MODUL 7 APLIKASI TRAFORMASI LAPLACE Tranformai Laplace dapa digunaan unu menyeleaian bai peroalan analia maupun perancangan iem. Apliai Tranformai Laplace erebu berganung pada ifa-ifa ranformai Laplace, huunya diferenia, inegrai dan onvolui. Pada modul ini aan dibaha beberapa conoh apliai ranformai Laplace pada iem linier yaiu dalam menganalii rangaian RLC, merancang iem endali, menenuan olui peramaan diferenial dan menenuan eabilan iem. Aan eapi ebelum iu aan diberian eori dan beberapa definii ambahan mengenai eorema harga awal dan harga ahir dan beberapa definii daar lainnya. 7. Teorema arga Awal dan arga Ahir Kedua eorema fundamenal yang aan ia bicaraan dienal ebagai eorema harga awal dan harga ahir. Teorema erebu aan memunginan ia unu menghiung f dan f dengan memeria harga-harga baa dari F. Unu menurunan eorema harga awal, maa ia injau eali lagi ranformai Laplace dari urunan, df d F f ia ambil earang mendeai a berhingga. Dengan demiian inegral menjadi dua bagian, e df d d {F f} df e d e d df d d maa ia liha bahwa inegral edua haru mendeai nol di dalam i arena inegral iu endiri mendeai nol. Juga f- buanlah fungi dari, dan iu dapa dipindahan dari i iri, dan ahirnya : -f- [F] f f f- [F] df [f f-] aau f [ F ] PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER
Ini adalah pernyaaan maemai dari eorema harga awal iniial-value heorem. Teorema ini mengaaan bahwa harga awal dari fungi wau f dapa diperoleh dari ranformai Laplacenya F dengan mula-mula mengalian ranform erebu dengan dan emudian memauan nilai menuju a berhingga. Sebagai conoh dipilih f co ω, ia liha bahwa f, earang ia hiung [ F ] ω arga ini ernyaa coco dengan f. Teorema harga ahir idalah begiu berguna eperi eorema harga awal, arena banya fungi f yang ida aau a dapa dienuan harga ahirnya, mialnya co ω dan in ω. Dengan cara yang hampir ama dapa diurunan eorema harga ahir ebagai beriu : [ ] f F Sebagai conoh langung dari pemaaian eorema ini, ia injau fungi f -e- a u, dengan a >, ia liha bahwa f. Tranformai dari f adalah : a F a a Dengan mengalian dengan dan memauan nilai mendeai nol, ia dapa [ F ] ernyaa harga ini coco dengan f. a a 7. Fungi Pemindah Tranfer Funcion Fungi Pemindah adalah perbandingan eluaran/oupu dalam benu ranformai Laplace dengan mauan/inpu dalambenu fungi Laplace juga. Secara maemai Fungi Pemindah dapa diuli : F F o i 7. Repon Impul h PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 6
Repon impul adalah repon aau fungi eluaran dalam fungi, jia mauannya adalah impul auan [δ]. 7.4 ubungan Repon Impul dan Fungi Pemindah Kia liha pada peramaan, jia inpunya impul auan [δ], maa F i ehingga F o arinya eluarannya adalah Fungi pemindah, edangan menuru definii jia mauannya adalah impul auan, maa eluarannya dalam fungi adalah repon impul h. Maa dapa diambil eimpulan fungi pemindah ranform Laplace dari repon impul h dan ebalinya repon impul h adalah invere ranform Laplace dari aau dapa digambaran : h - 7. Tranformai Laplace pada Analia Rangaian RLC Unu perhiungan rangaian linier menggunaan ranformai Laplace biaanya induor dan apaior langung dibua rangaian pengganinya ehingga ida lagi mulai dari peramaan diferenial. 7.. Relai Eivalen unu Reior dalam Domain Karaerii egangan aru dalam domain uau reior, R adalah: V R R I R R V I R R 7.. Relai Eivalen unu Induor dalam Domain Peramaan unu Induor dalam diferenial : di v L d Jia peramaan erebu di ranformaian dalam benu Laplace aan menjadi : V L[I i] L I Li Peramaan unu Induor dalam inegral : PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 7
i v d i L Jia peramaan erebu di ranform Laplace aan menjadi : V i I L i I V L 7.. Relai Eivalen unu Kapaior dalam Domain Peramaan unu Kapaior dalam inegral : v i d v c Jia peramaan erebu di ranformaian dalam benu Laplace aan menjadi : I v V C v V I C Peramaan unu Kapaior dalam diferenial : dv i c d Jia peramaan erebu di ranform Laplace aan menjadi : I C[V v] C V Cv Conoh oal: Tinjau rangaian yang diunjuan pada gambar 7. a, dengan I L -, v C - dan x u. Rangaian eivalen dalam domain diunjuan pada gambar 7. b. PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 8
Gambar 7. Rangaian RLC Jawab: Peramaan pada node : / Y Y Y aau, 6 Y /, / /, / /,, maa, in co exp in exp co exp u u u u y 7.6 Tranformai Laplace pada Siem Kendali PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 9
Apliai ranformai Laplace banya dijumpai dalam iem endali. Banya peroalan prai yang dapa diformulaian ebagai peroalan endali/pengauran. Sebagai conoh, unjau iem yang diunjuan pada gambar 7.. Gambar 7. Siem Kendali Sub iem perama diebu ebagai plan yang memilii fungi ranfer. Subiem edua diebu onroler dideain unu memperoleh performani iem erenu. Inpu iem erebu adalah inyal refereni r, edangan w menggambaran gangguan aau noie dalam iem. Perbedaan anara refereni dan oupu diebu gala aau error, er-y. Sinyal gala ini dienaan pada onroler, yang berfungi mamaa inyal gala menjadi nol unu. Kondii ini menyebaban oupu iem mengiui inyal refereni r. Performani iem jeni ini diebu penjejaan racing. Mialan iem LTI memilii fungi ranfer: D Jia inpu r A u dan inyal gangguan w B u dimana A dan B adalah onana. Maa dengan menggunaan ifa uperpoii dapa diunjuan bahwa. [ ] [ ] B A W R Y C C C C c Ingin dideain C edemiian hingga r menjejai y yaiu: A y Mialan c c/d c, maa : PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 6
[ c A Dc B] Y [ D Dc c ] Dengan menggunaan eorema harga ahir y Y { c A Dc B} y D Dc c Agar, y A maa haru dipenuhi D aau D c memilii zero di 7.7 Tranformai Laplace Unu Menenuan Solui Peramaan Diferenial Proedur unu menyeleaian uau PD dengan menggunaan ranformai Laplace adalah ebagai beriu :. Dengan ondii mula yang dieahui, ambil ranformai Laplace edua ii dari peramaan diferenial. Seleaian peramaan aljabar unu Y. Ambil inver-nya unu memperoleh y Conoh: Seleaian PD : y y 6y exp-; y, y. Ambil TL edua ii menghailan : Y Y 6Y. Dieleaian unu Y Y 6 6 9. Ambil inver dari Y, yaiu - {Y} diperoleh ; 9 y exp 6exp exp u 7.8 Tranformai Laplace Unu Menenuan Sabilia dalam Domain Suau fungi ranfer elalu dapa diuli dalam benu peralian PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 6
D... ilai yang menjadian diebu pole. Jadi pole dari di aa adalah -, -,, - Peramaan di aa dapa pula diuli ebagai beriu : A A A... Secara umum, pole dapa berbenu omple, yaiu: σ jω Repon impul dari iem dapa diuli jia ida ada pole yang berulang/muliple pole h A exp- A exp- A exp- aau ecara umum, h A exp Jia σ jω, maa : h A exp σ exp jω Jela bahwa agar abil BIBO, maa iem erebu haru memilii pole yang bagian riilnya negaive, aau pole-polenya erlea di ebelah iri bidang. PUSAT PEGEMBAGA BAA AJAR-UMB Trie Maya Kadarina, ST, MT. SISTEM LIIER 6