MODUL MATEMATIKA KELAS 8 APRIL 2018

MODUL MATEMATIKA KELAS 8 APRIL 2018 1. KUBUS BANGUN RUANG SISI DATAR Kubus merupakan bangun ruang beraturan yang dibentuk oleh enam buah persegi yang bentuk dan ukurannya sama. Unsur-unsur Kubus 1. Sisi Kubus Suatu bidang persegi (permukaan kubus) yang membatasi bangun ruang kubus. Kubus terdiri dari 6 sisi yang bentuk dan ukurannya sama. 1. 2. Titik sudut suatu kubus diartikan sebagai titik pertemuan antara tiga rusuk kubus yang berdekatan. Kubus mempunyai 8 titik sudut. Titik-titik sudut kubus adalah A, B, C, D, E, F, G, dan H. Gambar 1.1 3. Rusuk suatu kubus adalah ruas garis yang merupakan perpotongan dua bidang sisi pada sebuah kubus. Sebuah kubus memiliki 12 rusuk. Pada Gambar 1.1, rusukrusuk tersebut adalah AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG, dan DF. Setiap rusuk pada kubus memiliki panjang yang sama. SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 1

4. Diagonal kubus Diagonal merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut sebidang yang saling berhadapan. a. Diagonal Sisi (diagonal bidang) Diagonal sisi sebuah kubus adalah diagonal yang terdapat pada sisi kubus. Jika dari titik A di tarik garis lurus ke titik F atau dari titik B ke titik E, maka garis AF atau BE adalah diagonal sisi kubus ABEF. Lihat Gambar 1.2. karena setiap sisi kubus paling banyak menyumbangkan 2 diagonal sisi, maka pada sebuah kubus terdapat 12 diagonal sisi, yaitu AF, BE, BG, CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan FH. RUMUS : AF 2 = AB 2 + BF 2 Gambar 1.2 b. Diagonal Ruang Diagonal ruang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang berhadapan pada suatu bangun ruang. Kubus mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang dan keempatnya bertemu pada satu titik yang disebut titik pusat kubus. Keempat diagonal ruang tersebut adalah AG, BH, CE, dan DF. RUMUS : HB 2 = BD 2 + DH 2 Contoh Soal : i. Hitunglah panjang diagonal bidang sebuah kubus yang memiliki panjang rusuk 10 cm. SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 2

ii. Berapa panjang diagonal ruang sebuah kubus yang rusuknya 12 cm Jawaban : i. Panjang diagonal bidang = 10 2 = 10 x 1,414 = 14,14 cm ii. Panjang diagonal ruang = 12 3 = 12 x 1,732 = 16,464 cm c. Bidang diagonal Bidang diagonal merupakan bidang di dalam kubus yang dibuat melalui dua buah rusuk yang saling sejajar tetapi tidak terletak pada satu sisi. Sebuah kubus memiliki 6 buah bidang diagonal. Kerangka Kubus a. Jaring-Jaring SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 3

b. Permukaan Kubus - Luas Permukaan Kubus Luas permukaan kubus adalah jumlah luas seluruh sisi atau bidang pada bangun ruang tersebut. Rumus : Luas= 6 x S x S = 6 S 2 Jadi, Lp Kubus = 6 S 2 Contoh Soal : Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Berapakah luas permukaan kubus dan volume kubus? Jawaban : Luas = 6 x s 2 = 6 x 5 2 = 6 x 25 cm 2 Lp = 150 cm 2 - Volume Kubus Setiap Kubus mempunyai sisi yang sama panjang yaitu Panjang = Lebar = Tinggi Rumus : V = Sisi x Sisi x Sisi Jadi, V = S 3 = S x S x S = S 3 Contoh Soal : Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan volume kubus itu! Jawaban : V = s 3 V = (5 cm) 3 V = 125 cm 3 Jadi, volume kubus tersebut adalah 125 cm 3. SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 4

2. BALOK Balok merupakan bangun ruang beraturan yang dibentuk oleh tiga pasang persegi panjang yang masing-masing mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Unsur-unsur Balok 1. Sisi Balok Balok mempunyai 3 pasang sisi yang masing-masing pasang berbentuk persegi panjang yang sama bentuk dan ukurannya. 2. Rusuk Sebuah balok memiliki 12 rusuk. Rusuk-rusuk tersebut terbagi dalam 3 bagian yang masing-masing terdiri atas 4 rusuk yang sejajar dan sama panjang. 3. Titik Sudut Sebuah balok memiliki 8 titik sudut. 4. Diagonal Balok a. Diagonal Sisi (diagonal bidang) Balok mempunyai 12 buah diagonal sisi. Diagonal sisi pada balok tidak semuanya mempunayi panjang yang sama, bergantung pada ukuran sisi balok tersebut. SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 5

b. Bidang Diagonal Bidang diagonal balok merupakan bidang di dalam balok yang dibuat melalui dua buah rusuk yang saling sejajar tetapi tidak terletak pada satu sisi. c. Diagonal Ruang Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai 4 pasang sudut yang berhadapan, yaitu A dengan G, B dengan H, C dengan E, dan D dengan F. AG, BH, CE, dan DF adalah diagonal ruang balok. Kerangka Balok a. Jaring-Jaring Balok SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 6

- Luas Permukaan Balok Luas permukaan balok = 2pl + 2pt + 2lt = 2 (pl + pt + lt) - Volume Balok V = p x l x t 3. PRISMA Prisma merupakan suatu bangun ruang yang bentuk dan ukuran sisi atas dan bawah sama serta rusuk-rusuk tegak dan sejajar. Penamaan suatu prisma ditentukan oleh bentuk alasnya, contohya, suatu bangun yang alasnya segitiga dinamakan prisma segitiga, prisma yang alasnya berbentuk segiempat maka dinamakan prisma segiempat, prisma yang alasnya segi-lima maka dinamakan prisma segi-lima, dan seterusnya. JENIS-JENIS PRISMA 1) Prisma Segitiga Prisma segitiga adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segitiga. Unsur yang dimiliki prisma segitiga adalah sebagai berikut : a. Sisi/bidang = memiliki 5 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABC), sisi atas (DEF), dan tiga sisi tegak (ABED, BCFE, ACFD) b. Rusuk = memiliki 9 rusuk alas (AB, BC, AC), rusuk atas (DE, EF, DF), rusuk tegak (AD, BE, dan CF) c. Titik sudut = memiliki 8 titik sudut yaitu, A, B, C, D, E, F, G, dan H. d. Diagonal bidang = tidak memiliki diagonal bidang. e. Diagonal ruang tidak memiliki diagonal ruang. 2) Prisma Segiempat Prisma segiempat adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segiempat. Unsur yang dimiliki prisma segiempat adalah sebagai berikut : a. Sisi/bidang = memiliki 6 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABCD), sisi atas (EFGH), dan empat sisi tegak ABFE, BCHF, CDGH, dan ADGE. b. Rusuk = memiliki 12 rusuk yaitu rusuk alas (AB, BC, CD, DA), rusuk atas (EF, RH, GH, EG), rusuk tegak (EA, FB, HC, GD) c. Titik Sudut = memiliki 8 titik sudut yaitu titik sudut A, B, C, D, E, F, G dan H. d. Diagonal bidang = memiliki 12 diagonal bidang yaitu, AC, DB, AG, FH, BE, AF, DG, CH, BG, CF, AH, dan DE e. Diagonal ruang = memiliki 4 diagonal ruang yaitu, EC, AG, BH, dan DF 3) Prisma Segi-lima Prisma segi-lima adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segi-lima. Unsur yang dimiliki prisma segi-lima adalah sebagai berikut : a. Sisi/bidang = memiliki 7 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABCDE), sisi atas (FGHIJ), sisi tegak (ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, AEJF) b. Rusuk = memiliki 15 rusuk yaitu, rusuk alas (AB, BC, CD, DE, EA), rusuk atas (FG, GH, HI, IJ, JF), rusuk tegak (FA, GH, HI, IJ, JE) SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 7

c. Titik sudut = memiliki 10 titik sudut yaitu, titik sudut A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J d. Diagonal bidang = memiliki 20 diagonal bidang yaitu, FC, GB, JB, FA, IA, JE, HE, ID, GD, HC, ID, AG, JC, EH, FB, EI, FC, AH, JD, dan BG. e. Diagonal ruang = memiliki 10 diagonal ruang yaitu, HA, HB, IB, IC, JD, JC, FE, FD, GE, dan GA. JARING JARING PRISMA 1. Prisma Segitiga 2. Prisma Segiempat 3. Prisma Segi-lima RUMUS LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN PRISMA SEGITIGA Prisma segitiga tentu saja alasnya adalah segitiga, maka rumusnya adalah : L = (2 x luas segitiga) + Keliling alas x tinggi Gambar di atas merupakan prisma tegak segitiga siku-siku. Tentukan luas permukaan prisma tersebut. Selesaian: Untuk mencari luas permukaan prisma segitiga tersebut, terlebih dulu kita cari panjang semua alasnya, yaitu: Sehingga L = 2 Luas alas + Keliling alas tinggi = 2 3 x 4 : 2 + (3 + 4 + 5) 8 = 12 + (12) 8 = 12 + 96 = 108 Jadi, luas permukaan prisma tegak segitiga siku-siku adalah 108 cm 2. Pada umumnya, rumus volume dari sebuah prisma adalah: V= Luas alas x Tinggi SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 8

Akan tetapi, untuk prisma segitiga rumus tersebut diubah menjadi: (1/2 x Alas Segitiga x Tinggi Segitiga) x Tinggi Prisma Untuk memahami rumus diatas, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini: Contoh Soal : 2. Sebuah prisma memiliki volume 240 cm 3. Alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya masing-masing adalah 8cm dan 6cm. Lalu, berapakah tinggi dari prisma tersebut? Cara Menjawab: Volume prisma = Luas Alas x Tinggi Prisma 240 = (½ x a x t) x Tinggi Prisma 240 = (½ x 8 x 6) x Tinggi Prisma 240 = 24 x tinggi prisma Tinggi prisma = 240 : 24 = 10 cm RUMUS LUAS PERMUKAAN, VOLUME, DIAGONAL BIDANG DAN DIAGONAL RUANG BANGUN PRISMA SEGIEMPAT Rumus luas permukaan prisma adalah : Luas Permukaan prisma = 2 (panjang x lebar) + 2 (panjang x tinggi) + 2 (lebar x tinggi) Luas Permukaan prisma = 2 pl + 2 pt + 2 lt Luas Permukaan prisma = 2 (pl + pt + lt) 1. Sebuah prisma segiempat memiliki panjang 20cm, lebar 14cm, dan tinggi 10 cm. Berapakah luas permukaan dari prisma tersebut? Selesaian: Diketahui: p = 20 l = 14 t = 10 Luas Permukaan prisma = 2 (pl+pt+lt) = 2 x (20x14) + (20x10) + (14 x 10) = 2 x (280 + 200 + 140) = 2 x 620 = 1240 cm 2 maka luas permukaan balok tersebut adalah 1240 cm 2 Volume prisma segi empat adalah perkalian dari ketiga sisi balok. Volume prisma segiempat = p.l.t 2. Sebuah mainan berbentuk prisma segiempat volumenya 140 cm 3. Jika panjang mainan 7 cm dan tinggi mainan 5 cm, tentukan lebar mainan tersebut. Selesaian: V = p.l.t 140 cm 3 = 7 cm.l. 5 cm l = 140 cm 3 /35 cm l = 4 cm SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 9

Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema phytagoras. Rumusnya adalah : TV = (p 2 + l 2 ) 3. Perhatikan gambar di bawah berikut ini. Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 5 cm. Hitunglah: a) panjang AF b) panjang AC c) panjang AH Selesaian: a. Panjang AF dapat dihitung dengan teorema phytagoras. Perhatikan segitiga ABF siku-siku di B, maka: AF = (AB 2 + BF 2 ) AF = (12 2 + 5 2 ) AF = (144 + 25) AF = 169 AF = 13 cm b. Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC = (AB 2 + BC 2 ) AF = (12 2 + 8 2 ) AF = (144 + 64) AF = 208 AF = 4 13 cm c. Perhatikan segitiga AEH siku-siku di E, maka: AC = (AE 2 + EH 2 ) AF = (5 2 + 8 2 ) AF = (25 + 64) AF = 89 cm SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 10

RUMUS LUAS PERMUKAAN, VOLUM, DIAGONAL BIDANG DAN DIAGONAL RUANG BANGUN PRISMA SEGILIMA Apabila A, K, t secara berturut-turut merupakan luas alas, keliling, dan tinggi dari prisma, maka luas permukaan prisma dapat ditentukan dengan rumus L = 2 A + K t. 1. Diketahui suatu prisma segi lima beraturan, panjang semua rusuknya adalah 20 cm. Tentukan luas permukaan prisma tersebut! Jaring-jaring dari prisma segi lima beraturan yang semua panjang rusuknya 20 cm dapat dimodelkan sebagai berikut. Perhatikan segitiga ABC. Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki sehingga garis tingginya membagi sisi di depannya menjadi 2 bagian yang sama panjang. Sehingga, tinggi dari segitiga ABC, t 0 = 10/tan (36 ) = 13,76 cm. Sehingga luas segitiga ABC, L 0 = (20 13,76)/2 = 137,6 cm 2. Sehingga luas bidang alas, A = 5 137,6 = 688 cm 2. Dengan mudah kita dapat menentukan keliling dari bidang alas, K = 5 20 = 100 cm. Sehingga luas permukaan prisma segi-5 beraturan yang dimaksud adalah L = 2 A + K t = 2 688 + 100 20 = 3.376 cm 2 Rumus volume prisma: Volume = Luas alas x tinggi 2. Hitunglah volum prisma segilima jika luas alasnya 50 cm 2 dan tinggi 15 cm. Selesaian : Luas alas = 50 cm 2, t = 15 cm Volume prisma = luas alas x tinggi = 50 cm 2 x 15cm =750 cm 3 untuk menghitung banyaknya diagonal pada segi-n beraturan, dapat memakai rumus: d segi-n = 1/2 x [n x (n - 3)] 3. Berapa banyaknya diagonal pada Segi-50 beraturan? Selesaian: d segi-n = 1/2 x [n x (n - 3)] d segi-50 = 1/2 x [50 x (50-3)] d segi-50 = 1/2 x 50 x 47 d segi-50 = 1175 buah Karena bidang diagonal yang terbentuk secara umum berbentuk bangun datar, maka luas bidang diagonalnya juga mengikuti rumus luas bangun datar seperti persegi panjang, segitiga, jajargenjang, dan lainnya. Luas persegi panjang = panjang lebar= panjang lebar Luas segitiga =12 alas tinggi SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 11

4. Perhatikan gambar prisma segienam di bawah ini. Tentukan luas bidang diagonal CELH! Selesaian : *). Sebelum menghitung luas bidang diagonal CELH, harus dihitung dahulu panjang diagonal bidang CH. Panjang diagonal bidang CH dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras. CH 2 = BC 2 + HB 2 CH 2 = 8 2 + 6 2 CH 2 = 64+ 36 CH 2 = 100 CH = 100 CH = 10 *). Menentukan Luas bidang diagonal CELH Luas CELH = Luas persegipanjang CELH = panjang lebar =CH CE =10 8=80 Jadi, luas bidang diagonal CELH adalah 80 cm 2 SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 12

Soal 1. Sebuah prisma tegak segitiga memilikii volume 165 cm 3 dan tinggi 11 cm. Tentukanlah luas alas segitiga tersebut! 2. Volume prisma yang mempunyai luas alas 36 cm 2 dan panjang 43 cm adalah 3. Daerah yang diarsir (merah) pada gambar di bawah ini adalah... 4. Sebuah prisma tegak memiliki volume 432 cm 3. Alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm. Hitung tinggi prisma tersebut. 5. Perhatikan gambar tenda di bawah berikut. Sebuah tenda memiliki ukuran seperti pada gambar di atas, tentukan volume tenda tersebut. 5. LIMAS Limas merupakan bangun ruang sisi datar yang selimutnya terdiri atas bangun datar segitiga dengan satu titik persekutuan. Titik persekutuan itu disebut titik puncak limas. Jenis-jenis limas: a. Limas segitiga b. Limas segi empat c. Limas segi lima d. Limas lingkaran, dll Rumus Luas Permukaan Limas Luas permukaan = Luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak Rumus Volume Limas Volume = 1 x luas alas x tinggi 3 SAT-2018-04-JH7-MOD-MAT Page 13