PEDUGA RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI MEGGUAKA KUARTIL VARIABEL BATU PADA PEGAMBILA SAMPEL ACAK SEDERHAA DA PEGATURA PERIGKAT MEDIA ur Khasaah, Etik Zukhroah, da Dewi Reto Sari S. Prodi Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Sebelas Maret Surakarta ABSTRAK. Peduga rasio bertujua utuk meigkatka ketelitia dega megambil mafaat hubuga atara variabel batu da variabel peelitia. Peelitia ii bertujua utuk megkaji ulag peurua rata-rata kuadrat sesata (RKS) peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegambila sampel acak sederhaa da pegatura perigkat media. Peduga rasio selajutya diterapka pada produksi padi sawah di Jawa Tegah pada tahu 04. Disimpulka bahwa peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegambila sampel dega pegatura perigkat media merupaka peduga rasio yag baik karea memiliki ilai RKS terkecil.. Kata Kuci: peduga rasio, variabel batu, sampel acak sederhaa, pegatura perigkat media.. PEDAHULUA Statistika merupaka ilmu yag mempelajari cara pegumpula, pegelompoka, pegolaha, peyajia, aalisis, da iterpretasi data serta pearika kesimpula secara umum berdasarka hasil peelitia. Terdapat dua metode pegumpula data yaitu sesus da samplig. Sesus merupaka metode pegumpula data dega cara megamati seluruh eleme populasi satu per satu. Samplig merupaka metode pegumpula data dega cara megamati sebagia populasi (sampel). Demig [5] meyataka bahwa dega megguaka pegambila sampel atau survei dapat meigkatka kualitas peelitia. Terdapat beberapa metode dalam pegambila sampel yaitu pegambila sampel acak sederhaa, acak sistematis, acak berlapis, da acak kelompok. Dalam peelitia ii diguaka pegambila sampel acak sederhaa. Metode pegambila sampel acak sederhaa merupaka metode pegambila uit sampel dari populasi yag setiap uit berbeda didalam populasi memiliki peluag yag sama utuk terpilih.
Peduga rasio adalah salah satu metode utuk meduga rata-rata populasi pada pegambila sampel acak sederhaa. amae [6] berpedapat bahwa peduga rasio dapat meigkatka ketelitia dugaa. Peduga rasio yag lebih baik adalah peduga rasio yag memiliki ilai Rata-rata Kuadrat Sesata (RKS) terkecil. Al-Saleh da Samawi [] meyelidiki tekik samplig dega pegatura perigkat utuk ukura sampel da 3. Pada tahu 0, Al-Omari [] megembagka peelitia megeai peduga rasio rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegambila sampel acak sederhaa da pegatura perigkat media (PPM). Dalam peelitia ii, dikaji ulag peduga rasio utuk rata-rata populasi yag diusulka oleh Al-Omari [] megguaka kuartil variabel batu pada pegambila sampel acak sederhaa da pegatura perigkat media da membadigka tigkat ketelitia peduga tersebut, serta peerapaya pada data jumlah produksi padi sawah pada tahu 04 di Jawa Tegah.. PEGAMBILA SAMPEL ACAK SEDERHAA Pegambila sampel acak sederhaa adalah pegambila sampel dega setiap uit dasar memiliki kesempata yag sama utuk terambil sebagai sampel. amae [3] meyataka ukura sampel utuk peduga rasio pada pegambila sampel acak sederhaa tapa pegembalia sebagai berikut 0 + 0 dega 0 z S d da d x S d (x i ry i ) i (.) dega adalah ukura populasi, adalah ukura sampel, 0 adalah ukura sampel dega pegembalia, adalah ukura sampel awal, y i adalah ilai pegamata ke- i dari variabel peelitia (), x i adalah ilai pegamata ke- i dari variabel batu (X), z adalah reliabilitas, d adalah ketelitia, S d adalah variasi dari d, da r adalah rasio sampel. Pada tekik pegambila sampel terdapat empat pemusata data populasi yaitu total, rata-rata, proporsi da rasio. Rata-rata populasi dari variabel peelitia () da variabel batu (X) dirumuska dega sedagka rata-rata sampelya dituliska sebagai y i i i,, X X i i y i da x i x i.
3. DERET TALOR Meurut Atkiso [3] sebagia besar fugsi f(x) tidak dapat dievaluasi secara sederhaa. Fugsi f (x) yag merupaka pedekata dari fugsi f(x) diguaka deret Taylor. Jika f adalah fugsi dari x da terdapat titik x 0 disekitar x, maka ekspasi deret Taylor utuk f(x) dituliska sebagai f(x) f( x 0 ) + (x x 0)! f (x 0 ) + (x x 0)! f (x 0 ) + (x x 0 )3 f (x 3! 0 ) +. Ekspasi deret Taylor utuk fugsi dua variabel f(x + x, y + y) diyataka dega f(x, y) f(x + x, y + y) f(x, y) + [ x + x +! [ f(x,y) x x + f(x,y) x y f(x, y) y] y x y + f(x,y) y], y da pedekata deret Taylor orde pertama utuk dua variabel adalah f(x + x, y + y) f(x, y) + [ f(x,y) x 4. METODE PEELITIA x + f(x,y) y]. (.) y Pada peelitia ii dilakuka pegkajia ulag peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka variabel batu pada pegambila sampel acak sederhaa da pegatura perigkat media. Pegkajia ulag meliputi peurua RKS dega pedekata deret Taylor orde pertama. Selajutya peduga rasio tersebut diterapka pada produksi padi sawah di Jawa Tegah tahu 04 ya diperoleh dari BPS [4]. Populasi yag diguaka meliputi 35 kota/kabupate di provisi Jawa Tegah. Hasil produksi padi sawah tahu 04 diguaka sebagai variabel peelitia () da luas laha diguaka sebagai veriabel batu (X). Berdasarka sampel yag diambil, dapat dihitug da dibadigka ilai RKS dari masimasi peduga rasio. 5. HASIL DA PEMBAHASA 5.. Peurua RKS Peduga Rasio Sampel Acak Sederhaa dega Kuartil. Rata-rata kuadrat sesata dari peduga rasio dapat dituruka dega pedekata deret Taylor megguaka persamaa (.) sehigga diperoleh f(x, y ) f(x, ) + f(x, ) X (x X ) + f(x, ) (y ) (5.) 3
dega f(x, y ) adalah peduga rasio da f(x, ) adalah rasio. Peduga rasio dega metode pegambila sampel acak sederhaa utuk rata-rata populasi dirumuska sebagai μ SAS μ X ( SAS ) dega μ X adalah rata-rata populasi X, X SAS SAS adalah rata-rata sampel dari variabel peelitia dega metode sampel acak sederhaa, X SAS adalah rata-rata sampel dari variabel batu X dega metode sampel acak sederhaa. Al-Omari [] memodifikasi peduga rasio utuk rata-rata populasi pada sampel acak sederhaa dega meambahka ilai kuartil pada variabel batu X. Kuartil yag diguaka adalah kuartil pertama da ketiga, sehigga diperoleh μ SAS SAS ( μ X+q X SAS +q ) da μ SAS3 SAS ( μ X+q 3 X SAS +q 3 ) (5.) RKS dari persamaa (5.) diperoleh megguaka deret Taylor persamaa (5.). ilai sesata dari peduga rasio rata-rata populasi pada sampel acak sederhaa dega meambahka ilai kuartil q k dega k, 3 didapatka SAS R R (X SAS +q k ) (X SAS (μ X + q k )) + X SAS +q ( SAS ( + q k )) (5.3) k Kuadrat sesata dapat diperoleh dega megkuadratka persamaa (5.3), sehigga diperoleh (R R) SAS ( (X SAS + q k ) (X SAS (μ X + q k )) + ( SAS (μ X SAS + q + q k ))) k SAS SAS (X SAS + q k ) 4 (X SAS (μ X + q k )) (X SAS + q k ) 3 (X SAS (μ X + q k ))( SAS ( + q k )) + (X SAS +q k ) ( SAS ( + q k )). (5.4) ilai harapa dari kuadrat sesata pada persamaa (5.4), dituliska sebagai E[R R] SAS E [ (X SAS + q k ) 4 (X SAS (μ X + q k )) (X SAS + q k ) 3 (X SAS (μ X + q k ))( SAS ( + q k )) + (X SAS + q k ) ( SAS ( + q k )) ] (μ X + q k ) ( σ X (μ X + q k ) SAS (μ X + q k ) ρ σ Xσ didapatka ilai harapa kuadrat sesata sebagai berikut + σ ) 4
E[R R] ( σ X (μ X +q k ) (μ X +q k ) ρ σ Xσ (μ X +q k ) + σ ). Karea ilai μ SASk R μ XSASk sehigga rata-rata kuadrat mejadi dega L k RKS (μ SASk) (μ X + q k ) E[R R] σ RKS (μ SASk) X (μ X + q k ) (μ X +q k ) da β ρ σ σ X RKS (μ SASk) L k σ X didapatka L kρ σ Xσ σ + σ X (L k L k β). (μ X + q k ) ρ σ Xσ + σ + σ Terbukti bahwa rata-rata kuadrat sesata dari peduga rasio rata-rata populasi berdasarka kuartil diperoleh RKS (μ SASk) σ + σ X (L k L k β). (5.5) 5.. Peurua RKS Peduga Rasio megguaka Pegatura Perigkat Media. Al-Omari [] juga memodifikasi peduga rasio utuk rata-rata populasi pada sampel acak sederhaa dega meambahka ilai kuartil pada variabel batu X megguaka pegatura perigkat media. Kuartil yag diguaka adalah kuartil pertama da ketiga, sehigga didapatka μ PPMk PPM ( μ X+q k X PPM +q k ) (5.6) RKS dari persamaa (5.6) diperoleh megguaka deret Taylor. Sehigga ilai sesata dari peduga rasio rata-rata populasi megguaka pegatura perigkat media da meambahka ilai kuartil k, dega k,3 diperoleh R R PPM (X PPM +q k ) (X PPM (μ X + q k )) + X PPM +q ( PPM ( + q k )) (5.7) k Kuadrat sesata diperoleh dega megkuadratka persamaa (5.7), sehigga dapat ditulis mejadi (R R) PPM ( (X PPM + q k ) (X PPM (μ X + q k )) + ( PPM ( + q k ))) X PPM + q k 5
PPM PPM (X PPM + q k ) 4 (X PPM (μ X + q k )) (X PPM + q k ) 3 (X PPM (μ X + q k ))( PPM ( + q k )) + (X PPM +q k ) ( PPM ( + q k )) (5.8) ilai harapa dari kuadrat sesata pada persamaa (5.8), diyataka sebagai PPM E[R R] E [ (X PPM + q k ) 4 (X PPM (μ X + q k )) (X PPM + q k ) 3 (X PPM (μ X + q k ))( PPM ( + q k )) + (X PPM + q k ) ( PPM ( + q k )) ] (μ X + q k ) ( σ X (μ X + q k ) PPM (μ X + q k ) ρ σ Xσ + σ ) Karea ilai μ PPMk R μ PPMk sehigga rata-rata kuadrat sesata megguaka pegatura perigkat media mejadi dega L k RKS (μ PPMk) (μ X + q k ) E[R R] σ RKS (μ PPMk) X (μ X + q k ) (μ X +q k ) da β ρ σ σ X diperoleh RKS (μ PPMk) L k σ X L kρ σ Xσ (μ X + q k ) ρ σ Xσ + σ Var ( PPM ) + Var (X PPM )(L k L k β). + σ Terbukti bahwa rata-rata kuadrat sesata dari peduga rasio rata-rata populasi berdasarka kuartil diperoleh RKS (μ PPMk) Var ( PPM ) + Var (X PPM )(L k L k β). Pada pegatura perigkat media, terdapat perbedaa variasi jika jumlah data berilai geap da gajil, maka diperoleh rata-rata kuadrat sesata peduga rasio pegatura perigkat media sebagai berikut RKS (μ PPMk ) { ) ((σ ( + σ ) + ) + (σ + σ + ) (L ( X( X( k L k β)), utuk geap, (σ ( + ) ) + σ + (L X( k L k β)), ) ) utuk gajil. (5.9) 5.3. Peerapa Kasus. Peduga rasio megguaka kuartil variabel batu pada sampel acak sederhaa da pegatura perigkat media diterapka pada kasus produksi padi sawah di Jawa Tegah. Populasi produksi padi sawah 35 kabupate/kota tahu 04 yag diperoleh dari BPS [5]. Peelitia ii 6
megguaka jumlah sampel awal 0, tigkat kepercayaa z,96, da ketelitia d 0,005; 0,0055; 0,0065; 0,0075. Megguaka persamaa (.) diperoleh ukura sampel seperti pada Tabel 5.. Tabel 5.. Tigkat Ketelitia da Ukura Sampel Ketelitia (d) Ukura sampel () 0,005 7 0,0055 5 0,0065 0,0075 0 Berdasarka tabel 5. dega tigkat ketelitia yag semaki kecil meghasilka ukura sampel yag semaki besar. Ukura sampel tersebut diguaka utuk meghitug RKS dari peduga rasio. Selajutya megguaka persamaa (5.5) da persamaa (5.9) dihitug ilai RKS dari masig-masig peduga rasio seperti pada Tabel 5. Tabel 5. ilai RKS Masig-masig Peduga RKS μ SASk RKS μ PPMk k k 3 k k 3 7 67066854 574986985 66735445 564879034 5 68304588 57693545 6835467 55489057 69357894 568777376 604368734 530589867 0 6067353 5530055846 60034860 59567876 Berdasarka Tabel 5. terlihat bahwa peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegatura perigkat media memiliki RKS terkecil,sehigga dapat disimpulka bahwa peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegatura perigkat media lebih baik dibadigka peduga rasio megguaka sampel acak sederhaa. 6. KESIMPULA. Peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada sampel acak sederhaa dirumuska RKS (μ SASk) σ L k β). + σ X (L k 7
. Peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegatura perigkat media dirumuska RKS (μ PPMk ) ((σ ( + σ ) + ) + (σ ( ) + σ X( ) + ) (L X( ) k L k β)), utuk geap, { (σ ( + + σ ) + (L X( ) k L k β)), utuk gajil. 3. Peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegatura perigkat media memiliki RKS terkecil,sehigga dapat disimpulka bahwa peduga rasio utuk rata-rata populasi megguaka kuartil variabel batu pada pegatura perigkat media lebih baik dibadigka peduga rasio megguaka sampel acak sederhaa. 7. DAFTAR PUSTAKA. Al-Omari, A.I., Ratio Estimatio of The Populatio Mea Usig Auxiliary Iformatio i Sample Radom Samplig ad Media Raked Set Samplig. Statistics ad Probability Letters 8 (0), 883-890.. Al-Saleh, M.F., Samawi, H.M., A ote o Iclusio Probability i Raked Set Samplig ad Some of its Variatios. TEST 6 (007), 98 09. 3. Atkiso, K., Elemetary umerical Aalysis, Joh Wiley ad Sos, ew ork, 985. 4. Bada Pusat Statistik, www.jateg.bps.go.id. 5. Demig, W.E., Sample Desig i Bussiess Research, Joh Wiley ad Sos, ew ork, 960. 6. amae, T,. Elemetary Samplig Theory, Pretice, USA, 967. 8