, da adalah dskrt, f( merupaka peluag bersyarat [=] blamaa [=]. Utuk peubah acak kotu, terpretas fugs kepekata peluag bersyarat tdak begtu saja, karea P[=] = 0. Sgt Nugroho 87
Sebara Bersama Meskpu f( tak dapat dterpretaska sebaga peluag bersyarat, amu dapat dpadag sebaga kepekata peluag bersyarat utuk sembarag terval yag cukup kecl [,+], yag kra-kra sama dega fugs kepekata peluag marjal f( memberka kepekata peluag marjal. Dega demka, utuk peubah acak kotu, peluag bersyarat suatu perstwa [ab] blamaa = adalah P[ a b ] = = b a b a f ( d f (, f (, d d Nla peyebut datas merupaka total luas dmaa fugs kepekata peluag bersama pada la =, da pemblagya merupaka luasa dmaa a b. Hal dapat dpadag sebaga peluag suatu perstwa [a b] pada suatu bdag atau potoga tps pada = dar suatu ruag cotoh bersama dar pasaga peubah acak (,. Utuk melhat keabsaha persyarata suatu fugs kepekata peluag, f( harus memeuh persyarata dmaksud dalam la peubah utuk la yag tetap. Fakta bahwa f( 0 dperoleh lagsug sepert yag dyataka pada Defs 3. 8., da juga f ( d = f ( f( = f ( f (, d 88 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Kosep sebara bersyarat dapat dperluas utuk vektor peubah acak. Msalka = (,,r,,k memlk fugs kepekata peluag bersama f( da = (,,r memlk fugs kepekata peluag bersama f(. Jka = (r+,,k, maka fugs kepekata peluag bersyarat dar blamaa = adalah f( =f(/f( utuk semua yag memeuh f( > 0. Telada 3. 0. Perhatka peubah acak sebagamaa dmaksud pada Telada 3. 7. Fugs kepekata peluag bersyarat 3 blamaa (, = (, adalah f (,, 3 f ( 3, = f (, 6 = 6( = 0 3 da ol selaya. Teorema 3. 6. Jka da merupaka peubah acak dega fugs kepekata peluag bersama f(, da fugs kepekata peluag marjalya f( da f(, maka f (, f( f ( f ( f ( da jka da salg bebas, maka f f ( da f f ( ( ( Notas la serg dguaka utuk meyataka fugs kepekata peluag bersyarat. Msalya, jka da Y merupaka peubah acak yag meyebar bersama, maka peluag bersyarat bag Y blamaa = serg dtulska dega otas fy (y atau baragkal cukup dega fy (y. Dalam bayak aplkas, tak aka Sgt Nugroho 89
Sebara Bersama terjad kebguga jka kta hlagka pegguaa subskrp da cukup dega megguaka f(y. Kadag juga utuk meyataka peubah acak bersyarat cukup dguaka Y atau Y =. Telada 3.., 0 y 0 Msalka f (, y 0, selaya Maka aka kta peroleh fugs kepekata marjal utuk da Y sepert berkut / f ( dy 0 da ol utuk laya. 0 f ( y d ( y 0 y da ol utuk y y selaya. Fugs kepekata peluag bersyarat Y blamaa = adalah f ( y 0 y da ol utuk y / selaya. I berart bahwa dega kods pada la =, Y~Seragam(0,/. Msalka juga kta g meghtug P[0,Y0,7 =0,5]. Maka dega mudah kta dapat meghtugya sepert berkut m( 0,7; P[0,Y0,7 =0,5] = f ( y 0,5 dy 0, = 0,5 0, 4dy = 0,6 90 Sgt Nugroho
Sebara Bersama Telada 3.. Apabla kta guaka fugs kepekata peluag bersama sepert pada Telada 3. 9. f (, y y 0, 0 y Dalam hal, utuk sembarag la datara 0 da, f ( y f (, y y f( 0,5 0 y Sebaga telada 0,5 0,5 y P [ 0 Y 0,5 0,5] = dy 0,5 0,5 0 3 Latha. Lma kartu dambl secara acak tapa pegembala dar setumpuk kartu Brdge stadar. Msalka merupaka peubah acak bayakya kartu As (A terambl, Y peubah acak bayakya kartu Kg (K terambl, da Z peubah acak bayakya kartu Quee (Q terambl. Tetuka peluag dar hal-hal berkut: a. A=[=] b. B=[Y=] c. AB d. AB e. A B f. [=] g. [<] h. []. [=,Y=,Z=] j. Tulska ekspres fkp bersama, Y, da Z. Sgt Nugroho 9
Sebara Bersama. Msalka da peubah acak dskrt dega fugs kepekata peluag bersama sepert pada tabel berkut: 3 / /6 0 0 /9 /5 3 /8 /4 /5 a. Tetuka fugs kepekata peluag marjal dar peubah acak da b. Apakah peubah acak da salg bebas? c. Dapatka P[ ] d. Dapatka P[ ] e. E( f. Tabelka fugs kepekata peluag bersyarat f( da f( 3. Msalka peubah acak da Y memlk fugs kepekata peluag f(,y=8y utuk 0 y da 0 utuk selaya. Carlah: a. Fugs sebara peluag bersama F(,y b. f(y c. P[ 0,5 Y=0,75] d. P[ 0,5 Y 0,75] 4. Asumska bahwa da Y peubah acak yag salg bebas, dmaa memlk dstrbus seragam kotu (-, da Y memlk dstrbus seragam kotu (0,. Dapatka peluag bahwa akar persamaa h(t=0 adalah blaga yata, dmaa h( t t t Y 5. Bla dketahu fugs kepekata peluag bersama f(,y=+y utuk 0<< da 0<y< da ol selaya. Tetuka a. f( b. F(,y 9 Sgt Nugroho
Sebara Bersama c. f(y d. F(y Sgt Nugroho 93
Sebara Fugs Peubah Acak Pedahulua Dalam bab-bab sebelumya telah kta pelajar apa yag dmaksud dega peubah acak, termasuk fugs kepekata peluag da fugs sebara kumulatfya. Secara umum, peubah acak yag dotaska dega huruf kaptal, msalya aka memlk fugs kepekata peluag f( da fugs sebara kumulatf F(. Dalam aplkasya, kadag kta serg megguaka peubah acak yag la dar pada apa yag kta amat. Peubah acak baru tersebut dapat merupaka suatu fugs dar peubah acak yag kta mlk atau bahka merupaka fugs dar beberapa peubah acak serupa. Jka adalah peubah acak yag meyataka umur lampu pertama dalam har da adalah peubah acak yag meyataka umur lampu kedua dalam har, maka pertayaa berapakah peluag lampu pertama aka hdup empat belas hgga duapuluh satu har aka setara dega peluag lampu pertama aka hdup dua hgga tga mggu. Jka Y adalah peubah acak yag meyataka umur lampu pertama dalam mggu, maka kta dapat tulska P(4<< = P(<Y<3, karea Y = 7. D la permasalaha, msalka Z adalah total umur kedua lampu, atau Z = +. Kta mugk g megetahu dstrbus dar Z. Terdapat beberapa tekk utuk mecar dstrbus dar fugs peubah acak yag kta aka pelajar. Tekk Fugs Sebara Kumulatf Msalka suatu peubah acak yag memlk fugs sebara kumulatf F( da ada suatu fugs Y=u(. Tekk Fugs Sebara Kumulatf bekerja dega megekspreska fugs sebara kumulatf Y dalam betuk fugs sebara kumulatf. Utuk setap blaga yata y, kta defska suatu gugus Ay={ u( y}.
Sebara Fugs Peubah Acak Sebaga akbatya [Y y] da [ Ay ] merupaka dua kejada yag ekuvale, da dega demka F Y ( y P[ u( y] yag juga dapat dekspreska sebaga P[ Ay ], yag laya sama dega P [ A ] f ( d jka kotu atau jka dskrt. y A y P [ A ] P[ ] y A y Telada 4.. Msalka F( = -e -, utuk 0<< da msalka juga Y=e. Dega demka F(y = P[Y y] = P[e y] = P[ l y] = F(l y = y - utuk <y< da fugs kepekata peluagya d 3 fy(y = FY ( y y, y dy Telada 4.. Utuk peubah acak kotu, da Y=. Maka aka kta dapatka FY(y = P[Y y] = P[ y] = P[ y y] 96 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak da = F ( y F ( y d fy(y = [ F ( y F ( y dy d d = f ( y ( y f ( y ( y dy dy = [ f ( y f ( y] utuk y > 0. y Telada 4. 3. Bla dketahu bahwa peubah acak memlk sebara Seragam [0, ]. Jka Y = ta. Maka fugs sebara kumulatf Y dapat dcar sbb: FY(y = P[Y y] = P[ta y] = P[0 ta ( y] P[ ta ( y] ta ( y ta ( y = ta ( y = da fy(y d = FY ( y, dy y y yag juga dkeal dega dstrbus atau sebara Cauchy(,0. Tekk Fugs Sebara Kumulatf dapat juga dperluas utuk fugs dar beberapa peubah acak. Sgt Nugroho 97
Teorema 4.. Sebara Fugs Peubah Acak Msalka = (,,..., k adalah vektor peubah acak kotu berdmes-k, dega fugs kepekata peluag bersama f(,,..., k. Jka Y = u(,,..., k = u( adalah suatu fugs dar, maka F y P[ u( y]... f (,,..., d... d Y ( k dtegralka utuk { u( y} A y k Telada 4. 4. Kta g mecar sebara dar jumlah dua peubah acak yag salg bebas, Y = + dmaa memlk dstrbus Ekspoesal(. Perlu dcar terlebh dahulu daerah pegtegrala, yatu A y {(, 0 y ;0 y}. Oleh kareaya da FY(y y y = 0 y 0 e = ( e 0 = = ( d d ( y 0 y y ( e e d 0 y y ( e e 0 d y y = e ye utuk y > 0 d fy(y = FY (y dy = y ye utuk y > 0 98 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Tekk Trasformas Pada sub bab aka dbahas sebara fugs peubah acak dega megguaka tekk trasformas. Pertama aka dawal dega peubah acak dskrt. Msalka adalah peubah acak dskrt dega fugs kepekata peluag f( da Y = u( adalah fugs satu-satu. Maka, fugs kepekata peluag Y adalah fy(y = f(w(y utuk y { y fy ( y 0}. Telada 4. 5. Msalka memlk sebara Geometrk (p, sehgga f(= pq - utuk =,,3,... Jka Y = -, maka u(=-, w(y=y+ da fy(y = f(y+ = pq y utuk y = 0,,,... Teorema 4.. Msalka adalah peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag f(. Jka A= {; f(>0}. Asumska bahwa : ( y = g( medefska suatu trasformas - dar A ke B= {y; fy(y>0}. ( Turua dar =g - (y terhadap y kotu da tdak ol utuk y Y, dmaa g - (y adalah fugs kebalka dar g(; yatu, g - (y adalah la yag membuat g(=y. Maka Y = g( adalah peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag d fy ( y g ( y f ( g ( y IY ( y dy Telada 4. 6. Msalka memlk sebara Beta. Jka Y = -l, apakah sebara peubah acak Y? A= {;f(>0}={;0<<}. Fugs y = g( = -l medefska trasformas fugs - dar A ke B={y;y>0}. Dega Sgt Nugroho 99
Sebara Fugs Peubah Acak demka = g - (y = e -y da (d/dyg - (y = -e -y yag kotu da tdak ol utuk. Dega megguaka teorema datas, d fy(y = g ( y f ( g ( y I ( y dy y y a y b = e ( e ( e I (0, ( y B( a, b ay y b = e ( e I (0, ( y B( a, b Telada 4. 7. Msalka memlk fugs kepekata peluag Pareto atau I ( da g dcar sebara dar Y = l. f ( [, Dega megguaka teorema datas, d fy(y = g ( y f ( g ( y I ( y dy y y y = e e I ( e ( [, = e y I [ ( y 0, Telada 4. 8. Msalka F( = -e -, utuk 0<< da msalka juga Y=e. Dega demka = w(y = l y, da w (y = /y, sehgga d fy(y = g ( y f ( g ( y I ( y dy = f (l y I ( ( y, y l y = e I (, ( y y 3 = y I ( y (, 00 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Jka trasformas buka merupaka fugs -, teorema datas tdak bsa lagsug dpaka. Cara meyasatya adalah dega jala melakuka parts daerah peyagga (daerah fugs kepekata peluag mejad beberapa gugus salg meeggag atau salg lepas sedemka rupa sehgga pada masg-masg parts trasformas sudah merupaka fugs - sehgga teorema datas dapat dguaka kembal. Jka g ( y melambagka kebalka dar y g( utuk. Maka fugs kepekata peluag dar Y=g( adalah d f Y ( y g ( y f ( g ( y I ( y dy dmaa pejumlaha utuk seluruh la dmaa g( = y utuk beberapa la d dalam. Telada 4. 9. Msalka adalah peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag f( da msalka juga Y = g( =. Sebaga catata jka mecakup terval atau ttk-ttk egatf da postf, maka fugs y = g( = buka merupaka fugs -. Namu demka, jka dpsahka mejad { ;, 0} da { ;, 0}, maka y = g( medefska fugs - pada tap. Sebaga msal g ( y y da g ( y y Maka fugs kepekata peluag dar Y=g( adalah d f Y ( y g ( y f ( g ( y I ( y dy = f ( y f ( y I ( 0, ( y y y. Sgt Nugroho 0
Sebaga cotoh khusus, apabla f y y Y ( e 0, y I ( ( y f Sebara Fugs Peubah Acak ( e, maka Atau jka f ( ( I (, (, maka 9 f Y ( y ( y ( y I ( 0, ( y y 9 y 9 ( y I [,4 ( y y 9 Teorema 4. 3. Probablty Itegral Trasformato Jka adalah peubah acak dega fugs sebara kumulatf F(, maka U = F( memlk dstrbus Seragam (0,. Sebaga kebalkaya, jka U memlk dstrbus Seragam (0,, maka F ( U memlk fugs sebara kumulatf F(. P[U u] = P[F( u] = P[ F ( u] F ( F ( u u utuk 0 < u <. Sebalkya P[ ] = P[ F ( U ] P[ U F ( ] F ( Teorema datas serg dsebut dega Trasformas Peluag Itegral atau Trasformas Peluag Meyeluruh (Probablty Itegral Trasform. 0 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Trasformas Bersama Perhatka peubah acak da Y yag salg bebas da meyebar masg-masg meurut sebara Geometrk (p. Fugs kepekata peluag dar da T = +Y dapat dtulska dalam betuk f, t f (, t, T (, Y dmaa da t- adalah jawaba dar trasformas bersama =u(,y da t=u(,y=+y. Hal dapat secara umum djelaska sepert berkut. Msalka =(,,...,k merupaka vektor peubah acak berdmes-k, da msalka u(, u(,..., uk( adalah fugs sebayak k dar, sehgga Y=u( utuk =,,...,k medefska vektor peubah acak Y=(Y,Y,...,Yk. Secara rgkas dapat dtulska Y=u(. Teorema 4. 4. Jka adalah vektor peubah acak dskret dega fugs kepekata peluag bersama f( da Y=u( medefska trasformas -, maka fugs kepekata peluag bersama Y adalah f y, y,..., y f (,,..., Y ( k k dmaa,,..., k adalah jawaba dar y = u( da sebaga kosekuesya tergatug pada y, y,..., yk. Jka trasformas tdak -, da jka dapat dlakuka parts, sehgga memugkka trasformas - pada tap parts, msalka parts tersebut adalah A, A,... sehgga persamaa y = u( memlk jawaba yag khas = j = (j, j,..., kj pada Aj, maka fugs kepekata peluag bersama Y adalah f y, y,..., y f (,,..., Y ( k j j kj j Utuk trasformas k peubah acak y = u( dega jawaba yag khas = j = (j, j,..., kj, Jacoba dar trasformas tersebut Sgt Nugroho 03
Sebara Fugs Peubah Acak adalah matrks berukura k k yag berla turua parsal sepert berkut... y y yk... J y y yk............ k k k... y y y k Teorema 4. 5. Msalka =(,,...,k merupaka vektor peubah acak berdmes-k dega fugs kepekata peluag bersama f(,,..., k > 0 pada A, da Y=(Y,Y,...,Yk ddefska dega trasformas - Y=u( utuk =,,...,k. Jka Jacoba kotu da tdak ol pada wlayah trasformas, maka fugs kepekata peluag bersama Y adalah f y, y,..., y f (,,..., J Y ( k k dmaa = (,,..., k adalah jawaba dar y = u(. Telada 4. 0. Msalka da meyebar salg bebas meurut sebara Ekspoesal (, maka ( f, e I ( I ( (, (0, (0, Msalka Y = da Y = +. Dega demka y = da y = + yag memlk jawaba uk = y da = y y, sehgga meghaslka Jacoba 04 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Sgt Nugroho 05 0 y y y y J sehgga kta peroleh ( ( ( (, (, (, ( (0,, ( (0,,, y I y I e y I y I y y y f y y f y y y y y Y Y Fugs kepekata peluag marjal Y da Y dapat dcar sepert berkut ( ( (0, y I e dy e y f y y y Y da ( ( (0, 0 y I e y dy e y f y y y Y Telada 4.. Msalka da meyebar salg bebas meurut sebara Ekspoesal (, maka ( (, ( (0, (0, (, I I e f Msalka Y = - da Y = +. Dega demka y = - da y = + yag memlk jawaba uk = (y + y/ da = (y y/, sehgga meghaslka Jacoba y y y y J sehgga kta peroleh ( ( / (, / ((, (, (0, (,, y I y I J y y y y f y y f y y Y Y ( (, (0, ( y I y I e y y y
Sebara Fugs Peubah Acak Fugs kepekata peluag marjal Y da Y dapat dcar sepert berkut y y fy ( y e dy e I (,0 ( y atau bla dgabug da Formula Kovolus f f f Y y y y ( y e dy e I (0, ( y y y Y y ( y e I (, ( y y y ( y e dy ye I (0, ( Y y y Jka kta haya tertark fugs kepekata peluag S, dmaa da merupaka peubah acak peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag bersama f(,, maka formula umum dapat dturuka dega megguaka pedekata sepert f S ( s f ( t, s t dt Jka da peubah acak yag salg bebas, maka basaya megguaka formula kovolus. ( s f ( t f f S ( s t dt Dperluka latha yag cermat, khususya dalam peetua batasbatas pegtegrala. 06 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Telada 4.. Msalka da merupaka peubah acak yag salg bebas dar sebara seragam, ~ Seragam(0,, da msalka S. Carlah fugs kepekata peluag dar S! Utuk tu perlu kta msalka t = da s = +. Bla A = {(, 0 < <, 0 < < } merupaka daerah dmaa fugs kepekata peluag bersama da lebh besar dar ol. Melalu trasformas tersebut, maka daerah fugs kepekata peluag bersama atara S da T adalah {(s,t 0 < t < s < t+ < } Sehgga, s f S (s = dt = s 0 < s < 0 = dt = s s < s = 0 s selaya atau haslya dapat dsgkat sepert berkut f S (s = s 0 < s < = 0 s selaya. Sebara Statstk Tataa Kosep cotoh acak berukura telah kta bahas sebelum baga, da fugs kepekata bersama yag berhubuga dega peubah acak yag salg bebas,,..., adalah f (,,..., f ( f (... f ( Sebaga telada msalya, suatu cotoh acak lma bola lampu yag dukur umurya, dperoleh data sepert berkut [dalam bula] (,, 3, 4, 5 = (4,, 7, 5, 9. Nla pegamata sebetulya adalah = 4, 4 = 5, =, 3 = 7, da 5 = 9. Sgt Nugroho 07
Sebara Fugs Peubah Acak Kadag, cara peulsa data dar yag terkecl hgga terbesar sagat bergua dalam suatu hal. Kta dapat tulska ( = 5, ( = 5, (3 =, (4 = 7, da (5 = 9. Seseorag bsa saja tak begtu pedul bola lampu maa yag aka dber label omor, label omor, da seterusya. Kareaya, kta bsa meulskaya sesua uruta tapa melhat omor label. Dalam beberapa kasus, kta dapat meghetka hgga pegamata tertata ke r dar sebayak pegamata. Pegheta percobaa hgga lampu mat ke r dar sebayak yag damat serg dkeal dega Pearka Cotoh Tersesor Tpe II. (Type II Cesored Samplg. Sebara bersama peubah tertata tdak sama dega sebara bersama dar peubah acak tak tertata. Dar telada datas, terdapat 0 = 5! permutas cotoh acak berukura 5 yag haya aka berkorespodes haya dega satu la tataa. Suatu trasformas yag aka megurutka la la,,...,. Sebaga teladaya: y u,,..., m(,,..., y ( u (,,..., ma(,,..., y u (,,..., Da secara umum, utuk =,,...,. meggambarka la terkecl- dar,,...,. Teorema 4. 6. Jka,,, adalah cotoh acak dar suatu populas dega fugs kepekata peluag kotu f(, maka fugs kepekata peluag bersama dar statstk tataa Y, Y,, Y adalah g( y, y,..., y! f ( y f ( y f ( y dmaa y < y < < y, da ol utuk selaya. I merupaka telada dar suatu trasformas peubah acak kotu yag tdak bersfat. 08 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Telada 4. 3. Msalka,, da 3 merupaka suatu cotoh acak berukuta 3 dar suatu populas dega fugs kepekata peluag f ( 0 Dega demka fugs kepekata peluag bersama statstk tataa Y, Y da Y3 adalah g ( y, y, y3 3!( y(y (y3 48y y y3 0 y y y3 da ol selaya. Fugs kepekata peluag peubah acak margal juga bsa dperoleh dega megtegralka seluruh peubah laya. Msalka utuk peubah acak statstk terkecl atau statstk mmum memlk fugs kepekata peluag yag dapat dcar ( Y sepert berkut: g ( y = 48y y y3dy3dy y y = (4y y y y 3 y = 4y y ( y y y 3 dy dy = 4y ( y y dy = (4y y 4y y = = y 4 ( y y 6y y y 3 dy 3 5 6y y 6y 6y ( y 0 y = Sgt Nugroho 09
Sebara Fugs Peubah Acak Utuk melhat peluag la terkecl berada pada ksara la tertetu, dapat dguaka fugs kepekata peluag datas. Sebaga msal, utuk megetahu seberapa besar peluag statstk terkecl tu laya kurag dar 0, dperoleh dega cara sepert berkut: 0, P [ Y 0,] 6y( y dy 0, 7 0 Teorema 4. 7. Msalka,,, melambagka suatu cotoh acak berukura dar suatu fugs kepekata peluag kotu f(, dmaa f(>0 utuk a < < b. Oleh kareaya, fugs kepekata peluag statstk tataa ke k yag dotaska dega (k = Yk adalah! k k g k ( yk F( yk F( yk f ( yk ( k!( k! Jka a < yk < b, da ol selaya. Utuk tu, dega mudah kta bsa memperoleh kasus khusus apabla k = atau k =. g ( y F( y f ( y a y b F ( y f ( y a y b g ( y Bak utuk peubah acak kotu ataupu dskrt, fugs sebara kumulatf statstk mmum da maksmum dapat dcar lagsug dega megguaka tekk fugs sebara. G ( y = PY y = PY y = Psemua y = F ( y Utuk statstk maksmumya, 0 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak G ( y = PY y P semua y = = F ( y Argume yag sama dmugkka utuk megekspreska fugs sebara kumulatf dar statstk tataa ke-k. Dalam hal Yk yk jka terdapat k atau lebh berla tdak lebh dar yk, dmaa bayakya yag tdak melebh yk megkut sebara bomal dega parameter da p = F(yk. Teorema 4. 8. Utuk suatu peubah acak berukura dar fugs sebara kumulatf dskrt atau kotu, F(, fugs sebara kumulatf marjal dar statstk tataa ke-k adalah k k jk j j F ( y F( y G ( y C k k j Argume yag sama dega mudah dapat dguaka utuk memperoleh fugs kepekata peluag bersama dar gugus statstk tataa. Statstk tataa (=Y da (j=yj memlk fugs kepekata peluag bersama! g (, ( j y y j F y f ( y (!( j!( j! j j F( y j F( y F( y j f ( y j jka a < y < yj < b, da ol selaya. Telada 4. 4. Suatu cotoh acak berukura dega fugs kepekata da fugs sebara peluag berturut-turut f ( da F( utuk 0 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak < <. Fugs kepekata peluag rage atau jagkaua cotoh R Y g Y adalah! ( y, y (y y y (y 0 y y (! Dega trasformas R=Y-Y da S=Y aka meghaslka vers trasformas y=s da y = r+s, da J =. Dega demka, fugs kepekata peluag bersama atara R da S adalah! h ( r, s = (s ( r s s (( r s (!! s( r s r rs s s (! 4! = s( r s r rs (! utuk 0 s r,0 r Fugs kepekata peluag dar Rage ( R adalah 4 = Apabla = aka kta dapatka r r h ( r h( r, s ds 0 h ( r 8s( r s ds (4 / 3( r ( r 0 r 0 Ekspres fugs sebara margal dar R dapat dperoleh sebaga berkut r r H ( r = g ( s, r s dsdr = f ( s F ( r s F( s (!! f ( r s drds Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak = f ( s F ( r s F( s ds Telada 4. 5. Dalam telada sebelumya, dmaa F(s+r = jka s > -r, aka ddapatka r H ( = ( s ( r s s ds (s s ds r Utuk = 0 r r H ( r = 4 s( r rs ds 4s( s 0 r ds 4 8r r = r 3 3 yag teryata kosste dega fugs kepekata peluagya h(r. Pearka Cotoh Tersesor Dalam percobaa peguja umur suatu kompoe elektrok msalya, pegamata tertata dapat terjad secara alam. Bla hal terjad, cara utuk meghemat waktu da baya percobaa adalah haya dega megamat sebayak r kompoe pertama yag gagal berfugs darpada harus megamat keseluruha kompoe. Hal sepert serg dsebut dega pearka cotoh tersesor tpe II. Sgt Nugroho 3
Teorema 4. 9. Sebara Fugs Peubah Acak Fugs kepekata peluag marjal bersama dar r statstk tataa pertama yag dperoleh dar cotoh acak berukura dar suatu populas dega fugs kepekata peluag kotu f( adalah r! r g( y,..., yr F( yr f ( y ( r! jka y... yr da ol selaya. Dalam pearka cotoh tersesor tpe II, r merupaka la yag tetap atau sudah dtetuka, sedagka peubah acakya adalah lamaya percobaa Yr. Jka pegheta percobaa atau pesesora dlakuka pada waktu t0 setelah percobaa dmula, maka prosedur dkeal dega pearka cotoh tersesor tpe I. Dega demka bayakya pegamata (R merupaka peubah acak. Jka peluag sebuah kompoe aka gagal berfugs sebelum waktu peyesora utuk sembarag tdaka adalah p = F(t0, maka utuk cotoh acak berukura peubah acak R berdstrbus bomal dega parameter da F(t0. Teorema 4. 0. Jka Y,, Yr merupaka la amata suatu cotoh acak berukura dar f( yag tersesor dega tpe I dsebelah kaa pada t0, maka fugs kepekata peluag bersama Y,..., YR adalah R! R fy (,..., ( (,..., Y y y R R F t f y (! 0 R jka y <... < yr < t0 da R =,,..., serta P[ R 0] [ F( t ] 0 4 Sgt Nugroho
Sebara Fugs Peubah Acak Latha. Msalka da Y peubah acak kotu yag salg bebas detk dega dstrbus Seragam (0,. Tetuka dstrbus dar a. +Y b. -Y c. Y d. /Y e.. Jar-jar sebuah lgkara R memlk fugs kepekata peluag f ( r 6r( r utuk 0<r<. a. Carlah fugs kepekata peluag dar kellg lgkara. b. Carlah fugs kepekata peluag dar luas lgkara. 3. Msalka da adalah cotoh acak berukura dar dstrbus Gamma(θ=, κ=/, tetuka a. Fugs kepekata peluag dar Y b. Fugs kepekata peluag dar 4. Msalka adalah peubah acak kotu yag meyebar Seragam (0,. Dega megguaka tekk fugs sebara kumulatf, tetuka fugs kepekata peluag peubah acak berkut berkut a. Z l b. U ( c. V e 5. Suatu cotoh acak berukura yag dambl dar dstrbus Geometrk dega parameter p. Tetuka fugs sebara kumulatf dar a. Y( m(,,..., b. terkecl ke k Y( k Sgt Nugroho 5
c. Y( ma(,,..., Sebara Fugs Peubah Acak 6. Msalka da adalah peubah acak kotu yag salg bebas da detk meyebar Seragam (0,. Bla Y=m(, da Z=ma(,, Tetuka a. F(y,z b. f(y,z c. f(y d. E(Z Y e. E(s(YZ Y=y 6 Sgt Nugroho
Pedahulua Sfat-sfat Peubah Acak Cara megekspreska model matemats dar suatu feomea fsk yag bersfat probablstk adalah dega megguaka peubah acak da sebara dstrbusya. Sebagamaa telah kta ketahu bahwa peubah acak mugk dapat berasosas dega beberapa karakterstk umerk dar populas sesugguhya ataupu koseptual, da fugs kepekata peluagya merepresetaska sebara populas utuk semua kemugka la karakterstk tersebut. Sagat serg kta jumpa bahwa fugs kepakata sesugguhya dar suatu karakterstk populas tdak dketahu. Satu cara pedekata model dalam hal adalah dega mempertmbagka suatu faml fugs kepekata peluag yag ddeks dega parameter yag tak dketahu. Peekaa utama dalam statstka adalah megembagka atau memperoleh la estmas dar parameter yag tak dketahu berdasarka data cotoh (sampel. Dalam beberapa hal, suatu parameter dapat merepresetaska suatu kuattas fsk yag bermaka, sepert rata-rata atau mea populas. Dega demka, aka sagat bermafaat apabla perlu dpelajar berbaga sfat yag dmlk atau propert dar berbaga peubah acak utuk merepresetaska da megterpretaska populas awal, da juga bergua dalam estmas (pedugaa atau pemlha model yag sesua. Sfat-sfat Nla Harapa Pada sub bab aka dsajka beberapa sfat la harapa (la ekspektas.
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5.. Jka = (,..., k memlk fugs kepekata peluag bersama f(,..., k, da jka Y = u(,..., k merupaka fugs dar, maka E(Y=E[u(,...,k], dmaa E u(,...,... u(,..., f (,..., k k k k jka dskrt, da E u(,...,... u(,..., f (,..., d... d k k k k jka kotu. Telada 5.. Msalka peubah acak dskrt dega fugs kepekata peluag sepert berkut: - 0 3 f( /8 /8 /4 ½ Da msalka Y =. Salah satu cara peyelesaaya adalah dega mecar la-la Y da fugs kepekata peluag dar Y, yatu: y 0 4 9 fy(y /8 3/8 ½ Nla harapa dar Y dcar dega E( Y yf ( y (0(/ 8 (4(3/ 8 (9(/ 6 y Y Yag juga dapat dcar dega E( ( (/ 8 (0 (/ 8 ( (/ 4 (3 (/ 6 Telada 5.. Dalam suatu permaa lempar dadu, tga buah dadu bermuka 6 sembag dlemparka sekalgus. Seorag pema aka membayar 8 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Rp. 000 per permaa, da aka memperoleh Rp. 000 utuk setap mata 6 yag keluar. Dega demka, seorag pema aka memlk fugs kemugka peroleha Rp. 000, Rp 000, Rp 3000 atau Rp. 000. sesua dega keluar bayakya mata 6 dar ketga dadu yag dlempar sekalgus tersebut, yatu,, 3, atau 0. dega demka Y=u(, dmaa 0 3 u( -000 000 000 3000 Peubah acak yag merupaka bayakya mata dadu 6 keluar, memlk dstrbus Bomal dega parameter = 3 da p = /6. Dega demka, E( Y = E [ u( ] 3 3 3 5 = u( C 0 6 6 = 5 75 5 000 000 000 3000 6 6 6 56 7000 = 80 6 I berart bahwa la harapa kemeagaya berla egatf, yag memberka terpretas bahwa jka seorag pema berma pada kods yag sama da berulag-ulag, maka dalam jagka pajag pema tersebut secara rata-rata aka megalam kekalaha sebesar Rp 80 utuk setap Rp 000 yag dbelajakaya. I merupaka salah satu cara utuk melhat apakah suatu permaa tu adl atau tdak, tetap sayagya, tdak setap permaa dapat daalss adl atau tdakya dega cara. Permaa dapat dkataka adl jka E(Y = 0. Terlhat jelas bahwa la harapa memlk sfat ler sehubuga dega pegguaa otas tegral da pejumlaha. Sgt Nugroho 9
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5.. Jka merupaka peubah acak da a serta b merupaka kostata, maka E( a b ae( b Bukt Adaka kotu. Dega demka E( a b = ( a b f ( d = a f ( d b f ( d = ae( b Utuk kasus dskrt, caraya sama dega kasus kotu. Teorema 5. 3. Jka da merupaka peubah acak dega fugs kepekata peluag bersama f(,, maka E ( E ( E (, Bukt Utuk peubah acak da kotu, E (, = ( f (, dd = f (, dd f (, dd = f (, dd f (, dd 0 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak = f ( d f ( d = E ( E ( Lebh jauh, jka a,... ak merupaka kostata-kostata, da,...k adalah peubah acak-peubah acak yag meyebar bersama, maka Teorema 5. 4. k k E a ae( Jka da Y merupaka peubah acak peubah acak yag salg bebas, da g( da h(y merupaka fugs, maka E[ g( h( Y ] E[ g( ] E[ h( Y ] Bukt Utuk peubah acak kotu, E[ g( h( Y ] = g( h( y f (, y d dy = g( h( y f ( f ( y d dy = g( f ( d h( y fy ( y dy = E[ g( ] E[ h( Y ] Y Geeralsas teorema datas dmugka dapat dbuat utuk lebh dar dua peubah acak. Lebh khususya, jka,..., k merupaka peubah acak-peubah acak, da u(,...uk(k merupaka fugs, maka Sgt Nugroho
k k E u ( E u ( Sfat-sfat Peubah Acak Defs 5.. Mome ke-k dsektar ttk pusat dar suatu peubah acak ddefska sebaga ' k k E( da mome ke-k dsektar la tegah dar suatu peubah acak ddefska sebaga k k k E[ E( ] E( Dega demka jelas terlhat bahwa mome pertama dsektar ttk pusat dar peubah acak adalah mea, yag otas lebh mudahya adalah. Mome pertama dsektar la tegahya adalah ol, sedagka mome kedua dsektar la tegah adalah vara dar peubah acak tersebut. Teorema 5. 5. Jka adalah peubah acak, maka Var( E( Bukt Var( = = = = = E( E ( E( E( E( E( Dega juga dapat dperoleh hubuga bahwa E(. Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Telada 5. 3. Jka peubah acak memlk dstrbus Seragam(a,b, atau dapat dtuls secara sgkat bahwa ~ Seragam(a,b, maka mome ke-k dsektar ttk pusat adalah k k k b a E( ( k ( b a Teorema 5. 6. Jka peubah acak, da a da b adalah kostata, maka Var( a b a Var( Bukt Var( a b = E ( a b E( a b = E[( a b ( a b ] = = = = E a ab b a ab b [ ] a E( ab a ab a [ E( ] a Var ( Teorema meujukka kepada kta bahwa ragam atau vara dpegaruh oleh perubaha skala, tetap tdak dpegaruh oleh traslas. Alat la utuk megukur keragama adalah smpaga mutlak terhadap rataa atau serg dsebut dega mea absolute devato. Sgt Nugroho 3
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 7. Jka sebara peubah acak smetrs dsektar la tegah E(, maka mome ketga dsektar la tegahya adalah ol, 3 = 0. Defs 5.. Kovara dar pasaga peubah acak da Y ddefska sebaga Cov(, Y E[( ( Y ] Notas kovara tersebut juga serg dtulska dega Y. Teorema 5. 8. Jka da Y adalah peubah acak peubah acak, maka Cov(, Y E( Y E( E( Y da Cov(,Y=0, blamaa peubah acak da Y salg bebas. Y Teorema 5. 9. Jka da adalah peubah acak peubah acak dega fugs kepekata peluag bersama f(,, maka Var( Var( Var( Cov(, da Var( Var( Var( blamaa da salg bebas. Dapat juga dlakuka verfkas bahwa jka,, k merupaka peubah acak peubah acak da a,, ak merupaka kostatakostata, maka 4 k k ( ( j (, j j Var a a Var a a Cov Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak da k k ( ( Var a a Var jka,, k merupaka peubah acak peubah acak yag salg bebas. Meduga Rata-rata da Ragam Blamaa memlh model peluag, perlu dperoleh mea (rata-rata da vara (ragam, da mugk mome-mome yag lebh tgg dar model tersebut sehgga medekat rata-rata da ragam populasya. Namu, basaya la rata-rata da ragam populas tdak dketahu, tetap dapat destmas atau dduga berdasarka suatu cotoh acak. Tekk pedugaa tetuya aka dbahas tersedr pada beberapa bab berkutya, amu tekk pedugaa secara umum ds dguaka utuk memberka lustras aplkas pegguaa rata-rata, ragam da beberapa sfat la harapa. Rata-rata da Vara Cotoh Msalka,, melambagka cotoh acak dar suatu populas dega fugs kepekata peluag f(. Suatu fugs cotoh acak yag tdak tergatug dega sembarag parameter yag tak dketahu dsebut dega statstk. Salah satu statstk cotoh yag petg adalah rata-rata cotoh, yag tdak la adalah rata-rata peubah dalam cotoh acak, da dotaska dega Sgt Nugroho 5 Statstk adalah peubah acak. Jka suatu cotoh bearbear damat, maka la amata dar basaya dotaska dega. Nla bergua sebaga peduga bag rata-rata populas, E(.
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 0. Jka,, merupaka cotoh acak dar suatu populas dega fugs kepekata peluag f( dega E(= da Var(=, maka E( da Var(. Sfat pertama dar teorema datas memberka art bahwa, jka bayak peubah acak dambl, da rata-rata cotoh dguaka utuk meduga atau megestmas rata-rata populas, maka dalam jagka pajag, la dugaa rata-rata aka memlk rata-rata yag laya aka sama dega la rata-rata populas yag sebearya. Sudah tetu, setap cotoh secara substasal bsa berbeda dega. Defs 5. 3. Suatu peduga ˆ dkataka sebaga peduga tak bas dar parameter jka E( ˆ Berdasarka defs, maka merupaka peduga tak bas bag utuk setap fugs kepekata dmaa rata-rata (mea ya ada. Sfat berkutya megdkaska bahwa ragam dar mejad kecl, blamaa membesar, sehgga utuk ukura cotoh yag besar, la amata basaya aka memberka la dugaa yag sagat dekat dega utuk yag sagat besar. Jka rata-rata populas dketahu da tak dketahu, maka peduga alam bag =E(- adalah ( V Karea merupaka mea (rata-rata dar (-. Sudah tetu, 6 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak secara mudah dapat dtujukka bahwa E(V =. Dalam kebayaka kasus, tdak dmugkka utuk medapatka la rata-rata populas,., blamaa tak dketahu, yag aka meghaslka peduga ˆ ( Namu, peduga datas buka merupaka peduga tak bas bag ragam populas,. Utuk tu, sebaga peduga tak bas bagya, dguaka S ( yag merupaka modfkas dar peduga basya. Utuk keperlua kemudaha dalam meghtug, formula la dar peduga tak bas bag ragam poluas adalah S = = / Teorema 5.. Jka,, merupaka cotoh acak berukura dar suatu fugs kepekata peluag f( dega E(=, Var(=, maka E( S ' 3 4 Var( S 4 / utuk >. Sgt Nugroho 7
Sfat-sfat Peubah Acak Bukt sebaga latha. Batas-batas Peluag Sagatlah dmugkka utuk memperoleh batas-batas peluag berdasarka mome. Teorema 5.. Jka adalah peubah acak da u( merupaka fugs berla-rl tak egatf, maka utuk sembarag kostata c > 0, E[ u( ] P[ u( c] c Bukt Jka A { u( c}, maka utuk peubah acak kotu, E[ u( ] = u( f ( d = u( f ( d u( f ( d A A c u( f ( d A cf ( d A = cp[ A] = cp[ u( c] Utuk peubah acak kotu, pembukta dapat dlakuka dega cara yag sama. r Jka u( utuk la r > 0, kta dapatka 8 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 3. r E( P[ c] r c Jka adalah peubah acak dega la mea da ragam, maka utuk sembarag la k > 0, P[ k ] k Bukt Jka u(=(-, c=k, maka E P[( k ] k k da haslya meujukka pembukta. ( Teorema datas dkeal dega Chebychev Iequalty atau pertdaksamaa Chebychev. Sebaga alteratf betuk pertdaksamaa tersebut adalah P[ k ] k Da jka kta msalka =k, maka serta P[ ] P[ ] Juga dmugkka utuk meujukka bahwa jka ragamya ol, maka sebara peubah acak terkosetras pada sebuah la saja. Sebara yag demka dsebut dega sebara degeerate. Sgt Nugroho 9
Teorema 5. 4. Sfat-sfat Peubah Acak Msalka = E( da = Var(. Jka = 0, maka P[=] =. Bukt Jka utuk beberapa la amata, maka - / utuk beberapa blaga bulat, da sebalkya. Sehgga, [ ] da dega megguaka pertdaksamaa Boole P[ ] P. Namu, P 0 Yag berart bahwa P[=] =. Korelas Mafaat rata-rata da ragam dalam mecrka suatu sebara peubah acak telah dbahas, da dsebutka bahwa kovara bergua utuk megukur keterkata atara dua peubah acak. Telada 5. 4. Msalka da merupaka peubah acak Ekspoesal(, da S = + da T =. Tampak jelas bahwa E(T = 0, da Cov(S,T = E(ST-E(SE(T = E[(+(-]-0 = E( E( E( 0 Meskpu la kovara atara S da T ds sama dega ol, buka berart bahwa S da T salg bebas. Kta telah tujukka pada bab sebelumya bahwa S da T salg terkat. 30 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Peubah acak da Y dkataka tdak berkorelas jka la kovara atara da Y sama dega ol, sebalkya dkataka bahwa da Y berkorelas. Telada 5. 5. Jka da Y adalah peubah acak, serta a da b kostata, maka Cov( a, by abcov(, Y Cov( a, Y b Cov(, Y Cov(, a b a Var( Kovara postf meujukka hubuga postf dua peubah, sedagka kovara egatf meujukka hubuga terbalk datara keduaya, sedagka kovara yag medekat ol megdkaska kuragya keterkata, meskpu kovara ol buka berart suatu dkas ketdaktergatuga atara peubahpeubah tersebut. Kesulta terpretas kovara terjad apabla laya besar da bahka mugk sagat besar. Hal dapat dhdar dega megguaka ukura yag dsebut dega korelas. Defs 5. 4. Jka da Y adalah peubah acak dega ragam berturut-turut da Y da kovara Y Cov(, Y, maka koeffse korelas peubah acak da Y adalah Y Y Y Utuk peulsa otas korelas, serg juga dguaka Y. Y Sgt Nugroho 3
Teorema 5. 5. Sfat-sfat Peubah Acak Jka adalah koeffse korelas atara da Y, maka - da = jka da haya jka Y =a + b dega peluag utuk beberapa la a 0 da b. Bukt Y Msalka W, maka Y Var( W = = Var( Y Var( Cov(, Y Y Y Y Y Y = = 0. Adaka = memberka art bahwa Var(W = 0, atau P[W=W] =. Sehgga dega peluag, Y/Y-/ = Y/Y- /, atau Y = a+b dmaa a=y/ da b=y-y/. Jka Y=a + b, maka Var( Y a Var( a serta Y, sehgga Cov(, Y Cov(, a b a Var( a a, sehgga = jka a > 0 da = - jka a < 0. a Telada 5. 6. Jka adalah suhu udara dsuatu lokas (dalam derajat Celcus memlk sebara Seragam(0;30, da Z adalah kesalaha pegukura juga megkut sebara Seragam(-;+ yag bebas dar suhu udara. Sehgga sebearya yag kta amat adalah peubah acak Y = + Z. Dega demka fugs kepekata peluag 3 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak bersamaya adalah, 0 30 da y f (, y 0 0, selaya Mekpu Y tdak merupaka fugs ler dar, karea kesalaha acak Z, sebara bersama da Y terkosetras pada gugus {(, y 0 30, y } tergerombol dsektar gars y=, da kta berharap bahwa la medekat. Ragam adalah (0 / 5/ 3, sedagka ragam Y adalah Y (0 / ( / 6 / 3, da kovaraya Cov(, Z Var( Cov(, Z Var( 5 / 3. Dega demka korelas atara da Y adalah 5 / 3 5/ 6 0,98 yag laya medekat 5/ 3 6 / 3 sepert yag kta harapka. Kovara Cotoh Suatu cotoh acak yag dambl dar populas bvarat (gada- dega fugs kepekata peluag bersama f(,y merupaka sekumpula pasaga peubah acak yag salg bebas (,Y,, (,Y. Dega perkataa la bahwa (,Y da (j,yj salg bebas jka j, amu kompoe-kompoe dalam suatu pasaga yag mugk saja salg terkat. Kovara cotoh merupaka peduga kovara populas Y yag dotaska dega S ( ( Y Y Y Nla kovara cotoh berdasarka data amata (,y,, (,y dapat dtulska dega s ( ( y y Y yag merupaka dugaa la Y. Sgt Nugroho 33
Sfat-sfat Peubah Acak Nla Harapa Bersyarat Sebagamaa telah kta guaka bahwa otas f(y merupaka fugs kepekata peluag bersyarat peubah acak Y seadaya peubah acak berla. Kta g mecar la harapa atau la ekspektas dar peubah bersyarat Y. Defs 5. 5. Jka da Y merupaka peubah acak yag meyebar bersama, maka harapa bersyarat peubah acak Y blamaa = adalah E( Y yf ( y jka da Y dskrt, da E( Y yf ( y dy jka da Y kotu. y Notas la yag dguaka utuk meyataka hal yag sama adalah EY ( Y da E( Y. Seadaya kta g mecoba utuk mempredks la koordat vertkal (,Y, maka E(Y mestya lebh bermafaat darpada harapa marjalya, E(Y, karea memafaatka formas tetag koordat horsotal. Tetuya, megguaka asums bahwa formas tersebut terseda. Perlu dcatat bahwa harapa bersyarat dar Y blamaa = merupaka fugs dar, katakalah u(=e(y, memlk harapa marjal Y, yag dotaska dega E(Y. y 34 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 6. Jka da Y merupaka peubah acak yag meyebar bersama, maka E[ E( Y ] E( Y Bukt Dalam kasus peubah kotu, E[ E( Y ] = E( Y f ( d = yf ( y dy f ( d = y f (, y d dy = y f ( y dy = E( Y Y Teorema 5. 7. Jka da Y merupaka peubah acak yag meyebar bersama, da h(,y merupaka suatu fugs, maka E[ h(, Y ] E { E[ h(, Y ]} Teorema datas meyataka bahwa harapa bersama, dapat dselesaka pertama dega mecar harapa bersyarat E[ h(, Y ], da kemuda mecar harapa haslya berdasarka sebara. Teorema 5. 8. Jka da Y merupaka peubah acak yag meyebar bersama, da g( merupaka suatu fugs, maka Sgt Nugroho 35
Sfat-sfat Peubah Acak Bukt Sebaga latha E[ g( Y ] g( E( Y Telada 5. 7. Jka (,Y ~ Multomal(,p,p maka dapat dtujukka dega mudah bahwa ~ Bomal(,p, Y~Bomal(,p, da Y ~ Bomal(-,p/(-p. Rata-rata da ragam dar da Y dapat dperoleh dega cara yag telah dbahas pada awal bab. Juga dapat dperoleh E(Y = (-p/(-p. Dua teorema yag baru saja kta bahas dapat dperguaka utuk medapatka kovara atara da Y. E(Y = E[E(Y ] = E[E(Y ] ( p = E p = p E( E( p = p p p ( p p = ( p p Sehgga, Cov(,Y = ( p p ( p ( p = p p Telada 5. 8. Bayakya pertadga,, yag dperluka oleh pema t membatu memeagka pertadga dalam pertadga megkut sebara Bomal(,p. 36 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Dalam suatu pertadga yag mbag dega sstem the best of fve, bayakya pertadga yag harus dmaka merupaka peubah acak, N, dega fugs kepekata peluag N ( 3,4,5 f C Harapa pertadga yag harus dmaka pema t dalam the best of fve tersebut adalah E E( N E( = N = E ( Np = N 5 p f ( N 3 = 4,5p Teorema 5. 9. Jka da Y merupaka peubah yag salg bebas, maka E(Y = E(Y da (E( y = E( Bukt Jka da Y merupaka peubah yag salg bebas, maka f(,y=f(f(y, sehgga f(y =f(y da f( y = f(. Blamaa peubah acakya kotu, maka E( Y yf ( y d yf ( y dy E( Y Defs 5. 6. Ragam bersyarat peubah Y blamaa = adalah Var( Y E{[ Y E( Y ] } Betuk yag setara dega peryataa datas adalah Var( Y E( Y [ E( Y ] Sgt Nugroho 37
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 0. Jka da Y peubah acak yag meyebar bersama, maka Var( Y E [ Var( Y ] Var [ E( Y ] Bukt E[Var(Y ] = E E Y E Y { ( [ ( ] } = { E( Y E [ E( Y ] } = ( [ ( ] { [ ( ] [ ( ] } E Y E Y E E Y E Y = Var( Y Var [ E( Y ] Teorema datas meujukka bahwa secara rata-rata (utuk keseluruha la ragam bersyarat aka lebh kecl dar keragama tak bersyarat. Sudah barag tetu jka da Y salg bebas, maka laya aka sama, karea E(Y tak aka merupaka fugs dar da Var[E(Y ] aka berla ol. Teorema 5.. Jka E(Y merupaka fugs ler dar, maka Var( Y E( Y E( Y ( E( Var( da E [ Var( Y ] Var( Y ( Bukt Var( Y Perhatka E( Y E( Y ( E(. Jka E(Y Var( = a + b, E( Y E [ E( Y ] E [ a b] ae( b da 38 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Cov(,Y =Y = E[( E( ( Y E( Y ] = E[( E( Y ] 0 = E { E[( E( Y ]} = E [( E( E( Y ] = E [( E( ( a b] = avar( Dega demka, Y Cov(, Y Var( Y a Var( Var( Var( Y b E( Y E( Var( Sedagka baga kedua dar Teorema megkut Teorema 5. 0. E [ ( ] Var Y Var( Y = Var( Y Var [ E( Y ( E( ] Var( Var( Y Var( = Var( Y Var( = Var( Y ( Sebaga catata bahwa, jka ragam bersyarat tdak tergatug pada la, maka Var( Y E [ Var( Y ] Var( Y ( Hal meujukka bahwa peurua ragam populas bersyarat dbadgka populas tak bersyarat tergatug pada korelas populas kedua peubah,. Kasus petg dmaa E(Y merupaka fugs ler dar da Var(Y tak tergatug pada, aka kta bahas. Sgt Nugroho 39
Sfat-sfat Peubah Acak Sebara Bvarat Normal Pasaga peubah acak kotu da Y dkataka memlk sebara Bvarat Normal atau sebara Normal Gada Dua, jka memlk fugs kepekata peluag bersama f (, y Y ( ep y Y y Y Y Y utuk, y. Cara la utuk meulska peubah acak da Y memlk sebara Bvarat Normal adalah (, Y ~ BVN(,,,, Y Y yag tergatug dar parameter-parameter - < <, - < Y <, > 0, Y > 0, - < < +. Teorema 5.. Jka (, Y ~ BVN(,,,,, maka ~ (, Y Y N da Y ~ N(, da adalah koeffse korelas peubah da Y. Bukt Sebaga latha. Y Y 40 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Teorema 5. 3. Jka (, Y ~ BVN(,,,,, maka Y Y Y N Y ~ Y (, Y ( Bukt Sebaga latha. y N y ~ ( Y, ( Y Aproksmas Rata-rata da Ragam Jka fugs peubah acak H( dapat dekspas dega deret Taylor, maka ekspres aproksmas rata-rata da ragam H( dapat dperoleh sebaga fugs dar rata-rata da ragam. Dega persyarata bahwa H( memlk turua H (, H (, dalam terval terbuka yag megadug =E(, maka pedekata H( dega deret Taylor dsektar adalah H ( H ( H '( ( H "( ( yag memberka la pedekata E[ H ( ] H ( H "( da dega megguaka dua suku pertamaya, dperoleh Var[ H ( ] [ H '( ] Catata : Var( Sgt Nugroho 4
Telada 5. 9. Sfat-sfat Peubah Acak Msalka adalah peubah acak berla postf, da msalka H( = l, sehgga H ( = / da H ( = -/. Sehgga dapat dperoleh da E [l ] l l Var[l ] Hasl yag sama dapat dkembagka utuk fugs lebh dar satu peubah. Dega megguaka pedekata Taylor, kta peroleh pedekata rata-rata da ragam fugs peubah acak H(,Y H H E[ H (, Y ] H (, Y Y y [ (, ] H H H H Y Y Var H Y y y Fugs Pembagkt Mome Betuk la harapa khusus yag serg bermafaat adalah fugs pembagkt mome. Defs 5. 7. Jka adalah peubah acak, maka la harapa t M ( t E( e 4 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak dsebut dega fugs pembagkt mome (momet geeratg fucto dar, jka la harapa tersebut ada utuk semua la t dalam beberapa terval yag mecakup 0 dalam betuk h < t < h utuk beberapa la h > 0. Telada 5. 0. Bla dasumska bahwa adalah peubah acak dskrt terhgga dega la-la yag mugk,, m. Fugs pembagkt momeya dapat dtulska sebaga m t M ( t e f ( merupaka fugs dar t yag dferesabel hgga r kal, dmaa turua ke-r ya dapat dtulska sebaga m ( r r t M e f ( Jka kta evaluas pada t=0 maka aka kta peroleh m ( r r r M (0 f ( E( yag merupaka mome ke-r dsektar ttk pusat. Dega megguaka deret kuasa (power seres dsektar t=0 kta dapat tulska r E( r M ( t t r0 r! Sfat-sfat datas berlaku utuk semua peubah acak yag memlk fugs pembagkt mome, meskpu pembukta secara umum lebh sult. Teorema 5. 4. Jka fugs pembagkt mome ada, maka Sgt Nugroho 43
Sfat-sfat Peubah Acak da r ( r E( M (0 utuk r =,, r E( M ( t t r! r r Telada 5.. Jka ~ B(,p, maka M ( t = Kta dapat car M ' (0 p. = 0 0 e C p q t C ( pe q t t = ( pe q t M ( t ( pe q pe, da dega demka ' t t Telada 5.. Jka ~Po(, maka M ( t = = e = e = t e e 0! 0 e t e t ( e e t ( e! Dapat dega mudah dperoleh M ' (0 serta " ' t ' t ( e ( M t e da M ( t M ( t[ e t ] sehgga 44 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak M (0 M (0[ e ] (. Dega demka " ' 0 Var( E( ( E(. Telada 5. 3. Jka ~Gam(,, maka M ( t = = / t e e d ( 0 ( ( t/ e d Dega megguaka substtus u ( t / 0 u M ( t = t u e du ( = ( t t </ Turua ke-r dar fugs pembagkt mome adalah ( r r r M ( t ( r...( ( t ( r r r = ( t ( Sehgga kta dapatka mome ke-r dsektar ttk pusat sebaga berkut r ( r r E( ( berlaku utuk semua la r blaga bulat postf, tetap mash dmugkka absah utuk sembarag la r > -. Secara umum fugs pembagkt mome Gamma dapat dtulska dalam betuk power seres r ( r r M ( t t ( r! r 0 Sgt Nugroho 45
Sfat-sfat Peubah Acak Sfat-sfat Fugs Pembagkt Mome Terdapat beberapa sfat petg dar fugs pembagkt mome peubah acak Teorema 5. 5. bt Jka Y = a+b, maka M ( t e M ( at Y Bukt ty MY ( t = E( e t( a b = E( e = ( at bt E e e = bt at e E( e = e bt M ( at Salah satu mafaat dar teorema adalah ddalam meghtug mome ke-r dsektar la tegah, r E[( ]. Karea t M ( t e M ( t, maka r r d t E[( ] e M ( t r dt t0 Teorema 5. 6. Jka,, merupaka peubah-peubah acak yag salg bebas dega fugs pembagkt mome M ( t, maka fugs pembagkt mome Y adalah 46 M ( t M ( t... M ( t M ( t Y Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Bukt ty t Karea... t e e, maka berdasarka Geeralsas teorema yag telah kta bahas dawal bab ty MY ( t = E( e t = (... t E e t = t E( e... E( e = M (... ( t M t = M ( t Apabla,, merupaka cotoh acak dar suatu populas dega fugs kepekata peluag f( da fugs pembagkt peluag M(t, maka M ( t [ M ( t] Y Teorema 5. 7. Jka da masg-masg memlk fugs sebara kumulatf berturut-turut F( da F(, da fugs pembagkt mome M(t da M(t, maka F(=F( utuk semua blaga yata jka da haya jka M(t=M(t utuk semua t dalam beberapa terval yag mecakup la 0, -h < t < h utuk beberapa la h > 0. Telada 5. 4. Msalka ~Ep(. Karea sebara ekspoesal merupaka betuk khusus dar sebara Gamma dega = maka fugs pembagkt momeya adalah M ( t ( t utuk t < /. Dar teorema Teorema 5. 5. fugs pembagkt mome dar Y a adalah M ( t ( at. I merupaka fugs Y Sgt Nugroho 47
Sfat-sfat Peubah Acak pembagkt mome peubah acak ekspoesal dega parameter a. Dega demka Y~Eks( a. Sudah jelas bahwa fugs pembagkt mome dapat dguaka utuk meetuka sebara fugs peubah acak, da tak draguka lag juga dapat dguaka utuk meghtug mome-mome peubah acak. Pedekata fugs pembagkt mome bergua khususya dalam peetua sebara jumlah peubah acak yag salg bebas, da jauh lebh mudah darpada dlakuka dega cara megguaka trasformas bersama. Telada 5. 5. Msalka,, k merupaka cotoh acak berukura k dar sebara B(,p, da Y. Dega demka k k t k MY ( t [ M ( t] ( pe q yag merupaka fugs pembagkt mome dar sebara B(k,p. Y~B(k,p. Telada 5. 6. Msalka,, merupaka peubah-peubah acak dar sebara Po( da msalka Y=+ +. Fugs pembagkt mome peubah acak adalah t ( e M ( t e da dega demka [ ( [ ( ] MY ( t = ] e e... e e t (... ( = e e t yag berart bahwa Y~Po(.... t Mome Faktoral da Fugs Pembagkt Mome Faktoral 48 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak Betuk khusus la dar la harapa peubah acak adalah mome faktoral. Defs 5. 8. Mome faktoral ke-r peubah acak ddefska sebaga E[ (...( r ] Da fugs pembagkt mome faktoral peubah acak ddefska sebaga G ( t E( t jka la harapaya ada utuk semua t dalam beberapa terval terbuka yag mecakup la dalam betuk -h < t < +h. Fugs pembagkt mome faktoral lebh dapat dperoleh dalam betuk yag sederhaa darpada fugs pembagkt mome utuk beberapa peubah acak. Teorema 5. 8. Jka memmlk fugs pembagkt mome faktoral, G ( t, maka G ' ( E( G " ( E[ ( ] ( r G ( E[ (...( r ] Bukt : sebaga latha. Telada 5. 7. Msalka ~B(,p, maka Sgt Nugroho 49
Sfat-sfat Peubah Acak G ( t = = 0 0 t C p q C ( pt q = ( pt q G ( t ( pt q p ' G ( t ( ( pt q p " Dalam beberapa kasus fugs pembagkt mome faktoral da fugs pembagkt mome memlk betuk yag lebh mudah, amu demka,kta bsa peroleh bahwa l t G ( t E( t E( e M (l t Fugs Pembagkt Mome Bersama Kosep fugs pembagkt mome dapat dgeeralsaska utuk peubah acak berdmes-k. Defs 5. 9. Fugs Pembagkt Mome bersama peubah acak =(,,k ddefska sebaga k t ( [ ] M t E e dmaa t = (t,, tk da h < t < h utuk beberapa la h > 0. Sfat-sfat fugs pembagkt mome bersama aalog dega sfatsfat fugs pembagkt mome uvarat. Mome campura sepert r s E[ ] dapat dperoleh dega medeferesalka fugs j pembagkt mome bersama r kal terhadap t da s kal terhadap tj 50 Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak da megaturya utuk semua la t da tj berla ol. Juga dmugkka utuk medapatka fugs pembagkt mome sebara marjal dar fugs pembagkt mome bersama. Teorema 5. 9. Jka M, Y ( t, t ada, maka peubah acak da Y dkataka salg bebas, jka da haya jka M, Y ( t, t M ( t MY ( t Telada 5. 8. Msalka bahwa = (,, k~mult(,p,,pk. Kta telah bahas pada baga terdahulu bahwa sebara marjalya adalah bomal, ~B(,p. Dega demka, fugs pembagkt mome bersamaya adalah M ( t = E[ e t ] k! t tk k k =... ( pe...( pke pk!... k! t t = (... k p e pke pk dmaa p k p... p. k Sebara marjal bersamaya, sudah jelas, juga multomal. Msalya, jka (,, 3 ~ Mult(,p,p,p3, maka M ( t, t = M ( t, t,0,,, 3 = [ pe t pe t p3 ( p p p3] = [ pe t p t e ( p p] Dega demka, (, ~ Mult(,p,p Sgt Nugroho 5
Sfat-sfat Peubah Acak Latha 5. Dalam bdag Fska, dkeal dstrbus Furry yag memlk fugs kepekata peluag f ( utuk =0,,, da λ>0. Carlah a. Fugs Pembagkt Mome Faktoral dar, G (t b. Var(. Msalka peubah acak memlk dstrbus Posso dega parameter μ. Tetuka: a. Fugs Pembagkt Mome Faktoral, atau G (t b. E[], dega megguaka G (t c. E[(-], dega megguaka G (t 3. Jka peubah acak memlk dstrbus Normal dega parameter μ da σ, tetukalah: a. (t M r b. E( utuk r=,, 4. Msalka f(,y=6 utuk 0<<y< da ol selaya. Carlah: a. f( b. f(y c. Cov(,Y d. e. f(y f. E(Y 5. Bla dketahu fugs kepekata peluag bersama f(,y=+y utuk 0<< da 0<y< da ol selaya. Tetuka a. f( Sgt Nugroho
Sfat-sfat Peubah Acak b. F(,y c. f(y d. F(y 6. Msalka ~Po(. Tetuka a. E( b. E[(-] c. Var( 7. Msalka da Y merupaka peubah acak dskrt dega fugs kepekata peluag bersama f(,y=4/(5y jka =, da y =, 3, da berla 0 utuk la-la da y laya. Dapatka a. E( b. E(Y c. E(Y d. Cov(,Y e. Korelas atara da Y 8. Msalka da Y merupaka peubah acak kotu dega fugs kepekata peluag bersama f(,y = +y utuk o<< da 0<y< da berla 0 utuk la-la laya. Tetuka a. E( b. E(+Y c. E(Y d. Cov(,3Y e. E(Y Sgt Nugroho 53
Sfat Beberapa Sebara Kotu Pedahulua Berbaga macam populas, terutama dar hasl pegamata bologs, dapat dmodelka dega bak oleh fugs kepekata peluag ormal f ( ;, ep Dega la-la da yag sesua. Sebaga akbat dar permasalaha, usaha besar telah dlakuka utuk megembagka aalss data statstk da populas-poluas yag memlk dstrbus/sebara ormal. Dalam bab aka dsajka pegembaga hasl dstrbus yag dperluka dalam aalss data dar satu atau lebh populas ormal. Sfat-sfat Sebara Normal Beberapa sfat dasar peubah acak yag memlk sebara ormal aka dsajka sepert d bawah. Teorema 6.. Jka ~ N(,, maka Z M ~ N(0, ( t e t t r (r! E( r r! r E( 0 r / r,,.. r,,...
Sfat Beberapa Sebara Kotu Bukt Utuk membuktka persamaa datas, jka ~ N(, da Z = (-/, maka d/dz = da d f Z ( z f ( z ;, ep z dz Persamaa berkutya dapat dtujukka dega defs fugs pembagkt mome dar sebara ormal baku. tz z / M Z (t = e e dz = Karea = Z +, maka M ( t M Z e ( t e t ( zt / t / M Z dz ( t e = t / e t t / Dua persamaa terakhr dturuka dega megguaka M (t = / e t = r r t r r0 r! = r r (r! t r r0 r!(r! Ekspas haya mecakup pagkat blaga bulat postf geap, da koeffse dar t r /(r! adalah mome ke-r dar (-. Beberapa aplkas sebara ormal juga mecakup kombas ler dar peubah acak peubah acak ormal yag salg bebas. 56 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu Teorema 6.. Jka ~ N(, ;,,..., melambagka peubahacak peubah-acak ormal yag salg bebas, maka Bukt Y a ~ N( a, a M Y (t = ( t M a = = e M ( a t ata t / = ept a t a / yag merupaka fugs pembagkt mome dar sebara ormal a dega rata-rata a. da ragam atau vara sebesar Telada 6.. Jka,..., merupaka cotoh acak dar sebara N(,, maka statstk rata-rata cotoh memlk sebara ormal dega rata-rata da ragam atau vara /. Sgt Nugroho 57
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sebara Ka-kuadrat Pertmbagka sebuah sebara Gamma dega parameter = da = /. Suatu peubah acak Y dkataka memlk sebara kakuadrat dega derajat bebas jka Y ~ Gamma(; /. Notas khusus yag basaya dguaka adalah Y ~ ( Teorema 6. 3. Jka Y ~ (, maka M Y E( Y / ( t ( t r ( / r ( / E (Y Var ( Y r Tabel sebara kumulatf ka-kuadrat telah bayak dtabulaska dalam berbaga lteratur. Dalam bayak lteratur, persetl terseda utuk berbaga taraf da la yag berbeda pula. Dega demka, jka Y, maka merupaka suatu ~ ( la sedemka rupa sehgga P Y ] [ ; ; ; Teorema 6. 4. Jka ~ Gamma(,, maka Y = / ~. Bukt M Y (t = ( M / t M t / = ( 58 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu / = ( t yag merupaka fugs pembagkt mome sebara ka-kuadrat dega derajat bebas. Dega kekhasa sfat fugs pembagkt mome, maka Y = / ~ Fugs sebara kumulatf Gamma juga dapat dekspreska dalam otas ka-kuadrat. Jka ~ Gamma(,, da jka H(y; meotaska fugs sebara kumulatf ka-kuadrat dega derajat bebas, maka F ( H ( / ; Dega megguaka relas datas, dapat dsmpulka bahwa secara umum, persetl ke-p dar sebara Gamma dapat dekspreska dega p; p Teorema 6. 5. Jka Y ~ ;,,..., adalah peubah acak peubah acak ka-kuadrat yag salg bebas, maka V Y Sgt Nugroho 59 ~ Bukt Dega megguaka fugs pembagkt mome M V (t = ( t M Y = ( t = ( / v / t
Sfat Beberapa Sebara Kotu adalah fugs pembagkt mome dar sebara ka-kuadrat dega derajat bebas. Dega kekhasa sfat fugs pembagkt mome, maka V Y ~. Bagamaa hubuga atara sebara ka-kuadrat dega sebara ormal baku beserta sfat-sfatya juga aka dbahas dalam bab. Semua tu aka dmula dega teorema berkut. Teorema 6. 6. Jka Z ~ N(0,, maka Bukt Z ~ M Z ( t = E e tz = e = t tz z / / dz t e z (t / = ( t yag merupaka fugs pembagkt mome dar sebara kakuadrat dega derajat bebas. Dega kekhasa sfat fugs pembagkt mome, maka Z ~. dz Telada 6.. Jka,... merupaka cotoh acak dar sebara ormal, N(, maka 60 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu ( ( ~ ~ Peduga tak bas utuk vara,, adalah ( S telah kta bahas pada bab terdahulu, da utuk cotoh dar populas ormal, sebaraya dapat dhubugka dega sebara ka-kuadrat. Sebara S tdak lagsug megkut persamaa (6.6, karea baga tdak salg bebas. Bahka secara fugs mereka salg tergatug, karea ( 0 Teorema 6. 7. Jka,..., merupaka cotoh acak dar sebara N(,, maka. da ; =,,..., salg bebas.. da S salg bebas. ( S 3. ~ Bukt Sebaga latha. Sebara t-studet Statstk S dguaka utuk melakuka pedugaa parameter pada sebara ormal. Demka halya, statstk sagat bergua pada pedugaa parameter ; amu demka, sebara dar juga sagat tergatug pada. Hal yag membuat Sgt Nugroho 6
Sfat Beberapa Sebara Kotu tdak mugk megguaka utuk tpe prosedur statstka tertetu yag berkeaa dega blamaa tdak dketahu. Blamaa dgatka dega S dalam statstk ( /, maka sebara statstk ( / S buka lag ormal baku. Teorema 6. 8. Jka Z ~ N(0, da V ~ da jka Z da V salg bebas, maka sebara dar fugs peubah acak Z T V / dsebut dega sebara t-studet dega derajat bebas, da dotaska dega T ~ t. Fugs kepekata peluagya adalah ( / ( ; t f t Bukt Sebaga latha. Sebara t smetrs terhadap ttk ol, da betuk umumya meyerupa sebara ormal. Apabla derajat bebasya semak membesar, maka sebara t aka medekat sebara ormal. Utuk derajat bebas yag kecl atau lebh kecl, sebara t lebh datar dega ekor yag lebh tebal, da jka derajat bebasya sama dega, maka T ~ Cauchy(,0. Teorema 6. 9. Jka T ~ t, maka utuk > r aka dperoleh 6 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu E ( T r ((r / (( r / (/ ( / E( T r var(t Bukt Mome ke-r dar T adalah 0 r,,.. r r Z E V / r Z r E( T E E V / dmaa Z ~ N(0, da V ~ da dega megguaka persamaa (6.4 da (6.8, kta peroleh (6.. Persamaa (6. merupaka betuk khusus dar (6., da persamaa (6.3 lebh khusus lag. r Teorema 6. 0. Jka,..., meotaska cotoh acak berukura dar sebara N(,, maka ~ t S / Bukt Meurut persyarata pada (6.8 da (6.9, ( S Z ( / ~ N(0, da ~, serta da S salg bebas. Dega demka, ( S ( / / /( ~ t S / Sgt Nugroho 63
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sebara F-Sedecor Salah satu sebara yag dapat dturuka da petg dalam statstka adalah sebara F-Sedecor atau yag lebh dkeal dega sebara F. Peubah acak yag merupaka raso dar dua peubah acak ka-kuadrat (dbag dega masg-masg derajat bebasya terlebh dahulu yag salg bebas, memlk sebara F. Teorema 6.. Jka V da V da salg bebas, maka peubah acak ~ v ~ v V / V / Memlk fugs kepekata peluag utuk > 0 / ( / g( ;, ( Fugs kepekata datas dkeal sebaga fugs kepekata sebara F dega derajat bebas da. Sedagka otas yag dguaka utuk peubah acak yag memlk sebara adalah, ~F(,. Fugs kepekata peluag datas dapat dturuka sepert meuruka fugs kepekata sebara-t. / Teorema 6.. Jka ~F(,, maka 64 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sgt Nugroho 65 r r r E r r ( ( E 4 4 ( ( ( ( Var Bukt Sebaga latha. Persetl, ( f dar ~F(, sedemka rupa sehgga, ( f P basaya dtabelka utuk beberapa la, da terplh. Jka ~F(,, maka Y = / ~F(,. Dega demka, - =, ( f P =, ( f Y P =, ( f Y P sehgga, (, ( f f, (, ( f f
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sebara Beta Trasformas dar peubah acak yag memlk sebara F dapat dlakuka. Jka ~F(,, maka peubah acak ( / Y ( / memlk fugs kepekata peluag ( a b a b f ( y; a, b y ( y 0 y ( a ( b dmaa a = / da b = /. Fugs kepekata peluag medefska sebata Beta dega parameter a > 0 da b > 0, yag dotaska dega Y ~ Beta(a,b. Sfat-sfat yag dmlk (la harapa da ragam peubah yag meyebar Beta(a,b dapat dtujukka sepert d bawah. a E( Y a b ab Var( Y ( a b ( a b Persetl ke- dar sebara Beta dapat dekspreska dalm persetl sebara F sebaga akbat dar persamaa sebelum. af (a,b B ( a, b b af (a,b Jka a da b merupaka blaga bulat postf, maka pegtegrala parsal terus meerus aka meghaslka hubuga atara sebara kumulatf Beta dega sebara Bomal. Jka ~B(,p da Y~Beta(-+,, maka F(- = FY(-p. 66 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sebara Beta juga serg dguaka dalam kataya dega sebara statstk tataa (order statstc. Utuk sebuah peubah acak yag kotu ~ f (, fugs kepekata peluag statstk tataa ke-k dar suatu cotoh acak berukura adalah! k k g k ( ( k F ( ( k F( ( k f ( ( k ( k!( k! Dega merubah mejad U F, maka U k ~ Beta( k, k. ( ( k ( ( k Dega megguaka Probablty Itegral Trasform kta peroleh bahwa U = F( ~ Seragam(0,. Juga U(k melambagka statstk tataa ke-k dar sebara Seragam. Fugs sebara kumulatf dar (k dapat dekspreska dalam betuk fugs sebara kumulatf Beta, karea G k ( (k = P ( k ( k P F F( = ( ( k ( k H ( ( k = F( ; k, k dmaa H(y;a,b merupaka fugs sebara kumulatf dar Y ~ Beta(a,b. Telada 6. 3. Msalka ~ Ekspoesal(, da kta g meghtug peluag yag berkeaa dega statstk tataa ke-k. Kta dapat peroleh bahwa F( = -e -/ da U(k = F((k ~ Beta(k,-k+, sehgga P ( k c] = P F( k F( ] [ [ ( c [ U ( F( c = P k ] = ku ( k kf( c P ( k ( U ( k ( k ( F( c Sgt Nugroho 67
Sfat Beberapa Sebara Kotu dmaa peluag terakhr mecakup peubah yag meyebar meurut sebara F(k,(-k+. Dega demka, utuk lala, c, k, da, la peluag dapat dperoleh dar tabel kumulatf Beta atau tabel kumulatf F jka taraf utuk tabel terseda. Telada 6. 4. Sebaga lustras dar telada sebelum, kta g mecar c sedemka rupa sehgga P ( k c ], maka f ( k,( k = = [ kf( c ( k [ F( c ( k ep( c k( ep( c da dega demka kta peroleh ( k f c l / ] / (k,( k k Kta telah pelajar bahwa sebara Beta memlk hubuga dega sebara F da Bomal. Sebara Beta merepresetaska sebara Seragam secara lebh umum, da memberka model dua parameter yag lebh fleksbel utuk berbaga tpe peubah acak yag megambl la datara 0 da. Dalam bab, juga telah kta pelajar sebara Normal dega berbaga sfat da beberapa sebara yag berhubuga atau dapat dturuka dar sebara ormal. Latha. Msalka melambagka berat dalam klogram dar satu 68 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu katog bj-bja, dmaa ~ N(0,9. Berapakah peluag bahwa 0 katog beratya aka melebh to?. Msalka bahwa ~ N(,9 a. Carlah E(-4 b. Dapatka E(4 3. Asumska bahwa da merupaka peubah acak-peubah acak yag salg bebas, dega ~ N(,, da msalka Y = + da Y =. Tujukka bahwa Y da Y meyebar ormal da salg bebas. 4. Sebuah kompoe elektrok mula dpaka da tujuh kompoe peggat utuk tu telah terseda. Umur kompoe T, (dalam har meyebar salg bebas Ekspoesal(50. a. Tetuka apa sebara dar T? b. Htuglah peluag bahwa alat yag megguaka kompoe tersebut dapat beroperas sedtya satu tahu? c. Berapa bayak kompoe peggat dperluka utuk mejam bahwa kta yak 95% alat tersebut aka berfugs selama,5 tahu? d. Ulag soal a, b, da c jka T ~ Gamma(50,,5? 5. Msalka bahwa ~ m Sgt Nugroho 69 8 da Y ~ serta da Y salg bebas. Apakah Y ~ jka m>? 6. Jarak dalam meter seorag atlt terju payug tdak megea target peerjua merupaka peubah acak, yatu D dmaa ~ N(0,6. Carlah peluag bahwa peerju tersebut aka meleset dar sasara palg jauh 5 meter. 7. Msalka peubah acak-peubah acak Z ~ N(0,, =,,...,9, da msalka juga Z adalah rata-rata cotoh. Carlah a. P [ Z / 3] b. P [ Z Z ] c. P Z Z ] [
70 Sfat Beberapa Sebara Kotu 9 d. P Z 8 9 e. P ( Z Z 8 8. Jka T ~ t, tetuka sebara dar T. 9. Jka ~ Beta(a,b, carlah E( 0. Igat kembal bahwa Y ~ LogNormal(, jka l Y ~ Normal(,. Asumska bahwa Y ~ LogNormal(, meyebar salg bebas, =,,...,. Carlah sebara dar peubah acak-peubah acak berkut: a. b. Y a Y c. Y/Y d. Carlah juga E Y. Msalka bahwa ~ Normal(,, =,,..., da Z ~ N(0,, =,,..., k. Da semua peubah acak salg bebas. Nyataka sebara dar setap fugs peubah acak berkut dega member ama sebara jka mugk, jka tdak yataka dega tak dketahu amaya. a. 4 b. 3 c. S Z d. a dmaa a, =,,..., adalah kostata. e. Z 34 Sgt Nugroho
Sfat Beberapa Sebara Kotu Sgt Nugroho 7 f. S Z ( g. 3 Z Z Z h. 3 Z Z Z. 0 7 Z Z j. 4 3 Z Z k. Z Z l. Z m. k Z k (. Z k o. k Z Z ( ( p. k Z k q. k Z Z k ( ( ( (. Jka F(; adalah merupaka fugs sebara kumulatf dar ~ Posso(, da jka H(y; adalah merupaka fugs
Sfat Beberapa Sebara Kotu sebara kumulatf ka-kuadrat dega derajat bebas, maka F( ; H[;( ]. 7 Sgt Nugroho
Lmt Sebara Dalam beberapa bab terdahulu telah dbcaraka metode yag umum utuk meuruka sebara dar fugs peubah acak-peubah acak, dalam betuk Y = u(,,. Dalam beberapa kasus, fugs sebara peluag dar Y dega mudah dperoleh, amu dalam bayak kasus petg, peurua sagat rumt dlakuka. Dalam hal, dmugkka utuk medapatka hasl pedekata yag bergua apabla sagat besar. Tetu saja, hasl berdasarka teor koverges dalam sebara da lmt sebara. Dereta Peubah Acak Pertmbagka suatu dereta atau barsa peubah acak Y, Y, dega fugs sebara kumulatfya G(y, G(y, sehgga utuk setap =,, berlaku G ( y P[ Y y] Defs 7.. Jka Y ~ G(y [dbaca: Y memlk fugs sebara kumulatf G(y] utuk setap =,,., da jka utuk beberapa fugs sebara kumulatf G(y, dperoleh bahwa lm ( y G( y G utuk semua la y dmaa G(y kotu, maka dereta Y, Y,., dkataka koverge dalam sebara ke Y ~ G(y, yag dotaska d dega Y Y. G(y serg dsebut dega lmt sebara dar Y.
Telada 7.. Lmt Sebara Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara seragam, ~ Seragam(0, da msalka Y = ( = ma(,,,. Dega demka fugs sebara kumulatf dar Y adalah G ( y y 0 y ol jka y 0 da satu jka y. Sudah tetu, apabla 0 < y <, y aka medekat 0 apabla medekat, da jka y 0, G(y 0, serta jka y, G(y. Dega demka, 0 y lm G ( y G( y y Defs 7.. Fugs G(y merupaka fugs sebara kumulatf dar suatu sebara degeerate pada la y = c, jka 0 y c G( y y c Dega perkataa la, G(y merupaka fugs sebara kumulatf dar suatu sebara dskrt, dmaa peluag y = c berla satu, da ol utuk y selaya. Telada 7.. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara Ekspoesal, ~ Ep(, da msalka juga Y = ( = m(,,,. Dega demka fugs sebara kumulatf dar Y adalah y / G ( y e y 0 da 0 utuk y selaya. Utuk y > 0, maka lm ( y. G Dega demka, la lmtya 0 jka y < 0 da jka y > 0, yag merupaka sebara degeerate pada y = 0. Perhatka bahwa la lmt pada y = 0 adalah 0, yag berart bahwa fugs sebara tdak 74 Sgt Nugroho
Lmt Sebara haya dskotu pada y = 0, tetap juga tdak kotu dar kaa pada y = 0, yag merupaka salah satu persyarata dar fugs sebara kumulatf. I buka merupaka masalah, karea berdasarka defs d awal bab haya lmt fugs yag harus sesua atau setuju dega fugs sebara kumulatf pada semua ttk-ttk kotu. Defs 7. 3. Suatu dereta peubah acak Y, Y,., dkataka koverge stokastk atau koverge dalam peluag ke suatu kostata c jka dereta tersebut memlk lmt sebara yag degeerate pada y = c. Tdak semua lmt sebara bersfat degeerate. Lmt-lmt berkut sagat bergua dalam beberapa peyelesaa permasalaha. Telada 7. 3. lm c b e b c d( cb lm e jka lm d( 0 Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara Pareto, ~ Par(, da msalka Y = (. Fugs sebara kumulatf adalah F ( ( 0, maka fugs sebara kumulatf Y adalah y G ( y y 0 Utuk, dperoleh y y lm G ( y lm e G( y da 0 utuk y selaya, yag merupaka sebara Ekspoesal, Ep(. cb Sgt Nugroho 75
Lmt Sebara Dereta peubah acak tdak harus memlk lmt sebara. Perhatka telada berkut. Telada 7. 4. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara Pareto, ~ Par(, da msalka Y = (. Fugs sebara kumulatf bag Y adalah y G ( y y 0 y da ol selaya. Karea y/(+y <, maka y lm G ( y lm 0 G( y utuk semua y. Dega y demka buka merupaka fugs sebara kumulatf, karea laya tdak medekat blamaa la y meuju tak hgga. Telada 7. 5. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara Pareto, ~ Par(, da msalka Y = (/(. Fugs sebara kumulatf bag Y adalah G ( y y y 0 da ol selaya. Selajutya, utuk lm G ( y lm y e / y G( y, utuk y > 0. Telada 7. 6. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara Pareto, ~ Par(, da msalka Y = (/(-l. Fugs sebara kumulatf bag Y adalah 76 Sgt Nugroho
Lmt Sebara y G ( y e y l y da ol selaya. lm G ( y ep( e G( y utuk -<y<. Telada 7. 7. Suatu cotoh acak berukura dambl dar sebara ormal, ~ N(,. Rata-rata cotoh, Y memlk dstrbus Normal(, /, da ( y G ( y Lmt fugs sebara kumulatf, bsa dtujukka, degeerate pada 0 y ( y y =, karea lm G ( y lm / y, y sehgga rata-rata cotoh koverge stokastk ke. Pedekata Fugs Pembagkt Mome Barusaja dbcaraka telada-telada fugs sebara kumulatf yag past da dketahu utuk la yag terhgga, da lmt sebara dperoleh secara lagsug dar dereta sebara. Salah satu keutuga dar lmt sebara adalah dmugkkaya peetua lmt sebara tapa harus megetahu betuk past dar fugs sebara kumulatf utuk terhgga. Dega demka lmt sebara dapat memberka pedekata yag bermafaat blamaa peluag yag past tak mugk dperoleh. Salah satu cara utuk tu adalah dega megguaka fugs pembagkt mome. Sgt Nugroho 77
Teorema 7.. Lmt Sebara Msalka Y, Y, adalah deret peubah acak dega fugs sebara kumulatf berturut-turut G(y, G(y, da fugs pembagkt mome berturut-turut M(t, M(t,. Jka M(t adalah fugs pembagkt mome dar fugs sebara kumulatf G(y, da jka lm ( t M ( t utuk semua t dalam terval terbuka yag M mecakup ol, -h < t < h, maka lm ( y G( y utuk semua ttk kotu G(y. Telada 7. 8. G Msalka,,, merupaka cotoh acak dar sebara Beroull, ~ B(,p da Y. Jka msalka p 0 blamaa sedemka rupa sehgga p =, utuk la > 0 yag tetap, maka t t t e ( e M ( t ( pe q da sebagamaa dketahu, jka, dperoleh t ( e lm M ( t e yag merupaka fugs pembagkt mome sebara Posso dega parameter. Dega demka, dapat kta smpulka d bahwa Y Y ~Posso(. Telada 7. 9..Hukum Blaga Besar Beroull. Msalka jka kta pertahaka la p yag tetap da kta perhatka dereta propors cotoh, W pˆ Y /. Dega megguaka ekspas deret e u = + u + u / + dega u = t/, kta peroleh M W 78 ( t ( pe t / q p t... q pt d( Sgt Nugroho
Lmt Sebara dmaa d(/ merupaka ssa deret yag bsa dabaka, d( 0 pt blamaa. Da dega demka, lm ( t e yag M W merupaka fugs pembagkt mome dar sebara degeerate pada y = p, da dega demka pˆ p dalam peluag blamaa. Telada 7. 0. Perhatka dereta peubah yag dbakuka, yatu Y p Y p Z pq. Dega megguaka ekspas deret, M Z (t = e pt / t / ( pe q pt / t / = = e ( pe q pt p t pt p t...... t d( = dmaa d(0 blamaa. Dega demka, lm M Z ( t e yag merupaka fugs pembagkt mome sebara ormal baku, d da dega demka Z Z ~ N(0,. t / Teorema 7.. Lmt Pusat Jka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara dega rata-rata da ragam <, maka lmt sebara dar Z Sgt Nugroho 79
Adalah ormal baku. Atau dega kata la Z Lmt Sebara d Z ~ N(0, blamaa. Bukt Hasl lmt cocok utuk cotoh acak cotoh acak dar sembarag sebara dega rata-rata da ragam yag terhgga, amu pembukta aka dkhususka dega adaya asums yag lebh kuat yatu memlk fugs pembagkt mome. Msalka m(t adalah fugs pembagkt mome dar -, ( t M ( t, da sebaga catata bahwa m(0 =, m (0 = E( m - = 0, da m (0 = E( - =. Dega megguaka ekspas Taylor, kta peroleh m"( t m (t = m(0 m' (0 t 0 t m"( t = t ( m"( t = Sekarag, Z da t M Z (t = M ( t = M = t M ( 80 Sgt Nugroho
Lmt Sebara = = t m Apabla, t / t ( m"( t 0 t 0, 0, da m (- 0, maka t d( M Z ( t dmaa d( 0 apabla. Dega demka atau yag berart bahwa Z lm M Z lm FZ ( t e t / ( z ( z d Z ~ N(0,. Sebaga catata bahwa peubah dhubugka dega peubah Z Z dapat juga. / Teorema 7. 3. Y Jka Y ~ d (, maka Z Z ~ N(0, blamaa. Bukt Dega megguaka Teorema lmt pusat, dmaa Y adalah sebara jumlah peubah acak yag meyebar bebas stokastk da detk masg-masg ka-kuadrat dega derajat bebas. Sgt Nugroho 8
Telada 7.. Lmt Sebara Msalka,,, merupaka cotoh acak dar sebara seragam kotu, ~ Seragam(0,, da msalka juga Y. Dar propert dstrbus, dperoleh bahwa E( = ½ da Var( = /. Dega demka kta peroleh Y ~ N(/,/. Pedekata Sebara Bomal Permasalaha yag harus dselesaka dega sebara Bomal utuk la p yag tetap da yag cukup besar, dapat dkerjaka dega megguaka pedekata sebara ormal. Pada kods demka Y ~ Normal(p, pq. Pedekata aka bagus utuk la p yag medekat 0,5 karea utuk la p = 0,5 dstrbus aka smetrs. Tgkat akuras yag dperluka dalam suatu pedekata tergatug pada aplkasya. Pedekata Normal dguaka apabla p 5 da q 5, da sekal lag hal tergatug pada tgkat akuras yag dkehedak. Telada 7.. Peluag seorag pema basket memasukka bola ke dalam rg atau berhasl meembakka bola ke sasara yatu p = 0,5. Jka a melakuka 0 tembaka berutu, berapaka peluag a memasukka sedktya 9 bola? Peluag pastya, bsa dhtug sebaga berkut: P[Y0 9] = -P[Y0 8] 8 = C y0 0 y 0,5 y 0,5 0 y = 0,7483 Apabla dcar dega megguaka pedekata ormal, maka aka dperoleh 8 Sgt Nugroho
Lmt Sebara P[Y0 9] = -P[Y0 8] 8 0 5 = 0,89 = 0,833 Karea sebara bomal tergolog sebara dskrt da sebara ormal tergolog sebara kotu, la pedekata dapat dperbak dega megguaka apa yag damaka koreks kekotua (cotuty correcto. Msalka utuk meghtug peluag memasukka tepat 7 bola, atau tembaka yag megea sasara sebayak 7 kal dar 0 lempara sepert telada datas, maka bla dhtug dega megguaka sebara bomal aka dperoleh 0 7 3 P[Y0 = 7] = C 7 0,5 0, 5 = 0,0739 Sedagka apabla ddekat dega sebara ormal, dperolah 7,5 0 6,5 0 P[Y0 = 7] = 5 5,,57 = 0,073 = Da sebagamaa hal, maka P[Y0 9] = -P[Y0 8] 8,5 0 5 = 0,67 = 0,7486 Jad, secara umum jka Y ~ Bomal(,p da blaga bulat a b, maka b 0,5 p a 0,5 p P[ a Y b] pq pq Sgt Nugroho 83
Lmt Sebara Koreks kekotua juga sagat bermafaat dalam peyelesaa sebara dskret laya, bla ddekat dega sebara ormal. Sebara Asmtotk Normal Dega megkut Teorema lmt pusat bahwa rata-rata cotoh yag dbakuka, maka aka memlk lmt sebara yatu ormal baku, atau ormal dega rata-rata 0 da ragam. Defs 7. 4. Jka Y, Y, merupaka dereta peubah acak da m serta c adalah kostata sedemka rupa sehgga Y m d Z Z ~ N(0, c / Jka, maka Y dkataka memlk sebara asmtotk ormal dega asmtot rata-rata m da asmtot ragam c /. Telada 7. 3. Cotoh acak sebayak 50 kompoe elektrok, dmaa umur kompoe tersebut masg-masg memlk dstrbus Ekspoesal(80. Dega megguaka Teorema lmt pusat, memlk sebara asmtotk ormal dega asmtot rata-rata m = 80 da ragam c / = (80 /50 = 8. Sfat-Sfat Koverge Stokastk Dalam beberapa baga terdahulu kta peroleh telada dmaa suatu deret peubah acak koverge stokastk atau koverge dalam peluag ke suatu kostata. Sepert msalya, propors cotoh 84 Sgt Nugroho
Lmt Sebara koverge stokastk ke propors populas. Jelas kraya, kosep umum sagat bergua utuk evaluas peduga dar parameter yag tak dketahu. Salah satu peduga yag bak adalah peduga yag memlk sfat koverge stokastk ke la parameter blamaa ukura sampel atau cotoh mejad sagat besar. Teorema 7. 4. Deret Y, Y, koverge stokastk ke c jka da haya jka utuk setap > 0, lm P Y c Dereta peubah acak yag memeuh hal datas juga dsebut koverge dalam peluag ke suatu kostata c, yag dlambagka P dega Y c. Telada 7. 4. Dalam telada Hukum Blaga Besar Beroull kta guaka pedekata fugs pembagkt mome. Tetap dapat juga dguaka dega megguaka Teorema terakhr da pertdaksamaa Chebychev. Kta dapatka bahwa E( pˆ p da Var( pˆ pq /, sehgga pq P pˆ p lm P pˆ p Utuk sembarag > 0, Teorema 7. 5. Jka,, adalah cotoh acak dar suatu sebara dega ratarata < da ragam <, maka deret rata-rata cotoh koverge dalam peluag ke, p. Sgt Nugroho 85
Bukt Hal megkut fakta bahwa da dega demka P Sehgga lm P Lmt Sebara E (, Var( / Hasl datas meggambarka bahwa rata-rata cotoh merupaka peduga yag bak bag rata-rata populas, dalam arta bahwa peluagya medekat pada saat medekat la apabla. Ss kaa pertdaksamaa datas memlk formas tambaha. Utuk sembarag la > 0 da 0 < <, jka > /(, maka berlaku P Telada 7. 5. Utuk ragam cotoh, formas S bahwa / dperoleh E ( S da ' 3 4 Var ( S 4 /. Dega megguaka pertdaksamaa Chebychev, PS Var( S Dega demka, lm P S da S p 86 Sgt Nugroho
Lmt Sebara Apakah S p? Kta dapat tujukka bahwa E (S, amu dega beberapa tekk aljabar, dapat dtujukka bahwa dega megguaka pertdaksamaa Chebychev, S p. Teorema 7. 6. Jka Z d p ( Y m / c Z ~ N(0,, maka Y m. Telada 7. 6. Meda cotoh, M memlk sebara asmtotk ormal dega asmtot rata-rata 0,5, yatu meda sebara. Berdasarka Teorema p, M 0, 5 blamaa, dega k/ 0,5. Dega cara yag sama, jka k/p p, Statstka terkecl ke-k aka p koverge stokastk ke persetl ke-p, Beberapa Teorema Lmt Laya ( k p. Defs 7. 5. Dereta peubah acak Y dkataka koverge dalam peluag ke p peubah acak Y, dtulska dega Y Y, jka lm P Y Y. Apa yag telah kta pelajar dalam beberapa sub bab terdahulu, koverge stokastk sama dega koverge dalam peluag ke suatu kostata c. Koverge dalam peluag lebh kuat dar pada koverge dalam sebara. Tetu tdak meghereaka, karea koverge dalam sebara tdak memberka persyarata sebara bersama dar peubah Y da Y, sedagka koverge dalam peluag mempersyaratka. Sgt Nugroho 87
Lmt Sebara Teorema 7. 7. Utuk suatu dereta peubah acak, jka Y d Y. Y p Y, maka Teorema 7. 8. Jka Y p c, maka utuk sembarag fugs g(y yag kotu p pada c, g( Y g( c Bukt Karea g(y kotu pada c, maka utuk setap > 0, aka terdapat sebuah > 0 sedemka rupa sehgga y-c < yag membuat g(y-g( c <. Dega demka P g( Y g( c P Y c [karea P(B P(A blamaa A B]. amu karea Y maka utuk setap > 0, maka lm P g( Y g( c lm P Y c p c, Ss kr laya tak dapat melampau, sehgga harus sama p dega, da dega demka g( Y g( c. Teorema 7. 9. Jka da Y adalah dua dereta peubah acak sedemka rupa p p sehgga c da Y d, maka p. a by ac bd p. Y cd 3. / c p utuk c 0. p 4. / c jka P[ 0] = utuk semua, c 0. / p 5. c jka P[ 0] = utuk semua. 88 Sgt Nugroho
Lmt Sebara Telada 7. 7. Msalka Y ~ B(,p. Telah kta ketahu bahwa p pˆ Y / p. Dega megguaka Teorema datas, kta p peroleh bahwa pˆ ( pˆ p( p. Teorema 7. 0. Slutsky Jka da Y adalah dua dereta peubah acak sedemka rupa p d sehgga c da Y Y, maka d. Y c Y d. Y cy d 3. Y / Y c, c 0. / mugk dapat merupaka dereta umerk sepert = /(-. Telada 7. 8. Dar sebara T ~ t(, dmaa T Z. Dar sfat-sfat yag / dmlk sebara ka-kuadrat, kta peroleh E ( /, Var ( / / da dega megguaka pertdaksamaa Chebychev, P /, sehgga / p, blamaa. Dega demka, sebara t- studet memlk lmt sebara, yatu sebara ormal baku. Z d T Z ~ N(0, / Sgt Nugroho 89
Lmt Sebara Telada 7. 9. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Beroull, ~ B(,p. Kta tahu bahwa pˆ p d Z ~ N(0, p( p / p dar formas terdahulu juga dperoleh pˆ ( pˆ p( p. Sebaga akbatya, kta peroleh pˆ p d Z ~ N(0, pˆ( pˆ / Teorema 7.. Jka Y d Y, maka utuk sembarag fugs kotu g(y, d g( Y g( Y Telada 7. 0. Telah kta tujukka bahwa sebara t-studet koverge ke sebara Z d stadar ormal baku blamaa, T Z ~ / N(0,. Jka kta msalka ; F T, maka dega megguaka Teorema datas, kta peroleh bahwa d F ; T Z ~ ( Berkut dberka kods dmaa suatu fugs dar peubah yag memlk sebara asmtotk ormal juga meyebar asmtotk ormal. Teorema 7.. Jka 90 d ( Y m / c Z ~ N(0,, da jka g(y memlk Sgt Nugroho
Lmt Sebara turua yag tdak ol pada y = m, g (m 0, maka g( Y g( m d Z ~ N(0, cg' ( m Sesua terpretas sebara asmtotk ormal sebelumya, kta smpulka bahwa utuk yag sagat besar, jka Y ~ N(m,c /, maka kra-kra c g' ( m g ( Y ~ N g( m; Telada 7.. Teorema Lmt Pusat megataka bahwa rata-rata cotoh memlk sebara asmtotk ormal, ( d Z ~ N(0, atau pedekata utuk yag besar, ~ N( ;. Teorema datas meyebutka bahwa fugs yag dfferesabel atau fugs yag mempuya turua juga aka memlk sebara asmtotk ormal. Jka ( g, maka g (=, da kra-kra, ~ ( N, Telada 7.. Msalka S merupaka otas ragam cotoh dar suatu cotoh acak berukura dar sebara ormal, N(,. Kta tahu bahwa ( S V ~ (- da berdasarka Teorema yag telah kta pelajar dalam bab Sgt Nugroho 9
Lmt Sebara Sehgga Atau kra-kra da Latha V ( d Z ~ N(0, ( m S S ~ S ~ N, N, ( d Z 4. Sebuah cotoh acak berukura dar suatu sebara yag memlk fugs sebara kumulatf F( = -/ jka <, da ol selaya. a. Carlah fugs sebara kumulatf Statstk Mmum, (. b. Carlah lmt sebara ( c. Carlah lmt sebara (. Sebuah cotoh acak berukura dar suatu sebara yag memlk fugs sebara kumulatf F( = - - jka >, da ol selaya. Tetuka apakah setap sekue peubah acak berkut memlk lmt sebara? Jka ya, tetuka lmt sebaraya. a. ( b. ( c. / ( 3. Msalka Y ~ (. Carlah lmt sebara dar 9 Sgt Nugroho
Lmt Sebara ( Y / blamaa, dega megguaka fugs pembagkt mome. 4. Msalka ~ Seragam(0,, dmaa,,, 0 salg bebas. Carlah pedekata ormal utuk tap pertayaa berkut 0 a. P 0 b. Persetl ke-90 dar 5. Msalka Wj merupaka berat begas peumpag kapal kej. Asumska bahwa berat begas seluruh peumpag salg bebas, da masg-masg memlk fugs kepekata peluag f ( w B w jka 0 < w < B, da ol selaya. a. Utuk = 00, = 3, da B = 80, tetuka la 00 perkraa P W 605 b. Jka W( merupaka bagas terga, tujukka bahwa W( 0 blamaa. c. Jka W( merupaka bagas terberat, tujukka bahwa W( blamaa. d. Carlah lmt sebara dar W / B ( ( 6. Suatu cotoh acak dambl dar sebara Posso, ~ Po(. a. Tujukka bahwa Y e koverge stokastk ke P [ 0] e b. Carlah sebara asmtotk ormal dar Y c. Tujukka bahwa P [ ] e koverge stokastk ke e Sgt Nugroho 93
Sebara Nla Ekstrm Dalam bab sebelum, statstk tataa terpusat (k meyebar asmtotk ormal blamaa da k/ p. Jka statstk tataa ekstrm sepert (, ( da (k dbakuka sehgga mereka memlk lmt sebara yag odegeerate, lmt sebara buka sebara ormal. Dapat dtujukka bahwa lmt sebara odegeerate dar suatu peubah ekstrm aka mejad salah satu dar tga kemugka tpe sebara. Dega demka, ketga tpe sebara sagat bergua dalam mempelajar la ekstrm, aalog dega cara sebara ormal yag bergua dalam mempelajar ratarata melalu Teorema Lmt Pusat. Berbaga telada pegguaa dalam kehdupa sehar-har tetag statstk ekstrm, dataraya adalah: a. dalam hal mempelajar permasalaha bajr, peubah ttk maksmum (mamum flood stage dalam setahu. Peubah dapat berperlaku sepert maksmum dar jumlah tgkata bajr yag salg bebas selama setahu; b. kekuata suatu rata yag sama dega kelemaha dar suatu peyambugya; c. umur dar suatu ragkaa elektrok yag dsusu secara ser merupaka mmum dar umur kompoe; sedagka umur dar suatu ragkaa elektrok yag dsusu secara paralel merupaka maksmum dar umur kompoe; Sebara Asmtotk Statstk Tataa Ekstrm Teorema-teorema berkut, yag dtulska tapa pembukta, bergua dalam mempelajar tgkah laku asmtotk dar statstk tataa ekstrm.
Teorema 8.. Sebara Nla Ekstrm Jka lmt suatu barsa (deret suatu fugs sebara kumulatf merupaka fugs sebara kumulatf yag kotu, F( y lm F ( y, maka utuk sembarag a > 0 da b, lm F ( a a y b F( ay b jka da haya jka lm a 0 da lm b b Teorema 8.. Jka lmt suatu barsa suatu fugs sebara kumulatf merupaka fugs sebara kumulatf yag kotu, da jka lm F ( a y b G( y utuk semua a > 0 da semua blaga yata y, maka lm F ( y G( y utuk > 0, jka da haya jka /a da ( b/a 0 blamaa. Lmt Sebara Maksmum Msalka (,,( merupaka cotoh acak tertata berukura dar suatu sebara kotu dega fugs sebara kumulatf F(. Dalam hal teor la-ekstrm, maksmum ( dkataka memlk lmt sebara (odegeerate G(y jka terdapat barsa kostata {a} da {b} dega a > 0, sedemka rupa sehgga peubah terstadarsas, Y b / a koverge dalam sebara G(y. 96 Y ( ( ( b d Y ~G(y a Dega demka kta dapat kataka bahwa, ( memlk lmt sebara tpe G, dmaa yag kta maksudka ds adalah lmt sebara peubah terstadarsas (peubah baku Y adalah sebara odegeerate G(y. Jka G(y kotu, barsa kostata pembaku tdak aka khas; amu demka, tdak mugk medapatka Sgt Nugroho
Sebara Nla Ekstrm suatu lmt sebara dar tpe yag berbeda dega merubah kostata pembaku. Bla kta gt kembal sebara past dar statstk ( adalah F ( ( [ F( ]. Jka kta tertark pada Y b / a, maka sebara past dar Y adalah G (y = P[ Y y] ( ( = F ( a y b ( = [ F ( a y b ] Dega demka, lmt sebara dar ( (atau lebh tepatya Y adalah G ( y lmg ( y lm[ F( a y b ] Formula datas merupaka suatu pedekata lagsug dalam peetua lmt sebara la-ekstrm, jka barsa {a} da {b} dapat dperoleh sehgga meghaslka lmt odegeetare. Telada 8.. Msalka ~ Ekspoesal(. Dega megguaka a = da b = l. Maka, sehgga G ( y [ F( y l ] G( y lm e y e e y e y ep( e y Sgt Nugroho 97
Teorema 8. 3. Jka ( ( Sebara Nla Ekstrm Y b / a memlk lmt sebara G(y, maka G(y harus merupaka salah satu dar tga tpe sebara la-ekstrm berkut:. Type I (utuk Maksmum. (Tpe Ekspoesal ( G ( y ep( e y y. Type II (utuk Maksmum. (Tpe Cauchy ( G ( y ep( y y 0, 0 3. Type III (utuk Maksmum. (Tpe Lmted (3 ep[ ( y ] jka y 0, 0 G ( y jka y 0 Lmt sebara maksmum dar kepekata sepert sebarasebara Normal, LogNormal, Logstk da Gamma merupaka sebara la-ekstrm Tpe I. Terdapat beberapa fugs kepekata dega ekor tdak lebh tebal dar sebara ekspoesal. Kelas mecakup sejumlah besar sebara yag umum dketahu, da sebara la-ekstrm Tpe I (utuk maksmum harus memberka model yag bak utuk berbaga tpe peubah yag ada hubugaya dega maksmum. Sudah barag tetu, parameter lokas da parameter skala perlu dkealka dalam model blamaa daplkaska secara lagsug dalam peubah yag tdak stadar (tdak baku. Lmt sebara Tpe II sebaga hasl dar maksmum dar kepekata dega ekor lebh tebal, sepert dstrbus Cauchy. Sedagka Tpe III dapat berasal dar kepekata-kepekata dmaa batas atasya terhgga pada rage peubah. Teorema berkut memberka betuk alteratf yag lebh memudahka dalam peyelesaa la lmt. 98 Sgt Nugroho
Sebara Nla Ekstrm Teorema 8. 4. Gedeko. Dalam peetua lmt sebara Y b / a lmg ( y lm jka da haya jka lm F( a ( ( F ( a y b G( y y b l G( y Dalam bayak kasus, kesulta besar yag dalam dalam peetua barsa pembakua yag sesua sedemka rupa sehgga meghaslka lmt sebara odegeerate. Utuk suatu fugs sebara kumulatf F( dmugkka utuk megguaka Teorema Gedeko utuk mejawab a da b dalam betuk F( utuk setap tga kemugka lmt sebara. Dega demka, jka kta megetahu tpe lmt F(, maka a da b dapat dhtug. Jka kta tdak megetahu tpeya, kta dapat meghtug a da b utuk tap tpe da kemuda mecoba meetuka tpe maa yag sesua. Satu propert dar fugs sebara kumulatf yag bermafaat dalam megekspreska kostata pembaku adalah la cr terbesar (largest characterstc value. Defs 8.. Nla cr terbesar, u, dar atau fugs sebara kumulatf F( ddefska dega persamaa [-F(u] =. Utuk cotoh acak berukura dar F(, rata-rata bayakya observas yag aka melebh u adalah. Peluag bahwa satu observas melebh u adalah p P[ u ] F( u da rata-rata bayakya observas salg bebas adalah p F( u ] [ Sgt Nugroho 99
Teorema 8. 5. Msalka ~ F(, da asumska bahwa Sebara Nla Ekstrm Y b / a ( ( memlk lmt sebara.. Jka F( kotu da meak, lmt sebara Y aka memlk tpe ekspoesal jka da haya jka y lm F( a y b e y dmaa b = u da a merupaka jawaba dar F( a u ( e. G(y memlk Tpe Cauchy, jka da haya jka F( y lm k k 0, 0 y F( ky da dalam kasus, a = u serta b = 0. 3. G(y memlk Tpe Lmted, jka da haya jka F( ky 0 lm k k 0 y0 F( y 0 dmaa 0 = ma{ F(<}, batas atas dar. Juga b = 0 da a = 0 - u. Telada 8.. Msalka ~ Epoesal(, da kta tertark dega Maksmum dar suatu cotoh acak berukura. Nla cr terbesar u dapat dperoleh dar u / [ F( u ] [ ( e ] yag aka meghaslka la u = l. Kta berharap bahwa kepakata Ekspoesal aka berada dalam Tpe I, sehgga kta perlu mecobaya terlebh dahulu. Dega b = u = l, la a dapat dtetuka dega ( a l / a / F( a u e (/ e /( e yag aka meghaslka la a =. Dega demka, jka kepekata Ekspoesal masuk ke dalam Tpe I, maka 00 Sgt Nugroho
Sebara Nla Ekstrm ( l d ( Y Y ~ G ( y Hal dapat dega mudah dperksa dega megguaka cara sepert berkut ( yl lm [ F( a y b ] = lm [ e ] = y lm e e y = y Telada 8. 3. Suatu peubah dega fugs sebara kumulatf F(, memlk ekor baga atas yag tebal, sehgga ada kecederuga bahwa lmt sebaraya aka memlk Tpe Cauchy. Dega memerksa kods F( y y lm lm k y F ky y ( ( ky sehgga lmt sebaraya Tpe Cauchy dega =. Juga kta dapat evaluas bahwa [ F( u ] u yag aka / meghaslka u a, da kta msalka b = 0 dalam hal. Dega demka, kta tahu bahwa ( d ( Y Y ~ G ( y / Kta juga dapat melakuka verfkas bahwa lm [ F( a y b ] lm y l G( y sehgga G ( y ep( y yag merupaka Tpe Cauchy dega =. Sgt Nugroho 0
Telada 8. 4. Sebara Nla Ekstrm Utuk ~ Seragam(0,, dmaa F (, 0. Kta berharap bahwa sebara lmt maksmumya tergolog Tpe III. Kta puya [ F( u ] ( u yag aka meghaslka la u /. Dega demka b 0 da a 0 u. Dega memerksa kods bahwa F( ky 0 ( ky 0 ky lm lm lm k y0 F( y y0 ( y y0 y 0 sehgga lmt sebara Y tergolog Tpe III dega =. Sebaga lustras selajutya da Y lm [ F( a d Y ( ( ~ ( ( y b ] 0 y e G( y y = lm = y = l G( y jka jka y 0 y 0 Lmt Sebara Mmum Seadaya lmt sebara odegeerate ada utuk Mmum suatu cotoh acak, maka aka lmtya aka masuk ke dalam salah satu dar tga Tpe. Sudah barag tetu sebara mmum dapat dhubugka dega sebara maksmum, karea m(,..., ma(,..., Dega demka, seluruh hasl apa yag telah kta bahas pada Maksmum dapat dmodfkas utuk daplkaska jka detlya dapat d atur kembal. 0 Sgt Nugroho
Sebara Nla Ekstrm Msalka peubah kotu, ~ F(, da msalka Z = - ~ FZ(z = -F(-z. Juga perlu dgat bahwa (=-Z(. Sekarag apabla W b / a, kta puya ( ( ( b W (w = P w a Z ( b = P w a Z ( b = P w a = P[ Y w] G = ( w GY Lmt sebara W, sebut saja msalya H(w adalah H (w = lm ( w GW lm[ GY = ( w] = G( w yag maa G(y merupaka lmt sebara dar Y Z b / a. Utuk memperoleh H(w, yatu lmt sebara ( ( mmum, lagkah pertama adalah meetuka FZ ( z F ( z baru kemuda meetuka a, b da lmt sebara G(y dega megguaka metode sepert apa yag telah dgambarka utuk Maksmum yag daplkaska pada FZ(z. Dega demka lmt sebara utuk W adalah H ( w G( w Perlu dcatat bahwa blamaa F( termasuk pada satu tpe lmt, adalah mugk bahwa FZ(z aka masuk kedalam tpe yag berbeda. Sebaga telada Maksmum dar Ekspoesal( memlk sebara lmt Tpe I, amu demka FZ(z tergolog pada Tpe III. Sgt Nugroho 03
Sebara Nla Ekstrm Rgkasya, prosedur lagsug utuk meetuka a, b da H(w adalah pertama kal kta harus medapatka FZ(z da aplkaska metode utuk Maksmum dalam peetua G(y utuk Y Z b / a. Kemuda dapatka H(w. ( ( Defs 8.. Nla cr terkecl adalah s yag memeuh F (. Bla dperhatka maka s ( u ( z. Dega cara yag sama, kods F ( a u ( z /( e mejad F Z ( a s /( e, da sebagaya. s Teorema 8. 6. Jka W b / a memlk lmt sebara H(w, maka H(w ( ( aka tergolog ke dalam satu dar tga tpe sebara la-ekstrm berkut:. Tpe I (utuk mmum. (Tpe Ekspoesal Dalam hal b = -s, da a dperoleh dar ( s F( s a W e a da ( ( w H ( w G ( w ep( e w W jka da haya jka lm F( a y s e. Tpe II (utuk mmum. (Tpe Cauchy Plh la a = -s, b = 0, W = -(/s da ( ( H W ( w G ( w ep[ ( w ] w 0, 0 jka da haya jka F( y lm k k 0, 0 y F( ky y 04 Sgt Nugroho
Sebara Nla Ekstrm atau lm F( s y y y 0 3. Tpe III (utuk mmum. Tpe Lmted Jka m{ F( 0} merupaka batas bawah dar (yag maa = -0, maka ( b a s w s da (3 (3 H W ( w G ( w ep( w w 0, 0 jka da haya jka F( ky lm k k 0 y0 F( y atau lm F[( s y ] ( y Sebara mmum Tpe I dkeal juga sebaga sebara laekstrm Tpe I. Tpe II dar sebara mmum dkeal dega sebara Webull. Dalam meetuka tpe lmt sebara mmum, perlu dperhatka ketebala ekor kaa dar FZ(z dmaa Z=-. Dega demka, lmt sebara mmum beberapa kepekata, sepert Ekspoesal da Gamma, tergolog Tpe III. Ilah mugk suatu alasa bahwa sebara Webull kadag merupaka jawaba dalam beberapa aplkas. Telada 8. 5. Kta perhatka Mmum dar suatu cotoh acak berukura dar suatu peubah acak yag meyebar Ekspoesal(. Kta sudah megetahu bahwa ( ~ Ekspoesal( /, da demka juga (/ ~ Ekspoesal(. Dega demka, lmt sebara (/ juga Ekspoesal(, yag tergolog Tpe III dmaa =. Jka kta tahu jawabya, kta dapat meerka ( guess bahwa lmt sebaraya Sgt Nugroho 05
06 Sebara Nla Ekstrm Tpe III, karea rage dar peubah Z=- haya ada d kaa. Dega megguaka teorema terakhr, kta dapatka = 0 da F( ky ep( ky k ep( ky lm lm lm k y0 F( y y0 ep( y y0 ep( y Dega demka, kta tahu bahwa w HW ( w e dmaa ( ( WN s s Dalam kasus, la s dperoleh dar s / F( s e atau s l Hal tersebut tdak meghaslka kostata pembaku yag sama da detk sepert apa yag dsaraka sebelumya; amu demka, haslya kosste karea l( / / Secara rgkas, tujua dar bab adalah utuk meujukka bahwa statstk tataa yag ekstrm, sepert Mmum da Maksmum, apabla dtrasformas dega pas (sesua, memlk satu dar tga tpe sebara ekstrm. Termasuk Webull da Tpe I Sebara Nla-Ekstrm. Teor la-ekstrm memberka motvas pegguaa sebara dalam pemecaha masalah sepert feomea bajr da kekuata baha. Latha Tetuka kostata pembaku da sebara la ekstrm dar tap soal berkut: a. : da : apabla F(=(+e - -. b. : da : apabla ~ We(, c. : da : apabla ~ EV(, d. : da : apabla ~ Par(, Sgt Nugroho
Pedahulua Teor Pedugaa Ttk Beberapa bab terdahulu berkeaa dega pegembaga kosep peluag da peubah acak utuk membagu model matematk dar feomea fsk yag odetermstk. Beberapa cr umerk feomea fsk yag mejad perhata kta, tetap la crya tak dapat dhtug secara lagsug. Namu, dmugkka megamat satu atau lebh peubah acak, sebara yag tergatug cr yag dpelajar. Tujua utama dalam beberapa bab kedepa adalah membagu metode-metode utuk megaalss la amata peubah acak utuk memperoleh formas megea cr yag tak dketahu tersebut. Proses utuk memperoleh la amata suatu feomea fsk dsebut dega suatu percobaa (epermet. Msalka hasl suatu pecobaa adalah peubah acak, da f(; melambagka fugs kepekata peluagya. Umumya serg dguaka sebaga la ukura yag dperoleh dar dvdu yag dplh secara acak dar suatu populas. Dalam koteks, f(; merupaka fugs kepekata peluag populas, da merupaka sebara ukura dvdu dalam populas. Tujua pedugaa ttk adalah memberka la yag cocok utuk parameter berdasarka data amata dar populas. Hasl amata tdaka berulag dar suatu percobaa dapat dmodelka secara matematk sebaga peubah acak dar fugs kepekata peluag populas. Dega kata la, dasumska bahwa suatu gugus peubah acak yag salg bebas,,, masgmasg dega fugs kepekata peluag f(; aka damat, meghaslka suatu gugus data,,,. Sudah tetu, dmugkka bag kta utuk meulska fugs kepekata peluag bersamaya sebaga hasl kal fugs kepekata peluag masgmasg f,,..., ; f ( ; f ( ; f ( ; (
Teor Pedugaa Ttk Fugs kepekata peluag bersama meyedaka hubuga atara data amata da model matematk populasya. Kta aka perhatka seberapa bak pegguaa data tersebut dalam pedugaa la yag tak dketahu dar parameter. Dalam bab aka kta asumska bahwa sebara populas yag dpelajar dapat drepresetaska dega suatu faml fugs kepekata peluag f(; dega de parameter. Dalam beberapa kasus, parameter dapat berbetuk vektor, da aka dlambagka dega. Kta aka msalka, dsebut dega ruag parameter, merupaka gugus dar semua la yag mugk utuk parameter. Jka adalah suatu vektor, maka aka merupaka aak gugus dar ruag Eucld berdmes sama dega bayakya parameter yag tak dketahu. Suatu cotoh acak berukura dar suatu populas dega fugs kepekata peluag f(;. Termolog cotoh acak meujuk pada suatu gugus peubah acak,,, atau data amata,,,. Defs 9.. Suatu fugs peubah acak, T = t(,,,, yag tdak tergatug pada sembarag parameter dsebut dega statstk. Sebuah statstk juga merupaka peubah acak, sebaraya tergatug pada sebara cotoh acak da betuk fugs t(,,,. Sebara statstk kadag serg dsebut dega sebara turua atau sebara samplg, sebaga lawa kotras dar sebara populas. Telada 9.. Msalka,,, merupaka cotoh acak dar sebara Normal, ~ N(,. Rata-rata cotoh merupaka salah satu 08 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk statstk, karea T t,,..., dmaa t ( (,,..., ( / vara cotoh,. Ragam cotoh atau S ( juga merupaka cotoh suatu statstk. Esesya, statstk-statstk dguaka utuk mereduks suatu gugus la amata mejad gugus la yag lebh kecl, sehgga mudah dterpretaska. Sebaga catata, sebara samplg rata-rata cotoh da ragam cotoh dapat dperoleh dega megguaka Teorema-teorema yag telah dsampaka pada bab-bab terdahulu. Kta dapat tujukka bahwa ~ N(, / da ( S / ~. Pegguaa rata-rata da ragam ( cotoh dalam pedugaa parameter populas da kadag dguaka justfkas secara tutf. Kta asumska bahwa,,, merupaka cotoh acak dar f(; da ( merupaka fugs dar. Defs 9.. Sebuah statstk T = t(,,, yag dguaka utuk meduga la ( dsebut sebaga peduga bag (, da la pegamata dar statstk t(,,, dsebut dega la dugaa bag (. Istlah sela peduga yag serg dguaka adalah peaksr atau terjemaha lagsug tapa merubah hurufya adalah estmator. Hal serupa juga dega pegguaa stlah pedugaa, yatu peaksra atau estmas. Dguaka tga (atau setdakya dua macam huruf dalam otas. Huruf besar, msalya T, merepresetaska statstk yag dguaka sebaga peduga, huruf kecl t yag merupaka la amata atau dugaa, da skrp t merepresetaska fugs cotoh acak. Utuk meyataka peduga, tdak jarag pula dguaka caret atau top, ˆ, utuk membedaka atara parameter Sgt Nugroho 09
Teor Pedugaa Ttk yag tak dketahu dega pedugaya. Notas la yag serg juga dguaka adalah tlde, ~. Bla dguaka otas, tdak perlu lag megguaka huruf kaptal da sudah basa utuk meyataka pedugaya. Beberapa Metode Pedugaa Dalam beberapa kasus, peduga yag beralasa dapat dcar berdasarka tus, tetap berbaga metode umum telah dkembagka utuk meuruka peduga. Metode Mome Rata-rata cotoh,, sebagamaa kta ketahu merupaka peduga bag rata-rata populas. Salah satu pedekata umum da meghaslka peduga, dkeal dega peduga metode mome. Selajutya dapat dsgkat dega PM. Perhatka suatu fugs kepekata peluag populas f ;,,..., yag tergatug pada satu atau lebh parameter ( k ',,, k. Mome-mome d sektar la tegah, j, telah ddefska pada bab-bab terdahulu. Mome-mome umumya tergatug pada parameter-parameterya, sepert terlhat ' j j (,..., k E( j,,..., k Defs 9. 3. Jka,, adalah cotoh acak dar f ( ;,,..., k, mome cotoh k pertama adalah j ' M j j,,..., k 0 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Mome pertama adalah rata-rata populas, '. Dega cara yag sama, mome cotoh pertama adalah rata-rata cotoh. Perhatka cotoh sederhaa dar satu parameter yag tak ' dketahu, msalya saja. Fakta bahwa M umumya ' merupaka peduga beralasa bag ( meyaraka ' ' pegguaa jawaba ˆ dar persamaa M ( ˆ sebaga peduga bag. Dega perkataa la, karea ' M cederug ' dekat ke (, kta dapat berharap, dega kods tertetu bahwa ˆ aka cederug medekat. Secara umum, ˆ ˆ,..., ˆ, k merupaka jawaba dar persamaa ' ' M j j ( ˆ, ˆ,..., ˆ k j,,..., k Telada 9.. Suatu cotoh acak dar suatu sebara dega dua parameter tak dketahu, rata-rata populas da ragam populas. Dar apa ' yag telah kta bahas sebelumya, kta tahu bahwa da E ' ' ( (, sehgga Peduga Metode Momeya adalah jawaba dar persamaa-persamaa da ' ˆ ˆ ( M ' M, yatu ˆ da ˆ. Bla ragam cotoh ( sebagamaa kta tahu S. Sehgga peduga metode momeya sagat dekat dega ragam cotohya, ˆ [( / ] S. ˆ Sgt Nugroho
Telada 9. 3. Teor Pedugaa Ttk ( (, Bla cotoh acak dambl dar populas yag meyebar meurut sebara ekspoesal dega fugs kepekata peluag ( f ; e I (. Dapat dcar dega mudah bahwa ratarata populasya (, da seadaya kta atur ˆ, maka ˆ adalah peduga metode mome dar. Telada 9. 4. Msalka cotoh acak yag dambl dar sebara ekspoesal / dega fugs kepekata peluag f ( ; e I (0, ( da / seadaya kta g meduga peluag p ( P( e. ' Sebaga catata bahwa, (, maka peduga mome bag adalah ˆ. Jka model dreparametersas dega / / p p( e e, maka ( p / l p, da jka kta samaka, aka kta peroleh ( pˆ / l pˆ, maka / peduga mome dar p adalah pˆ e. Dega demka, dalam kasus, pˆ p( ˆ. Jka suatu kelas peduga memlk sfat sepert, maka kelas peduga tersebut dkataka memlk sfat vara. Dega demka, utuk meduga (, kta selesaka dahulu (ˆ utuk medapatka peduga mome bag da kta guaka (ˆ, atau mugk megekspreska secara lagsug dalam betuk da mecar jawaba (ˆ utuk peduga mome bag. Tdak jelas apakah kedua pedekata aka selalu memberka hasl yag sama, tetap jka ˆ adalah peduga mome bag, kta aka merujuk (ˆ sebaga peduga mome bag (. Secara umum, jka peduga mome peduga mome Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk parameter asl,,, k telah dperoleh, maka (,,..., ( ˆ, ˆ,..., ˆ aka dguaka utuk ˆ j k j k pedugaa fugs parameter alam laya, darpada memerluka persamaa mome yag dekspreska lagsug dalam betuk j. Telada 9. 5. Perhatka bla suatu cotoh acak berasal dar sebara Gamma, ~ Gamma(,. Bsa dperlhatka bahwa ' ' da ( dega demka da ( Peduga mome bag kedua parameter tersebut adalah ˆ ( [( / ] S da ˆ ˆ Metode Kemugka Maksmum Metode sergkal meghaslka peduga yag memlk propert yag dgka, khususya propert cotoh berukura besar. Ideya adalah, sebaga dugaa parameter yag tak dketahu, megguaka suatu la dalam ruag parameter yag berkeaa dega kemugka terbesar data amata. Telada 9. 6. Dar percobaa pelempara sebuah ko yag tdak sembag, dketahu bahwa rata-rata propors muculya Gambar adalah salah satu dar tga la berkut, p = 0,0 ; 0,30 ; atau 0,80. Sebuah Sgt Nugroho 3
4 Teor Pedugaa Ttk percobaa melempar ko tersebut dua kal da damat jumlah muculya Gambar. Secara matemats, dapat dmodelka sebaga suatu cotoh acak, berukura = dar sebara Beroull, ~ B(,p dmaa ruag parameterya adalah {0,0;0,30;0,80}. Telah kta ketahu bahwa atau dapat dtujukka dega mudah bahwa peduga mome bag p adalah, tdak aka meghaslka la yag beralasa atau dgka karea = 0 ; 0,5 atau. Da la-la tdak berada d dalam ruag parameter. Fugs kepekata peluag bersama dar cotoh acak tersebut adalah f (, ; p p ( p utuk = 0 atau. Nla-la fugs kepekata peluag tersebut dapat dlhat pada tabel berkut. (, p (0,0 (0, (,0 (, 0,0 0,64 0,6 0,6 0,04 0,30 0,49 0, 0, 0,09 0,80 0,04 0,6 0,6 0,64 Msalka percobaa meghaslka pasaga (, = (0,0. Dar tabel datas p yag aka dplh adalah 0,0. Dega cara yag sama, jka (, = (0, atau (,0 maka la p yag aka dplh adalah 0,30, serta (, = (, megakbatka terplhya la p = 0,80. Dega demka la yag memaksmumka kemugka utuk tap pasaga la (, adalah 0,0 jka (, (0,0 p ˆ 0,30 jka (, (0,,(,0 0,80 jka (, (, Secara umum, utuk suatu gugus peubah acak dskrt, fugs kepekata peluag bersama dar cotoh acak yag devaluas Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk pada gugus data cotoh tertetu, msalya f(,,;, meujukka peluag bahwa gugus data amata,, aka mucul. Utuk peubah acak kotu, f(,,; buka merupaka peluag amu tetap meggambarka kemugka relatf bahwa gugus data tertetu aka terjad, da kemugka tergatug pada la parameter sesugguhya. Defs 9. 4. Fugs kepekata peluag dar peubah acak,, yag devaluas pada,,, sebut saja f(,,; dkeal dega fugs kemugka. Utuk la-la,, fugs kemugka adalah suatu fugs dar da serg dotaska dega L(. Jka,, merupaka cotoh acak dar f(;, maka ;... f ( ; f ( ; L( f ( Utuk suatu gugus data yag dberka, L( memberka kemugka gugus tersebut sebaga fugs dar. Prsp pedugaa dega kemugka maksmum adalah memlh dugaa, utuk gugus data yag dberka, sehgga la utuk gugus data yag teramat aka hampr past terjad. Dega demka, jka kemugka megamat suatu pegamata aka jauh lebh tgg blamaa = dar pada bla =, maka sagat beralasa kta plh sebaga dugaa dar pada. Defs 9. 5. Msalka L ( f (,..., ;, merupaka fugs kepekata peluag bersama dar,,. Utuk suatu gugus amata yag dberka, (,,, la ˆ dalam blamaa L( maksmum, dsebut dega dugaa kemugka maksmum dar. Dega demka, ˆ adalah la yag memeuh Sgt Nugroho 5
f,..., ; ˆ ma f (,..., ; ( Teor Pedugaa Ttk Perlu dketahu bahwa jka tap gugus pegamata (,, berkeaa dega suatu la ˆ yag khas, maka prosedur medefska suatu fugs, yatu ˆ t(,...,. Fugs yag sama, blamaa daplkaska utuk cotoh acak, ˆ t(,..., dsebut dega peduga kemugka maksmum, selajutya dsgkat dega PKM. Basaya, otas yag sama, ˆ, dguaka utuk dugaa kemugka maksmum da peduga kemugka maksmumya. Dalam bayak aplkas L( merepresetaska fugs kepekata peluag bersama suatu cotoh acak, meskpu prspprsp kemugka maksmum juga berlaku utuk kasus yag la sepert gugus statstk tataa. Jka merupaka terval terbuka, da jka L( dfferesabel da da memlk maksmum pada, maka PKM d merupaka jawaba dar persamaa ( 0 d L. Jka terdapat satu atau lebh jawaba yag memeuh, perlu dverfkas, jka ada, yag memaksmumka L(. Setap la yag memaksmumka L( juga aka memaksmumka fugs log-kemugka, l L (. Sehgga utuk keyamaa perhtuga, serg dguaka d l L( 0. d Telada 9. 7. Suatu cotoh acak dar sebara Posso, ~ Po(. Maka fugs kemugkaya adalah 6 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Sgt Nugroho 7 e e f L!! ; ( ( da fugs log-kemugka ya adalah L! l l ( l sehgga dperoleh persamaa kemugka maksmumya adalah 0 ( l L d d yag tetuya aka meghaslka ˆ. Dmugkka utuk memverfkas bahwa la aka memaksmumka fugs log-kemugka dega megguaka uj turua kedua. Karea L d d ( l < 0. Dega demka, memag bear bahwa ˆ adalah PKM bag. Telada 9. 8. Mash berkeaa dega telada sebelum, seadaya kta g meduga = ( = P[=0] = e -. Dega cara reparametrsas dalam betuk dega memsalka = -l utuk memperoleh L! l ( *(
Teor Pedugaa Ttk yag juga merepresetaska fugs kemugka relatf terhadap. Sehgga l L *( l d d l( l l l L * ( l Dega demka 0 ˆ l ˆ ˆ aka meghaslka ˆ e. Telada juga meujukka bahwa ˆ ˆ( ( ˆ. Teorema 9.. Jka ˆ adalah PKM bag da jka u( merupaka fugs dar, maka u (ˆ adalah PKM bag u(. Teorema tersebut mejelaska bahwa jka kta melakuka reparametrsas = (, maka PKM bag adalah ˆ ( ˆ. Telada 9. 9. Msalka suatu cotoh acak yag berasal dar sebara ekspoesal, ~ Ekspoesal(. Fugs kemugka dar cotoh acak berukura adalah L( e Dega demka, 0 8 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk d l L( l da l L( d Selajutya, 0 aka dperoleh bahwa ˆ. ˆ ˆ / Apabla dgka utuk meduga p ( P( e, / dega megguaka teorema terakhr, bahwa p( ˆ e. Terdapat beberapa kasus dmaa PKM ada tetap tak dapat dperoleh sebaga jawaba dar persamaa kemugka maksmum.. Telada 9. 0. Sebuah cotoh acak berasal dar sebara ekspoesal dua parameter, ~ Ep(,. Fugs kemugka atau fugs lkelhood ya adalah L ( ( ( e I[, ( e I [, ( Jka kta otaska mmum dar,, dega ( maka fugs lkelhood tad dapat dtulska dega ( L e I ( ( [, ( Kta tahu bahwa semua la amata tdak lebh kecl dar, ( sehgga e aka maksmum apabla sekecl mugk. Dega demka fugs kemugka aka maksmum apabla ˆ (, da peduga kemugka maksmum (PKM ya adalah statstk mmum. Sgt Nugroho 9
Teor Pedugaa Ttk I merupaka salah satu telada yag meghaslka peduga mome da peduga kemugka maksmum berbeda. Telada 9.. Umur suatu kompoe elektrok megkut sebara Ekspoesal dega parameter. Msalka sejumlah kompoe dambl secara acak da dlakuka peguja, da pegamata dlakuka utuk sejumlah r kompoe yag gagal berfugs pertama yag dotaska dega (, (,, (r. Fugs kepekata peluag bersama dar (, (,, (r adalah L ( = f,..., ; 0 = = ( ( ( r r ep ( r!! ep r ( r! ( r ep ( ( r ( r (! ( r Sebaga catata bahwa T r r ( ( r ( r merupaka total survval tme dar sebayak kompoe yag duj hgga percobaa dhetka. Utuk medapatka PKM bag berdasarka data tersebut, maka! T l L( l r l ( r! d r T l L( d Dega megatur bahwa turua atau dferesal sama dega ol r 0 ˆ T ˆ T aka dperoleh ˆ. r r Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Telada-telada terdahulu megguaka sebara dega satu parameter yag tak dketahu. Defs fugs kemugka da peduga kemugka maksmum dapat dterapka dalam kasus jumlah parameter lebh dar satu jka merepresetaska suatu vektor parameter, sebut saja = (,, k. Meskpu secara umum dapat memlk k-dmes, dalam kebayaka telada merupaka hasl kal Cartesa k terval. Apabla dalam betuk da juga turua parsal L(, k ada, da PKM tdak terjad pada batas, maka PKM merupaka jawaba dar l L(,..., k 0 j utuk j =,, k. I yag dsebut dega persamaa kemugka maksmum, da jawabaya dotaska dega ˆ ˆ,... k. Sebagamaa dalam kasus satu parameter, umumya perlu dverfkas bahwa jawab dar persamaa kemugka maksmum memaksmumka L(, k. Teorema 9.. Jka ˆ ( ˆ,..., ˆ merupaka PKM bag,...,, maka k ( k PKM bag ( (,..., r ( adalah ( ˆ,..., ˆ ( ( ˆ,..., ( ˆ utuk r k. ˆ r r Telada 9.. Utuk suatu gugus peubah acak ~ N(,, kta g mecar peduga kemugka maksmum (PKM bag da = berdasarka cotoh acak berukura. Kta puya ( / f ( ;, e Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Sgt Nugroho ep (, ( / L ( l l(, ( l L (, ( l L da (, ( l L Dega demka, PKM bag da dapat dcar dega cara meyelesaka kedua persamaa berkut 0 ˆ ˆ ( da 0 ˆ ˆ ( ˆ Dega demka kta dapat peroleh ˆ da ( ˆ ˆ Telada 9. 3. Sebuah cotoh acak dar sebara Ekspoesal dua parameter, ~ Eksp(,. Fugs kepekata peluag populas ( ] / ( ep[, ; (, I f
Teor Pedugaa Ttk Sgt Nugroho 3 Fugs lkelhood ya adalah ( ep ( ] / ( ep[, ( (, [, I I L da fugs log-lkelhood ya adalah ( l, ( l (, [ I L Fugs lkelhood aka maksmum utuk dega megambl la ˆ (. Utuk maksmss relatf terhadap, kta perlu mecar turua dar ˆ, ( l L terhadap, da jawab persamaa hasl turuaya setelah datur laya sama dega ol. ˆ ( ˆ, ( l d L d Kemuda 0 ˆ ˆ ( ˆ sehgga dperoleh ( ˆ ˆ ( ˆ Persetl ke-, yag dotaska dega, adalah la yag sedemka rupa sehgga F( =. Dega demka, dalam kasus, l(. PKM bag adalah ˆ ˆ l( ˆ, berdasarka Teorema Ivara.
Teor Pedugaa Ttk Krtera utuk Megevaluas Peduga Terdapat beberapa krtera peduga yag dapat dpaka utuk megevaluas apakah peduga tersebut bak atau tdak, sepert msalya ketdakbasa. Defs 9. 6. Sebuah peduga T dkataka sebaga peduga tak bas bag ( jka E(T = ( utuk semua. Jka tdak, kta kataka bahwa T merupaka peduga bas bag (. Jka suatu peduga tak bas dguaka utuk memberka la bag (, la ( yag sebearya mugk tak aka dapat dpeuh dega sembarag la dugaaya, t, tetap la rata-rata T aka sama dega (. Dmugkka utuk medapatka sebuah peduga beralasa yag bas, da sergkal peduga tersebut dapat dsesuaka mejad peduga yag tak bas. Telada 9. 4. Sebuah cotoh acak berukura dambl dar sebara ekspoesal, ~ Ekspoesal(. Karea adalah juga merupaka rata-rata (mea sebara Ekspoesal, kta tahu bahwa PKMya,, tdak bas bag. Jka kta gka peduga bag kebalka rata-rata, ( = /, maka dega sfat vara, PKM bag / adalah T /. Namu demka T merupaka peduga yag bas bag /. Dar pembahasa pada bab-bab terdahulu 4 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Y ~ Selajutya E ( Y /[( ], da dega demka E ( T [ /( ](/. Meskpu terlhat bahwa T merupaka peduga yag bas terhadap /, peduga tak bas bag / dapat dcar dega cara meyesuaka koeffse sedemka rupa sehgga E(T = /. Dega demka, peduga tak bas bag / adalah [(-/]T. Tdak selalu dmugkka utuk meyesuaka peduga yag bas mejad tak bas dega cara. Telada 9. 5. Msalka dgka utuk megestmas / dega haya megguaka statstk terkecl atau (. Dapat juga dperlhatka bahwa ( ~ Ekspoesal(/ da sebaga kosekuesya ( adalah peduga yag tak bas bag. Hal serupa meyaraka bahwa T = /(( dapat juga dguaka utuk meduga /. Namu, statstk T tak dapat dsesuaka dega cara sepert agar tak bas utuk /, karea E(T tdak ada. Statstk T da T meggambarka suatu kesalaha atau ketdaksempuraa dalam kosep ketdakbasa sebaga prsp yag umum. Secara khusus, jka ˆ sebaga peduga tak bas bag, maka (ˆ belum tetu merupaka peduga tak bas bag (. Namu demka, (ˆ mugk merupaka peduga beralasa bag (. Kadag-kadag dmugkka utuk meuruka beberapa peduga potesal yag berbeda utuk suatu parameter. Sebaga telada, dalam berbaga kasus, peduga mome da peduga Sgt Nugroho 5
Teor Pedugaa Ttk kemugka maksmum pada dasarya memlk betuk dasar yag sama. Hal membulka pertayaa yag gampag sepert bagamaa memlh peduga maa yag terbak dalam beberapa hal. Ide yag sagat umum adalah memlh peduga yag cederug terdekat atau palg terkosetras dsektar la yag sebearya dar parameter yag dduga. Mugk lebh beralasa utuk megataka bahwa T lebh terkosetras (more cocetrated darpada T dsektar ( jka P [ ( T ( ] P[ ( T ( ] utuk semua > 0, da juga sebuah peduga dkataka palg terkosetras (most cocetrated jka peduga tersebut lebh terkosetras dar setap peduga laya. Tdaklah jelas bagamaa medapatka sebuah peduga yag palg terkosetras, amu beberapa kosep aka dbahas yag mugk secara parsal mejawab pertayaa. Sebaga msal, jka T merupaka peduga yag tak bas bag (, maka meurut perdaksamaa Chebychev kta dapatka P[ ( T ( ] Var( T / utuk semua > 0. Dapat dsmpulka bahwa peduga-peduga yag tak bas, dega ragam yag lebh kecl cederug aka lebh terkosetras da dega demka lah yag lebh dsuka (dpaka. Telada 9. 6. Dua telada terakhr meggambarka bahwa da ˆ merupaka dua peduga yag tak bas bag, tetap ( Var ˆ ( / da Var ( ˆ. Dega demka, utuk >, Var ˆ ( / < Var ( ˆ, da ˆ merupaka peduga yag lebh bak dega krtera. ˆ 6 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Dalam beberapa kasus sebuah peduga dapat memlk ragam yag lebh kecl utuk beberapa la da lebh besar utuk la laya. Dega demka tak ada peduga yag dkataka lebh bak dar peduga laya secara umum. Dalam kasus-kasus tertetu, dmugkka utuk memperlhatka bahwa sebuah peduga tak bas memlk ragam terkecl datara semua peduga tak bas utuk semua kemugka la. Dalam kasus, kta perlu membatas perhata kta pada peduga tersebut. Peduga Tak-Bas Ragam Mmum Seragam Teorema 9. 3. Msalka,,, merupaka cotoh acak berukura dar f(;. Sebuah peduga T* bag ( dkataka sebaga peduga tak bas ragam mmum seragam atau uformly mmum varace ubased estmator (UMVUE bag ( jka. T* merupaka peduga tak bas bag (, da. utuk sembarag peduga tak bas T bag (, berlaku Dalam beberapa kasus, batas bawah dapat dturuka dar ragam peduga tak basya. Jka suatu peduga tak bas yag dperoleh mecapa la batas bawah, maka peduga tersebut dapat dkataka sebaga peduga tak-bas ragam mmum seragam (UMVUE. Batas bawah utuk ragam peduga tak bas dapat dbagu, apabla turua fugs parameter da turua fugs kepekata peluag terhadap parameter ada serta dperbolehkaya pertukara otas turua da tegral (pejumlaha. Tetuya, juga dperluka bahwa daerah fugs (doma tegra harus tdak boleh tergatug pada parameter. Jka T merupaka peduga tak bas bag (, maka batas bawah Cramer-Rao atau Cramer-Rao Lower Boud (CRLB bag vara peduga berdasarka cotoh acak adalah Sgt Nugroho 7
Var ( T '( Teor Pedugaa Ttk E l f ( ; Dega asums kods dfferesabltas sebagamaa telah dsebutka terdahulu, CRLB dapat dbuat sepert berkut. Kta aka guaka asums bahwa yag berkut apabla peubahya bersfat kotu. Utuk kods peubah dskrt, aalog dega apa yag ada d bawah, haya dega meggatka otas tegral dega sgma utuk pejumlaha. Msalka kta memlk fugs yag ddefska sebaga berkut u(,..., ; l f (,..., ; yag dapat juga dtulska mejad u(,..., ; f (,..., ; f (,..., ; u,..., Jka kta defska suatu peubah acak U ( ;, maka (U u(,..., ; f (,..., ; d d E = = f (,..., ; d d = f (,..., ; d d = = 0 Seadaya juga T t,..., merupaka peduga tak basa ( bag (, maka kta aka peroleh E( T t(,..., ( Jka kta turuka terhadap, maka f (,..., ; d d 8 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk '( = t(,..., f (,..., ; d d = t(,..., f (,..., ; d d t(,..., u(,..., ; f (,..., ; d d = = E (TU Adaya fakta bahwa E ( U 0, maka Var( U E( U da Cov( T, U E( TU. Karea koeffse korelas selalu berada pada ksara sampa dega +, maka kta dapatka hubuga bahwa [ Cov( T, U ] Var( T Var( U da sebaga kosekuesya Var ( T E( U [ '( ] sehgga '( Var ( T E l f (,..., ; Blamaa,, merepresetaska cotoh acak, f (,..., ; f ( ; f ( ; sehgga u(,..., ; l f ( ; dmaa kta dapatka E( U Var( U Var l f ( ; E l f ( ; Akhrya, kta dapatka batas bawah Cramer-Rao utuk ragam peduga tak bas bag (. Sgt Nugroho 9
Teor Pedugaa Ttk Sgt Nugroho 30 Telada 9. 7. Sebuah cotoh acak dar sebara Ekspoesal, e f ; (. Dega demka l / ; ( l f / ( / / ; ( l f 4 4 / / / ( ; ( l E f E da CRLB utuk ( = adalah /[(/ ] = /. Karea Var / (, maka adalah UMVUE bag. Dmugkka utuk memperoleh formas tetag tpe peduga, yag memlk vara sama dega CRLB. Batas bawah dapat dcapa haya apabla koeffse korelas atara T da U adalah, atau dega kata la bahwa atara T da U memlk hubuga ler, sebut saja T = au + b dega peluag utuk kostata a 0 da sembarag b. Jad, agar T mecapa CRLB bag ( haruslah merupaka fugs ler dar f ; ( l. Telada 9. 8. Suatu cotoh acak dar sebara Geometrk, ( ; ( f. Kta g mecar UMVUE bag ( = /. Dega demka l( ( l ; ( l f / ; ( l f ( ( / ; ( l E f E
Teor Pedugaa Ttk ( CRLB ( Utuk membuat ragam atau vara peduga tak bas T mecapa CRLB, haruslah memlk betuk T a ( / /( b yag juga dapat dekspreska sebaga fugs ler rataa cotoh, T c d utuk kostata c da d. Karea merupaka peduga tak bas bag /, maka dperluka c = da d = 0, sehgga T haya satu-satuya peduga tak bas bag /. Ragam bag adalah Var( ( /( yag juga sama dega CRLB. Jad adalah UMVUE bag /. Teorema 9. 4. Jka suatu peduga tak bas bag ( ada, dmaa ragamya sama dega CRLB, maka haya fugs ler dar ( yag aka memlk peduga tak bas, yag ragamya juga sama dega CRLB yag sesua. Dega demka, telada datas tak aka ada peduga tak bas yag ragamya sama dega CRLB utuk peduga tak bas bag, karea buka merupaka fus ler dar /. Tak dapat dsmpulka dar s bahwa UMVUE utuk tak ada, tetap tdak dapat dperoleh dega megguaka pedekata CRLB. Dalam bab berkutya kta aka bahas suatu metode yag memugkkaya blamaa pedekata saat tak berhasl. Pembadga atar ragam peduga serg dguaka utuk memutuska metode maa dalam pegguaa data lebh effse. Sgt Nugroho 3
Defs 9. 7. Teor Pedugaa Ttk Relatf efses dar sebuah peduga tak bas T bag ( terhadap peduga tak bas laya, T* bag (, adalah var( T* re( T, T*. var( T Suatu peduga tak bas T* bag ( dkataka efse jka re(t,t* utuk semua peduga tak bas T bag (, da. Efses suatu peduga tak bas T bag ( dberka dega rumus e(t = re(t,t* jka T* adalah peduga efse bag (. Telada 9. 9. Dalam beberapa telada terdahulu (cotoh acak dar sebara ekspoesal dega parameter, kta memlk peduga tak bas ˆ da ˆ ( bag. Telah kta ketahu juga bahwa ˆ adalah UMVUE. Dega demka ˆ adalah peduga efse bag, da efses ˆ ( adalah e ˆ / re( ˆ, ˆ ( da dega demka ˆ ( merupaka peduga yag tak bak bag karea la efsesya aka kecl apabla ukura sampelya besar. Peduga yag agak bas atau sedkt bas amu sagat terkosetras dsektar parameter yag dpelajar mugk lebh dsuka darpada peduga tak bas amu kurag terkosetras. Dega demka, dperluka krtera yag lebh umum yag memugkka bak peduga bas da tak bas dperbadgka. 3 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Teorema 9. 5. Jka T adalah peduga bag (, maka besarya bas adalah b T E( T ( da kuadrat tegah galat bag T adalah KTG ( T E[ T ( ] Teorema 9. 6. Jka T adalah peduga bag (, maka KTG T Var( T [ b Bukt KTG (T = E [ T ( ] ( T = E [ T E( T E( T ( ] = E [ T E( T ] [ E( T ( ][ E( T E( T ] [ E( T ( ] = Var T [ b ( T ] ] Telada 9. 0. Suatu cotoh acak dar sebara dega ( f ; e I (. Kta g membadgka Peduga ( [, Mome da Peduga Kemugka Maksmum bag. Berdasarka telada yag sudah ada, peduga momeya adalah ˆ da peduga kemugka maksmumya adalah ˆ. Dapat dperlhatka dega metode yag sudah ada bahwa ( ~ Gamma(/; da ~Eksp(/. Dega demka kta dapatka E ( ˆ E( E( Sgt Nugroho 33 (
Teor Pedugaa Ttk E( ˆ E( ( E( ( E( ( Dega demka, ˆ adalah peduga tak bas da ˆ merupaka peduga yag bas dega besarya bas ( b /. Kuadrat tegah galat masg-masg dapat dcar ˆ sebaga berkut: KTG ( ˆ Var( Var( / da KTG ˆ Var( ˆ (/ Var( (/ Var( ( ( ( (/ ( / (/ / Dega demka, utuk > peduga yag bas memlk lebh kecl kuadrat tegah galat darpada peduga tak basya. Dmugkka utuk membuat peyesuaa dar peubah bas ˆ mejad tak bas, msalya dega membuat ( ˆ 3 ( E( ˆ 3 E( ( / E( ( /, sehgga / / / KTG( ˆ ˆ 3 Var( 3 Var( ( Var( ( / ˆ 3 ( / Utuk >, memlk kuadrat tegah galat terkecl datara ketgaya. Apabla la dugaa berbeda dega la sebearya dar parameter yag destmas, perlu dpertmbagka keruga yag juga merupaka fugs dar perbedaa. Defs 9. 8. Jka T adalah peduga bag (, maka fugs keruga adalah sembarag fugs blaga yata L (t; sedemka rupa sehgga L ( t; 0 utuk seta la t, da L ( t; 0 blamaa t ( 34 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Defs 9. 9. Fugs resko ddefska sebaga rata-rata keruga, R T ( E[ L( T; ] Defs 9. 0. Suatu peduga T adalah peduga yag lebh bak dar peduga T jka da haya jka R R ( utuk semua, da T ( T R R ( sedktya utuk satu. T ( T Suatu peduga T dkataka admsbel jka da haya jka tak ada peduga yag lebh bak. Dega demka, jka satu peduga memlk resko yag lebh kecl da seragam, maka peduga perlu dpertmbagka, da hlagka yag la karea tdak admsbel. Telada 9.. Pada telada sebelum ˆ 3 ( / adalah merupaka peduga tak bas, yag cukup beralasa dguaka utuk meduga parameter lokas. Bla kta puya kelas peduga dalam betuk ˆ c utuk beberapa kostata c > 0. Peduga-peduga 4 ˆ3 semacam aka bas utuk meduga, kecual apabla la c =, da kuadrat tegah galatya adalah KTG( ˆ Var( c ˆ [ bc ] c / ( c. 3 4 3 ˆ Dskus lebh jauh dapat dperlhatka bahwa kuadrat tegah galat maa yag lebh kecl dbadg yag laya. Hal sagat tergatug dega besarya sampel yag dambl da la parameter yag dduga. Sgt Nugroho 35
Defs 9.. Teor Pedugaa Ttk Suatu peduga T dkataka sebaga peduga mma jka ma R ( ma ( utuk setap peduga T. T R T Dega perkataa la, T adalah peduga yag memmumka maksmum resko, atau ma R ( m ma R ( T T T Telada 9.. Melajutka permasalaha pada telada sebelumya, ma KTG( ˆ 3 / ma KTG ( ˆ 4 ma[ c / ( c ] ˆ 3 ( ˆ 4 ( peduga tak bas / adalah peduga mma dalam kelas peduga c( /. Defs 9.. Utuk suatu cotoh acak dar f(;, resko Bayes dar suatu peduga T relatf terhadap suatu fugs resko RT( da fugs kepekata peluag p( adalah resko rata-rata berdasarka p(, AT E RT ( RT ( p( d Defs 9. 3. Utuk suatu cotoh acak dar f(;, peduga Bayes T* relatf terhadap suatu fugs resko RT( da fugs kepekata peluag p( adalah peduga dega rata-rata resko palg kecl, E R ( E R ( utuk setap peduga T. T* T 36 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Dalam berbaga permasalaha, sagatlah beralasa utuk megasumska bahwa parameter bervaras utuk berbaga kasus, da dega demka kta perlakuka sebaga peubah acak. Dalam kasus laya, p( dapat merupaka formas awal atau yag dpercaya sebaga la parameter yag sebearya. Dalam kasus-kasus tu, pegeala megea fugs kepekata peluag p(, yag basaya serg dsebut dega kepekata awal (pror desty utuk parameter, berhubuga dega asums tambaha yag mugk bergua atau tdak tergatug kebearaya. Dalam sembarag perstwa, megambl la rata-rata sehubuga dega fugs kepekata peluag p( merupaka prosedur yag memberka jala utuk membedaka dua peduga blamaa memlk fugs resko yag lebh kecl da seragam darpada peduga laya utul semua la. Jka suatu cara dapat dkembagka utuk meetuka peduga Bayes utuk p( tertetu, maka suatu kelas peduga dapat dperoleh dega mempertmbagka kemugka p( yag berbeda. Telada 9. 3. ˆ 3 ( Mash dega megguaka / da ˆ 4 0,9( ( /. Dega fugs keruga kuadrat (squared error loss kta peroleh bahwa / lebh bak meurut ˆ 3 ( ˆ 4 ( prsp mma, amu 0,9( / lebh bak blamaa /, karea memlk kuadrat tegah galat yag lebh kecl utuk dalam aak gugus. Kta asumska bahwa ~ N(0,. E [ R ˆ ( ] E (/ / 3 da E [ R ˆ4 ( ] E [0,8/ Berdasarka krtera, ˆ 4 ( 0,0 ] 0,8/ ˆ 3 ( da 0,9( / jka 4. 0,0. / lebh bak jka 5, Sgt Nugroho 37
Teor Pedugaa Ttk Cotoh Berukura Besar Kta telah bahas propert atau sfat-sfat yag dmlk peduga sepert ketdakbasa (ubasedess da ragam mmum seragam (uformly mmum varace. Keduaya ddefska utuk cotoh atau sampel berukura tetap, da kecl. Perlu dpertmbagka asmtot atau sfat-sfat blamaa ukura sampel besar. Suatu peduga bsa saja mejad tdak dgka atau tdak bak, blamaa ukura sampelya kecl, tetap mugk mash bsa dpertmbagka utuk dpaka pada beberapa aplkas jka memlk sfat asmtot sejala dega megkatya ukura sampel. Defs 9. 4. Msalka {T} merupaka sekue atau dereta peduga bag (. Peduga-peduga dkataka sebaga peduga-peduga yag kosste bag ( jka utuk setap >0, lm P [ ( ] utuk setap. T Defs datas juga berart bahwa T koverge dalam peluag ke (, T p ( blamaa. Hal serg dsebut dega kosste sederhaa. Yag dmaksud dega kosste adalah utuk ukura cotoh yag semak besar, peduga semak lebh terkosetras dsektar (, da dega membuat cukup besar, T dapat dbuat atau dsesuaka hgga seberapa tgkata kosetras yag dgka. 38 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Defs 9. 5. Jka {T} merupaka sekue atau dereta peduga bag (, maka peduga-peduga tersebut dkataka kuadrat tegah galat kosste (mea squared error cosstet jka lm E [ T ( ] 0 utuk setap.. Defs 9. 6. Dereta {T} dsebut sebaga peduga tak bas secara asmtotk (asymptotcally ubased bag ( jka lm E ( T ( utuk semua.. Dapat dtujukka bahwa dereta {T} yag kosste berdasarka kuadrat tegah galat juga tak bas secara asmtotk da kosste sederhaa. Teorema 9. 7. Dereta peduga {T} bag ( kosste berdasarka kuadrat tegah galat jka da haya jka dereta tersebut tak bas secara asmtotk da lmvar ( T 0. Bukt sebaga latha. Telada 9. 4. Dalam telada d awal pembahasa bab, kta pertmbagka T / sebaga peduga bag ( /. Kta juga dapat perlhatka Y / ~. Dega demka, ( T [ /( ](/ E Sgt Nugroho 39
da Var( T [ /( ] /[( ], Teor Pedugaa Ttk sehgga apabla, maka E ( / da Var ( 0. Dega demka, meskpu T bas, amu T tak T bas asmtotk da kosste kuadrat tegah galat utuk (. Sebagamaa telah kta bahas bahwa kosste berdasarka kuadrat tegah galat lebh kuat darpada kosste sederhaa. T Teorema 9. 8. Jka {T} merupaka sekue atau dereta peduga bag ( yag kosste berdasarka kuadrat tegah galat, maka dereta tersebut juga kosste sederhaa. Bukt :sebaga latha. Telada 9. 5. Msalka,, merupaka cotoh acak dar sebara dega rata-rata da ragam. Dalam beberapa bab terdahulu, p, da jka mome ke-empat,, terhgga, maka S p. Karea da ' 4 S tak bas da ragam masgmasgya medekat ol, blamaa ukura cotoh semak besar, sehgga keduaya adalah peduga yag kosste sederhaa da kosste kuadrat tegah galat. Jka sebaraya Ekspoesal dega parameter, maka kosste kuadrat tegah galat, amu peduga ˆ ( bahka tdak kosste sederhaa, karea ( ~ Eksp(. 40 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Teorema 9. 9. Jka {T} kosste sederhaa bag ( ad jka g(t kotu pada setap la (, maka g(t kosste sederhaa pada g ( (. Bukt : sebaga latha. Defs 9. 7. Msalka { T } da { T * } merupaka dua dereta peduga yag tak * bas asmtotk bag (. Efses relatf asmtotk T terhadap T dberka oleh * * Var( T are( T, T lm Var( T Dereta { T * } dkataka efse asmtotk (asymtotcally effcet jka * are( T, T utuk semua dereta tak bas asmtotk { T }, da semua. Efses asmtotk dar suatu dereta tak bas asmtotk T } dberka oleh formula { jka { T * } efse asmtotk. ae( T are( T Batas bawah Cramer-Rao (CRLB tdak selalu tercapa utuk tertetu, tetap kadag dapat tercapa secara asmtotk, dalam kasus sagatlah bergua dalam peetua efses asmtotk., T * Telada 9. 6. Melajutka telada yag megguaka cotoh acak dar sebara Ekspoesal dega parameter, sekue T / telah dtujukka merupaka peduga tak bas asmtotk bag /. Sgt Nugroho 4
Teor Pedugaa Ttk Ragamya adalah Var( T [ /( ] /[( ] da CRLB ya adalah [ / ] /[ (/ ] /[ ]. Karea lm CRLB /[ ] lm Var( T [ /( ] /[( ] maka T efse asmtotk utuk meduga /. Telada 9. 7. Kembal lag ke telada yag megguaka cotoh acak dar ( populas dega f ; e I (. Karea wlayah ( [, tergatug pada, CRLB tak dapat dpaka ds. Peduga ˆ da / keduaya tak bas asmtotk, da ( ˆ 3 ( memlk ragam yag sama, Var( ˆ ˆ Var( 3 /. Dega demka / are( ˆ, ˆ 3 lm / Kta aka tujukka at bahwa / adalah UMVUE ˆ 3 ( bag, da dega demka ˆ ( juga efse asmtotk utuk meduga. Peduga tak bas yag la adalah ˆ yag memlk Var ( ˆ /. Dega demka, / are( ˆ, ˆ 3 lm 0 / dega demka ˆ kurag bagus atau kurag dgka darpada /. ˆ 3 ( Perlu dcatat bahwa merupaka telada yag tdak sepert basaya; dalam kebayaka kasus, ragam suatu peduga memlk betuk c/, amu ragam dar / adalah ˆ 3 ( /, dmaa lebh kuasa darpada /. Suatu peduga dega 4 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk ragam ordo / basaya dsebut sebaga peduga super efse. Sfat-sfat Asmtotk PKM Dapat dperlhatka, dalam beberapa kods, bahwa PKM memlk sfat yag dkehedak. Khususya, jka kods umum dpeuh, maka ˆ, jawaba persamaa kemugka maksmum memlk sfat-sfat sepert berkut:. ˆ ada da uk (khas,. ˆ adalah peduga kosste bag, 3. ˆ memlk sebara ormal asmtotk dega rata-rata da ragam / E l f ( ; 4. ˆ efse asmtotk. Sgt Nugroho 43, da Sudah tetu bahwa, agar PKM ada sebaga jawaba dar persamaa kemugka maksmum, dperluka persyarata bahwa turua parsal dar l f ( ; terhadap ada, da juga gugus A { : f ( ; 0} tdak tergatug pada. Beberapa kods tambaha yag meyagkut l f ( ; da f ( ; juga dperluka, amu kta tak aka membahasya ds. Perlu dcatat bahwa efses asmtotk dar ˆ karea adaya fakta bahwa ragam asmtotkya sama dega CRLB peduga tak bas bag. Dega demka utuk yag cukup besar, kra-kra ˆ ~ N(,CRLB [ ˆ kra-kra memlk sebara Normal dega rata-rata da ragam CRLB]
Teor Pedugaa Ttk Juga berdasarka teorema lmt sebara, jka ( merupaka fugs dega turua yag tdak ol, maka ˆ ( ˆ juga memlk sebara ormal asmtotk dega ratarata asmtotk ( da ragam [(] CRLB. Juga dapat dperlhatka bahwa ragam asmtotk dar ˆ ( ˆ sama dega CRLB utuk ragam peduga tak bas bag = (, sehgga ˆ ( ˆ juga efse asmtotk. Telada 9. 8. Peduga Kemugka Maksmum bag rata-rata sebara Ekspoesal adalah rata-rata cotohya, ˆ. Dmugkka utuk melakuka feresa sfat asmtotk yag sama bak dar yag telah kta bahas ataupu Teorema Lmt Pusat (Cetral Lmt Theorem. Secara khusus, ˆ memlk sebara Normal asmtotk dega rata-rata da ragam /. Juga telah dperoleh bahwa CRLB = /. Kta juga tahu sebara past dar ˆ, karea ˆ ~ yag kosste dega sebara ormal asmtotk, sehgga dperoleh ˆ ~ N(0,. Seadaya kta g meduga R R( t; P( t ep( t /. Suatu pedekata bag ragam Rˆ ep( t / ˆ dberka oleh ragam asmtotkya Var (Rˆ R( t; = [ep( t / ( t / ] ( / 44 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk = [ep( t / ( t / ] / = [ R (l R] / da dega demka, utuk yag cukup besar, kra-kra Rˆ ~ N(R,(R l(r / Telada 9. 9. Suatu cotoh acak dar sebara Pareto dega f ( ; ( utuk > 0. Sehgga kta dapatka L( ( l L( l ( ( ( l( da persamaa kemugka maksmumya adalah l L( / l( 0 yag meghaslka peduga kemugka maksmum ˆ l( ( Utuk medapatka CRLB, maka l f ( ; l ( l( l f ( ; / l( dega demka, CRLB E l( Utuk memperoleh hasl dar ekspres terakhr, aka lebh mudah apabla kta melakuka trasformas Y l(. Dega Sgt Nugroho 45
Teor Pedugaa Ttk metode trasformas, maka Y l( memlk dstrbus Ekspoesal dega parameter /. Sehgga, dapat dperoleh dega mudah E [( ] / E [ / l( ] Var[l( ] / Var ( ˆ CRLB / da kra-kra ˆ ~ N(, / Peduga Bayes da Mma Peduga Bayes adalah peduga yag memmumka ratarata resko, dmaa fugs resko, RT(, drata-rataka berdasarka atau megguaka fugs kepekata peluag pror p(. Prsp pembadga mma adalah memlh peduga yag memmumka resko maksmum. Keseluruha kelas peduga dapat dhaslka dega megguaka p( yag berbeda. Sagat bak utuk memlk kelas peduga dalam suatu permasalaha, meskpu jka ada beberapa alasa fsk tertetu utuk memlh p( yag sesua, maka peduga yag berkeaa dega p( aka dasumska terlebh dahulu sebaga yag terbak utuk dguaka dalam permasalaha tersebut. Terdapat flosof yag berbeda sehubuga dega pemlha kepekata pror p(, amu kta tak aka begtu memperhatka bagamaa p( dplh. Dalam berbaga kasus mugk bertdak sepert peubah acak, da p( aka mecermka fakta. Sebaga telada, dapat merepresetaska propors sejata dalam sebuah tumpuka yag berfugs. Dla phak, p( merepresetaska derajat kepercayaa yag berhubuga dega la yag datagya dar formas pearka cotoh (peyuplka sebelumya, atau dega cara laya. Dalam sembarag perstwa, peduga potesal yag 46 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk bermafaat dapat dkembagka melalu struktur. Defs 9. 8. Kepekata bersyarat blamaa observas cotoh = (,,, dsebut dega kepekata posteror atau fkp posteror, da dberka oleh f (,..., p( f ( f (,..., p( d Peduga Bayes adalah peduga yag memmumka rata-rata resko utuk keseluruha, E [ R ( ]. Namu demka, E [ RT ( ] E { E [ L( T; ]} E { E [ L( T; ]} da peduga T yag memmumka E { E [ L( T; ]} utuk T setap juga memmumka rata-rata pada. Dega demka, peduga Bayes dapat dperoleh dega memmumka rata-rata keruga dega memperhatka sebara posteror. Teorema 9. 0. Jka,, melambagka suatu cotoh acak dar f(, maka peduga Bayes adalah peduga yag memmumka rata-rata keruga dega memperhatka sebara posteror, [ L( T; ] E Utuk beberapa tpe fugs keruga, ekspres peduga Bayes dapat dtetuka lebh eksplst dalam betuk sebara posteror. Sgt Nugroho 47
Teorema 9.. Teor Pedugaa Ttk Peduga Bayes, T, bag ( dega megguaka fugs keruga galat kuadrat (squared error loss fucto, L ( T; [ T ( ] adalah rata-rata bersyarat bag ( berdasarka sebara posterorya, T E ( ] ( f ( d Bukt : sebaga latha. [ Teorema 9.. Peduga Bayes, T, bag dega megguaka fugs keruga harga mutlak (absolute error loss, L ( T; T adalah meda dar sebara posteror f (. Bukt : sebaga latha. Teorema 9. 3. Jka T* adalah peduga Bayes dega resko kosta, maka T* adalah peduga mma. R T *( c, Bukt: Kta dapatka ma RT *( ma c c R T *(, amu karea RT* ( kosta utuk keseluruha, maka RT *( E [ RT *( ] E [ RT ( ] utuk setap T karea T* adalah peduga Bayes. Rata-rata atau la harapa peubah tdak lebh besar dar la maksmum peubahya, sehgga E [ R T ( ] ma R ( da T 48 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Sgt Nugroho 49 ( ma ( ma * T R T R yag meujukka bahwa T* adalah peduga mma. Telada 9. 30. Msalka ~ Po(, da kta g medapatka peduga Bayes bag, dega asums megguaka fugs keruga galat kuadrat. Kta plh fugs kepekata pror dar kelas Gamma, ~ Gamma(,, / ( ( e p dmaa da adalah sembarag kostata yag dketahu. Dega demka, sebara posterorya adalah d e e e e f (! ( (! ( ( / / yag tdak la adalah ~ Gam, Dega demka, peduga Bayes bag adalah ( * E T Fugs kepekata pror dega la yag besar da yag kecl, membuat peduga Bayes medekat peduga kemugka maksmum, ˆ.
Besarya resko dalam hal R T ( E[ T ] = Var ( T [ E( T ] Teor Pedugaa Ttk Var( = ( / / [ / ] = ( / Tak ada la atau yag membuat resko kosta utuk keseluruha la, sehgga peduga mma, jkalau ada, tak dapat dhaslka dar turua. Namu demka, plha fkp pror yag berbeda mugk dapat meghaslka peduga mma. Telada 9. 3. Msalka suatu cotoh acak berukura berasal dar sebara Beroull, f ( ( 0, da msalka ~ Seragam(0,. Msalka dalam permasalaha dguaka fugs keruga galat kuadrat tertmbag, ( L ( t; t yag memberka bobot lebh la dekat ke ( ol atau satu. Tdaklah sult utuk meujukka bahwa fugs yag memaksmumka E [ L( T; ] adalah 50 E [( ] t * ( E [ ( ] Sebara posteror dalam hal adalah Beta, Beta, yag berart bahwa da ~ E [( ] Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk E [ ( ] ( ( ( sehgga t * ( / da peduga Bayesya adalah T*. Lebh jauh lag E[( ( / R T *( ( ( yag kosta utuk keseluruha. Dega demka T* dalam telada adalah peduga mma. Telada 9. 3. Suatu cotoh acak dar sebara ekspoesal, Eksp(/ f ( e 0 Msalka juga fugs kepekata pror juga ekspoesal, Eks(/, dmaa la dketahu. Maka e e f ( c(, dmaa c(, adalah fugs yag tak tergatug pada, da haya merupaka kostata yag membuat tegral dar fkp tersebut sama dega. Sudah jelas dalam kasus, bahwa ~ Gam[(, ] Utuk fugs keruga galat kuadrat, peduga Bayes bag adalah T E( Peduga Bayes bag rata-rata, /, dega fugs keruga galat kuadrat adalah ˆ E (/ Sgt Nugroho 5
Peduga Kuadrat Mmum Teor Pedugaa Ttk Dalam beberapa tpe model statstka, prsp-prsp kuadrat mmum sagat petg. Kta asumska bahwa rata-rata suatu peubah acak Y merupaka fugs ler dar p parameter yag tak dketahu (,, p da p faktor = (,, p yag dapat dkataka tetap atau tapa kesalaha pegukura, Dasumska juga bahwa E( Y p Y Var (, dmaa buka merupaka fugs dar. Notas la yag serg dguaka sela E(Y adalah Y da E(Y, amu dalam beberapa kasus buka merupaka harapa bersyarat sepert otas basaya, jka faktor-faktor tetap,, p buka la dar gugus peubah acak. Sebaga telada, msalka rata-rata hasl suatu reaks kma merupaka fugs ler dar waktu reaks da temperatur 3. Sebuah kostata perlu dmasukka dega memsalka =, utuk medapatka model ler E( Y 3 3 Perlu dcatat bahwa modelya ler dalam parameter, tetap tdak perlu ler dalam peubah ya. Kta dapat memsalkaya 4 3 atau 4 3 da sebagaya. Parameter-parameter,, da 3 tdak dketahu, tetap jka semua dduga, maka utuk suatu waktu reaks tertetu da temperatur tertetu 3, maka hasl Y atau rata-rata E ( Y 0 dapat 0 dduga dega ~ ~ ~ ~ E( Y 33 0 (, 3 0 Sudah barag tetu, la dugaa parameter harus ddapatka dar data cotoh hasl y yag telah damat dar berbaga la faktor. 5 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Model Ler Sederhaa Msalka E ( Y Var( Y Subskrp pada peubah Y kadag perlu dtekaka utuk keyamaa. Kta amat la respo peubah Y utuk la faktor, sehgga dperoleh pasag data (y,,, (y,. Kta asumska bahwa pegamata-pegamata sedktya tdak salg berkorelas, sehgga kta memlk E( Y Var( Y,,..., Cov( Y, Y 0 j j Asums tambaha yag umum adalah bahwa Y meyebar ormal, Y ~ N(+,, tetap asums sebara tak dperluka utuk medapatka dugaa ttk bag parameter-parameterya. Jka la amata, y, selalu berada pada la tegah atau rata-rata, E(Y, maka semua ttk-ttk (y, aka berada pada sebuah gars lurus, da persamaa garusya dapat dtetuka dega cara aljabar. Karea la bervaras dsektar la tegahya, maka y amu Y E( Y dmaa E( 0 da y e Stuas deal tetuya apabla semua pasaga (y, berada dalam ~ satu gars lurus, y ~, dega semua e = 0. Kemuda kta dapat mempredks y tapa kesalaha. Tahapa terbak berkutya adalah membuat cocok sebuah gars lurus yag melalu semua ttk (y, sedemka rupa sehgga memmumka peympaga la pegamata y dar gars yag telah dbuat. Yag dmaksudka ~ adalah, kta memlh sebuah gars y ~ yag Sgt Nugroho 53
Teor Pedugaa Ttk ~ memmumka beberapa fugs e~ ( ~ y. Krtera yag berbeda utuk kesesuaa model megharuska pegguaa fugs utuk e ~ yag berbeda pula, tetap kta aka megguaka prsp memmumka kuadrat peympaga dar gars yag dbuat. Dega demka, kta g mecar la-la da, sebut saja ~ da ~ sebaga hasl atau la mmum dar ~ e~ y ( ~ Dega demka, kta g mecar la ~ da ~ yag memmumka Q y ( Dega meuruka Q terhadap da da meyamaka haslya dega ol, aka meghaslka la dugaa ~ da ~, yatu ~ y ( ~ ( 0 ~ y ( ~ ( 0 Kedua persamaa datas secara bersama-sama aka meghaslka y ( ( ( ( ~ y / ( y y / ( ~ ~ y Dega demka, jka kta g membuat gars lurus ~ melalu sekumpula ttk-ttk, persamaa gars y ~ merupaka suatu gars yag memeuh krtera memmumka kuadrat tegah galat atara la amata da ttk pada gars. Jumlah kuadrat galat dapat dekspreska, sekal lag, dega ~ y ( ~ y y JK( Galat e~ ~ 54 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Prsp kuadrat mmum tdak secara lagsug dapat dguaka utuk memperoleh dugaa, tetap besarya ragam tercerm dalam kuattas JK(Galat, karea ragam merupaka alasa bahwa semua la amata Y tdak berada pada gars rata-rata yag sebearya. Aka dtujukka at bahwa dugaa bag aka dberka oleh ~ JK( Galat Juga ~ ~ y ~ 0 0 dapat dguaka utuk mempredks la Y pada = 0, da kuattas yag sama dapat dguaka utuk meduga la rata-rata Y pada = 0. Yatu, la dugaa dar E( Y 0 0 yag dberka oleh ~ ~ ~ E( Y 0 0 Kombas ler la dar da dapat dduga dega cara yag serupa, da peduga-peduga tdak bas. Pedugapeduga kuadrat mmum merupaka fugs ler dar Y, da dapat dtujukka bahwa datara semua peduga tak bas ler, peduga-peduga kuadrat mmum memlk ragam mmum. Dega demka, peduga-peduga kuadrat mmum serg dsebut dega peduga-peduga tak bas ler terbak atau best lear ubased estmators (BLUE. Berkut dberka teorema yag berkata dega peduga kuadrat terkecl. Pembukta dguaka sebaga latha. Teorema 9. 4. Jka E( Y, Var( Y da Cov( Y, Y j 0 utuk j da =,,, maka peduga-peduga kuadrat mmum memlk sfat-sfat sepert berkut: Sgt Nugroho 55
~ ~. E(, Var( / (. ( ~ ( ~ E, Var /[ ( ] ~ 3. E( c ~ c c c ~ 4. c ~ adalah BLUE utuk c c c Teor Pedugaa Ttk Hasl dar teorema datas dapat dkembagka atau dperluas utuk multfaktor, termasuk model polomal. Model Ler Umum Tdaklah mugk utuk megembagka model multfaktor dega mudah tapa harus megealka otas matrks. Berbaga hasl sederhaa dapat dmula dega otas matrks berkut. Msalka model ler dega 56 p E ( Y Var( Y j j j Suatu respo y damat pada la,, p, =,,. Dega demka, asumska bahwa E( Y j p j j Var( Y Cov( Y, Y Jka kta msalka matrks vara-kovara adalah V maka V = { } { Cov( Y, Y } I j juga E(Y= dmaa y p Y = = = y p Nla dugaa adalah la-la yag memmumka j j 0 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk ( y E( = (Y- (Y- Y Dega mecar turuaya terhadap da membuat laya sama dega ol, kta dapat meujukka dugaa kuadrat mmum dberka oleh persamaa ~ = ( - Y Nla dugaa merupaka fugs ler dar pegamata da tdak bas, karea ~ E ( = ( - Y = ( - ( = Matrks ragam peragam bag ~ adalah ~ ~ C = Cov(, } = ( - { j Dapat dtujukka bahwa BLUE dar kombas ler ~ sebut saja r = r adalah r ' ~. Teorema dbawah dkeal dega ama Teorema Gauss-Markov. Teorema 9. 5. Jka E(Y = da V = {Cov(Y,Yj} = I, maka r ' ~ adalah peduga tak bas ler terbak ~ (BLUE bag r, dmaa = ( - Y Peduga Kuadrat Tegah Ivara Mmum Kta telah lhat bahwa tak mugk utuk medapatka peduga yag memmumka MSE (Mea Square Error atau Kuadrat Tegah Galat dalam kelas semua peduga, meskpu MSE mugk bergua dalam pembadga dua peduga. Salah satu cara pedekataya adalah membatas pembahasa pada peduga-peduga tak bas, da peduga dega ragam mmum mugk ada dalam kelas tereduks. Prsp kuadrat terkecl Sgt Nugroho 57
Teor Pedugaa Ttk memberka peduga-peduga dega ragam mmum dalam kelas peduga tak bas ler dalam atura tertetu. Suatu peduga T(,, merupaka peduga skala vara jka memlk sfat bahwa T(k,, k = k T(,, utuk semua la k > 0. Jka suatu permasalaha memlk struktur skala vara, maka sagatlah beralasa utuk membatas perhata kta pada kelas peduga skala vara. Teorema 9. 6. Msalka,, merupaka suatu cotoh acak berukura dar f(;, 0 < <, dmaa > 0 adalah parameter skala. Dega megguaka fugs keruga L ( ˆ, ( ˆ /, peduga dega resko mmum seragam dalam kelas peduga skala vara adalah ˆ 0 0 (/ 3 (/ f ( ; d f ( ; d Hasl serupa dapat dguaka utuk model parameter lokas. Perhatka suatu model dega parameter lokas dalam betuk f ( ; g( da fugs keruga lokas vara L( ˆ, L( ˆ c, c Selajutya, sebuah peduga dkataka lokas vara jka model hasl trasformas Y = c da * = - c, L( ˆ, L( ˆ*, * 58 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk Sebuah peduga dkataka lokas vara, jka T(-c,, -c = T(,, c utuk semua la c. Teorema 9. 7. Msalka,, merupaka suatu cotoh acak berukura dar f(;, - < <, dmaa adalah parameter lokas. Dega megguaka fugs keruga kuadrat galat L ( ˆ, ( ˆ, peduga dega resko kuadrat tegah galat mmum seragam dalam kelas peduga lokas vara adalah Latha ˆ f ( ; d f ( ; d. Dega megguaka metode mome, carlah peduga bag berdasarka cotoh acak,, dar setap fugs kepekata peluag berkut: a. f ( ; ;0, 0 b. f ( ; e ;0, 0. Carlah peduga mome berdasarka cotoh acak berukura dar tap sebara berkut: / a. ~ f ( ;, e ;, 0 b. ~ f ( ;, ep ep ;, 0 3. Carlah peduga kemugka maksmum berdasarka suatu cotoh acak,, dar setap sebara berkut: a. ~ f ( ; p pq ;,,...,0 p, q p 4 4 b. ~ f ( ; p C p q ; 4,5,... 0 p, q p 3 Sgt Nugroho 59
60 Teor Pedugaa Ttk c. ~ f ( ; e ;0 ( d. ~ f ( ; ( ;0 e. ~ f ( ;, /( ; ( f. ~ f ( ;, ;, 0 4. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara Geometrk dega parameter p. Carlah peduga kemugka maksmum utuk kuattas-kuattas berkut a. E( = /p. b. Var( = (-p/p c. P[<k] = -(-p k utuk sembarag k =,, 5. Berdasarka cotoh acak berukura dar sebara Normal, ~ N(,, carlah peduga kemugka maksmum utuk a. P[ < c] utuk sembarag la c. b. Persetl ke-95 dar 6. Msalka ( da ( adalah la amata terkecl da terbesar dar suatu cotoh acak berukura dar sebara dega fugs kepekata peluag f(;; 0 <. a. Jka f(; = utuk - 0,5 + 0,5 da ol selaya, tujukkalah bahwa sembarag la ˆ sedemka rupa sehgga ( - 0,5 ˆ ( + 0,5 adalah peduga kemugka maksmum bag. b. Jka f(; = / utuk da ol selaya, tujukkalah bahwa ˆ = 0,5( adalah peduga kemugka maksmum bag, jka ( < (. 7. Msalka ~ B(,p da p ˆ / a. Carlah kostata c sedemka rupa sehgga E[ cpˆ( pˆ] p( p b. Carlah peduga tak bas bag Var( c. Apabla sebuah cotoh acak acak berukura N berasal dar populas yag meyebar B(,p. Carlah peduga tak bas bag p da Var( berdasarka cotoh acak tersebut. Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk 8. Sebuah cotoh acak berukura berasal dar sebara Seraagam, ~ Ser(-, dmaa > 0. Carlah kostata c sedemka rupa sehgga c((-( merupaka peduga tak bas bag. 9. Jka suatu cotoh acak berukura berasal dar sebara Beroull, ~ B(,p. a. Carlah CRLB bag ragam peduga tak bas utuk p. b. Carlah CRLB bag ragam peduga tak bas utuk p(-p. c. Carlah UMVUE bag p. 0. Adaka sebuah cotoh berukura berasal dar sebara Normal, ~ N(,9. a. Carlah CRLB ragam peduga tak bas utuk. b. Apakah peduga kemugka maksmum ˆ, UMVUE bag? c. Apakah PKM dar persetl ke-99 juga UMVUE?. Adaka sebuah cotoh acak berukura berasal dar sebara dega fkp f(; = / jka 0< dmaa 0 <. a. Carlah peduga kemugka maksmumya, ˆ. b. Carlah peduga momeya, ~. c. Apakah ˆ tak bas? d. Apakah ~ tak bas? e. Badgka kuadrat tegah galat dar ˆ da ~. f. Tujukka bahwa ˆ adalah kosste kuadrat tegah galat. g. Tujukka bahwa ~ adalah kosste kuadrat tegah galat.. Msalka sebuah cotoh acak berukura = dar sebara ormal, ~ N(, dmaa = { 0 }. Defska peduga-peduga sepert berkut : ˆ (/ (/ ; ˆ (/ 4 (3/ 4 ; ˆ 3 ( / 3 ; da ˆ ˆ 4 ( / 3. Fugs keruga yag dguaka adalah L(t; = (t-. Sgt Nugroho 6
Teor Pedugaa Ttk a. Badgka seluruh fugs resko utuk semua peduga. b. Badgka semua peduga dega prsp mma. c. Dapatka resko Bayes bag peduga jka ~ Ser(0, d. Dapatka resko Bayes bag peduga jka ~ Beta(, 3. Msalka ~ Po( da msalka fugs keruga yag dpaka L ( ˆ; ( ˆ /. Dasumska juga msalya ~ Gam(,, dmaa da dketahu. a. Carlah peduga Bayes bag. b. Tujukka bahwa ˆ adalah peduga mma. 4. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Posso, ~ Po(. a. Dapatka CRLB ragam peduga tak bas bag. b. Dapatka CRLB ragam peduga tak bas bag = e -. c. Carlah UMVUE bag. d. Carlah PKM ˆ bag. e. Apakah ˆ peduga tak bas bag? f. Apakah ˆ tak bas asmtotk? ~ g. Tujukka bahwa merupaka peduga tak bas bag. ~ h. Carlah Var( da badgka dega CRLB pada baga (b. 5. Suatu cotoh acak berukura dar sebara dega fugs kepekata peluag f ( ; p p( p ; 0,,... a. Carlah PKM bag p. b. Carlah PKM bag ( p / p c. Dapatka CRLB ragam peduga tak bas bag. d. Apakah PKM bag merupaka peduga tak bas dega ragam mmum seragam (UMVUE? e. Apakah PKM bag juga kosste kuadrat tegah galat (MSE cosstet? 6 Sgt Nugroho
Teor Pedugaa Ttk f. Carlah sebara asmtotk dar PKM bag. ~ g. Msalka. Carlah fugs resko utuk ~ da dega megguaka fugs keruga L(t; = (t- /( +. 6. Msalka ˆ,,..., merupaka peduga-peduga tak bas yag salg bebas bag dega Var ˆ. Seadaya, ( ada peduga gabuga ˆ g a ˆ dmaa a. a. Tujukka bahwa ˆ g adalah peduga tak bas bag. b. Tujukka bahwa Var ˆ aka mmum jka a ( / / (/ 7. Msalka Y,, Y salg bebas, dmaa Y ~ N(,. a. Jka y,, y adalah la amata, carlah dugaa kuadrat terkecl ~ berdasarka (,y. ( g b. Tujukka bahwa ~ ~ ( Y /( merupaka peduga tak bas bag. 8. Asumska bahwa seluruh peubah acak salg bebas Y ~ N(+,, =,,. Adaka ~, ~, da ~ adalah peduga-peduga kuadrat terkecl (LS estmators a. Carlah fugs kepekata peluag bag ~. b. Carlah fugs kepekata peluag bag ~. 9. Suatu cotoh acak dar sebara Ekspoesal, Y ~ Ekspoesal(; =,, a. Carlah peduga kuadrat terkecl bag. b. Carlah peduga kemugka maksmum bag. Sgt Nugroho 63
Teor Pedugaa Ttk 0. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal, ~ Ekspoesal(. a. Carlah peduga Ptma bag. b. Tujukkalah bahwa kuadrat tegah galat peduga Ptma lebh kecl da seragam dbadgka kuadrat tegah galat dar UMVUE,. 64 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Pedahulua Dalam bab sebelum telah dsajka teor-teor utuk meuruka peduga-peduga ttk, dega megguaka cotoh acak, utuk meduga parameter sebara populas yag tdak dketahu. Dalam beberapa kasus dmugkka utuk membuat statstk atau gugus statstk yag mecakup seluruh formas dalam cotoh yag berkeaa dega parameter-parameter populasya. Sehgga, sagatlah beralasa utuk membatas pembahasa kta pada statstk-statstk dmaksud blamaa melakuka pedugaa atau melakuka feres tetag parameter-parameter tersebut. Secara umum, de cukup mecakup reduks suatu gugus data mejad suatu gugus statstk yag lebh rgkas tapa hlagya formas tetag parameter yag tak dketahuya. Kasarya, suatu statstk S dkataka sebaga suatu statstk cukup utuk suatu parameter jka sebara bersyarat dar sembarag statstk T apabla la dar S dberka tdak mecakup. Dega perkataa la bahwa jka la suatu statstk cukup dketahu, maka la amata dar sembarag statstk yag laya tdak aka memlk formas yag lebh tetag parameter tersebut. Telada 0.. Dalam percobaa pelempara ko sebayak kal da muculya keluara dcatat utuk setap lempara. Secara statstka hal dapat dmodelka dega suatu cotoh acak,, dar sebara Beroull. Msalka bahwa ko tersebut tdak sembag, da kta g meduga besarya = P(Gambar. Bayakya gambar mucul, atau S harus memberka formas sebayak mugk tetag la dar seluruh keluara. (,..., ; ( f 0,
Kta juga dapat tujukka bahwa Jka S s Statstk Cukup da Legkap ~ B(,, sehgga s f S ( s; Cs ( s 0,,..., s, maka perstwa-perstwa [,...,, S s] da [,..., ] ekuvale, da P[, ] f,..., (,..., s =,..., S s P[ S s] f (,..., ; = f S ( s; ( = s s Cs ( = C s Jka s, maka fugs kepekata peluag bersyarat datas sama dega ol. Keduaya, tdak megadug. Statstk Cukup Sepert halya pada bab-bab terdahulu, suatu gugus data,, aka dmodelka secara matematk sebaga la amata gugus peubah acak,,. Utuk keyamaa, aka dguaka otas vektor = (,, da = (,, sebaga otas utuk peubah acak yag damat da la-la amataya. Dmugkka juga pegguaa vektor parameter da vektor statstk sepert S da T. 66 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Defs 0.. Statstk Cukup Bersama. Msalka = (,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(;, da msalka S = (S,, Sk adalah statstk berdmes-k. Selajutya S,, Sk adalah statstk cukup bersama utuk jka utuk sembarag vektor statstk T, fugs kepekata peluag bersama T apabla S = s, yag dotaska dega ft s(t, tdak tergatug pada. Dalam kasus satu dmes, kta haya sebut bahwa S adalah statstk cukup bag. Ide bahwa jka S teramat, maka formas tambaha tetag tak dapat dperoleh dar T jka sebara bersyarat T jka S = s bebas dar. Basaya kta asumska bahwa,, adalah cotoh acak dar suatu fugs kepekata peluag populas f(;, da utuk keyamaa, sekallag, kta aka guaka = (,, sebaga cotoh acak. Namu demka, secara umum dapat merepresetaska beberapa vektor peubah acak yag damat laya, sepert cotoh tersesor, atau baragkal beberapa gugus statstk tataa laya. Tujua utamaya adalah megurag cotoh hgga mecapa gugus statstk cukup terkecl, yag serg dsebut dega gugus mmal statstk cukup. Jka ada sebayak k parameter yag dketahu d dalam model, sergkal aka ada sebayak k statstk cukup. Dalam beberapa kasus bayakya statstk cukup aka melebh bayakya parameter, da sudah tetu tak aka ada reduks bayakya statstk. Keseluruha cotoh sedr adalah gugus statstk cotoh, tetap bla kta bcara statstk cukup, basaya kta aka memkrka gugus statstk cukup yag lebh kecl. Defs 0.. Suatu gugus statstk dkataka gugus cukup mmal jka aggota gugusya adalah cukup bersama bag parameter-parameterya da Sgt Nugroho 67
Statstk Cukup da Legkap jka merupaka fugs dar setap gugus statstk cukup bersama laya. Statstk tataa aka dperlhatka sebaga cukup bersama. Hal merepresetaska reduks cotoh, meskpu bayakya statstk dalam hal tdak tereduks. Dalam beberapa kasus, statstk tataa dapat merupaka gugus cukup mmal, tetap tetuya kta berharap dapat mereduks cotoh hgga mejad beberapa statstk cukup bersama saja. Terlhat jelas bahwa, sesugguhya kta tak dapat megguaka seluruh statstk yag mugk, T, sebagamaa tersebut dalam defs statstk cukup bersama utuk memverfkas bahwa S adalah statstk cukup. Namu demka, karea T dapat dtulska sebaga fugs suatu cotoh acak = (,, salah satu pedekata yag dapat dlakuka adalah meujukka bahwa f s( bebas dar. Telada 0.. Suatu cotoh acak berasal dar sebara Ekspoesal, ~ Eks(. Dega demka kta peroleh f (,..., ; e 0 yag megsyaratka utuk melakuka checkg statstk S. Kta juga dapat tujukka bahwa S ~ Gam(,, sehgga Jka f S ( s; s ( s, maka f (,..., s 0 68 Sgt Nugroho ; e s ( f ( ; S s s yag bebas dar, da dega demka berdasarka defs, maka
Statstk Cukup da Legkap S adalah statstk cukup bag. Suatu krtera yag sedkt lebh sederhaa juga dapat dturuka. Secara khusus, jka S,, Sk adalah statstk cukup bersama utuk, maka f (,..., ; = f s; f (,..., S ( s ( s; h(,..., = g Dega demka, fugs kepekata peluag bersama cotoh dapat dfaktorka mejad suatu fugs dar s da dkalka dega suatu fugs dar = (,, yag tdak tergatug dar. Sebalkya, msalka bahwa f (,..., ; = g s; h(,..., Sgt Nugroho 69 ( dmaa dasumska bahwa utuk s yag tetap, h,..., tdak ( tergatug pada. Jka f (,..., ; = g( s; h(,..., berlaku utuk beberapa fugs g da h, fugs kepekata peluag marjal S harus dalam betuk f S ( s; g( s; c( s karea utuk s yag tetap, pegtegrala atau pejumlaha utuk seluruh peubah terssa tak dapat membawa ke dalam fugs. Sehgga f (,..., ; = f S ( s; h(,..., / c( s da f (,..., ; h(,..., f ( s; c( s yag bebas dar. Teorema 0... Krtera Faktorsas. S Jka,, memlk fugs kepekata peluag bersama f (,..., ; da jka S=(S,, Sk, maka S,, Sk adalah statstk cukup bersama utuk jka da haya jka f (,..., ; = g s; h(,..., dmaa g ( s; tdak (
Statstk Cukup da Legkap tergatug pada,, kecual melalu s, da h(,, tdak megadug. Telada 0. 3. Suatu cotoh acak dar sebara Beroull, ~ B(,. Kta g tujukka bahwa S merupaka statstk cukup. Kta tahu bahwa dmaa f ( ; ( f (,..., ; = ( s, sehgga s s = ( = g s; h(,..., (, da dalam kasus, kta defska h(,, = jka semua = 0 atau, da ol selaya. Perlu dcatat bahwa propors cotoh, ˆ S / juga merupaka statstk cukup bag. Secara umum, jka suatu statstk S merupaka statstk cukup bag, maka sembarag fugs satu-satu dar S juga merupaka statstk cukup bag. Telada 0. 4. Suatu cotoh acak dar sebara Seragam, ~ SK(0,, dmaa tdak dketahu. Fugs kepekata peluag bersama,, adalah f (,..., ; I (0, ( atau dapat dtulska dalam betuk mmum, (, da maksmum, (, dar,, sepert berkut f (,..., ; I (0, ( ( I (0, ( ( yag berart bahwa f (,..., ; = g ; h(,..., ( ( 70 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap dmaa g( s; I ( 0, ( s da h(,, = I ( 0, ( (. Berdasarka teorema Faktorsas, maka S ( merupaka statstk cukup bag. Telada 0. 5. Cotoh acak dar sebara Normal, ~ N(,, dmaa da tak dketahu. Dega demka f (,..., ;, ep ( / ( atau f (,..., ;, ep / ( Dega s da s, kta bsa plh g( s, s;, ep s s / ( da h(,, =. Dega demka, berdasarka krtera faktorsas, S da S adalah statstk cukup bersama bag =(,. Selajutya dapat dtujukka bahwa da ( adalah juga statstk cukup bersama bag =(,. Bla terdapat gugus statstk cukup mmal, kta berharap bahwa bayakya statstk cukup aka sama dega bayakya parameter yag tak dketahu. Sgt Nugroho 7
Telada 0. 6. Statstk Cukup da Legkap Suatu cotoh acak dar sebara Seragam, ~ SK(,+, dmaa tak dketahu. Fugs kepekata peluag bersamaya adalah f (,..., ; I (, ( Fugs megasumska berla jka da haya jka < da < + utuk semua, sehgga f (,..., ; I (, ( I (, ( atau f (,..., ; I (, ( ( I (, ( ( yag meujukka, dega krtera faktorsas, bahwa statstk tataa terkecl S ( da statstk terbesar S ( merupaka statstk cukup bersama bag. Juga dapat dtujukka bahwa S ( da S ( adalah statstk cukup mmal. Teorema 0.. Jka S,, Sk adalah statstk cukup bersama utuk da jka ˆ merupaka peduga kemugka maksmum yag khas bag, maka ˆ merupaka fugs dar S = (S,, Sk. Bukt Dega krtera faktorsas, L( f (,..., ; g( s; h(,..., yag berart bahwala yag memaksmumka fugs lkelhood harus tergatug pada s, msalka ˆ t( s. Jka peduga kemugka maksmum tersebut khas atau uk, aka medefska fugs dar s. 7 Sesugguhya, haslya dapat dyataka lebh umum lag: Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Jka terdapat statstk cukup bersama, da jka terdapat sebuah peduga kemugka maksmum, maka aka ada sebuah peduga kemugka maksmum yag merupaka fugs dar statstk cukup. Hal tersebut juga berart bahwa, jka terdapat peduga kemugka peduga kemugka ˆ ˆ,..., k yag khas da merupaka statstk cukup bersama, maka mereka juga merupaka gugus statstk cukup mmal, karea krtera faktorsas juga berlaku utuk setap gugus statstk cukup bersama. Berkut adalah telada yag memperlhatka bahwa dmugkaka medapatka statstk cukup S da peduga kemugka maksmum yag tdak merupaka fugs dar S. Telada 0. 7. Msalka adalah peubah acak dskrt dega fugs kepekata peluag f(; da = {0, }, dmaa dega megguaka otas fugs dkator f ( ; I{,4} ( I{} ( I{3} ( 4 4 6 4 3 Jka s 3I ( I ( 4I (, maka S = s( adalah ( {,4} {} {3} statstk cukup bag, yag dapat dlhat dar krtera faktorsas dega h( I {,,3,4} ( da g( s; s 4 Lebh jauh lag, terdapat lebh dar satu peduga kemugka maksmum. Msalya, t I ( da t I ( ( {,3} ( {,3,4} keduaya meghaslka peduga kemugka maksmum ˆ t( da ˆ t ( karea la-la dugaaya aka memaksmumka f(; utuk setap la yag tetap. Terlhat jelas bahwa ˆ t ( buka merupaka fugs dar S, karea s( = Sgt Nugroho 73
Statstk Cukup da Legkap s(4 = 3, tetap t( = semetara t(4 = 0. Namu demka, ˆ t ( t( s I (. {3,4} s Hal meujukka bahwa kta harus berhat-hat dalam membuat peryataa megea hubuga atara statstk cukup da peduga kemugka maksmumya. Namu demka, jka peduga kemugka maksmum tersebut khas, maka stuasya lebh jelas da lagsug. Teorema 0. 3. Jka S merupaka statstk cukup bag, maka sembarag peduga Bayes aka merupaka fugs dar S. Bukt Karea fugs h(,, dalam krtera faktorsas tdak tergatug dar, hal dapat delmas berdasarka defs kepekata peluag posteror, da f ( dapat dgat dega g( s; p( f ( g( s; p( d Teorema 0. 4. 74 Jka,, merupaka cotoh acak dar sebara kotu dega fugs kepekata peluag f(;, maka statstk tataa aka membetuk suatu gugus statstk cukup bersama bag. Bukt Utuk (,, ( yag tetap f ( ; f ( ;! f ( ; f ( ;! ( da ol selaya. ( Pada umumya, statstk-statstk cukup dguaka dalam pembuata peduga tak bas ragam mmum seragam (UMVUE. Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Teorema 0. 5. Rao-Blackwell. Msalka,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, ;, da msalka S = (S,, Sk adalah vektor statstk cukup bersama bag. Jka T adalah sembarag peduga tak bas bag (, da jka T* = E(T S, maka. T* merupaka peduga tak bas bag (,. T* merupaka fugs dar S, da 3. Var(T* Var(T utuk setap, da Var(T* < Var(T utuk beberapa kecual bla T* = T dega peluag. Bukt Berdasarka teor kecukupa, ft s(t tdak megadug, da dega demka maka fugs t*(s = E(T s tdak tergatug pada. Sehgga, T* = t*(s = E(T S merupaka peduga yag merupaka fugs dar S, da selajutya E( T* ES ( T* ES [ E( T S] E( T ( Juga dapat dperlhatka bahwa Var(T = Var[E(T S] + E[Var(T S] Var[E(T S] = Var(T* dega Var(T = Var(T* jka da haya jka E[Var(T S] = 0, yag haya terjad jka da haya jka Var(T S = 0 dega peluag, atau setara dega peryataa T = E(T S = T*. Berdasarka teorema datas, jka kta meggka peduga tak bas dega ragam yag kecl, kta dapat membatas perhata kta pada fugs statstk cukup. Jka terdapat peduga yag tak bas, maka aka ada satu yag merupaka fugs dar statstk cukup, sebut saja, E(T S, yag juga tak bas da memlk ragam yag kecl. Teorema datas sudah megarahka kta utuk medapatka UMVUE utuk suatu parameter. Kta haya perhtugka fugs tak bas dar S dalam pecara sebuah UMVUE. Dalam beberapa kasus dmugkka utuk Sgt Nugroho 75
Statstk Cukup da Legkap memperlhatka bahwa haya ada satu fugs S yag tak bas, da UMVUE. Kosep legkap sagat membatu dalam peetua peduga tak bas yag khas (uk. Statstk Legkap da Kelas Ekspoesal Defs 0. 3. Statstk Legkap. Suatu faml fugs kepekata peluag, {ft(t;;} dkataka legkap jka E[u(T] = 0 utuk semua yag juga berart u(t = 0 dega peluag utuk semua. Hal kadag dekspreska dega megataka bahwa tak ada peduga tak bas otrval dar ol. Secara khsus, berart bahwa dua fugs T yag berbeda tak dapat memlk la harapa yag sama. Sebaga cotoh, apabla E[u(T] = ( da E[u(T] = (, maka E[u(T- u(t] = 0, yag berart bahwa u(t- u(t = 0, atau u(t = u(t dega peluag, jka faml fugs kepekata peluag tersebut legkap. Dega demka, sembarag peduga tak bas bersfat uk dalam hal. Kta g megetahu bahwa faml fugs kepekataka peluag statstk cukup juga legkap, karea pada kasus, suatu fugs statstk cukup yag tak bas aka khas (uk da haruslah merupaka UMVUE berdasarka teorema Rao-Blackwell. Statstk cukup yag fugs kepekata peluag ya adalah aggota dar faml fugs kepekata yag legkap selajutya dsebut dega statstk cukup da legkap atau utuk sgkatya statstk cukup legkap saja. Teorema 0. 6. Lehma-Scheffe Msalka,, memlk fugs kepekata peluag bersama 76 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap f(,, ;, da msalka S merupaka vektor statstk cukup legkap bersama utuk. Jka T* = t*(s adalah statstk yag tak bas bag ( da merupaka fugs dar S, maka T* adalah UMVUE bag (. Bukt Berdasarka defs kelegkapa bahwa sembarag statstk yag merupaka fugs dar S da merupaka peduga tak bas bag ( haruslah sama dega T* dega peluag. Jka T adalah sembarag statstk laya da juga tak bas bag (, maka berdasarka teorema Rao-Blackwell, E(T S juga tak bas bag ( da merupaka fugs dar S. Dega kekhasaya, T* = E(T S dega peluag. Lebh jauh lag dapat dtujukka bahwa Var(T* Var(T utuk semua. Dega demka T* adalah UMVUE bag (. Telada 0. 8. Msalka,, merupaka cotoh acak dar sebara Posso, ~ Po(, sehgga e f (,..., ;! Dega krtera faktorsas, S adalah statstk cukup. Kta juga dapat perlhatka bahwa S ~ Po(, da kta g tujukka bahwa faml Posso juga legkap. Utuk keyamaa, dmsalka =, da msalka juga sembarag fugs u(s. Selajutya s s e E[ u( S] u( s e u( s s0 s! s0 s! atau 0 3 E [ u( S] e u(0 u( u( u(3... 0!!! 3! Sgt Nugroho 77
Statstk Cukup da Legkap Karea e - 0, bla dbuat E[u(S] = 0 haya bsa dpeuh apabla semua koeffse s harus ol. Jad utuk semua s, berlaku u(s/s! = 0 yag bermplkas bahwa u(s = 0. Dega megguaka termolog kelegkapa, S / adalah fugs dar S yag khas da tak bas bag E (. Berdasarka teorema Lehma- Scheffe maka S / adalah UMVUE bag. Hasl dapat dverfkas dega membadgka Var ( terhadap CRLB; amu, pedekata dega CRLB tdak aka sesua utuk fugs oler dar S. Pedekata yag sedag kta bahas dapat dguaka utuk mecar UMVUE dar ( = E[u(S], utuk setap fugs u(s yag memlk la harapa. Jka wlayah peubah acak tdak tergatug parameter, sepertya kta perlu membatas perhata pada faml kepekata peluag yag memlk betuk kelas ekspoesal blamaa kta membahas statstk cukup legkap, sehgga kta tdak perlu mempertmbagka secara detl faml-faml secara terpsah. Defs 0. 4. Kelas Ekspoesal Suatu fugs kepekata peluag dkataka sebaga aggota dar kelas ekspoesal reguler (KER atau Regular Epoetal Class (REC jka dapat dekspreska dalam betuk k f ( ; c( h( epq j ( t j ( A j da ol selaya, dmaa = (,, k adalah vektor k-parameter yag tak dketahu, jka ruag parametr memlk betuk { a b,,..., k} da jka kods dbawah (,, da 3.a atau 3.b dpeuh:. Gugus A = {; f(; > 0} tak tergatug pada.. Fugs-fugs qj( otrval, secara fugs bebas dar 78 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap fugs-fugs kotu. ' 3.a.Utuk peubah acak kotu, turua-turua ( merupaka fugs kotu dar yag bebas ler pada A. 3.b.Utuk peubah acak dskrt, t j ( fugs dar yag otrval pada A, da tak satupu merupaka fugs ler dar yag laya. Utuk keyamaa, kta aka tulska f(; adalah aggota dar KER(q,, qk atau REC(q,, qk atau mugk haya KER atau REC saja. t j Telada 0. 9. Pertmbagka sebuah sebara Beroull, ~ B(,p. Hal berart bahwa f(;p = p ( p p = ( p ep l {0,} A p p adalah KER(q, dmaa q ( p l da t (. p Dega sedkt modfkas kods reguler, KER dapat dkembagka pada kasus dmaa adalah vektor. Dapat dtujukka bahwa KER merupaka faml yag legkap, da bayak fugs kepekata sepert Bomal, Posso, Ekspoesal, Gamma da Normal memlk betuk KER, sehgga mereka tergolog faml yag legkap. Kta g megetahu bahwa fugs kepekata peluag statstk cukup statstk cukup dar model legkap. Teorema 0. 7. Sgt Nugroho 79
Statstk Cukup da Legkap Jka,, adalah cotoh acak dar aggota KER(q,, qk, maka statstk-statstk S t(,..., S k tk ( adalah gugus mmal dar statstk cukup legkap. Telada 0. 0. Dar telada sebelum, ~ B(,p. Utuk sebuah cotoh berukura, maka t( = da S adalah statstk cukup legkap bag p. Jka kta meggka UMVUE bag Var( = p(- p, maka perlu dcoba pedugaya adalah (. Selajutya, E ( = E( E( = p p Var( p( p = p p = p( p da dega demka UMVUE bag p(-p adalah (. Kta telah melhat bahwa terdapat hubuga yag dekat atara KER, statstk cukup legkap, da UMVUE. Juga, peduga kemugka maksmum merupaka fugs dar statstk cukup mmal, da peduga kemugka maksmum efse asmtotk dega ragam asmtotk sama dega CRLB. Jka suatu peduga yag ragamya sama dega CRLB, maka peduga tersebut dsebut juga sebaga peduga CRLB. Teorema 0. 8. 80 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Jka ada peduga CRLB, T utuk (, maka aka ada statstk cukup tuggal, da T merupaka fugs dar statstk cukup tersebut. Sebalkya, jka terdapat statstk cukup tuggal da CRLBya ada, maka peduga CRLB ada utuk beberapa (. Teorema 0. 9. Jka CRLB ada, maka peduga CRLB aka ada utuk beberapa fugs dar ( jka da haya jka fugs kepekataya adalah aggota dar KER. Lebh jauh lag, peduga CRLB bag ( adalah (ˆ, dmaa ˆ adalah peduga kemugka maksmum bag. Kebayaka fugs kepekata peluag yag dpelajar yag tdak termasuk dalam KER, termasuk atau tergolog pad akelas laya, yag membolehka wlayah yag dotaska dega A = {; f(; > 0} tergatug pada. Defs 0. 5. Suatu fugs kepekata peluag dkataka mejad aggota kelas ekspoesal wlayah terkat atau rage depedet epoetal class yag dotaska dega KEWT(q,, qk atau RDEC(q,, qk, jka utuk j = 3,, k memeuh kods. Fugs-fugs qj( otrval, secara fugs bebas dar fugsfugs kotu. '.a.utuk peubah acak kotu, turua-turua t j ( merupaka fugs kotu dar yag bebas ler pada A..b.Utuk peubah acak dskrt, t j ( fugs dar yag otrval pada A, da tak satupu merupaka fugs ler dar yag laya. da memlk betuk Sgt Nugroho 8
Statstk Cukup da Legkap k f ( ; c( h( epq j ( 3,..., k t j ( j3 dmaa A = { q(, < < q(,} da Hal tersebut aka mecakup kasus khusus sepert kasus satu parameter dega f(; = c(h( dega A ={ q( < < q(}; da dua parameter dega fugs kepekata peluag f(;, = c(,h( dega A={ q(, < < q(,} Teorema berkut sagat bergua dalam detfkas statstk cukup dalam kasus wlayah terkat. Teorema 0. 0. Msalka,, merupaka cotoh acak dar aggota RDEC(q,, qk.. Jka k >, maka S (, S ( da S3,, Sk dmaa 8 S j t ( merupaka statstk cukup bersama bag = j (,, k.. Dalam kasus dua parameter, S ( da S ( merupaka statstk cukup bersama bag = (,. 3. Dalam kasus satu parameter, S ( da S ( merupaka statstk cukup bersama bag. Jka q( meak da q( meuru, maka T m q ( (, q ( ( merupaka statstk cukup tuggal bag. Jka q( meuru da q( meak, maka T ma q ( (, q ( ( merupaka statstk cukup tuggal bag. Jka satu dar batasya kostata da batas laya tergatug pada satu parameter, msalya, maka teorema berkut berlaku. Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Teorema 0.. Msalka,, merupaka cotoh acak dar aggota RDEC.. Jka k > da batas bawah kostata, q( = a, maka ( da statstk t ( adalah statstk cukup bersama bag j da j; j = 3,, k. Jka batas atas kostata, q( = b, maka ( da statstk t ( adalah statstk cukup j bersama bag da j; j = 3,, k.. Dalam kasus satu parameter, jka q( tdak tergatug pada, maka S ( merupaka statstk cukup bag, da jka q( tdak tergatug pada, maka S ( merupaka statstk cukup bag. Telada 0.. Msalka kta memlk fugs kepekata peluag dar sebuah peubah acak sepert berkut f ( ; I (, ( Ds kta puya q( = -, suatu fugs yag meuru pada, da q( =, suatu fugs yag meak pada. Dega demka, T ma berdasarka teorema datas, maka merupaka statstk cukup tuggal bag. (, ( Telada 0.. Utuk sebara Ekspoesal -parameter, ~ Eks(,. ( f ( ;, = ep I (, ( Sgt Nugroho 83
Statstk Cukup da Legkap = ep ep I (, ( Jka,, adalah cotoh acak, maka berdasarka teorema terakhr bahwa ( da adalah statstk cukup bersama bag (,. Karea q( = buka merupaka fugs parameter, maka ( tdak termasuk. Msalka dketahu, sebut saja =. Maka f ( ; = ep ( I (, ( = ep ep I (, ( Ds kta lhat bahwa ( merupaka statstk cukup bag. Hal kosste dega hasl sebelumya, dmaa peduga berdasarka ( merupaka peduga yag lebh bak dar pada peduga laya, sepert. Telada 0. 3. Sebuah cotoh acak berukura dar sebara Seragam, ~ SK(,. Karea f ( ;, I (, ( Berdasarka teorema kedua terakhr dperoleh bahwa ( da ( merupaka statstk cukup bersama bag (,. Tga telada terakhr haya berkeaa dega bagamaa mecar statstk cukup bag aggota RDEC. Statstk-statstk tersebut mugk saja merupaka statstk legkap, amu dperluka verfkas dega argume yag terpsah. 84 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap Telada 0. 4. Sebuah cotoh acak berukura dar sebara Seragam, ~ SK(0,. Dar beberapa telada dperoleh bahwa ( merupaka statstk cukup bag. Fugs kepekata peluag bag S = ( adalah s f ( s; I (0, ( s Utuk memverfkas bahwa S juga legkap, asumska bahwa E[u(S] = 0 utuk semua > 0, yag berart bahwa u ( s s / ds 0 0 Jka kedua ss dkalka dega da ddeferesalka terhadap, maka u( 0 utuk semua > 0, yag bermplkas bahwa u(s = 0 utuk semua s > 0, da dega demka kta kataka bahwa S merupaka statstk cukup legkap bag. Teorema 0.. Basu. Msalka,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,,;;. Msalka bahwa S = (S,, Sk dmaa S,, Sk adalah statstk cukup da legkap bersama bag, da msalka bahwa T adalah statstk laya. Jka sebara dar T tdak mecakup, maka S da T salg bebas stokastk. Bukt Dalam kasus dskrt, otaska f(t, f(s;, da f(t s berturut-turut adalah fugs kepekata peluag T, S, da sebara bersyarat T blamaa S = s. Selajutya E S f ( t f ( t S = f ( t f ( t s f ( s; Sgt Nugroho 85 s = f ( t f ( s, t; s
Statstk Cukup da Legkap = f ( t f ( t 0 Karea S adalah statstk cukup legkap, f(t s = f(t yag berart bahwa S da T salg bebas stokastk. Telada 0. 5. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Normal, ~ N(,, da tdak dketahu. Telah dtujukka bahwa peduga kemugka maksmum bag da adalah ˆ da ( ˆ. Sagatlah mudah utuk memverfkas bahwa ˆ adalah statstk cukup legkap bag, utuk la yag tetap. Juga dapat dtujukka bahwa ˆ ~ yag tdak tergatug pada. Dega demka ˆ da 86 ( ˆ merupaka peubah acak yag salg bebas. ( Juga, ˆ da ˆ merupaka statstk cukup legkap bersama bag da, da kuattas dalam betuk meyebar bebas dar da, sehgga juga ˆ ˆ ( bebas stokastk terhadap ˆ da ˆ. Secara rgkas, tujua dar bab adalah megealka kosep cukup da legkap. Sebuah statstk, secara umum, meyedaka reduks gugus data dar beberapa sebara kedalam betuk yag lebh rgkas. Jka statstk dkataka cukup, maka statstk tersebut megadug, dalam arta tertetu, seluruh Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap formas dalam data yag mecakup suatu parameter sebara yag tak dketahu. Meskpu stlah cukup dapat dverfkas, setdakya secara teor, lagsug dar defs, hal basaya dapat dlakuka dega lebh mudah dega megguaka krtera faktorsas. Jka statstk dkataka cukup da jka terdapat satu peduga kemugka maksmum yag uk, maka peduga kemugka maksmum tersebut merupaka fugs dar statstk cukupya. Statstk-statstk cukup juga bergua dalam pembetuka peduga tak bas ragam mmum seragam (UMVUE. Jka statstk dkataka legkap da juga cukup bag suatu parameter, da jka terdapat peduga tak bas bag suatu parameter (atau fugs dar suatu parameter, maka terdapat sebuah UMVUE da merupaka fugs dar statstk cukup legkap. Kadagkala, sagat sult utuk memverfkas statstk legkap dega megguaka defs secara lagsug, amu kelas fugs kepekata peluag yag dkeal dega kelas ekspoesal memberka cara yag yama utuk megdetfkas statstk cukup legkap. Latha. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara Posso, ~ Po(. Tujukka bahwa S adalah statstk cukup bag berdasarka defs.. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara Geometrk, ~ Geo(p. Tujukka bahwa S adalah statstk cukup bag p berdasarka defs. 3. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara Gamma, ~ Gam(,. Tujukka bahwa S adalah statstk cukup bag berdasarka defs da megguaka krtera faktorsas. Sgt Nugroho 87
Statstk Cukup da Legkap 4. Msalka,, adalah cotoh yag salg bebas dar sebara Bomal, ~ B(m,p. Tujukka bahwa S adalah statstk cukup bag p dega megguaka krtera faktorsas. 5. Msalka,, adalah cotoh yag salg bebas dar sebara Beta, ~ Beta(,. Carlah statstk cukup bersama bag da. 6. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal -parameter, ~ Eks(,. a. Tujukka bahwa S = ( adalah statstk cukup bag dega megguaka defs. b. Tujukka bahwa S juga statstk legkap. c. Tujukka bahwa ( / adalah UMVUE bag d. Carlah UMVUE bag persetl ke-p. 7. Tujukka bahwa faml sebara berkut termasuk aggota KER, da utuk tap kasus, carlah statstk cukupya berdasarka cotoh acak,,. a. B(,p; 0 < p < b. Po(; > 0 c. Gam(,; > 0, > 0 d. NB(r,p; r dketahu, 0, p < e. We(,; dketahu, > 0 8. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara Beroull, ~ B(,p; 0 < p <. a. Carlah UMVUE utuk Var( = p(-p b. Carlah UMVUE utuk p. 9. Msalka,, adalah cotoh acak dar sebara dega fugs kepekata peluag f ; I ( ( (0, dega > 0. a. Carlah UMVUE utuk /. b. Carlah UMVUE utuk. 0. Msalka,, adalah cotoh acak berukura dar sebara dega fugs kepekata peluag 88 Sgt Nugroho
Statstk Cukup da Legkap ( f ( ; ( I (0, ( a. Carlah peduga kemugka maksmum ˆ bag. b. Carlah statstk cukup da legkap bag. c. Carlah CRLB utuk /. d. Carlah UMVUE utuk /. e. Carlah sebara ormal asmtotk utuk ˆ da utuk /ˆ. f. Carlah UMVUE utuk. Sgt Nugroho 89
Pedugaa Iterval Pedahulua Kta telah bahas pedugaa ttk pada beberapa bab terdahulu. Dega la dugaa ttk bag suatu parameter, kta g megetahu seberapa dekat la dugaa tersebut dega la parameter yag sebearya. Pertayaa dapat djawab apabla kta megetahu formas yag berkeaa dega vara (ragam atau kuadrat tegah galat dar peduga tersebut. Pedekata la yag dapat dlakuka adalah dega mecar peduga terval, da dega demka kta perlu perhtugka peluag terval tersebut aka mecakup la parameter yag sesugguhya. Kta dapat megatur terval sesua dega peluag yag kta harapka, sehgga ukura keakurata secara otomats telah termasuk dalam dugaa terval (selag tersebut. Telada.. Msalka umur sebayak empat puluh kompoe elektrok damat (dalam bula, da kta dapat berargumetas bahwa umur kompoe memlk sebara atau dstrbus ekspoesal. Sebaga koseuesya, kta asumska bahwa data damat dar suatu sebara Ekspoesal, ~ Eks(, dmaa adalah rata-rata umur lampu yag sesugguhya. Perlu kta gat kembal bahwa rata-rata cotoh yag dotaska dega adalah merupaka peduga tak bas ragam mmum seragam (UMVUE bag. Msalka dar data amata kta peroleh la dugaa adalah = 93, bula. Meskpu kta tahu bahwa la dugaa berdasarka suatu peduga dega sfatsfat yag optmal, suatu peduga ttk tdak aka memberka formas megea keakurata. Jawaba kta dalam permasalaha adalah meuruka suatu terval, dmaa pada ujug-ujug terval adalah peubah-
Pedugaa Iterval peubah acak yag mecakup la parameter dataraya, dega peluag medekat satu. Msalya 0,99 atau 0,95. Kta telah ketahu bahwa ~ (. Dega megguaka = 40 maka = 80, dega megguaka tabel persetl Ka-kuadrat, aka ddapatka 57, 5 da 0,05;80 06,63. Yag berart bahwa P[57,5 < 80 / < 0,975;80 06,63] = 0,975 0,05 = 0,950 da sebaga akbatya bahwa P[80 /06,63 < < 80 /57,5] = 0,950 Secara umum, terval dega ujug-ujugya yag bersfat acak dsebut dega terval acak. Iterval (80 /06,63 ; 80 /57,5 adalah terval acak yag megadug la yag sebearya dega peluag 0,950. Jka kta gat la dega la dugaa cotoh msalya = 93, maka hasl tervalya mejad (69,9 ; 30,3. Kta sebut selajutya terval dega terval kepercayaa 95% bag atau selag kepercayaa 95% bag. Karea la pada ujug-ujug dketahu atau tetap, tdaklah tepat utuk megataka bahwa terval megadug la yag sebearya bag dega peluag 0,95. Parameter meskpu tdak dketahu berupa suatu kostata, da terval tersebut dapat saja atau mugk tdak megadug. Namu demka, fakta bahwa terval acak yag sesua memlk peluag 0,95 sebelum pedugaa, memberka kepercayaa bahwa kta percaya 95% bahwa 69,9 < < 30,3. Iterval Kepercayaa Msalka,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, ;,, dmaa berupa terval. Msalka bahwa L da U adalah statstk, sebut saja L = l(,, da U = u(,,. Jka suatu percobaa meghaslka data, maka kta memlk la amata l(, da u(,,. 9 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval Defs.. Selag Kepercayaa atau Iterval Kepercayaa Suatu terval (l(, ; u(,, dsebut dega selag kepercayaa 00% bag jka P[l(,, < < u(,, ] = dmaa 0 < <. Nla dugaa l(, da u(,, masgmasg berturut-turut adalah batas bawah da batas atas kepercayaa. Notas la yag serg djumpa pada berbaga lteratur statstka adalah L da U utuk batas bawah da atas kepercayaa. Kadag juga dguaka otas l( = l(, da u( = u(,, utuk melambagka batasa la amata. Pembedaa perlu dlakuka atara terval acak (L ; U da la amata dugaa terval (l( ; u( sepert yag telah kta sebutka. Stuas aalog dega peduga da la dugaaya. Termolog la yag bergua dalam pembedaa adalah dega meyebut (L ; U sebaga peduga terval da (l( ; u( sebaga la dugaa terval. Tgkata peluag,, juga dsebut dega koeffse kepercayaa atau tgkat kepercayaa. Iterpretas yag umum megea selag kepercayaa berdasarka sfat frekues relatf dar peluag. Jka dugaa terval tersebut dhtug dar seka bayak cotoh, maka dalam jagka pajag, seadaya dlakuka dega cara serupa, kta dapat berharap bahwa 00% terval tersebut aka mecakup la parameter yag sesugguhya. Defs.. Batas Kepercayaa Satu Arah. Jka P[l(,, < ] = maka l( = l(, dsebut dega batas bawah kepercayaa 00% bag.. Jka P[ < u(,, ] = maka u( = u(, dsebut dega batas atas kepercayaa 00% bag. Sgt Nugroho 93
Pedugaa Iterval Tdaklah selalu mudah bagamaa medapatka batas-batas kepercayaa yag memeuh defs-defs datas. Kosep kecukupa kadag memberka batua dalam permasalaha. Jka terdapat satu statstk cukup tuggal S, kta dapat mecar batas kepercayaa berdasarka suatu fugs dar statstk S. Jka tdak, statstk la sepert peduga kemugka maksmum mugk saja dapat dpaka. Telada.. Msalka suatu cotoh acak berukura dambl dar sebara ekspoesal, ~ Eks(, da kta g meuruka batas bawah kepercayaa 00% bag. Kta tahu bahwa merupaka statstk cukup bag da juga ~ (. Dega demka, = P[ < ( ] = P[ / ; < ] Jka dperoleh laya, maka batas bawah kepercayaaya adalah l( = /. Da dega cara yag sama, maka batas ; atas kepercayaaya adalah u( = / ;. Namu seadaya yag g kta car adalah selag kepercayaa 00% bag. Jka kta plh > 0 da > 0 sedemka rupa sehgga += = -, maka kta peroleh P ; ; = -- Da dega demka P = ; ; Dalam praktekya, basaya kta guaka =, yag dkeal dega plha ekor sama, artya luas ekor kr sama dega luas 94 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval ekor kaa, yag bermplkas bahwa = = /. Dega demka terval kepercayaa tersebut memlk betuk ( ; ; ; Secara umum tetuya, berdasarka taraf kepercayaa tertetu, kta g mecar terval dega jarak yag mmum. Oleh kareaya, dalam beberapa permasalaha, pemlha luas ekor sama aka memberka jarak mmum dmaksud, amu tdak selamaya bahwa pemlha luas ekor yag sama aka meghaslka jarak mmum. Haya sebara yag smetrs tampakya yag meghaslka jarak mmum pada pemlha luas ekor yag sama. Telada. 3. Pertmbagka sebuah cotoh acak yag dambl dar sebara Normal, ~ N(,, dmaa dasumska dketahu. Dalam hal merupaka statstk cukup bag, da kta juga tahu bahwa ( Z ~ N(0,. Karea sebara ormal baku smetrs terhadap ttk ol, maka z / = -z-/, sehgga ( - = P z z = P z z Dega demka selag kepercayaa 00(-% bag dberka oleh ( z ; z. Sgt Nugroho 95
Pedugaa Iterval Sebaga telada, utuk selag kepercayaa 95%, kta peroleh - / = 0,975 da dega megguaka tabel kta peroleh z0,975 =,96. Sehgga batas bawah da atas kepercayaa tersebut adalah,96. Perlu dketahu bahwa jawaba terakhr tdak dapat dterma blamaa tdak dketahu, karea batas-batas kepercayaa tergatug pada parameter yag tak dketahu da dega demka tak dapat dhtug. Dega sedkt modfkas, dmugkka utuk memperoleh selag kepercayaa utuk, meskpu merupaka parameter peggaggu yag tak dketahu. Memag bear, kesulta utama dalam peetua selag kepercayaa mucul dalam parameter gada dmaa bayak terdapat parameter peggaggu. Metode yag lebh umum yag kadag memberka cara peagaa masalah dsajka pada baga berkut. Dalam kasus parameter gada dmugkka juga memlk wlayah kepercayaa bersama yag berlaku pada seluruh parameter secara bersama. Juga, wlayah kepercayaa utuk parameter tuggal, dalam kasus berdmes satu dapat berupa beberapa gugus sela terval. Secara umum, jka, maka sembarag wlayah A (,, dalam adalah memrupaka wlayah kepercayaa 00% jka peluag A (,, terdapat la parameter yag sebearya adalah sebesar. Metode Kuattas Pvot Msalka, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, ; da kta g medapatka batas-batas kepercayaa utuk dmaa parameter peggaggu la yag tak dketahu mugk ada. 96 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval Defs. 3. Kuattas Pvot. Jka Q = q(,, ; adalah peubah acak yag merupaka fugs dar peubah acak,, da saja, maka Q dsebut sebaga kuattas pvot jka dstrbusya tdak tergatug pada atau sembarag parameter la yag tak dketahu. Jka Q adalah kuattas pvot utuk suatu parameter da jka persetl dar Q, sebut saja q da q ada sedemka rupa sehgga P[q < q(,, ; < q] = Maka utuk cotoh amata,,, wlayah kepercayaa 00% bag adalah gugus yag memeuh pertdaksamaa berkut q < q(,, ; < q Wlayah kepercayaa sepert tu tdaklah selalu merupaka terval, da secara umum dapat rumt betukya. Namu demka, terdapat stuas yag lebh petg dmaa selag kepercayaa dapat dperoleh. Salah satu jawaba umum yag aka selalu meghaslka suatu terval blamaa utuk setap gugus la,, fugs q(,, ; merupaka fugs mooto meak (atau meuru dar. Juga dmugkka utuk megdetfkas tpe sebara tertetu yag aka dhaslka dar kuattas pvot. Teorema.. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara dega fugs kepekata f(; utuk da asumska bahwa peduga kemugka maksmum ˆ ada.. Jka adalah parameter lokas, maka kuattas pvotya adalah Q = ˆ -. Sgt Nugroho 97
Pedugaa Iterval. Jka adalah parameter skala, maka kuattas pvotya adalah Q = ˆ /. Kuattas pvot yag ddapat dega cara sepert pada teorema datas, kemuda sebakya dmodfkas sehgga kta peroleh kuattas pvot yag memlk sebara yag kta ketahu. Teorema.. Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu sebara dega parameter lokas da skala yatu yag fugs kepekata peluagya memlk betuk sepert berkut f ( ;, f 0 Jka peduga kemugka maksmum ˆ da ˆ ada, maka ( ˆ - / ˆ da ˆ / secara berturut-turut adalah kuattas pvot bag da. Perlu dcatat bahwa ( ˆ -/ memlk sebara yag bebas terhadap parameter yag tak dketahu, tetap buka merupaka kuattas pvot jka tak dketahu. Jka terdapat statstk cukup, maka peduga kemugka maksmum dapat merupaka fugs darya, da metode aka memberka hasl yag bagus. Telada. 4. Msalka sebuah cotoh acak berasal dar sebara Normal, ~ N(, dmaa kedua parameter da tak dketahu. Jka ˆ da ˆ berturut-turut adalah peduga kemugka maksmum bag da maka ( ˆ -/ˆ da ˆ / berturut-turut adalah kuattas pvot bag da, yag dapat dguaka utuk meuruka selag kepercayaa utuk tap parameter dmaa yag laya 98 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval adalah parameter peggaggu. Aka lebh yama megekspreska hasl dalam betuk peduga tak bas S ˆ /( sehgga kta peroleh hasl sepert berkut da S / ( S ~ t(- ~ ( Seadaya t-/;- adalah persetl ke -/ dar sebara t dega derajat bebas -, maka - = P t t ; ; S S S = P t t ; ; yag berart bahwa terval kepercayaa 00(-% bag adalah s s t ; t ; ; dega da s adalah rata-rata da stadar devas cotoh. Dega megguaka cara yag sama, selag kepercayaa 00(- % bag adalah ( s ( s ; ; ; Batas-batas kepercayaa utuk dapat dperoleh lagsug dar akar pagkat dua dar masg-masg batas datas. Sgt Nugroho 99
Pedugaa Iterval Secara umum, jka (L ; U adalah merupaka selag kepercayaa 00% bag parameter, da jka ( merupaka fugs mooto meak bag, maka ((L ; (U merupaka selag kepercayaa 00% bag parameter (. Telada. 5. Meskpu peubah acak memlk sebara Webull, ~ We(,. Sebara bukalah model sebara dega parameter lokasskala. Namu tdaklah sult utuk meujukka bahwa sebara Y = l adalah sebara la ekstrem yag tergolog model sebara dega parameter lokas-skala. Secara khusus y f ( y;, f 0 dmaa f0(z = ep(z-e z. Hubugaya terhadap parameter adalah = l da = /, da dega demka ˆ ˆ ˆ Q l ˆ ˆ ˆ Q merupaka kuattas pvot bag da. Karea peduga kemugka maksmum bag kedua parameter dhtug dega megguaka metode teras, maka tak dketahu sebara past dar kedua pvot, tetap la persetlya dapat dcar dega metode smulas. Ada kemugka bahwa mecar kuattas pvot berdasarka peduga kemugka maksmum tdak selalu berhasl, amu utuk cotoh acak dar sebara kotu dega parameter tuggal yag tak dketahu, sedktya ada satu kuattas pvot yag dapat dturuka dega megguaka trasformas tegral peluag (Probablty Itegral Trasform. 300 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval Jka ~ f(; da jka F(; adalah fugs sebara kumulatf dar, maka berdasarka Teorema Trasformas Itegral Peluag bahwa F(; ~ Seragam(0,. Da sebaga kosekuesya Y = -l F(; ~ Eks(. Utuk cotoh acak,, dega demka berlaku l F( ; ~ sehgga P l F( ; ; ; da dega megatur peryataa matemats datas dapat dperoleh wlayah kepercayaa bag parameter. Jka fugs sebara kumulatfya tdak dalam betuk sederhaa, versya dapat dlakuka dega cara umerk. Jka F(; merupaka fugs mooto meak (meuru dar, maka hasl dar wlayah kepercayaaya aka berupa terval. Juga perlu dperhatka bahwa - F(; ~ Seragam(0, da l F( ; ~ Secara umum, ekspres trasformas yag dguaka aka meghaslka terval yag berbeda, da atas pertmbaga keyamaa perhtugalah sebaga krtera yag beralasa dalam pemlha trasformas maa yag dpaka. Telada. 6. Suatu cotoh acak dambl dar sebara Pareto, ~ Par(,. Fugs sebara kumulatfya adalah F(; = -(+ - > 0 Sgt Nugroho 30
Pedugaa Iterval Jka kta guaka trasformas - F(;, maka l [ F(;] = l(+, sehgga l( ~ da Selag Kepercayaa 00(-% bag memlk betuk ; ; ; l( l( Apabla dguaka trasformas F(; jawabaya aka lebh sult karea pertdaksamaa megharuska jawaba dselesaka secara umerk. Utuk sebara-sebara dskret, da beberapa permasalaha parameter gada, kuattas pvot mugk tdak ada. Namu demka, pedekata kuattas pvot kadag dapat dperoleh berdasarka hasl asmtots. Pedekata ormal terhadap sebara bomal, merupaka suatu telada. Pedekata Iterval Kepercayaa Msalka,, merupaka cotoh acak dar suatu dstrbus dega fugs kepekata peluag f(;. Sebagamaa telah kta ketahu dalam beberapa bab terdahulu bahwa peduga kemugka maksmum memlk sfat medekat ormal atau asmtotk ormal pada kods tertetu. Telada. 7. Perhatka adaya suatu cotoh acak dar sebara Beroull, ~ B(,p. Peduga kemugka maksmum bag p adalah 30 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval pˆ da. Kta juga tahu bahwa pˆ merupaka statstk cukup ~ B(,p amu tdak ada kuattas pvot utuk p. Namu demka, dega megguaka Dall Lmt Pusat, pˆ p d Z ~ N(0, p( p / da sebaga kosekuesya, utuk yag besar, pˆ p P z z ( / p p Dega megguaka hasl lmt sebara, kta juga dapat peroleh bahwa pˆ p P z z ˆ( ˆ / p p sehgga peryataa matemats lebh mudah utuk dvers sehgga meghaslka pedekata batas-batas kepercayaa bag p yatu p ˆ z pˆ( pˆ / Telada. 8. Cotoh acak berukura dambl dar sebara Posso, ~ Po(. Dega megguaka Teorema Lmt Pusat, kta tahu bahwa d Z ~ N(0, / da dega megguaka lmt sebara, utuk yag sagat besar, Sgt Nugroho 303
Pedugaa Iterval d Z ~ N(0, / Kedua peubah acak datas dapat dguaka utuk mecar pedekata terval kepercayaa, amu ekspres yag terakhr lebh mudah dguaka. Sebearya, dmugkka utuk membuat geeralsas pedekata blamaa peduga kemugka maksmum memlk sfat asmtotk ormal. Metode Umum Jka kuattas pvot tdak terseda, mash dmugkka utuk meetuka wlayah kepercayaa suatu parameter, jka terdapat suatu statstk yag sebaraya tergatug amu tdak tergatug pada parameter peggaggu laya. Khususya, msalka, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, ;, da S = s(,, ~ g(s;. Lebh bak apabla S merupaka statstk cukup bag, atau mugk beberapa peduga beralasa sepert peduga kemugka maksmum, tap tdak dperluka. Utuk setap kemugka la, asumska bahwa kta dapat memperoleh la h( da h( sedemka rupa sehgga P[h( < S < h(] = - Jka kta amat la S = s, maka gugus la yag memeuh h( < s < h( membetuk wlayah kepercayaa 00(-% bag. Dega perkataa la bahwa, jka 0 merupaka la yag sebearya, maka 0 aka berada dalam wlayah kepercayaa jka da haya jka h(0 < s < h(0 yag memlk taraf kepercayaa 00(-% bag karea P[h( < S < h(] = - bear blamaa = 0. Sergkal h( da h( merupaka fugs meak (meuru terhadap, yag megakbatka wlayah kemugkaya berupa terval. 304 Sgt Nugroho
Pedugaa Iterval Telada. 9. Sebuah cotoh acak berukura dar sebara kotu dega fugs kepekata peluag ( f ( ; ep I, ( dmaa > 0. Tak ada statstk cukup tuggal, amu ( da merupaka statstk cukup bersama bag. Kta g meuruka selag kepercayaa 90% bag berdasarka statstk S = (. Fugs sebara kumulatf dar S adalah G s; ep ( s / I ( s (, Salah satu plha fugs h( da h( yag memeuh P[h( < S < h(] = - adalah G(h(; = 0,05 da G(h(; = 0,95 yag aka meghaslka fugs h( = - l(0,95 / + 0,053 / da h( = - l(0,05 / + 0,053 / Latha. Suatu cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal dega parameter. a. Jka la rata-rata cotoh 7.9 dar = 50, carlah batas bawah kepercayaa 95% bag. b. Carlah batas bawah kepercayaa 95% bag t / P( t e dmaa t adalah sembarag la yag dketahu?. Msalka,,..., adalah cotoh acak berukura dar sebara Webull, ~ Webull(, Sgt Nugroho 305
a. Tujukka bahwa Q / ~ Pedugaa Iterval b. Guaka Q utuk meuruka terval kepercayaa (selag kepercayaa 00% dua arah sama ekor utuk. c. Carlah batas bawah terval kepercayaa 00% utuk P t t ( ep[ ( / ] d. Carlah batas atas terval kepercayaa 00% bag persetl ke-p dar sebara? 3. Cotoh acak berukura dar sebara Seragam, ~ Seragam(0,, >0, da ( adalah statstk maksmum. a. Carlah peluag bahwa terval acak ((,( megadug. b. Carlah kostata c sedemka rupa sehgga ((,c( adalah terval kepecayaa 00(-% bag. 4. Msalka,,..., adalah cotoh acak berukura dar sebara Webull, ~ Webull(,, dketahu. a. Guaka Metode Umum utuk meuruka terval kepercayaa 00(-% bag berdasarka statstk S=(. b. Guaka Metode Umum utuk meuruka terval kepercayaa 00(-% bag berdasarka statstk S. 306 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess Pedahulua Dalam kegata lmah, perhata tercurahka pada bagamaa mejawab pertayaa megea valdtas teor atau hpotess yag berkeaa dega feomea fsk. Pada umumya, formas megea feomea dapat dperoleh dega melakuka percobaa. Termolog peguja hpotess megacu pada proses mecoba memutuska berdasarka bukt percobaa aka kebeara atau ketdakbeara hpotess. Sebaga msal, kta mecurga hpotess tertetu, baragkal suatu teor yag sudah dterma, adalah salah, da kemuda suatu percobaa dlakuka. Luara dar percobaa yag tak kosste tetu aka meraguka valdtasya. Secara umum, pegukura percobaa megadug kesalaha acak, da dega demka setap keputusa tetag kebeara atau ketdakbeara suatu hpotess, yag berdasarka hasl percobaa, juga megadug kesalaha. Tak aka mugk meghdar kesalaha keputusa, amu dmugkka utuk membagu uj-uj sedemka rupa sehgga kesalaha sagat jarag terjad da pada taraf yag dtetuka, bla ada. Defs.. Hpotess Statstka. Jka ~ f(;, suatu hpotess statstka adalah suatu peryataa tetag sebara dar. Jka hpotess secara legkap meyebut f(;, maka hpotess dkataka sederhaa; jka tdak hpotess dkataka majemuk. Sergkal sebara yag dtayaka memlk betuk parametrk dega parameter tuggal yag tak dketahu, da hpotess mecakup pertayaa megea
Peguja Hpotess. Dalam keragka, hpotess statstka berkeaa dega suatu aak gugus ruag parameter, da tujua peguja adalah utuk memutuska apakah la parameter yag sebearya berada dalam aak gugus. Dega demka, hpotess ol berkeaa dega aak gugus 0, da hpotess tadga berkeaa dega komplemeya, -0. Dalam kasus hpotess sederhaa, gugus haya memlk satu aggota 0 = {0} da -0 = {}, dmaa 0. Dalam bayak percobaa terdapat beberapa hpotess peelta dmaa kta berharap medukug bukt secara statstk, da hpotess harus dletakka sebaga hpotess tadga. Berdasarka data hasl peelta, apakah data medukug peryataa hpotess ol atau hpotess tadga. Secara flosof kta bag ruag cotoh mejad dua daerah, yatu daerah krts atau daerah peolaka hpotess ol, da daerah peermaa hpotess ol. Defs.. Daerah Krts. Daerah krts utuk suatu uj hpotess adalah aak gugus dar ruag cotoh yag berkeaa dega peolaka hpotess ol. Dalam telada kta, merupaka statstk cukup bag, sehgga kta dapat megekspreska daerah krts secara lagsug megguaka peubah tuggal, da kta aka guaka sebaga statstk uj. Karea > 0, betuk alam wlayah krts permasalaha adalah dega memsalka C = {(,, c}, utuk beberapa la c yag sesua. Yag dmaksudka dega tu adalah, kta aka tolak hpotess ol, jka c da kta tdak aka meolak hpotess ol jka <c. Terdapat dua kemugka kesalaha yag mugk kta buat dega prosedur. Kemugka kta aka meolak H0 apabla H0 bear, atau kemugka kta aka gagal meolak H0 blamaa H0 salah. Kesalaha-kesalaha tersebut dotaska sebaga berkut: 308 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess. Kesalaha Tpe I : Meolak Hpotess Nol yag bear.. Kesalaha Tpe II : Gagal Meolak Hpotess Nol yag salah. Gagal memlk cukup bukt statstk utuk meolak Hpotess Nol tdak sama artya dega memlk cukup kuat bukt utuk medukug Hpotess Nol. Kta berharap dapat memlh uj statstk da daerah krts sehgga peluag kta membuat kesalaha kecl. Notas rgkas utuk meyataka peluag datas adalah:. P[Kesalaha Tpe I] = P(Tpe I =. P[Kesalaha Tpe II] = P(Tpe II =. Defs. 3. Taraf Nyata da Ukura Uj. Utuk hpotess ol sederhaa, H0, peluag meolak H0 yag bear, = P(Tpe I serg dsebut dega taraf yata peguja. Utuk hpotess ol majemuk, H0, ukura peguja (atau ukura daerah krts merupaka peluag maksmum peolaka H0 blamaa H0 bear. Khusus utuk hpotess ol sederhaa, taraf yata peguja juga merupaka ukura peguja. Pedekata baku megguaka taraf kesalaha yag mash dapat dterma, sepert = 0,05 atau = 0,0 sebaga taraf yata peguja. Kemuda tetuka daerah krts tersebut dega memperhatka taraf yata yag telah dtetapka. Datara semua daerah krts berukura tersebut kta plh satu ttk c yag memlk P{Tpe II palg kecl. Jka msalka = 5, 0 = 0, = 4, maka = 0,05 aka memberka la 4 c 0 z 0,645,36 5 Hal mudah dverfkas, karea Sgt Nugroho 309
Peguja Hpotess 0 c 0 P [ c 0 0] = P / /,36 0 = P Z 4 / 5 = P Z,645 = 0,05 Dega demka, peguja dega megguaka taraf uj 0,05 utuk H0 : = 0 lawa H: = adalah Meolak hpotess ol jka la amata,36. Daerah krts memberka ukura uj 0,05 utuk setap tadga =, tap fakta bahwa > 0 berart kta aka medapatka la P(Tpe II semak kecl dega megambl daerah krts dss kaa sebara Peluag kesalaha tpe II yag berkeaa dega permasalaha dapat dhtug sebaga berkut : P,36 = P(Tpe II =,36 = P 4 / 5 4 / 5 = P [ Z 0,35] 0, 654 Sejauh, tak ada alasa secara teor utuk memlh suatu daerah krts dar pada daerah krts yag laya. Sebaga msal, daerah krts C = {(,, 0< <0,0006} juga memlk = 0,05 karea 0 P [ 0 0,0006] P0 0,57 0,05 4 / 5 aka tetap P 0 0,0006 P(Tpe II = 0 0,0006 = P Z 4 / 5 4 / 5 = - P[-,5 < Z < -,45] 30 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess = 0,975 Secara lebh umum, kta dapat meguj H0: = 0 lawa H: = (dmaa > 0 pada taraf yata, dega megguaka statstk uj 0 Z 0 / setara dega pegguaa statstk, sehgga kta lebh yama megguaka uj dega meolak H0 jka z0 z-, dmaa z0 dhtug dega megguaka la Z0. Jelas bahwa, pada kods H0, P[Z0 z-] = da kta memlk daerah krts sebesar. Peluag tpe kesalaha II ya dapat dhtug dega megguaka 0 z / dmaa ( adalah fugs sebara kumulatf Normal Baku. Ukura cotoh yag membuat P(Tpe II = merupaka jawaba dar 0 z z z / adalah z z 0 Defs. 4. Fugs Kuasa. Fugs kuasa, (, dar suatu uj H0 adalah peluag meolak H0 blamaa la sebearya dar parameter adalah. Utuk hpotess sederhaa H0: = 0 lawa H: =, kta peroleh (0 = P(Tpe I = da ( = -P(Tpe II = -. Utuk hpotess majemuk, msalka H0: 0 lawa H: -0, maka ukura ujya (atau daerah krtsya adalah Sgt Nugroho 3
ma ( Peguja Hpotess da jka la yag sebearya berada d dalam -0, maka ( = -P(Tpe II, dega demka P(Tpe II tergatug pada. Hpotess Majemuk Bla kta asumska bahwa ~ N(,, dmaa dketahu, da kta g melakuka peguja H0: = 0 lawa hpotess tadga majemuk H: > 0. Telah dsaraka pada telada terdahulu bahwa daerah krts berada d sebelah ekor kaa utuk > 0, tetap la krts c tdak tergatug pada besarya. Dega demka jelas bahwa peguja hpotess sederhaa yag telah kta puya pada telada terdahulu juga dapat dguaka utuk hpotess tadga majemuk. Peguja pada taraf yata mash meolak H0 jka 0 z 0 z / Kuasa uj pada sembarag la ya dapat dtulska sebaga berkut 0 0 ( P z P z / / / atau ( z 0 / Kta dapat juga melakuka peguja hpotess ol majemuk H0: 0 lawa hpotess tadga majemuk H: > 0, da kta 0 tolak H0 jka z 0 z. Peguja hpotess ol majemuk / 3 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess mash megguaka taraf uj sebesar. Peluag meolak H0 utuk sembarag 0 adalah sebesar (, da ( (0= utuk 0, da dega demka ma ( Dega demka, jka daerah krts dplh memlk luas pada 0, maka besarya kesalaha Tpe I aka lebh kecl dar utuk setap < 0, sehgga daerah krts aslya mash berlaku. Oleh kareaya, peguja pada taraf yag dkembagka utuk hpotess ol sederhaa kadag mash dapat dpaka pada hpotess majemuk yag lebh realstk, da peluag Tpe I tak aka melebh. Catata : gagal meolak hpotess ol tdak harus selalu dterpretaska dega peermaa hpotess alteratf. Kta dapat selalu mecar la tadga yag cukup dekat dega 0 sehgga kuasa uj, ( medekat. Ukura amata atau la peluag yag serg dotaska dega la-p ddefska sebaga ukura terkecl dmaa H0 dapat dtolak, berdasarka la amata statstk uj. 0 Uj Palg Kuasa Dalam beberapa bab terdahulu, termolog peguja hpotess telah dkembagka, da beberapa uj secara tutf telah dkembagka berdasarka kuattas pvot atau statstk cukup yag sesua. Berkut aka dsajka kosep uj palg kuasa. Msalka,, memlk fugs kepekata peluag f(,, ;, da daerah krts C. Notas utuk fugs kuasa yag berkata dega C adalah ( P,..., C C Sgt Nugroho 33
Defs. 5. Uj Palg Kuasa. Peguja Hpotess Suatu uj H0: = 0 lawa H: = berdasarka daerah krts C* dkataka sebaga uj palg kuasa pada taraf yata jka. C*(0 =, da. C*( C( utuk setap daerah krts C pada taraf yata Daerah krts C* dsebut dega daerah krts palg kuasa pada taraf uj. Teorema.. Lemma Neyma-Pearso Msalka bahwa,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,,;. Msalka f (,..., ; 0 (,..., ; 0, f (,..., ; da msalka C* merupaka gugus C* {(,..., (,..., ; 0, k} dmaa k adalah kostata sedemka rupa sehgga P[(,..., C* 0 ] Dega demka, C* merupaka daerah krts palg kuasa utuk peguja H0: = 0 lawa H: = pada taraf yata peguja. Telada.. Sebuah cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal, ~ Eks(. Kta g melakuka peguja H0: = 0 lawa H: = pada taraf yata peguja. [ > 0]. Lemma Neyma-Pearso megataka bahwa: Tolak H0 jka 34 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess Sgt Nugroho 35 k f f 0 0 0 0 ep ep ;,..., ( ;,..., (, ;,..., ( dmaa h dplh sedemka rupa sehgga P[(;0,k] = blamaa =0. Sekarag kta puya k P k P 0 0 0 0 0 l ], ;,..., ( [ sehgga P[C* 0] = 0 k* P dmaa 0 0 / l * k k. Dega demka, daerah krts palg kuasa utuk uj tersebut memlk betuk *},..., {( * k C. Perlu kta gat bahwa berdasarka H0: = 0, peubah acak 0 memlk sebara, sehgga pemlha * ; 0 k aka memberka daerah krts pada taraf yata peguja.. Da peguja yag ekuvale dega tu adalah dega krtera: Meolak hpotess ol jka ; 0.
Peguja Hpotess Sgt Nugroho 36 Telada.. Sebuah cotoh acak berukura berasal dar sebara Normal dega rata-rata ol da vara, ~ N(0,. Kta g melakuka peguja 0 0 : H lawa : H dmaa > 0. Dalam kasus, kta puya k 0 0 0 ep ep, ;,..., ( yag setara dega k 0 * 0 l. Karea > 0. maka 0 0, da daerah krts palg kuasaya memlk betuk } **,..., {( * k C. Perhatka juga bahwa berdasarka H0 atau apabla H0 bear, maka 0 / ~. Dega demka uj palg kuasa dega taraf yata adalah dega krtera Meolak H0 jka ; 0 /.
Peguja Hpotess Telada. 3. Kta g meetuka betuk uj palg kuasa H0: p = p0 lawa H: p = p > p0 berdasarka statstk S ~ B(,p. Dega demka kta puya s s Cs p0 ( p0 k s s Cs p ( p sehgga p0 ( p p( p0 s k atau setara dega p0 ( p s l l k p( p0 p0 ( p Karea ( 0 maka la l ya egatf, da dega p p demka, krtera pegujaya adalah Tolak H0 jka S k. Kta perlu catat bahwa Lemma Neyma-Pearso berlaku utuk peguja sembarag hpotess ol yag secara legkap terspesfkas, H0: f0(;0, lawa sembarag hpotess alteratf yag secara legkap juga terspesfkas, H: f(;. Dalam kebayaka aplkas sebaga hasl dar suatu cotoh acak dar fugs kepekata peluag yag kemugka dar la parameter yag berbeda, tetap juga dapat berasal dar gugus statstk tataa atau peubah gada. Fugs kepekata peluag pada hpotess ol juga tak perlu sama dega fugs kepekata peluag pada hpotess tadga. Sgt Nugroho 37
Telada. 4. Peguja Hpotess Msalka kta puya sebuah cotoh acak berukura, da g meguj H0: ~ Seragam(0, lawa H: ~ Ekspoesal(. Dega demka kta puya f 0 (,..., (,..., k f(,..., e sehgga kta dapatka krtera peolaka : Tolak H0 jka k l k. Sebara dar jumlah peubah acak Seragam tdak mudah dekspreska, amu teorema lmt pusat dapat dguaka utuk medapatka pedekata la krts. Karea ~ Ser(0,, maka E( = ½ da Var( = /. Sehgga z 0,5 d N(0, /( Sehgga, pedekata uj palg kuasa pada taraf ya adalah Tolak H0 jka ( 0,5 z Uj Palg Kuasa Seragam z Defs. 6. Uj Palg Kuasa Seragam. Msalka,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(,, ; utuk, da pertmbagka hpotess dalam betuk H0: 0 lawa H:-0, dmaa 0 merupaka aak gugus dar. Suatu daerah krts C*, da ujya, dkataka palg kuasa seragam pada taraf jka ma *( da 38 0 C C* ( C ( Sgt Nugroho
Peguja Hpotess utuk semua -0 da semua daerah krts C pada taraf yata. Telada. 5. Sebuah cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal, ~ Eks(. Kta g melakuka peguja H0: = 0 lawa H: = pada taraf yata peguja., meghaslka krtera peolaka : Meolak hpotess ol jka 0 ; Krtera tdak tergatug pada pemlha la yag dpaka, amu haya berdasarka krtera bahwa > 0. Dega demka uj merupaka uj palg kuasa seragam utuk peguja H0: = 0 lawa H: > 0. Fugs kuasa dar uj juga dapar dekspreska dalam fugs sebara kumulatf ka-kuadrat dega derajat bebas, H(c;. ( 0 H ; ; Karea ( merupaka fugs meak dar, maka ma ( ( 0, maka uj juga uj palg kuasa seragam 0 utuk hpotess majemuk H0: 0 lawa H: > 0. Defs. 7. Suatu fugs kepekata peluag bersama f(; dkataka memlk raso kemugka mooto (mootoe lkelhood rato dalam statstk T=t( jka utuk sembarag dua la parameter <, raso f(;/ f(; tergatug pada haya melalu fugs t(, da raso merupaka suatu fugs tak meuru dar t(. Sgt Nugroho 39.
Peguja Hpotess Telada. 6. Suatu cotoh acak berukura dar sebara ekspoesal, ~Ekspoesal(. Karea f ( ; ep( /, maka f ( ; ( / ep merupaka fugs f ( ; tak meuru dar t( jka >. Dega demka t( dkataka memlk sfat raso kemugka mooto dalam statstk T. Perhatka bahwa sfat juga berlaku utuk statstk, karea statstk merupaka fugs meak dar T. Sfat raso kemugka mooto bergua utuk meuruka uj palg kuasa seragam. Teorema.. Jka fugs kepekata peluag bersama f(; memlk sfat raso kemugka mooto dalam statstk T=t(, maka uj palg kuasa seragam berukura utuk H0: 0 lawa H:>0 adalah dega meolak H0 jka t(k sedemka rupa sehgga P[t(k 0]=. Permasalaha dual dar peguja H0: 0 lawa H:<0 dapat dlakuka dega pedekata juga, haya dega membalk pertdaksamaa mejad ( ( C* C. Juga seadaya raso merupaka fugs tak meak dar t(, maka H0 dar torema tersebut dapat dtolak dega membalk pertdaksamaa dalam t(. 30 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess Telada. 7. Cotoh acak berukura dar sebara Ekspoesal parameter, ~Ekspoesal(,. Fugs kepekata peluag bersamaya adalah f ( ; ep[ ( ] I(, ( (. Dega demka, jka <, maka f ( ; 0, (. f ( ; ep[ ( ], ( Fakta bahwa fugs tak terdefs utuk ( 0 tdak jad masalah, karea P ( 0 blamaa merupaka la yag sebearya. Raso datas merupaka fugs tak meuru dar la mmumya da sfat raso kemugka maksmum berlaku utuk T=(. Dega demka, uj palg kuasa seragam berukura utuk H0: 0 lawa H:0 adalah dega membuat keputusa Tolak H0 jka (k, sedemka rupa sehgga P[ k ] ep[ ( k ] atau la ( 0 0 k 0 (l /. Teorema. 3. Msalka bahwa,, memlk fugs kepekata peluag bersama dalam betuk f ( ; c( h( ep[ q( t( ] dmaa q( merupaka fugs meak pada.. Uj Palg Kuasa Seragam berukura utuk H0: lawa H:> adalah meolak H0 jka t(k, dmaa P[t(k 0]=. 3. Uj Palg Kuasa Seragam berukura utuk H0: lawa H:< adalah meolak H0 jka t(k, dmaa P[t(k 0]=. Bukt Sebaga latha. Sgt Nugroho 3
Telada. 8. Peguja Hpotess Sebuah cotoh acak berukura dar sebara Posso, ~Posso(. Fugs kepekata peluag bersamaya adalah e f ( ; utuk semua = 0,,,... yag juga dapat!! dtulska ( ; (!! ep[(l ] f e. Dega megguaka teorema datas, q(=l da t(=. Uj palg kuasa berukura utuk H0:0 lawa H:>0 adalah meolak H0 jka t(k, dmaa P[t(k 0]=. Karea T~Posso(, maka 0 t e ( 0. t! tk Dalam beberapa kasus, uj palg kuasa seragam mugk tak aka dapat dperoleh, khususya utuk hpotess alteratf dua arah, mugk ada uj palg kuasa datara kelas uj tak bas terbatas. Defs. 8. Suatu uj H0:0 lawa Ha:-0 dkatka tak bas jka m ( ma ( 0 Defs. 9 Msalka = (,, dmaa,, memlk fugs kepekata peluag bersama f(; utuk, da perhatka hpotess H0: 0 lawa H: -0. raso kemugka umum (geeralzed lkelhood rato ddefska sebaga ma f ( ; ( ; ˆ f 0 0 ( ma f ( ; f ( ; ˆ 3 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess dmaa ˆ adalah peduga kemugka maksmum bag da 0 adalah peduga kemugka maksmum pada kods hpotess ol bear. Pada dasarya, prsp raso kemugka umum meetuka daerah krts dega memlh ttk-ttk maa yag harus dmasukka kedalamya berdasarka raso kemugka hasl estmas dar data amata, dmaa pemblagya destmas pada kods hpotess ol bear. Hal sama dega prsp Neyma-Pearso dmaa kemugka tesebut dsebutka dega legkap, tetap buka geeralsas prsp Neyma-Pearso, sebab la estmas tak terbatas, ˆ, dapat saja berada dalam 0. ( merupaka statstk uj yag sahh yag tdak merupaka fugs dar parameter yag tak dketahu; dalam bayak kasus sebara ( bebas parameter, da la krts pastya, k, dapat dtetuka. Dalam beberapa kasus, sebara ( blamaa hpotess ol bear tergatug pada parameter yag tak dketahu, da daerah krts berukura past tak dapat dtetuka. Jka kods reguler berlaku, yag mejam peduga kemugka maksmumya berdstrbus asmtotk Normal, dapat dtujukka bahwa sebara asmtotk dar ( bebas parameter, da uj berukura medekat aka dperoleh blamaa ukura cotoh mejad besar. Jka ~ f ( ;,..., k, maka bla hpotess ol H0 : (,..., r (,..., r r k bear, utuk yag besar, maka 0 0 l ( ~ r ( Sgt Nugroho 33
Telada. 9 Peguja Hpotess Msalka ~ N(, dmaa dketahu. Ig duj H0: = 0 lawa H: 0. Maka peduga kemugka maksmum dar adalah ˆ da raso kemugka maksmumya adalah : f ( ; 0 ( f ( ; ˆ / ( ep ( 0 /( = / ( ep ( /( Bla dsederhaaka, maka aka dperoleh ( 0 ( ep Dega demka, kta tolak hpotess ol jka ( k setara dega meyataka meolak hpotess ol jka 0 * z k / dmaa Z ~ N(0, da Z ~ (. Jad, uj berukura adalah meolak hpotess ol jka z yag ekuvale dega meolak hpotess ol jka ; z z atau z z. I berart bahwa uj raso kemugka tersebut dapat dreduks mejad uj ormal dua arah berukura sama. Perlu juga dcatat bahwa sebara asmtotk l ( ~ merupaka sebara past. 34 Sgt Nugroho
Peguja Hpotess Latha. Msalka,, adalah cotoh acak berukura dar sebara dega fugs kepekata peluag f ( ; I (, > 0 (0, a. Carlah peduga kemugka maksmum ˆ bag. b. Carlah statstk cukup da legkap bag. c. Carlah CRLB utuk /. d. Carlah UMVUE utuk /. e. Carlah sebara ormal asmtotk utuk ˆ da utuk /ˆ. f. Carlah UMVUE utuk. g. Carlah selag kepercayaa dua arah 00 % bag. h. Berdasarka ukura cotoh sebesar, carlah Uj Palg Kuasa Seragam pada taraf utuk H0: = 0 vs H: = dmaa > 0.. Msalka,, adalah cotoh acak berukura dar sebara dega fugs kepekata peluag ( f ; ( I ( ( (0, a. Carlah peduga kemugka maksmum ˆ bag. b. Carlah statstk cukup da legkap bag. c. Carlah CRLB utuk /. d. Carlah UMVUE utuk /. e. Carlah sebara ormal asmtotk utuk ˆ da utuk /ˆ. f. Carlah UMVUE utuk. g. Carlah selag kepercayaa dua arah 00 % bag. Sgt Nugroho 35
Peguja Hpotess h. Berdasarka ukura cotoh sebesar, carlah Uj Palg Kuasa Seragam pada taraf utuk H0: = 0 vs H: = dmaa > 0. 36 Sgt Nugroho
LAMPIRAN Seluruh s tabel dbagktka dega megguaka Fugs-fugs yag terseda pada Mcrosoft Ecel Oleh : Sgt Nugroho Tabel Lampra. Sebara Kumulatf Normal Baku...38 Tabel Lampra. Tabel Sebara Ka-kuadrat...330 Tabel Lampra 3. Sebara t-studet...33 Tabel Lampra 4. Sebara F...333
Tabel Lampra. Sebara Kumulatf Normal Baku. 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,0 0,003 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 -,9 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 -,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,009 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,004 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,005 0,0049 0,0048 -,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,007 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0094 0,009 0,0089 0,0087 0,0084 -, 0,039 0,036 0,03 0,09 0,05 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,058 0,054 0,050 0,046 0,043 -,0 0,08 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 0,097 0,09 0,088 0,083 -,9 0,087 0,08 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033 -,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,034 0,0307 0,030 0,094 -,7 0,0446 0,0436 0,047 0,048 0,0409 0,040 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 -,6 0,0548 0,0537 0,056 0,056 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,068 0,0606 0,0594 0,058 0,057 0,0559 -,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,068 -,3 0,0968 0,095 0,0934 0,098 0,090 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 -, 0,5 0,3 0, 0,093 0,075 0,056 0,038 0,00 0,003 0,0985 -, 0,357 0,335 0,34 0,9 0,7 0,5 0,30 0,0 0,90 0,70 -,0 0,587 0,56 0,539 0,55 0,49 0,469 0,446 0,43 0,40 0,379-0,9 0,84 0,84 0,788 0,76 0,736 0,7 0,685 0,660 0,635 0,6-0,8 0,9 0,090 0,06 0,033 0,005 0,977 0,949 0,9 0,894 0,867-0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,77 0,48-0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,6 0,578 0,546 0,54 0,483 0,45-0,5 0,3085 0,3050 0,305 0,98 0,946 0,9 0,877 0,843 0,80 0,776-0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,39 0,356 0,3-0,3 0,38 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483-0, 0,407 0,468 0,49 0,4090 0,405 0,403 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0, 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 38 Sgt Nugroho
... Lajuta 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Sgt Nugroho 39
Tabel Lampra. Tabel Sebara Ka-kuadrat db 0,00 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,88 7,879 6,635 5,04 3,84,706 3,86 0,597 9,0 7,378 5,99 4,605 3 6,66,838,345 9,348 7,85 6,5 4 8,467 4,860 3,77,43 9,488 7,779 5 0,55 6,750 5,086,833,070 9,36 6,458 8,548 6,8 4,449,59 0,645 7 4,3 0,78 8,475 6,03 4,067,07 8 6,4,955 0,090 7,535 5,507 3,36 9 7,877 3,589,666 9,03 6,99 4,684 0 9,588 5,88 3,09 0,483 8,307 5,987 3,64 6,757 4,75,90 9,675 7,75 3,909 8,300 6,7 3,337,06 8,549 3 34,58 9,89 7,688 4,736,36 9,8 4 36,3 3,39 9,4 6,9 3,685,064 5 37,697 3,80 30,578 7,488 4,996,307 6 39,5 34,67 3,000 8,845 6,96 3,54 7 40,790 35,78 33,409 30,9 7,587 4,769 8 4,3 37,56 34,805 3,56 8,869 5,989 9 43,80 38,58 36,9 3,85 30,44 7,04 0 45,35 39,997 37,566 34,70 3,40 8,4 46,797 4,40 38,93 35,479 3,67 9,65 48,68 4,796 40,89 36,78 33,94 30,83 3 49,78 44,8 4,638 38,076 35,7 3,007 4 5,79 45,559 4,980 39,364 36,45 33,96 5 5,60 46,98 44,34 40,646 37,65 34,38 6 54,05 48,90 45,64 4,93 38,885 35,563 7 55,476 49,645 46,963 43,95 40,3 36,74 8 56,89 50,993 48,78 44,46 4,337 37,96 9 58,30 5,336 49,588 45,7 4,557 39,087 30 59,703 53,67 50,89 46,979 43,773 40,56 40 73,40 66,766 63,69 59,34 55,758 5,805 50 86,66 79,490 76,54 7,40 67,505 63,67 330 Sgt Nugroho
... Lajuta db 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 0,06 0,004 0,00 0,000 0,000 0,000 0, 0,03 0,05 0,00 0,00 0,00 3 0,584 0,35 0,6 0,5 0,07 0,04 4,064 0,7 0,484 0,97 0,07 0,09 5,60,45 0,83 0,554 0,4 0,0 6,04,635,37 0,87 0,676 0,38 7,833,67,690,39 0,989 0,598 8 3,490,733,80,646,344 0,857 9 4,68 3,35,700,088,735,5 0 4,865 3,940 3,47,558,56,479 5,578 4,575 3,86 3,053,603,834 6,304 5,6 4,404 3,57 3,074,4 3 7,04 5,89 5,009 4,07 3,565,67 4 7,790 6,57 5,69 4,660 4,075 3,04 5 8,547 7,6 6,6 5,9 4,60 3,483 6 9,3 7,96 6,908 5,8 5,4 3,94 7 0,085 8,67 7,564 6,408 5,697 4,46 8 0,865 9,390 8,3 7,05 6,65 4,905 9,65 0,7 8,907 7,633 6,844 5,407 0,443 0,85 9,59 8,60 7,434 5,9 3,40,59 0,83 8,897 8,034 6,447 4,04,338 0,98 9,54 8,643 6,983 3 4,848 3,09,689 0,96 9,60 7,59 4 5,659 3,848,40 0,856 9,886 8,085 5 6,473 4,6 3,0,54 0,50 8,649 6 7,9 5,379 3,844,98,60 9, 7 8,4 6,5 4,573,879,808 9,803 8 8,939 6,98 5,308 3,565,46 0,39 9 9,768 7,708 6,047 4,56 3, 0,986 30 0,599 8,493 6,79 4,953 3,787,588 40 9,05 6,509 4,433,64 0,707 7,96 50 37,689 34,764 3,357 9,707 7,99 4,674 Sgt Nugroho 33
Tabel Lampra 3. Sebara t-studet 0,00 0,050 0,05 0,00 0,005 0,00 3,078 6,34,706 3,8 63,657 38,309,886,90 4,303 6,965 9,95,37 3,638,353 3,8 4,54 5,84 0,5 4,533,3,776 3,747 4,604 7,73 5,476,05,57 3,365 4,03 5,893 6,440,943,447 3,43 3,707 5,08 7,45,895,365,998 3,499 4,785 8,397,860,306,896 3,355 4,50 9,383,833,6,8 3,50 4,97 0,37,8,8,764 3,69 4,44,363,796,0,78 3,06 4,05,356,78,79,68 3,055 3,930 3,350,77,60,650 3,0 3,85 4,345,76,45,64,977 3,787 5,34,753,3,60,947 3,733 6,337,746,0,583,9 3,686 7,333,740,0,567,898 3,646 8,330,734,0,55,878 3,60 9,38,79,093,539,86 3,579 0,35,75,086,58,845 3,55,33,7,080,58,83 3,57,3,77,074,508,89 3,505 3,39,74,069,500,807 3,485 4,38,7,064,49,797 3,467 5,36,708,060,485,787 3,450 6,35,706,056,479,779 3,435 7,34,703,05,473,77 3,4 8,33,70,048,467,763 3,408 9,3,699,045,46,756 3,396 30,30,697,04,457,750 3,385 40,303,684,0,43,704 3,307 60,96,67,000,390,660 3,3 f,8,645,960,36,576 3,090 33 Sgt Nugroho
Tabel Lampra 4. Sebara F Db- db- alpha 3 4 5 6 7 8 0,00 39,86 49,50 53,59 55,83 57,4 58,0 58,9 59,44 0,050 6,45 99,50 5,7 4,58 30,6 33,99 36,77 38,88 0,00 405,8 4999,50 5403,35 564,58 5763,65 5858,99 598,36 598,07 0,00 8,53 9,00 9,6 9,4 9,9 9,33 9,35 9,37 0,050 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 0,00 98,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 3 0,00 5,54 5,46 5,39 5,34 5,3 5,8 5,7 5,5 0,050 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 0,00 34, 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 4 0,00 4,54 4,3 4,9 4, 4,05 4,0 3,98 3,95 0,050 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 0,00,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 5 0,00 4,06 3,78 3,6 3,5 3,45 3,40 3,37 3,34 0,050 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 0,00 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 6 0,00 3,78 3,46 3,9 3,8 3, 3,05 3,0,98 0,050 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 0,00 3,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7 0,00 3,59 3,6 3,07,96,88,83,78,75 0,050 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 0,00,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 8 0,00 3,46 3,,9,8,73,67,6,59 0,050 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 0,00,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 Sgt Nugroho 333
... Lajuta db- db- alpha 3 4 5 6 7 8 9 0,00 3,36 3,0,8,69,6,55,5,47 0,050 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 0,00 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 0 0,00 3,9,9,73,6,5,46,4,38 0,050 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 0,00 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 0,00 3,3,86,66,54,45,39,34,30 0,050 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95 0,00 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 0,00 3,8,8,6,48,39,33,8,4 0,050 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85 0,00 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 3 0,00 3,4,76,56,43,35,8,3,0 0,050 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77 0,00 9,07 6,70 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,30 4 0,00 3,0,73,5,39,3,4,9,5 0,050 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70 0,00 8,86 6,5 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,4 5 0,00 3,07,70,49,36,7,,6, 0,050 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64 0,00 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4,00 6 0,00 3,05,67,46,33,4,8,3,09 0,050 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59 0,00 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 334 Sgt Nugroho
... Lajuta db- db- alpha 3 4 5 6 7 8 7 0,00 3,03,64,44,3,,5,0,06 0,050 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55 0,00 8,40 6, 5,8 4,67 4,34 4,0 3,93 3,79 8 0,00 3,0,6,4,9,0,3,08,04 0,050 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5 0,00 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 9 0,00,99,6,40,7,8,,06,0 0,050 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48 0,00 8,8 5,93 5,0 4,50 4,7 3,94 3,77 3,63 0 0,00,97,59,38,5,6,09,04,00 0,050 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45 0,00 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 0,00,96,57,36,3,4,08,0,98 0,050 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4 0,00 8,0 5,78 4,87 4,37 4,04 3,8 3,64 3,5 0,00,95,56,35,,3,06,0,97 0,050 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40 0,00 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3 0,00,94,55,34,,,05,99,95 0,050 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37 0,00 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 4 0,00,93,54,33,9,0,04,98,94 0,050 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36 0,00 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 Sgt Nugroho 335
... Lajuta db- db- alpha 9 0 3 4 5 6 0,00 59,86 60,9 60,47 60,7 60,90 6,07 6, 6,35 0,050 40,54 4,88 4,98 43,9 44,69 45,36 45,95 46,46 0,00 60,47 6055,85 6083,3 606,3 65,86 64,67 657,8 670,0 0,00 9,38 9,39 9,40 9,4 9,4 9,4 9,4 9,43 0,050 9,38 9,40 9,40 9,4 9,4 9,4 9,43 9,43 0,00 99,39 99,40 99,4 99,4 99,4 99,43 99,43 99,44 3 0,00 5,4 5,3 5, 5, 5, 5,0 5,0 5,0 0,050 8,8 8,79 8,76 8,74 8,73 8,7 8,70 8,69 0,00 7,35 7,3 7,3 7,05 6,98 6,9 6,87 6,83 4 0,00 3,94 3,9 3,9 3,90 3,89 3,88 3,87 3,86 0,050 6,00 5,96 5,94 5,9 5,89 5,87 5,86 5,84 0,00 4,66 4,55 4,45 4,37 4,3 4,5 4,0 4,5 5 0,00 3,3 3,30 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 0,050 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,6 4,60 0,00 0,6 0,05 9,96 9,89 9,8 9,77 9,7 9,68 6 0,00,96,94,9,90,89,88,87,86 0,050 4,0 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,9 0,00 7,98 7,87 7,79 7,7 7,66 7,60 7,56 7,5 7 0,00,7,70,68,67,65,64,63,6 0,050 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,5 3,49 0,00 6,7 6,6 6,54 6,47 6,4 6,36 6,3 6,8 8 0,00,56,54,5,50,49,48,46,45 0,050 3,39 3,35 3,3 3,8 3,6 3,4 3, 3,0 0,00 5,9 5,8 5,73 5,67 5,6 5,56 5,5 5,48 336 Sgt Nugroho
... Lajuta db- db- alpha 9 0 3 4 5 6 9 0,00,44,4,40,38,36,35,34,33 0,050 3,8 3,4 3,0 3,07 3,05 3,03 3,0,99 0,00 5,35 5,6 5,8 5, 5,05 5,0 4,96 4,9 0 0,00,35,3,30,8,7,6,4,3 0,050 3,0,98,94,9,89,86,85,83 0,00 4,94 4,85 4,77 4,7 4,65 4,60 4,56 4,5 0,00,7,5,3,,9,8,7,6 0,050,90,85,8,79,76,74,7,70 0,00 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,9 4,5 4, 0,00,,9,7,5,3,,0,09 0,050,80,75,7,69,66,64,6,60 0,00 4,39 4,30 4, 4,6 4,0 4,05 4,0 3,97 3 0,00,6,4,,0,08,07,05,04 0,050,7,67,63,60,58,55,53,5 0,00 4,9 4,0 4,0 3,96 3,9 3,86 3,8 3,78 4 0,00,,0,07,05,04,0,0,00 0,050,65,60,57,53,5,48,46,44 0,00 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,6 5 0,00,09,06,04,0,00,99,97,96 0,050,59,54,5,48,45,4,40,38 0,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,6 3,56 3,5 3,49 6 0,00,06,03,0,99,97,95,94,93 0,050,54,49,46,4,40,37,35,33 0,00 3,78 3,69 3,6 3,55 3,50 3,45 3,4 3,37 Sgt Nugroho 337
... Lajuta db- db- alpha 9 0 3 4 5 6 7 0,00,03,00,98,96,94,93,9,90 0,050,49,45,4,38,35,33,3,9 0,00 3,68 3,59 3,5 3,46 3,40 3,35 3,3 3,7 8 0,00,00,98,95,93,9,90,89,87 0,050,46,4,37,34,3,9,7,5 0,00 3,60 3,5 3,43 3,37 3,3 3,7 3,3 3,9 9 0,00,98,96,93,9,89,88,86,85 0,050,4,38,34,3,8,6,3, 0,00 3,5 3,43 3,36 3,30 3,4 3,9 3,5 3, 0 0,00,96,94,9,89,87,86,84,83 0,050,39,35,3,8,5,,0,8 0,00 3,46 3,37 3,9 3,3 3,8 3,3 3,09 3,05 0,00,95,9,90,87,86,84,83,8 0,050,37,3,8,5,,0,8,6 0,00 3,40 3,3 3,4 3,7 3, 3,07 3,03,99 0,00,93,90,88,86,84,83,8,80 0,050,34,30,6,3,0,7,5,3 0,00 3,35 3,6 3,8 3, 3,07 3,0,98,94 3 0,00,9,89,87,84,83,8,80,78 0,050,3,7,4,0,8,5,3, 0,00 3,30 3, 3,4 3,07 3,0,97,93,89 4 0,00,9,88,85,83,8,80,78,77 0,050,30,5,,8,5,3,,09 0,00 3,6 3,7 3,09 3,03,98,93,89,85 338 Sgt Nugroho
... Lajuta db- db- alpha 7 8 9 0 3 4 0,00 6,46 6,57 6,66 6,74 6,8 6,88 6,95 6,00 0,050 46,9 47,3 47,69 48,0 48,3 48,58 48,83 49,05 0,00 68,43 69,53 600,58 608,73 66, 6,84 68,99 634,63 0,00 9,43 9,44 9,44 9,44 9,44 9,45 9,45 9,45 0,050 9,44 9,44 9,44 9,45 9,45 9,45 9,45 9,45 0,00 99,44 99,44 99,45 99,45 99,45 99,45 99,46 99,46 3 0,00 5,9 5,9 5,9 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 0,050 8,68 8,67 8,67 8,66 8,65 8,65 8,64 8,64 0,00 6,79 6,75 6,7 6,69 6,66 6,64 6,6 6,60 4 0,00 3,86 3,85 3,85 3,84 3,84 3,84 3,83 3,83 0,050 5,83 5,8 5,8 5,80 5,79 5,79 5,78 5,77 0,00 4, 4,08 4,05 4,0 3,99 3,97 3,95 3,93 5 0,00 3, 3, 3, 3, 3,0 3,0 3,9 3,9 0,050 4,59 4,58 4,57 4,56 4,55 4,54 4,53 4,53 0,00 9,64 9,6 9,58 9,55 9,53 9,5 9,49 9,47 6 0,00,85,85,84,84,83,83,8,8 0,050 3,9 3,90 3,88 3,87 3,86 3,86 3,85 3,84 0,00 7,48 7,45 7,4 7,40 7,37 7,35 7,33 7,3 7 0,00,6,6,60,59,59,58,58,58 0,050 3,48 3,47 3,46 3,44 3,43 3,43 3,4 3,4 0,00 6,4 6, 6,8 6,6 6,3 6, 6,09 6,07 8 0,00,45,44,43,4,4,4,4,40 0,050 3,9 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3, 3, 0,00 5,44 5,4 5,38 5,36 5,34 5,3 5,30 5,8 Sgt Nugroho 339
... Lajuta db- db- alpha 7 8 9 0 3 4 9 0,00,3,3,30,30,9,9,8,8 0,050,97,96,95,94,93,9,9,90 0,00 4,89 4,86 4,83 4,8 4,79 4,77 4,75 4,73 0 0,00,,,,0,9,9,8,8 0,050,8,80,79,77,76,75,75,74 0,00 4,49 4,46 4,43 4,4 4,38 4,36 4,34 4,33 0,00,5,4,3,,,,,0 0,050,69,67,66,65,64,63,6,6 0,00 4,8 4,5 4, 4,0 4,08 4,06 4,04 4,0 0,00,08,08,07,06,05,05,04,04 0,050,58,57,56,54,53,5,5,5 0,00 3,94 3,9 3,88 3,86 3,84 3,8 3,80 3,78 3 0,00,03,0,0,0,00,99,99,98 0,050,50,48,47,46,45,44,43,4 0,00 3,75 3,7 3,69 3,66 3,64 3,6 3,60 3,59 4 0,00,99,98,97,96,96,95,94,94 0,050,43,4,40,39,38,37,36,35 0,00 3,59 3,56 3,53 3,5 3,48 3,46 3,44 3,43 5 0,00,95,94,93,9,9,9,90,90 0,050,37,35,34,33,3,3,30,9 0,00 3,45 3,4 3,40 3,37 3,35 3,33 3,3 3,9 6 0,00,9,9,90,89,88,88,87,87 0,050,3,30,9,8,6,5,4,4 0,00 3,34 3,3 3,8 3,6 3,4 3, 3,0 3,8 340 Sgt Nugroho
... Lajuta db- db- alpha 7 8 9 0 3 4 7 0,00,89,88,87,86,86,85,84,84 0,050,7,6,4,3,,,0,9 0,00 3,4 3, 3,9 3,6 3,4 3, 3,0 3,08 8 0,00,86,85,84,84,83,8,8,8 0,050,3,,0,9,8,7,6,5 0,00 3,6 3,3 3,0 3,08 3,05 3,03 3,0 3,00 9 0,00,84,83,8,8,8,80,79,79 0,050,0,8,7,6,4,3,, 0,00 3,08 3,05 3,03 3,00,98,96,94,9 0 0,00,8,8,80,79,79,78,77,77 0,050,7,5,4,,,0,09,08 0,00 3,0,99,96,94,9,90,88,86 0,00,80,79,78,78,77,76,75,75 0,050,4,,,0,08,07,06,05 0,00,96,93,90,88,86,84,8,80 0,00,79,78,77,76,75,74,74,73 0,050,,0,08,07,06,05,04,03 0,00,9,88,85,83,8,78,77,75 3 0,00,77,76,75,74,74,73,7,7 0,050,09,08,06,05,04,0,0,0 0,00,86,83,80,78,76,74,7,70 4 0,00,76,75,74,73,7,7,7,70 0,050,07,05,04,03,0,00,99,98 0,00,8,79,76,74,7,70,68,66 Sgt Nugroho 34
DAFTAR PUSTAKA Ba, L.J. ad M. Egelhardt. 987. Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs. Dubury Press, Bosto, MA. USA. Bckel, P.J. ad K.A. Doksum. 977. Mathematcal Statstcs: Basc Ideas ad Selected Topcs. Holde-Day, Ic. Oaklad, CA. USA. Bruk, H.D. 965. A Itroducto to Mathematcal Statstcs. Blasdell Publshg Compay. Waltham, MA. USA Heathcote, C.R. 97. Probablty: Elemets of the Mathematcal Theory. Joh Wley & Sos, Ic. New York, USA. Kefer, J.C. 987. Itroducto to Statstcal Iferece. Sprger Tets Statstcs. Sprger-Verlag, New York. USA. Larse, R.J. ad M.L. Mar. 985. A Itroducto to Probablty ad Its Applcatos. Pretce-Hall, Ic. Eglewood Clffs, NJ. USA. Lehma, E.L. 986. Testg Statstcal Hypotheses. Joh Wley & Sos. USA. Lehma, E.L. 99. Theory of Pot Estmato. Wadsworth & Brooks/ Cole Advaced Books & Software. Pacfc Groove, CA. USA. Medehall, W., R.L. Scheaffer, ad D.D. Wackerly. 986. Mathematcal Statstcs wth Applcatos. Dubury Press, Bosto. USA. Mood, A.M., F.A. Graybll, ad D.C. Boes. 974. Itroducto to the Theory of Statstcs. 3 rd ed. Iteratoal Studet Edto. McGraw- Hll Iteratoal Book Compay. Sgapore. Rohatg, V.K. 976. A Itroducto to Probablty Theory ad Mathematcal Statstcs. Joh Wley ad Sos. Sgapore.
Ideks A Posteror, 7 A Pror, 6 acak, admsbel, 35 Aproksmas Rata-rata da Ragam, 4 Atura Bayes, 0 Basu, 85 Batas Kepercayaa Satu Arah, 93 Batas-batas Peluag, 8 BLUE, 55 Chebychev, 9 Cramer-Rao Lower Boud, 7 daerah krts, 308 daerah krts palg kuasa, 34 daerah peermaa, 308 daerah peolaka, 308 data, 8 degeerate, 9 estmator, 09 faktoral, 4 Formula Kovolus, 06 Fugs Gamma, 58 fugs gugus, 9 fugs kemugka, 5 fugs kepekata peluag bersyarat, 87 fugs kepekata peluag dskrt, 35 fugs kepekata peluag marjal, 8 fugs keruga lokas vara, 58 Fugs kuasa, 3 Fugs Pembagkt Mome, 4 Fugs Pembagkt Mome Bersama, 50 fugs pembagkt mome faktoral, 49 Fugs resko, 35 Fugs Sebara Kumulatf, 35 Fugs Sebara Kumulatf Bersama, 76 fugs sebara kumulatf marjal, 8 Gedeko, 99 gugus mmal dar statstk cukup legkap, 80 Hpotess Statstka, 307 Hukum Blaga Besar Beroull, 78 terval acak, 9 Iterval Kepercayaa, 9 Jacoba, 03 keakurata, 9 kelas ekspoesal reguler, 78 kelas ekspoesal wlayah terkat, 8 keluara, Sgt Nugroho 343
kepekata posteror, 47 koeffse korelas, 3 kombas, 6 kompleme, kosste, 38 koverge dalam sebara, 73 koreks kekotua, 83 Korelas, 30 Kovara, 4 Kovara Cotoh, 33 Krtera Faktorsas, 69 Kuattas Pvot, 97 lebh terkosetras, 6 Lehma-Scheffe, 76 Lemma Neyma-Pearso, 34 Lmt Pusat, 79 Lmt Sebara, 73 Lmt Sebara Maksmum, 96 Lmt Sebara Mmum, 0 majemuk, 307 mea absolute devato, 3 meda, 55 Metode Frekues, 7 Metode Kemugka Maksmum, 3 Metode Klask, 6 Metode Mome, 0 Metode Subyektf, 7 Metode Umum, 304 model determstk, Model Ler Sederhaa, 53 model probablstk, 344 model stokast, modus, 56 Mome faktoral ke-r, 49 mome ke-k dsektar la tegah, Mome ke-k dsektar ttk pusat, Nla cr, 99 la harapa, 37, 55 Nla Harapa Bersyarat, 34 la-p, 33 palg terkosetras, 6 parameter betuk, 58 parameter lokas, 66 parameter skala, 59 peluag bersyarat, 5 Peluag Bersyarat, 6 peaksr, 09 pearka cotoh tersesor tpe I, 4 pearka cotoh tersesor tpe II, 4 Pedekata Fugs Pembagkt Mome, 77 Pedekata Iterval Kepercayaa, 30 Pedekata Sebara Bomal, 8 peduga, 6, 09 Peduga Bayes, 46 peduga kemugka maksmum, 6 Peduga Kuadrat Mmum, 5 peduga metode mome, 0 Sgt Nugroho
peduga mma, 36 peduga super efse, 43 peduga tak bas, 4 Pedugaa Iterval, 9 peduga-peduga tak bas ler terbak, 55 Peguja Hpotess, 307 percobaa,, 07 percobaa acak, perstwa, 4 Perstwa Bebas, perstwa majemuk, 5 perstwa ol, 4 perstwa past, 4 perstwa sederhaa, 4 permutas, 5 persamaa kemugka maksmum, Pertdaksamaa Bofero, 3 Pertdaksamaa Boole, 3 peubah acak, 3 Peubah Acak Dskrt, 34 Peubah Acak Idepede, 84 Peubah Acak Kotu, 5 Prsp Multplkas, 3 Probablty Itegral Trasformato, 0 Ragam, 38 Ragam bersyarat, 37 Rao-Blackwell, 75 raso kemugka mooto, 39 RDEC, 8 REC, 78 Relatf efses, 3 resko mmum seragam, 58 ruag cotoh, ruag cotoh dskrt, 3 ruag cotoh kotu, 4 ruag parameter, 08 salg lepas, 5 salg tdak bebas, 85 Sebara Asmtotk Normal, 84 Sebara Asmtotk Statstk Tataa Ekstrm, 95 Sebara Beroull, 38 Sebara Bersyarat, 87 Sebara Beta, 66 Sebara Bomal, 39 Sebara Bvarat Normal, 40 Sebara Campura, 67 Sebara Dskret Bersama, 7 Sebara Ekspoesal, 60 sebara F-Sedecor, 64 Sebara Gamma, 57 Sebara Geometrk, 44 Sebara Hypergeometrk, 4 Sebara Ka-kuadrat, 58 Sebara Kotu Bersama, 78 Sebara Multomal, 7 Sebara Negatf Bomal, 46 Sebara Nla Ekstrm, 95 Sebara Normal, 63 Sebara Pascal, 45 Sebara Posso, 49 sebara populas, 08 Sgt Nugroho 345
Sebara Raylegh, 6 sebara samplg, 08 Sebara Seragam Dskret, 5 Sebara Seragam Kotu, 56 Sebara Statstk Tataa, 07 sebara t-studet, 6 Sebara t-studet, 6 Sebara Webull, 6 Sebara -Hypergeometrk, 7 sederhaa, 307 Sfat-sfat Fugs Pembagkt Mome, 46 Sfat-Sfat Koverge Stokastk, 84 Sfat-sfat Nla Harapa, 7 Sfat-sfat Sebara Normal, 55 Slutsky, 89 statstk, 08 Statstk Cukup, 66 statstk cukup bersama, 67 Statstk Legkap, 76 statstk uj, 308 survval tme, 0 tak bas secara asmtotk, 39 taraf yata, 309 Tekk Fugs Sebara Kumulatf, 95 Tekk Peghtuga, 3 Tekk Trasformas, 99 Teorema Perkala Peluag, 7 Teorema Total Peluag, 8 Teor Pedugaa Ttk, 07 terblag, 4 terblag tak terhgga, 3 terhgga, 3 terkat, 85 threshold parameter, 66 tdaka, Tpe Cauchy, 98, 04 Tpe Ekspoesal, 98, 04 Tpe Lmted, 98, 05 ttk cotoh, Trasformas Bersama, 03 Uj Palg Kuasa, 34 Uj Palg Kuasa Seragam, 38 uj tak bas, 3 ukura, 309 ukura peluag, UMVUE, 7 Vara, 38 wlayah kepercayaa, 96 346 Sgt Nugroho
SIGIT NUGROHO, Ph.D. (Uversty of Ketucky-USA, 994 dlahrka d Surakarta pada taggal 30 Nopember 960. Ia meyelesaka Peddka Dasar da Meegahya d Yogyakarta. Setelah tamat SMA Neger III Padmaaba Yogyakarta, a meeruska studya d Isttut Pertaa Bogor pada tahu 980 melalu jalur Proyek Perts II. Lulus sebaga Sarjaa Statstka (Ir. tahu 984 dar Jurusa Statstka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Isttut Pertaa Bogor (FMIPA-IPB. Sejak awal 986 a bekerja sebaga staf pegajar pada Fakultas Pertaa Uverstas Begkulu (Faperta UNIB, yag selajutya pada tahu 000 pdah ke Jurusa Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Begkulu. Sampa buku dtuls, jabata akademkya adalah Lektor Kepala dalam bdag Statstka. Pada tahu 987 a melajutka studya d Departmet of Statstcs, Uversty of Ketucky, U.S.A. da merah gelar Master of Scece (M.Sc. dalam bdag Statstka pada tahu 989. Setelah dua tahu kembal ke Uverstas Begkulu megasuh mata kulah Matematka I da II, Metode Statstka I da II, serta Racaga Percobaa d Faperta UNIB a kembal meeruska studya pada tahu 99 ke jejag yag lebh tgg d tempat yag sama (Departmet of Statstcs, Uversty of Ketucky, U.S.A. Dbawah bmbga Zakkula Govdarajulu, Ph.D. (Mesota, 96, a meyelesaka dsertasya yag berjudul O the Locally Most Powerful Rak Test of the Two-way Epermet da dyataka lulus pada taggal 5 Aprl 994 dhadapa tm peguj yag terdr dar: Wllam S. Grffth, Ph.D., Wllam S. Rayes, Ph.D., Mokhtar Al, Ph.D., Ma Zhou, Ph.D. da medapatka gelar Doctor of Phlosophy (Ph.D. dalam bdag Statstka. Pada tahu 988 peuls megkut Kursus Aalyss of Messy Data d Washgto, D.C. yag dberka lagsug oleh peuls buku tetag aalss tersebut, yatu: George M. Mllke, Ph.D. da Dallas T. Johso, Ph.D. Sela sebaga staf pegajar (Lektor Kepala dalam bdag Statstka Uverstas Begkulu, a juga sebaga dose tamu pada program doktor d Jurusa Statstka IPB (003 da beberapa peddka tgg laya. Sebaga tambaha, a juga sebaga kosulta Data Aalyss. Pada tahu 003-006 peuls juga mejad Seor Istruktur pada Dvs Peddka da Pelatha PT. Bak Rakyat Idoesa (Persero Tbk. Sampa dega tahu 997 peuls juga mejad aggota Amerca Statstcal Assocato. Berbaga kegata semar dalam bdag statstka telah dkutya bak lokal, asoal, regoal, ataupu terasoal. Beberapa Publkas Jural yag berhubuga dega bdag lmuya: