BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 5 BAB 4 Metode Crank-Nicolson Untuk European Barrier Option 4. Persamaan Diferensial Parsial European Barrier Option Seperti yang telah dinyatakan dalam bab 3, persamaan diferensial parsial dari European barrier option adalah C σ C C + + t S S S rs rc = dengan C( S, t) : nilai option (4..) S : nilai underlying asset r : non-risk interest rate σ : volatilitas dari underlying asset t : waktu Untuk mendapatkan PDP parabolik dari (4..), maka akan digunakan transformasi variabel sebagai berikut: S y = ln βτ ( ) τ = T t py+ q C = e τ w dengan α r p = + σ p σ q = r maka dapat diperoleh PDP parabolik dari European barrier option yaitu (4..)
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 5 w σ = τ w y (4..3) Dengan menggunakan metode Crank-Nicolson, PDP (4..3) dapat diselesaikan secara numerik. 4.. Syarat Batas Syarat batas dari persamaan diferensial parsial (4..3) akan bergantung pada jenis barrier option yang akan dicari. Untuk tipe European down-and-out call maka syarat batasnya menjadi dimana ( min τ) ( τ ) qτ w y, = e R( τ) ( py qτ ) w y e C y y y min ( τ ) max + max, = max, ( ) ( ) S β τ = = = β( τ) β τ min ln ln S ln β( τ) max max = Untuk tipe European down-and-out call option, nilai S min (4..4) (4..5) adalah nilai barriernya, sedangkan nilai besar. Karena untuk S max merupakan nilai batasan yang dapat diasumsikan cukup S S max nilai C( ymax, τ ) Smax, maka syarat batas (4..4) menjadi ( min τ) (, τ) qτ w y, = e R( τ) max ( τ) ( τ) ( ) w y = e S = e β τ e pymax + q pymax + q ymax max (4..6) 4.. Syarat Awal Untuk European down-and-out call option, syarat awalnya adalah y ( ) ( ) ( ) py w y, = max be e K, (4..7)
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 5 4. Metode Crank-Nicolson Untuk mengaplikasikan metode Crank-Nicolson, perlu dibangun suatu grid untuk sumbu horizontal dan sumbu vertikal. Sumbu horizontal mewakili nilai diskrit dari variabel y sedangkan sumbu vertikal mewakili nilai diskrit dari variabel τ. Di setiap titik ( i, j ) dapat dihitung nilai y dan τ sebagai : yi ( ) = y + iδ y i=,,,..., Ny ( ) min τ j = jδ τ j =,,,..., Nτ dimana ( ymax ymin ) Δ y = Ny T Δ τ = Nτ dengan Ny menyatakan banyaknya partisi variabel y sedangkan (4..8) (4..9) Nτ menyatakan banyaknya partisi variabel τ. 4.. Penerapan Metode Crank-Nicolson pada PDP European Barrier Option Pandang persamaan (4..3) yang menyatakan PDP European barrier option. Metode Crank-Nicolson mengambil rata-rata dari beda maju pada langkah ke-j (dalam τ ) dan dengan beda mundur pada langkah ke- j+ (dalam τ ). Beda maju pada langkah ke-j : u u σ u u + u Δτ Δy i, j+ i, j i+, j i, j i, j = Beda mundur pada langkah ke- j+ u u σ u u + u Δτ Δy i, j+ i, j i+, j+ i, j+ i, j+ = (4..) (4..)
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 53 Selanjutnya dapat diperoleh rata-rata dari (4..) dengan (4..) adalah u u i, j+ i, j Δτ σ = + + + Δy ( ui+, j ui, j ui, j ui+, j+ ui, j+ ui, j ) Dalam bentuk matriks persamaan (4..) dapat dituliskan sebagai : ( j+ ) ( j) Au = Bu dengan dan j =,,,... λ + λ λ..... A =... λ.. λ + λ λ λ λ..... B =... λ.. λ λ σ Δτ λ = y ( Δ ) ( j), u = ( u, j,..., um, j) t + (4..) (4..3) Matriks A adalah matriks yang dominan diagonal sehingga matriks A memiliki invers. Dengan menggunakan invers matriks A maka sistem (4..3) dapat iπ diselesaikan. Nilai eigen matriks A adalah + λ sin m.
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 54 Matriks A dan B dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks tridiagonal konstan yaitu.. λ... A = + G, B =,..... λ B = I G (4..4) Dengan bentuk (4..4), maka persamaan (4..3) dapat juga dituliskan menjadi ( ) ( j+ ) ( ) ( j I + λg u = I λg u ) C = ( 4I I λg) u = ( ) ( j 4I C u ) ( j) Karena C = A, dan nilai eigen matriks A adalah A iπ μi = + λ sin m, i =,..., m maka nilai eigen matriks C adalah C iπ μi = + 4λ sin > > m (4..5) Karena matriks C tak singular atau matriks C memiliki invers, maka (4..5) dapat dituliskan menjadi ( j ) j ( ) u + = 4 C I u j+ =... = 4C I u (4..6) ( ) ( ) ( ) Dengan memperhatikan (4..6), untuk mencapai kondisi stabil maka diperlukan syarat untuk semua i 4 C μ i < (4..7) Dari (4..7) dapat diperoleh < < (4..8) C μ i
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 55 Karena C μ i >, maka (4..8) selalu dipenuhi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Crank-Nicolson stabil tanpa syarat untuk semua λ >. 4.. Hasil Numerik dan Analisis Berikut ini akan dicari nilai European down-and-out call option dan European up-and-out put option dengan metode Crank-Nicolson yang dihitung dengan bantuan program Matlab 7.. Pada perhitungan ini, diasumsikan semua option tidak memberikan rebate ( R( τ ) = ). European Down-and-out Call Option (nilai barrier konstan) Yang menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut: Masukan Simbol Nilai Harga saham saat t S 95 Maturity time T Volatilitas σ.5 Non-risk interest rate r. Nilai barrier (bawah) B 9 low Strike price K Tabel 4.. Data masukan untuk European down-and-out call dengan barrier konstan Kita harus menentukan banyaknya partisi dari waktu ( Nτ ) dan banyaknya partisi dari saham ( Ny ). Berikut ini solusi dari persamaan diferensial parsial European down-and-out call dengan Nτ = Ny = 3
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 56 3 5 down-and-out call 5 5 3 t.5 S.5 3 Gambar 4. Solusi PDP European down-and-out call Dengan masukan Nτ dan Ny yang berbeda-beda maka didapat hasil yang berbeda-beda pula. Berikut hasil dari nilai European down-and-out call option yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson dengan pengambilan Nτ dan Ny yang bervariasi. Nτ Ny down-and-out call 64 64 5.99 7 7 5.994 3 3 5.993 46 46 5.994 64 64 5.996 853 853 5.995 66 66 5.995 Nilai analitik 5.9968 Tabel 4.. Hasil perhitungan European down-and-out call dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 57 Nilai analitik dari European down-and-out call option diperoleh dengan menggunakan rumus analitik nilai European down-and-out call option yang telah dibahas pada bab 3. European Up-and-out Put Option (nilai barrier konstan) Yang menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut: Masukan Simbol Nilai Harga saham saat t S 95 Maturity time T Volatilitas σ.5 Non-risk interest rate r. Nilai barrier (atas) B 5 up Strike price K Tabel 4.3 Data masukan untuk European up-and-out put dengan barrier konstan Kita juga harus menentukan banyaknya partisi dari waktu ( Nτ ) dan banyaknya partisi dari saham ( Ny ). Berikut ini solusi dari persamaan diferensial parsial European up-and-out put dengan Nτ = Ny =
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 58 5 up-and-out put 5 3 t.5 S.5 3 Gambar 4.. Solusi PDP European up-and-out put Berikut hasil perhitungan nilai European up-and-out put option yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson dengan pengambilan Nτ dan Ny yang bervariasi. Nτ Ny up-and-out put 5 5 6.9796 6.985 5 5 6.9856 6.9857 5 5 6.9856 5 5 6.9856 6.9857 Nilai analitik 6.9859 Tabel 4.4. Hasil perhitungan European up-and-out put dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya Nilai analitik dari European up-and-out put option diperoleh dengan menggunakan rumus analitik nilai European up-and-out put option yang telah dibahas pada bab 3.
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 59 European Down-and-out Call Option (barrier merupakan fungsi terhadap waktu) Berikut ini akan dihitung nilai dari European down-and-out call option dengan nilai barrier-nya merupakan fungsi terhadap waktu (t) yaitu menjadi masukan dalam program adalah sebagai berikut: ( ) 9e T t. Yang Masukan Simbol Nilai Harga saham saat t S 95 Maturity time T Volatilitas σ.5 Non-risk interest rate r. Nilai Barrier (bawah) B ( ) low Strike price K 9e T t Tabel 4.5 Data masukan untuk European down-and-out call dengan barrier fungsi terhadap waktu (t) Tabel berikut adalah hasil perhitungan nilai European down-and-out call option dengan nilai barrier-nya merupakan fungsi terhadap waktu (t) yaitu, yang diperoleh dengan menggunakan metode Crank-Nicolson, lalu sekaligus dibandingkan dengan nilai analitiknya yang diperoleh dari rumus analitik pada bab 3. ( ) 9e T t t β(t) Nilai_Crank- Nicolson Nilai analitik 33,9,48,545, 33,5,384,579,4 33,97,87,4,36 34,38,89,348,48 34,744,9,8,6 35,65 9,99,5
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 6,73 35,59 9,893,98,843 36,3 9,793,863,964 36,459 9,693,748,84 36,9 9,593,63,5 37,349 9,49,54,35 37,8 9,389,44,446 38,59 9,87,85,566 38,73 9,84,69,687 39,93 9,8,53,87 39,668 8,977 9,935,98 4,48 8,876 9,87,48 4,635 8,775 9,699,69 4,8 8,67 9,58,89 4,66 8,569 9,46,4 4,3 8,465 9,34,53 4,64 8,359 9,,65 43,58 8,54 9,,77 43,68 8,47 8,979,89 44, 8,39 8,857,3 44,747 7,93 8,735,333 45,89 7,85 8,6,353 45,838 7,79 8,489,3373 46,394 7,6 8,365,3494 46,956 7,53 8,4,364 47,55 7,393 8,6,3735 48, 7,8 7,99,3855 48,684 7,7 7,864,3976 49,74 7,57 7,737,496 49,87 6,947 7,69,47 5,476 6,835 7,48,4337 5,88 6,7 7,35,4458 5,77 6,67 7,3,4578 5,334 6,49 7,9,4699 5,968 6,374 6,96,489 53,6 6,59 6,83
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 6,494 54,6 6,43 6,697,56 54,98 6,5 6,564,58 55,583 5,94 6,49,53 56,57 5,783 6,94,54 56,939 5,664 6,58,554 57,69 5,54 6,,5663 58,38 5,49 5,884,5783 59,35 5,94 5,745,594 59,75 5,7 5,65,64 6,474 5,44 5,464,645 6,7 4,95 5,3,665 6,949 4,788 5,79,6386 6,7 4,658 5,35,656 63,46 4,55 4,89,667 64,9 4,394 4,743,6747 65,8 4,59 4,595,6867 65,796 4,5 4,445,6988 66,593 3,987 4,94,78 67,4 3,849 4,4,79 68,8 3,78 3,988,7349 69,44 3,567 3,83,747 69,88 3,4 3,675,759 7,78 3,76 3,55,77 7,586 3,9 3,354,783 7,453,978 3,9,795 73,33,86 3,5,87 74,,67,856,893 75,,53,686,833 76,3,35,53,8434 76,95,88,336,8554 77,885,,57,8675 78,89,85,974,8795 79,784,678,788,896 8,75,5,598,936 8,73,38,45
BAB 4. METODE CRANK-NICOLSON UNTUK EUROPEAN BARRIER OPTION 6,957 8,7,3,7,977 83,74,94,4,9398 84,738,748,798,958 85,766,55,59,9639 86,85,356,383,9759 87,857,7,87,988 88,9,3,36 9 Tabel 4.6. Hasil perhitungan European down-and-out call (barrier fungsi terhadap waktu) dengan metode Crank-Nicolson dibandingkan dengan nilai analitiknya 9 8 7 6 5 Barrier Cdo S 4 3...3.4.5.6.7.8.9 t Gambar 4.3. Pergerakan nilai barrier dan nilai European down-and-out call option terhadap waktu (t) dari data pada tabel 4.5 Dapat diamati pada tabel diatas dan pada gambar 6, semakin besar nilai barriernya maka nilai European down-and-out call option akan semakin kecil. Hal ini diakibatkan dengan membesarnya nilai barrier maka peluang European downand-out call option untuk gagal semakin besar sehingga nilainya semakin kecil (harga jualnya semakin murah).