MIMIN RIHOTIMAWATI TRIGONOMETRI

MIMIN RIHOTIMAWATI TRIGONOMETRI

Fungsi Trigonometri Sin α = Sisi. didepan. sudut Hipotenusa a c Cos α = Sisi. terdekat. sudut Hipotenusa b c Tan α = Sisi. didepan. sudut Sisi. yang. berdeka tan a b

Sinus dan Cosinus θ 90 o + θ 180 o + θ 70 o + θ Sinus Sin θ Cos θ - Sin θ - Cos θ Cosinus Cos θ - Sin θ - Cos θ Sin θ Tangen Tan θ - 1 Tan Tan θ 1 Tan

Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut Istimewa Sudut 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Sinus Cosinus Tangen 0 1,0000 0 0,5000 0,8660 0,5774 0,7071 0,7071 1,0000 0,8660 0,5000 1,731 1,0000 0

Quiz Click the Quiz button to edit this object

Aplikasi Trigonometri Proyeksi Panjang sebenarnya = panjang.proyeksi cos. Luas sebenarnya = Luas. proyeksi cos.

Contoh 1. Dalam industri, proyeksi luas digunakan sebagai pengujian kekerasan Vickers, dimana luas permukaan intan membuat bentuk pyramid pada logam. Indentor

Luas ABO = ABxOC Sin 45 o OC OC d 1 d = OC. AO d / 4 CB cos 45 d / o OC d 1. d d AB = CB =. 4 d 4 d Sehingga luas ABO = ( x d 4 1 ) d 16 d 8

d / 8 d Luas sebenarnya dari ABO = 0 0 cos 8cos Luas lekukan seluruhnya = 4 x luas ABO d d = 4 x 0 0 8cos cos F F F cos Sehingga kekerasan Vickers = Luas d d ( HV ) 0 cos 0

Contoh : Sistem penggerak dengan torak dapat dilihat pada gambar dibawah ini. Panjang batang torak AB = 400 mm dan panjang batang engkol AO = 100 mm, untuk keadaan sesaat batang engkol membuat sudut 30 0 dengan bidang horizontal. Hitunglah : 1) Sudut kemiringan batang torak (sudut ABO) ) Jarak OB.

Lanjutan Proyeksi titik A ke pusat garis ke suatu titik A 0. 1) AA 0 = 100 sin 30 0 = 50 AA sudut ABO = arc. Sin 0 50 = arc sin AB 400 = arc sin 0,15 = 7,181 (7 0 11 ) ) OB = Jumlah proyeksi dari OA dan AB OB = OA cos 30 0 + AB cos 7,181 0 = 50 cos 30 0 + 400 cos 7,181 0 = 483,465

Perbandingan Trigonometri Sudut Yang Lebih Besar Dari 90 0

Luas Segitiga Luas segitiga ABC = ½ x AC x BP = bxc. sin. = ½ (bc sin α)

Contoh : Tentukan luas segitiga, dimana α = 14 0 15 b = 0,7 mm dan c = 16,4 mm Penyelesian : Luas = setengah hasil perkalian dua sisi dan sudut apitnya. = ½ b. c. sin α = 0,5 x 0,7 x 16,4 x sin 34 0 15 = 95,530 Jawab : Luas segitiga = 95,5 mm

Luas Segi Banyak Beraturan Luas segitiga Luas segi banyak = ½ alas x tinggi = b x a L L = x tg (90 0 0 180 - ) n = jumlah luas dari n segitiga sama dan sebangun = n. L L x tg (90 0-0 180 ) n = 4. L tg (90 0 0 180 - ) 4 n

Untuk segi empat beraturan : n = 4 Luas = 4. L tg (90 0-4 Untuk segi lima beraturan : n = 5 Luas = 180 0 ) 4 = L. tg 45 0 = L x 1 = L 5. L tg (90 0-4 = 1,5 L tg 54 0 180 0 ) 5 = 1,5 L x 1,3764 = 1,70. L

Untuk segi banyak dengan sisi yang genap, jarak antara sisi berhadapan disebut sebagai jarak sisi sejajar, W. Luas segitiga = ½ alas x tinggi 0 W 180 W = tg x n W 180 = tg 4 n Luas n segi tiga sama dan sebangun = 0 n.. W 4. tg 180 n = luas segi banyak beraturan yang jumlah sisinya genap. 0

Untuk segi empat beraturan : n = 4 4. W 180 0 Luas =. tg 4 4 = W tg 45 0 = W Untuk segi enam beraturan : n = 6 Luas = = 6. W 180 0. tg 4 6 6. W. tg.30 4 0 6. W = = 0,866. W.0,5774 4

Untuk segi delapan beraturan : n = 8 Luas = 8. W 180 8. W. tg.,5 tg = 4 8 4 = W x 0,414 = 0,88 W Contoh : Carilah luas segi delapan beraturan, dimana jarak sisi sejajar adalah 5 mm. Penyelesaian : 0 Luas = nw. 4 tg. 180 n 0 = 8(5) 4 Jawab : Luas = 0,71 mm. tg 180 0 = 50. tg,5 0 8 = 50 x 0,414 = 0,71 mm

Luas Segmen Lingkaran Luas segmen Tembereng = luas juring - luas segitiga Luas tembereng = r. Luas segitiga = ½ r. r. sin θ = r.sin Luas segmen = r. - r.sin r. = (θ - sin θ ) Sudut θ dalam radian

Jika panjang tali busur W dari jari-jari r diketahui, W r sin = arc sin w Sehingga dapat diketahui, dalam segitiga siku-siku ABC berlaku : AB = r - h ; AC = Menurut dalil Pythagoras (AB) + (AC) = (BC) w ; BC = r (r - h) + ( w ) = r r - r h + h w + = r 4 r h = h w + 4 r = w b. h + h

Jika h tidak diketahui, maka kita gunakan. w r h = h + 4 Kalikan ruas kiri dan kanan dengan 4, maka : 8 r h = 4 h + w atau 4 h - 8 r h + w = 0

Contoh. Lihat gambar berikut, batang bulat berdiameter 14 mm. Batang tersebut akan difrais selebar 16 mm sepanjang itu. Hitunglah : Kedalaman pemotongan Luas penampang lintang logam yang dipotong. Berdasarkan gambar 6-18 di atas. diameter AD = = 17 mm BD = ½. Lebar yang di frais = 8 mm AD = BA - BD BA = AD - BD = 17-8 = 89-64 - 5 BA = 5 = 15

Kedalaman pemotongan = CD = jari-jari CA - BA = 17-15 = mm Segitiga ABD : Sudut α = arc sin 8 = arc sin 0,4706 = 8 0 5 Sudut θ segmen = sudut EAD = (8 0 5 ) = 56 0 10 56 0 10 = 0,9806 radian sin 56 0 10 = 0,8306 r Luas segmen = (θ - sin θ) = = 17x17 89x0,1497 = 1,63 mm (0,9806-0,8306)

Dengan cara logaritma : Log luas segmen = log C AB = log A Jadi luas segmen = 10 1,3351 = 1,63 = log A + log B - log C = log 89 + log 0,1497 - log =,4609 - (0,175-1) - 0,3010 = 1,3351 Tabel 6-4 Logaritma 89 No 0,1497,4609 1,6361 0,3010 Log 0,175-1 1,63 1,3351

Pengecekan kasar : 80x0,14 = 19,6 Jawab : Kedalaman pemotongan = mm Luas penampang lintang = 1,6 mm Rumus untuk luas segmen : A = r ( θ - sin θ ) berlaku untuk sudut kecil. Jika sudut diantara sisi-sisi yang sama dari suatu segitiga lebih besar dari 90 0, Maka cara lain dengan menggunakan : r ( θ - sin θ ) harus ditentukan luasnya.

HUKUM SINUS DAN COSINUS a). Hukum Sinus Perhatikan sebuah segitiga A B C yang mempunyai sudut lancip A dan sudut tumpul B seperti pada gambar 6-18a. Gambar 6-18 a dan 6-18 b. Pada segitiga yang sama dalam gambar 6-18 b, ditarik garis tegak lurus dari titik B ke garis AC di titik D. Panjang BD = c sin α = a sin γ

Maka : a sin = c sin Untuk penggambaran yanmg lebih mudah, putarlah segitiga ABC sedemikian rupa sehingga sisi c sebagai alasnya seperti terlahat pada gambar 6-19 a Gambar. 6-19 a dan 6-19 b.

Didalam gambar 6-19 b ditunjukan sebuah garis tinggi yang ditarik dari C ke perpanjangan sisi c dan D. Panjang garis tegak lurus CD = b sin α = a sin ( 180 0 - β ) sin ( 180 0 - β ) = sin β b sin α = a sin β maka, a sin = b sin dari a sin = dan a sin = b sin c sin

a b dari sini didapat = = sin sin c sin Hubungan di atas berlaku untuk segi-tiga dengan satu sudut tumpul dan dua sudut lancip. Gambar berikut menunjukan segi-tiga ABC siku-siku di γ Gambar 6-0.

CONTOH Lihat gambar, sudut elevasi antara titik A dilangit-langit bengkel dan pucak cerobong EC adalah 3 0, sedangkan sudut antara titik B di tanah tepat di bawah titik A dan cerobong adalah 48 0. Tunjukan bahwa AEB adalah 16 0.

Penyelesaian : Terapkan hukum sinus untuk menentukan jarak BE, lalu hitunglah tinggi cerobong EC. Gambar 6- b diatas menunjukan gambar segi-tiga AEB. B = 90 0-48 0 = 4 0 α = 90 0 + 3 0 = 1 0 α + β + γ = 180 0 Sudut AEB = θ = 180 0 - (α + β) = 180 0 - ( 1 0-4 0 ) = 180 0-164 0 = 16 0 sin θ = 00xsin17 75 0 = 0,779658 θ = arc sin 0,779658

Sinus pada kuadran pertama dan kedua adalah positif, maka harga : θ = arc sin 0,779658 = 51,9 0 Harga pertama = 51,9 0 Harga kedua = 180 0-51,9 0 = 18,771 0 Jadi besar sudut BOA = 51,9 0 atau 18,771 0.

Hukum Cosinus a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ a) Ketiga sisinya, atau b) Dua sisi dan sudut apitnya

Suatu segi-tiga terletak dalam lingkaran kisar, panjang tali busur 6,47 mm ; 6,98 mm dan 7,308 mm. Tentukan diameter lingkaran kisar dan besar sudut pusat untuk tali busur.

Penyelesaian. Karena ketiga sisi segi-tiga diketahui, kita dapat memakai cosinus. Kita tinjau dari sudut α a = b + c bc cos α bc cos α = b + c a cos α = = cos α = 0,587769 α = arc 0,587769 = 54,001 0 D = = =7,997,305

Sudut yang dibentuk tali busur yang berpusat pada pusat lingkaran besarnya sama dengan dua kali besar sudut α, karena merupakan sudut pusat lingkaran yang dibatasi busur yang sama, maka = x 54,001 0 = 108,00 0 Jadi diameter lingkaran = 8,00 mm Sudut pusatnya = 108 0

Ditunjukan gambar diatas suatu mekanisme dari batang dan tangkai torak. Putaran batang torak = 10 putaran/menit, pada kedudukan panjang langkah torak = 0 mm sebelum titik mati atas, hitung : a.sudut batang torak α b.waktu torak untuk menempuh hingga titik mati atas.

Grafik Fungsi Trigonometri Grafik Sinus Grafik Cosinus