FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan : Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira. Himpunan makanan yang beranggotakan : soto ayam, sate, gado-gado, rawon, nasi goreng dan sop. Dari kedua himpunan tersebut dapat dibuat dua relasi yang berbeda yaitu: Relasi makanan kesukaannya : Aris sate, Bari gado-gado, Cecep nasi goreng, Cecep rawon, Cecep sate, Darla sop, Fira soto ayam, Fira nasi goreng. Relasi makanan pesanannya : Aris sate, Aris soto ayam, Bari nasi goreng, Cecep rawon, Cecep sate, Darla sop, Fira gado-gado. Ω Himpunan Pasangan Berurutan Relasi dapat dinyatakan ke dalam himpunan pasangan berurutan dengan dua langkah: 1. Mendaftarkan masing-masing anggota himpunan. Himpunan A =,,,, Himpunan B =,,,,, 2. Memasangkan anggota di himpunan A dengan anggota himpunan B dengan relasi dalam bentuk (,) dengan dan. Relasi makanan kesukaannya himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: R B A = { ( Aris, sate),( Bari, gado gado),( Cecep, sate),( Cecep, rawon) goreng), ( Darla, sop),( Fira, soto ayam),( Fira, nasi goreng)},( Cecep, nasi Ω Diagram Panah Diagram panah dapat digunakan untuk memperlihatkan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Langkah-langkah menyatakan relasi ke dalam diagram panah sebagai berikut: 1. Membuat dua lingkaran elips untuk meletakkan himpunan A dan B. A B 1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
2. Anggota himpunan A diletakkan di lingkaran A dan anggota himpunan B di lingkaran B. A B Aris Bari Cecep Darla Fira soto ayam sate gado gado rawon nasi goreng sop 3. Anggota himpunan A dihubungkan ke himpunan B dengan anak panah. Arah anak panah menggambarkan relasi dua himpunan. A B Aris Bari Cecep Darla Fira soto ayam sate gado gado rawon nasi goreng sop Diagram Cartesius soto ayam sate gado gado rawon nasi goreng Sop Aris Bari Cecep Darla Fira F U N G S I Ω Definisi Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan tiap obyek dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal () dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan 2 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
(kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dinamakan daerah hasil (range). Ω Notasi Fungsi Penamaan fungsi menggunakan sebuah huruf tunggal seperti atau, sehingga () dapat dibaca dari yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada. Nilai dari biasanya dituliskan pula sebagai, atau =() Nilai akan bergantung pada berapapun nilai yang dipilih dari daerah asalnya, sehingga dapat dinamakan variabel bebas (independen) dan sebagai variabel tak bebas (dependen). Untuk ()=! 2, cari dan sederhanakan a. (4) b. (h+4) c. (()*+),((+) ) a. (4)=4! 2(4)=16 8=8 b. (h+4)=(h+4)! 2(h+4)=h! +8h+16 2h 8=h! +6h+8 c. (()*+),((+) ) = 0)1 *2)*34,3 ) = )1 *2) ) = )()*2) ) =6+h Ω Daerah Asal dan Daerah Hasil Daerah asal (domain) fungsi adalah himpunan elemen-elemen di mana fungsi dapat terdefinisi. Daerah hasil (range) fungsi adalah himpunan nilai yang diperoleh dari mendefinisikan pada. Jika ()=! +2 ditentukan daerah asalnya adalah ( = 1,0,1,2,3 maka daerah hasilnya adalah 7 ( =2,3,6,11. Jika fungsi tersebut tidak ditentukan daerah asalnya maka ( =R= (, ), dan daerah hasilnya adalah 7 ( =: 2 Tentukan daerah asal dan hasil dari ()= 9!! Daerah asal ( =: 3 3 Daerah hasil 7 ( =: 0 3 Ω Grafik Fungsi Jika daerah asal dan hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, fungsi tersebut dapat dibayangkan dengan menggambarkan grafiknya pada suatu koordinat. Grafik fungsi adalah grafik dari persamaan =(). 3 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Sketsalah grafik-grafik dari a. ()=! 2 b. ()=!?,@ a. Grafik fungsi ()=! 2 mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real dan daerah hasilnya yaitu : 2. b. Grafik fungsi ()=!?,@ mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real kecuali =0 dan daerah hasilnya yaitu semua bilangan real kecuali =0. 4 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Ω Jenis-jenis Fungsi Fungsi Genap Jika ( )=() untuk semua, maka grafik simetri terhadap sumbu-. Fungsi ini juga disebut fungsi genap. Selidiki apakah ()=! 2 merupakan fungsi genap! Jika ()= maka daerah hasil 7 ( =: 0. Ini berarti meskipun negatif () selalu positif sehingga fungsi ini adalah fungsi genap. Berikut adalah grafiknya. Fungsi Ganjil Jika ( )= () untuk semua x, maka grafik simetri terhadap titik-asal (0,0). Fungsi ini disebut fungsi ganjil. Selidiki ()= A 2 adalah fungsi ganjil! ( )=( ) A 2( )= A +2= ( A 2)= () Maka () adalah fungsi ganjil. 5 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
G [FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 Fungsi Nilai Mutlak DE 10 ()= =C DE <0 Fungsi nilai mutlak ini merupakan fungsi genap karena meskipun x negatif () akan selalu positif sehingga grafiknya simetri terhadap sumbu-y Fungsi Bilangan Bulat Terbesar ()=HI= bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan. H 3,1I= 4 H3,1I=3 H4,7I=4 Jika ()=HI dengan =K 3,4) maka pada interval tersebut terdapat beberapa interval bilangan bulat lainnya yaitu K 3, 2),K 2, 1),K 1,0), K0,1), K1,2),K2,3),K3,4) Pada K 3, 2) maka nilai () adalah 3 6 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Pada K 2, 1) maka nilai () adalah 2 Pada K 1,0) maka nilai () adalah 1 Pada K0,1) maka nilai () adalah 0 Pada K1,2) maka nilai () adalah 1 Pada K2,3) maka nilai () adalah 2 Pada K3,4) maka nilai () adalah 3 Fungsi Konstanta ()=E dengan E konstanta (bilangan real) Misalkan E=2 maka grafiknya adalah Fungsi Identitas ()= dengan adalah bilangan real. 7 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Fungsi Polinomial Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan identitas dengan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bentuk fungsi polinomial adalah ()= L L + L,@ L,@ + L,! L,! + + @ + N dengan adalah bilangan bulat. Jika L 0 maka derajat fungsi polinomial. Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 1 ( 1) maka fungsi tersebut adalah fungsi linear. ()=+P Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 2 ( 2) maka fungsi tersebut adalah fungsi kuadrat. ()=! +P+ Fungsi Rasional Fungsi yang diperoleh dari hasil-bagi fungsi-fungsi polinomial. ()= L L + L,@ L,@ + L,! L,! + + @ + N P Q Q +P Q,@ Q,@ +P Q,! Q,! + +P @ +P N Fungsi Aljabar Eksplisit Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar. ()=3! R U =3T! ()= (+2) A V +! 1 Ω Operasi Aljabar pada Fungsi Meskipun fun gsi bukan bilangan, operasi aljabar (jumlah, selisih, kali, bagi, dan pangkat) dapat pula diterapkan pada fungsi. Jika (),() adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada daerah asal masing-masing, dan R, maka : a. (+)()=()+() (*W = ( W b. ( )()=() () (,W = ( W c. ( )()=() () ( W = ( W d. (/)()=()/() (/W = ( W e. L ()=0()4 L ( [ = ( dengan n adalah bilangan bulat positif \ Jika ()= +1 dan ()= 9!, maka: 8 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
\ (+)()=()+()= +1+T9! \ ( )()=() ()= +1 T9! \ ( )()=() ()= +1 T9! \ (/)()=()/()= +1 ( =K 1, ) W =K 3,3] ( W =K 1,3] 9! A \ ()=0 +14 A =(+1 ) V \ ( =K 1, ) ( V =K 1, )= ( Catatan : [ Pada fungsi () = 0 T^ 4 Q, jika = maka ( [ ( karena () menjadi terdefinisi pada bilangan real. Ω Komposisi Fungsi Jika f bekerja pada untuk menghasilkan () dan kemudian g bekerja pada () untuk menghasilkan (()), maka dapat dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan dengan. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi dengan, dinyatakan oleh. Jadi, ( )()=0()4 Dua fungsi atau lebih dapat dikomposisikan/digabung. Range dari fungsi pertama akan menjadi domain fungsi kedua, range dari fungsi kedua akan menjadi domain fungsi ketiga, dan seterusnya. Sehingga urutan berbeda dari fungsi yang saling berkomposisi akan memberikan hasil berbeda-beda. Jika ()=?,A dan ()= maka kedua fungsi dapat dikomposisikan! dengan dua cara, yaitu: ( )()=0()4=` 3 2 ( )()=0()4= 3 2 Ini menunjukkan bahwa ( )() ( )() yang berarti pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif. Untuk ( )(), misalkan =4 merupakan salah satu anggota dari daerah asal fungsi () maka (4)= 4=2. 2 menjadi salah satu anggota daerah asal () sehingga 9 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( )()=0()4= 2 3 = 1 2 2 Ω Fungsi Trigonometri Secara umum, fungsi trigonometri didefinisikan berdasarkan lingkaran satuan. Lingkaran satuan ( ) adalah lingkaran yang mempunyai jari-jari 1 dan titik pusatnya adalah titi asal (0,0) sehingga persamaannya adalah! +! =1. Misalkan titik adalah (1,0) dan bilangan positif. Maka terdapat satu titik tunggal a(,) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga panjang busur a, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari adalah. C t x P( x, y) t y A(1,0) Keliling lingkaran C adalah 2b. Jadi jika =b, maka titik a tepat setengah jalan mengelilingi lingkaran mulai dari titik, dalam kasus ini a adalah titik ( 1,0). Jika = A b, maka a adalah titik (0, 1) dan jika =2b, maka a! adalah titik. Jika >2b, maka diperlukan lebih dari satu putaran lengkap dari lingkaran untuk menelusuri busur a. Jika <0 dan menelusuri lingkaran dalam arah putaran jarum jam. Akan terdapat titik tunggal a(,) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga panjang busur yang diukur dalam arah putaran jarum jam dari adalah. Sehingga definisi dari fungsi sinus dan kosinus dapat ditentukan sebagai berikut. Ω Definisi fungsi sinus dan kosinus Misalkan bilangan real yang menentukan titik a(,) maka sin= cos= 10 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 Grafik Fungsi Sinus dan Kosinus Grafik Sinus Grafik Kosinus Empat hal dapat diperhatikan dari grafik-grafik tersebut: 1. dan keduanya berkisar dari 1 sampai 1. 2. Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan an di sepanjang 2b. 3. Grafik =sin simetri terhadap titik asal (0,0), dan = =cos simetri terhadap sumbuu. Jadi fungsi sinus adalah fungsi ganjil dan fungsi kosinus adalah fungsi genap. 4. Grafik = sama seperti =cos, tetapi digeser q satuan ke kanan.! Ω Empat Fungsi Trigonometri yang Lain 1. tan= jklm nojm 2. sec= @ nojm 3. cot= noj m jkl m 4. cosec= @ jklm 11 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Perlihatkan fungsi tangen adalah fungsi ganjil! sin ( ) tan( )= cos ( ) = sin cos = tan Ω Hubungan Terhadap Trigonometri Sudut 180 = b radian 3,1415927 1 radian 57,29578 1 0,0174533 radian Ω Daftar Identitas-identitas Penting Identitas ganjil-genap Identitas ko-fungsi Identitas Pythagoras sin ( )= sin sinv b 2 w=cos sin! +cos! =1 cos ( )=cos cos ( )= tan cosv b 2 w=sin tanv b 2 w=cot 1+tan! =sec! 1+cot! =cot! Identitas Penambahan sin (+)=sincos+cossin cos (+)=coscos sinsin tan (+)= tan+tan 1 tantan Identitas sudut ganda sin2=2sincos cos2=cos! sin! =2cos! +1 =1 2cos! Identitas Jumlah Identitas Setengah Sudut sin+sin=2sinx + 2 ycosv 2 w v w=±`1 cos 2 2 cos+cos=2cosx + 2 ycosv 2 w v 2 w=±`1+cos 2 Identitas Hasil-kali sinsin= 1 2 Kcos(+) cos( )] coscos= 1 2 Kcos(+)+cos( )] sincos= 1 2 Ksin(+)+sin( )] Sederhanakanlah : (1+sin{)(1 sin{)! (1+sin{)(1 sin{)=1 sin{+sin{ sin! {=1 sin! {= cos! { 12 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Ω Definisi Misalkan suatu fungsi: L I M I T ()= A 1 1 Jelaslah bahwa =1 tidak termasuk dalam daerah domainnya karena akan menghasilkan 0 0 yang tidak memiliki arti. Jika =1 tidak termasuk daerah domain dari (), apakah () akan mendekati suatu bilangan tertentu bilamana mendekati 1? Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat dilakukan dengan mencari nilai () sedekat-dekatnya dengan 1 namun tidak pernah mencapai 1, atau dengan mensketsakan grafik () di sekitar =1. } ~(})= } }, 3,812500000, ƒ 3,310000000,ƒ 3,152500000,ƒ 3,030100000,ƒƒ 3,003001000,ƒƒƒ 3,000300000,ƒƒƒƒ? ƒ. 2,997001000 ƒ. 2,970100000 ƒ. 2,738100000 ƒ. 2,710000000 ƒ.ˆ 2,572500000 ƒ.ˆ 2,466100000 Pada tabel perhitungan diperoleh bahwa jika nilai didekati dari kiri (<1) maka diperoleh nilai () yang mendekati 3. Demikian juga dengan nilai yang didekati dari kanan (>1) maka diperoleh nilai () yang mendekati 3. Selain dengan menggunakan tabel, grafik berikut juga menunjukkan nilai yang sangat dekat 1 dari kiri ataupun kanan menghasilkan nilai () yang mendekati 3. 13 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 Mencari nilai () dapat juga dilakukan dengan perhitungann aljabar berikut ini. lim ()=lim A 1? @? @ 1 =lim ( 1)(! ++1)? @ ( 1) =lim! ++1? @ =1! +1+1 =3 Sehingga dapat dibuat sebuah definisi intuitif dari limit bahwa: lim? Π()=, berarti bahwa ketika mendekati tetapi, maka () mendekati. Contoh: Carilah lim (4x 5)! x 3 Ketika mendekati Carilah lim 2 x x 6! x 3 x 3 3, maka 4 5 mendekati 4(3) 5=7. Sehingga lim (4x 5) = 7 x 3 14 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 2 x x 6 tidak akan terdefinisi pada =3. Sehingga kita perlu mecari nilai x 3 yang sangat dekat dengan 3. Akan tetapi, jika kita dapat menggunakan cara perhitungan aljabar maka akan lebih memudahkan untuk mencari nilai yang didekati oleh 2 x x 6. x 3 2 x x 6 ( x 3)( x + 2) lim = lim = lim ( x + 2) = 3 + 2 = 5 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Jadi diperoleh bahwa nilai yang sangat dekat dengann 3, membuat 2 x x 6 sangat dekat dengan 5. x 3 Ω Limit-limit Satu-Sisi Jika suatu fungsi didekati pada suatu titik, maka ia dapat didekati dari dua arah, yaitu dari sebelah kiri dan sebelah kanan. Misalkan () didekati pada =, maka dapat didekati dari sebelah kiri, ditulis,, dan dari sebelah kanan, atau *. Limit-limit sepihak ini berguna untuk mengetahui nilai limit fungsi-fungsi yang mempunyai lompatan ataupun untuk menguji kekontinuan fungsi meskipun grafik fungsi tidak digambarkan. Definisi Untuk lim? Œ Ž() = berarti bahwa () mendekati jika mendekati dari kiri. Demikian juga lim? Œ ()= berarti bahwa () mendekati jika mendekati dari kanan. Teorema lim? Œ ()= jika dan hanya jika lim? Œ Ž()= dan lim? Œ ()=. Artinya : nilai limit fungsi akan ada jika limit kiri sama dengann limit kanan. 15 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 Berdasarkan grafik fungsi tersebut, tentukan: a) ( 4) b) lim?,+ Ž() c) lim?,+ () d) lim?,+ () e) (1) f) lim? @ Ž() g) lim? @ () h) lim? @ () i) (6) j) lim? 2 Ž() k) lim? 2 () m) lim? 2 () a) ( 4) tidak ada. Karena tidak ada titik yang melalui () pada saat = 4. b) lim?,+ Ž()=2. Karena () mendekati 2 pada = 4 dari kiri. c) lim?,+ ()= 2. Karena () mendekati 2 pada = 4 dari kanan. d) lim?,+ ()=2. Karena limit kiri sama dengan limit kanan pada = 4, yaitu 2. e) (1)=4 f) lim? @ Ž()=4.. Karena () mendekati 4 pada =1 dari kiri. g) lim? @ ()= 2. Karena () mendekati 2 pada =1 dari kanan. h) lim? @ () tidak ada. Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan pada =1. i) (6)=2 j) lim? 2 Ž()=5. Karena () mendekati 5 pada =6 dari kiri. k) lim? 2 ()=5. Karena () mendekati 5 pada =6 dari kanan. l) lim? 2 ()=5. Limit kiri sama dengan limit kanan pada =6, yaitu 5. Ω Teorema Limit Misalkan bilangann bulat positif, E konstanta, serta dan adalah fungsi- fungsi yang mempunyai limit di maka: 1. lim k = k 2. lim x = c 3. lim k f ( x) = k lim f (x) 16 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
4. lim[ f ( x) ± g( x) ] = lim f ( x) ± lim g( x) 5. lim[ f ( x) g( x) ] = lim f ( x) lim g( x) f ( x) lim f ( x) 6. lim =,asalkan g( x) 0 g( x) lim g( x) n 7. [ ] [ ] n lim f ( x) = lim f ( x) 8. lim n f ( x) = n lim f ( x), asalkan lim f ( x) > 0 ketika n genap Carilah lim? A 2 +! lim? A 2+ =2lim + =2 lim + =2K3] + =162? A? A Carilah lim? + (3! 2)! lim? + (3! 2)=lim3! lim2=3lim! 2lim? +? +? +? + =3 lim! 2lim? +? + =3K4]! 2K4]=40 Ω Teorema Subtitusi Jika fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka lim ()=()? Œ Asalkan () terdefinisi dan untuk fungsi rasional nilai penyebut pada = tidak nol.? Carilah lim U,@N? \,@A?*2?!! A? 1,2?,3 7 R 10 + 13+6 lim?! 3! = 7K2]R 10K2] + 13K2]+6 6 8 3K2]! = 11 6K2] 8 2 Ω Limit Fungsi Trigonometri Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi. 1. lim m Œ sin=sin 2. lim m Œ cos=cos 3. lim m Œ tan=tan 4. lim m Œ sec=sec 5. lim m Œ csc=csc 6. lim m Œ cot=cot 17 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Ω Limit Trigonometri Khusus jklm 1. lim m N =1 m @,nojm 2. lim m N =0 m Carilah masing-masing limit. sin3 lim? N 1 cos lim m N sin4 lim? N tan lim? N sin3 = 3 3 lim sin3? N sin3 =3lim? N 3 =3 1=3 @ 1 cos (1 cos)v lim =lim m N sin m N (sin)v @ w m =lim m N = 0 1 =0 @,nojm m jklm sin4 lim? N tan =lim sin4? N jkl? noj? sin4 cos =lim? N sin =lim? N @ = 1 2 lim? N = 1 2 lim? N m m w! Ksin5x+sin3x] sin v KjklR *jkla ] w v jkl? w? v RjklR w R v jkl? w +lim? N? = 1 2 5lim v jklr w R? N v jkl? w +3lim? N? v AjklA w A v jkl? w? v jkla A w v jkl?? w 18 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
G [FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 = 1 2 51 1 +31 1 =1 2 K5+3]=8 2 =4 Ω Kekontinuan Fungsi Definisi kontinuitas di satu titik Misalkan terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung. dikatakan kontinu di, jika lim? Œ ()=() lim f ( x) tidak ada ( 1 ) ( 2 ) ( ) lim f ( x) ada, tetapi lim f ( x) f ( c) 3 lim f ( x) = f ( c) Gambar (1) : lim? Œ Ž() ada tetapi (), lim? Œ ()=(), Jadi lim? Œ () tidak ada. Gambar (2) : lim? Œ Ž() ada tetapi (), lim? Œ () ada tetapi (), Jadi lim? Œ () ada akan tetapi lim? Œ () (). Gambar (3) : lim? Œ Ž()=() ada, lim? Œ ()=(), Jadi lim? Œ ()=(). Syarat kontinuitas di satu titik adalah: 1. lim? Œ () ada 2. () ada (limit kiri = limit kanan) 3. lim? Œ ()=() Misalkan ()=?1,+, 2. Bagaimana seharusnya didefinisikan di?,! =2 agar kontinu di titik itu? lim?!! 4 2 =lim?! ( 2)(+2) 2 =lim(+2)?! =2+2=4 Agar kontinu pada =2 maka didenisikan sebagai berikut! 4 ()=š 2 2 4 =2 19 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
L A T I H A N Ω Latihan 1 1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan: a. Aturan relasi: alat transportasi = PE,P,E, P,E,h^ =,^,^ b. Aturan relasi: faktor prima dari = 1,2,3,4,5,6,7 = 2,4,6,8,10,12,14 2. Himpunan pasangan berurutan berikut merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Daftarkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B serta tulis aturan relasi yang mungkin. a. A R B= (E,),(P,),(,),(E,),(P^,) b. A R B= (7,3),(6,2),(5,1),(4,0),(3, 1),(2, 2),(1, 3) 3. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram panah dengan aturan relasi : tiga kurangnya dari = 2 < 5, P P^ = 0 10, P h 4. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram Cartesius dengan aturan relasi: lebih dari. a. œ = P E^ 10 D = P E^ 12 5. Diketahui himpunan = 0,4,8,12,16,20,24,28 Relasi 7 dari himpunan ke himpunan dengan aturan kelipatan dari a. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan himpunan pasangan berurutan b. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram panah c. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram cartesius Ω Latihan 2 1. Untuk ()= A +3, carilah masing-masing nilai dari. a. 0 24 b. ( 3) c. v @ A) w d. (2,5) e. (1+h) f. (2+h) (2) 2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut ini fungsi genap atau ganjil. a. ()= 4 b. ()=2+1 c. ()=3 20 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
d. ()=?V 3 e. ()= 2 f. ()= +3 3. Jika ()= A +2 dan ()= @, carilah masing-masing nilai? a. (+)() b. ( )() 3 c. ( )( 8) d.! ()+ @ W(?) e. ( W () f. ( )0 164 g. ( 5)(5) 4. Carilah domain dari fungsi-fungsi berikut ini. a. ()= @? b. ()=! 16 c. ()= 81 3 d. ()= +,?1? 1 *+?*+ e. ()= 5. Konversikan ukuran berikut ini. a. 2 b radian= b. 46 = radian c. 30 = radian d. 6,28 radian= 6. Sederhanakanlah : a. v @ Œ? 1wv @ Œ? +1w b. 2 1 2 c. 2 + 2 2 Ω Latihan 3 1. Carilah limit fungsi berikut ini. a.? A ( 5) b. m,@ (!! ) c.?! (! +2 1) d.? @ 2+2 e.? R 5 21 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1?,@ f.?,@!?*@ 4cos2 g.? 1 L? h.? N!? +,+Œ m i. m N!m Œ? j.? N?*@ 2. Carilah nilai limit yang diberikan dengan pemeriksaan, maka maka lakukan dengan beberapa perhitungan mengubah bentuk fungsinya. 0? a. 1,+4?!?,! 0? b. 1,m 1 4?,m?*m c.? T(?, ) V?, d.? +? 1 *!?,!?,+ *@N e.?,!? 1 *?*?*! f.??,?,a? g. 1,R?*2?!? 1,?,! @? h. 1,!?*@? @? 1,@? i. V,@2?? N? 1 *+ 2.sin!+ jika tidak ada aljabar untuk? j. 1,3?*@!?!? 1,! 3. Grafik grafik berikut ini, tentukan apakah () kontinu di 2,0, dan 3. Berikan alasannya. 22 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
G G [FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 4. Nyatakan apakah fungsi berikut ini kontinu atau tidak kontinu di =2 dan berikan alasannya. a. ()=4! 2+12 b. ()= @?,! c. ()=?V!,? d. ()= 3 e. ()=! 5 f. ()=,3*!?*?1!,? g. ()= R?,@N?,!!?,+ 2 h. ()=?,! 2 =2 +3 <2 i. ()=! +1 2 G 2+4 2 j. ()= 2 >2 G 5. Fungsi-fungsi berikut ini tidak kontinu di titik tertentu. Definisikan fungsi-fungsi tersebut agar menjadi kontinu. a. ()=?1,@2?,+ b. ()=!?,@!?,@ c. ()= +?1,!?,A 6. Di titik manakah fungsi-fungsi berikut ini menjadi tidak kontinu. a. ()= 5 b. ()=?1,@?,@ c. ()=!?!? 1,!? d. ()= 4 4 e. ()=!?*A? 1,?,2 f. ()= @ +,? g. ()=!?* h. ()=?*R?!? 1,?,@ i. ()=C +1 1 <1! <0 j. ()=š 0< 1 G >1 23 Mia Fitria, S.Si, M.Pd