BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut antara keduanya. Disimbolkan sebagai berikut. A B A B cos, 0 Perhatikanlah bahwa A B cos merupakan bilangan biasa (skalar). Oleh karena itu, AB disebut juga sebagai perkalian skalar. Secara grafis, misalnya vektor A dan vektor B digambarkan sebagai berikut. B Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B, atau A B maka vektor B diproyeksikan terhadap vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan θ B A B cos. θ B cos A Dengan demikian, A B didefinisikan sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B yang sejajar dengan vektor A. Secara matematis dituliskan sebagai berikut. A B A B cos, 0 Bagaimana jika perkalian titik antara vektor A dan vektor B dibalik menjadi B A? Secara grafis, proyeksi vektor A terhadap vektor B dapat dilihat pada gambar di bawah ini. 1
A cos B Dari gambar di atas, perkalian BA didefinisikan sebagai besar vektor B dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan vektor B. Secara matematis dituliskan sebagai berikut. θ A B A B A cos, 0 HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TITIK 1. AB B A Hukum komutatif untuk hasil kali titik 2. A B C AB A C Hukum distributif 3. A B A B A B A B m m m m, dimana m adalah sebuah skalar 4. ii jj kk 1 ij jk ki 0 5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k, maka A B A B A B A B 1 1 2 2 3 3 A A A A A 2 2 2 A 2 B B B B B B 2 2 2 2 6. Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TITIK 1. Akan dibuktikan bahwa AB B A (Hukum Komutatif untuk hasil kali titik). AB A B cos B A cos BA Jadi, AB B A (terbukti). 2
2. Akan dibuktikan bahwa Perhatikan gambar berikut. A B C AB B C B C B + C E F G A Misalkan a sebuah vektor satuan dalam arah A, maka proyeksi B C pada A proyeksi B pada A proyeksi C pada A B C a Ba Ca kedua ruas dikalikan dengan A diperoleh B C a A Ba A Ca A A Karena a, maka a A A sehingga diperoleh A B C A BA CA Jadi, A B C AB B C (terbukti). 3. Akan dibuktikan bahwa A B A B A B A B sebuah skalar a. Akan dibuktikan bahwa m A B m m AB m A B cos m A B cos ma B m m m m, dimana m adalah A B b. Akan dibuktikan bahwa m AB A mb m AB m A B cos A m B cos A mb 3
c. Akan dibuktikan bahwa m AB A B m AB m A B cos A B cos m AB m Dari poin a, b, c dapat disimpulkan bahwa AB AB A B A B (terbukti). m m m m m 4. Akan dibuktikan bahwa ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 Berdasarkan gambar di samping, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor z yang sama adalah 0, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90. Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua i k j y vektor, akan dibuktikan bahwa x ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 a. Akan dibuktikan bahwa ii jj k k 1 ii i i cos 0 1 1 1 1 jj j j cos 0 1 1 1 1 kk k k cos 0 1 1 1 1 Jadi, ii jj k k 1 (terbukti). b. Akan dibuktikan bahwa ij jk k i 0 ij jk ki i j cos90 1 1 0 0 j k cos 90 1 1 0 0 k i cos90 1 1 0 0 Jadi, ij jk k i 0 (terbukti). 4
5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k a. Akan dibuktikan bahwa A B A1 B1 A2 B2 A3 B3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 AiB i B j B k A j Bi B j B k A kbi B j B k AB i j k 1 2 3 A Bii A B ij A B ik A B ji A B jj A B jk A Bki A B kj A B kk 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa, ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 sehingga 1 0 0 0 1 0 0 0 1 AB A B A B A B A B A B A B A B A B A B 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 A B 0 0 0 A B 0 0 0 A B 1 1 2 2 3 3 A B A B A B 1 1 2 2 3 3 A B A B A B A B (terbukti). Jadi, 1 1 2 2 3 3 b. Akan dibuktikan bahwa A A A A A 2 2 2 A 2 1) Akan dibuktikan bahwa A A A A A 2 2 2 Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh A A A A A A AA i j k i j k A A A A A A 1 1 2 2 3 3 A A A 2 2 2 2) Akan dibuktikan bahwa A A A 2 Dengan menggunakan definisi perkalian vektor diperoleh AA A A cos0 A A A 2 1 Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi A A A A A 2 2 2 A 2 (terbukti). c. Akan dibuktikan bahwa B B B B B B 2 2 2 2 1) Akan dibuktikan bahwa B B B B B 2 2 2 Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh 5
B B B B B B BB i j k i j k B B B B B B 1 1 2 2 3 3 B B B 2 2 2 2) Akan dibuktikan bahwa B B B 2 Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh BB B B cos0 B B B 2 1 2 2 2 Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi B B B B B B 2 (terbukti). 6. Akan dibuktikan bahwa Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh AB 0 A B cos 0 cos 0 ( karena diketahui bahwa A 0 dan B 0) 90 Sudut antara vektor A dan B adalah 90, sehingga A B. Jadi, jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus (terbukti). CONTOH SOAL 1. Jika A i 2j dan B 2i 3j, tentukan: a. A B b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian a. AB i 2j 2i 3j 6
1 2 2 3 2 6 4 b. Berdasarkan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh AB A B cos A B cos A B Dari poin a diketahui bahwa A B 4. Selanjutnya, A 1 2 2 2 B 2 2 2 3 1 4 4 9 5 13 Sehingga AB cos A B 4 5 13 4 65 4 8.062257748 0.4961389384 arcsin 0, 4961389384 29.7448813 90 29.7448813 119.7448813 karena tandanya (negatif) maka ada dikuadran II sehingga 2. Jika A i 3j 2k dan B 4i 2j 4k, tentukan: a. A B b. A c. B d. 3A 2B e. 2A B A 2B Penyelesaian: 7
a. AB i 3j 2k 4i 2j 4k 14 3 2 24 4 6 8 4 6 8 10 A 1 3 2 2 2 b. 2 1 9 4 14 2 2 2 c. B 4 2 4 16 4 16 36 6 d. 3A 2B 3i 3j 2k 24i 2j 4k 3i 9j 6k 8i 4j 8k 11i 5j 2k 3A 2B 11 5 2 2 2 2 121 25 4 150 e. 2A B 2i 3j 2k 4i 2j 4k 2i 6j 4k 4i 2j 4k 6i 4j 0k 6i 4j i 3j 2k -8i 4j-8k A - 2B i 3j 2k 2 4i 2j 4k 7i 7j-10k 2A BA 2B 6i 4j 0k-7i 7j-10k 67 47 010 42 28 0 14 8
B. HASIL KALI SILANG ATAU VEKTOR Hasil kali silang atau vektor dari A dan B adalah sebuah vektor C A B (Dibaca A silang B ). Besarnya A B didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut antara keduanya. Arah vektor C A B tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Disimbolkan sebagai berikut. A B A B sin u, 0 Dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari A B. HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN SILANG 1. AB B A Hukum komutatif tidak berlaku untuk hasil kali silang 2. A B C A B A C Hukum distributif 3. A B A B A B A B m m m m, dimana m adalah sebuah skalar 4. ii j j kk 0 i j k, jk i, ki j 5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k, maka A B A A A B B B A2 A3 A1 A3 A1 A2 i j k B B B B B B 2 3 1 3 1 2 6. Besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B sejajar. PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN SILANG 1. Akan dibuktikan bahwa AB B A Untuk membuktikan hukum 1 ini, akan ditunjukkan secara grafis sebagai berikut. 9
A B = C θ B A θ B B A = D A Gambar (a) Gambar (b) Perhatikan gambar (a) C = A B = A B sin θ Arah vektor C sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan. Perhatikan gambar (b) D = B A = B A sin θ Arah vektor D sedemikian rupa sehingga B, A dan D membentuk sebuah sistem tangan kanan Dari uraian di atas diketahui bahwa D besarnya sama dengan C. Namun demikian, dilihat dari gambar (a) dan (b) D dan C memiliki arah yang berlawanan. Sehingga, C = -D atau A B = - B A Jadi hukum komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang. 2. Akan dibuktikan bahwa A (B + C) = A B + A C A (B + C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) + (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) [(B + C )i + (B + C )j + (B + C )k] = A B + C A B + C A B + C A = B + C A A i B + C B + C A A j + B + C B + C A B + C k = [A (B + C ) A (B + C )]i [A (B + C ) A (B + C )]j +[A (B + C ) A (B + C )]k = [A B + A C A B A C ]i [A B + A C A B A C ]j +[A B + A C A B A C ]k = [A B A B ]i [A B A B ]j + +[A B A B ]k +[A C A C ]i [A C A C ]j + [A C A C ]k 10
= A A i A A j + A A k + A A i A A j + A A k B B B B B B C C C C C = A A A + A A A B B B C C C = [(A i + A j + A k) + (B i + B j + B k)] + [(A i + A j + A k) + (C i + C j + C k)] = A B + A C (terbukti). C 3. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (m A) B = A (mb) = (A B)m di mana m adalah sebuah skalar a. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (m A) B m(a B) = m A B sin θ = (m A ) B sin θ = (ma) B b. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = A (mb) m(a B) = m A B sin θ = A (m B sin θ) = A (mb) c. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (A B)m m(a B) = m A B sin θ = ( A B sin θ) m = (A B)m Dari poin a, b, c diperoleh bahwa m(a B) = (ma) B = A (mb) = (A B)m (terbukti). z i k j y x 11
4. Akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0, dan i j k, jk i, ki j Berdasarkan gambar di samping, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah 0, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90. Dengan menggunakan definisi perkalian silang dua vektor, akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0 dan i j k, jk i, ki j a. Akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0 ii i i sin 0 1 1 0 0 j j j j sin 0 1 1 0 0 kk k k sin 0 1 1 0 0 Jadi, ii j j kk 0 (terbukti). b. Akan dibuktikan bahwa i j k, jk i, ki j i) i j i j sin 90 1 1 1 1 Besar i j 1, dan sesuai definisi arah i j tegak lurus dengan bidang yang memuat i dan j, dalam hal ini adalah k Karena besar k sendiri adalah 1 maka i j k ii) jk j k sin 90 1 1 1 1 Besar jk 1, dan sesuai definisi arah jk tegak lurus dengan bidang yang memuat j dan k, dalam hal ini adalah i Karena besar i sendiri adalah 1 maka jk i iii) ki k i sin 90 1 1 1 1 Besar k i 1, dan sesuai definisi arah ki tegak lurus dengan bidang yang memuat k dan i, dalam hal ini adalah j Karena besar j sendiri adalah 1 maka ki j Dari i), ii), dan iii) diperoleh i j k, jk i, ki j (terbukti). 5. Diketahui A = A i + A j + A k dan B = B i + B j + B k Akan dibuktikan bahwa A B = A A A = A A i A A j + A A k. B B B B B B B B B A B = (A i + A j + A k) (B i + B j + B k) = A i (B i + B j + B k) + A j (B i + B j + B k) + A k (B i + B j + B k) 12
= A B i i + A B i j + A B i k + A B j i + A B j j + A B j k +A B k i + A B k j + A B k k Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa ii j j kk 0 dan i j k, jk i, ki j, juga menurut hukum 1 diperoleh ji k, k j i, ik j sehingga A B = A B (0) + A B (k) + A B ( j) + A B ( k) + A B (0) + A B (i) +A B (j) + A B ( i) + A B (0) = A B k + A B ( j) + A B ( k) + A B i + A B j + A B ( i) = A B i + A B ( i) + A B j + A B ( j) + A B k + A B ( k) = A B i A B i + A B j A B j + A B k A B k = (A B A B )i + (A B A B )j + (A B A B )k = A A i + A A j + A A k B B B B B B = A A i A A j + A A k B B B B B = A A A (terbukti). B B B B 6. Akan dibuktikan bahwa besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B Berdasarkan gambar jajaran genjang di samping Luas jajaran genjang = h B A h = ( A sin θ ) B θ = A B sin θ B = A B Jadi besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B. 7. Akan dibuktikan bahwa jika A B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar A B = 0 A B sin θ u = 0 (dengan 0 θ 180 ) sin θ = 0 (karena diketahui A 0, B 0, dan u = 1) 13
θ = 0 atau 180 Karena θ = 0 atau 180 maka A dan B sejajar (terbukti). CONTOH SOAL 1. Jika A = 2i 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan: a. A B b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian : a. A B = (2i 2j + k ) (3i + j + 2k) = 2 2 1 3 1 2 = 2 1 1 2 i 2 j + 2 k 2 3 1 = ( 4 1)i (4 3)j + 2 ( 6)k = ( 4 1)i (4 3)j + (2 + 6)k = 5i j + 8k c. Akan dicari sudut yang dibentuk oleh A dan B Berdasarkan definisi A B = A B sin θ u sin θ = sin θ = A B A B u A B A B Dari soal diketahui bahwa A = 2i 2j + k dan B = 3i + j + 2k, sehingga A = (2) + ( 2) + (1) B = (3) + (1) + (2) = 4 + 4 + 1 = 9 + 1 + 4 = 9 = 14 = 3 Dari poin a diperoleh A B = 5i j + 8k, sehingga A B = ( 5) + ( 1) + (8) = 25 + 1 + 64 14
= 90 = 3 10 Maka, sin θ = A B A B = 3 10 3 14 = 10 14 = 3,162 3,742 = 0,845 sehingga θ = arc sin 0,845 57,671. 2. Jika A = 2i 3j k dan B = i + 4j 2k, carilah : a. A B b. B A c. (A + B) (A B) Penyelesaian : a. A B = (2i 3j k) (i + 4j 2k) = 2 3 1 1 4 2 3 1 1 3 = i 2 j + 2 k 4 2 1 2 1 4 = (6 ( 4))i ( 4 ( 1))j + (8 ( 3))k = (6 + 4)i ( 4 + 1)j + (8 + 3)k = 10i + 3j + 11k b. B A = (i + 4j 2k) (2i 3j k) = 1 4 2 2 3 1 = 4 2 2 4 i 1 j + 1 k 3 1 2 1 2 3 = ( 4 6)i ( 1 ( 4))j + ( 3 8)k 15
= ( 4 6)i ( 1 + 4)j + ( 3 8)k = 10i 3j 11k c. (A + B) (A B) = [(2i 3j k) + (i + 4j 2k)] [(2i 3j k) (i + 4j 2k)] = (3i + j 3k) (i 7j + k) = 3 1 3 1 7 1 = 1 3 3 1 i 3 j + 3 k 7 1 1 1 1 7 = (1 21)i (3 ( 3))j + ( 21 1)k = (1 21)i (3 + 3)j + ( 21 1)k = 20i 6j 22k 3. Jika A = 3i 2j + 2k, B = 2i + j k dan C = i 2j + 2k,carilah : a. (A B) C b. A (B C) Penyelesaian : a. (A B) C = [(3i 2j + 2k) (2i + j k)] (i 2j + 2k) = 3 2 2 (i 2j + 2k) 2 1 1 = 2 2 2 2 i 3 j + 3 k (i 2j + 2k) 1 1 2 1 2 1 = [(2 2)i ( 3 4)j + (3 ( 4))k] (i 2j + 2k) = [(2 2)i ( 3 4)j + (3 + 4)k] (i 2j + 2k) = (0i + 7j + 7k) (i 2j + 2k) = 0 7 7 1 2 2 = 7 7 7 7 i 0 j + 0 k 2 2 1 2 1 2 = (14 ( 14))i (0 7)j + (0 7)k = (14 + 14)i (0 7)j + (0 7)k = 28i + 7j 7k 16
b. A (B C) = (3i 2j + 2k) [(2i + j k) (i 2j + 2k)] = (3i 2j + 2k) 2 1 1 1 2 2 = (3i 2j + 2k) 1 1 1 1 i 2 j + 2 k 2 2 1 2 1 2 = (3i 2j + 2k) [(2 2)i (4 ( 1))j + ( 4 1)k] = (3i 2j + 2k) [(2 2)i (4 + 1)j + ( 4 1)k] = (3i 2j + 2k) (0i 5j 5k) = 3 2 2 0 5 5 = 2 2 2 2 i 3 j + 3 k 5 5 0 5 0 5 = (10 ( 10))i ( 15 0)j + ( 15 0)k = (10 + 10)i ( 15 0)j + ( 15 0)k = 20i + 15j 15k 4. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang dari A = 2i 6j 3k dan B = 4i + 3j k, A B adalah sebuah vektor yang tegak lurus dari A dan B. Penyelesaian : A B = (2i 6j 3k) (4i + 3j k) = 2 6 3 4 3 1 6 3 3 6 = i 2 j + 2 k 3 1 4 1 4 3 = (6 ( 9))i ( 2 ( 12))j + (6 ( 24))k = (6 + 9)i ( 2 + 12)j + (6 + 24)k = 15i 10j + 30k A B = (15) + ( 10) + (30) = 225 + 100 + 900 17
= 1225 = 35 Misal c adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan A B, maka c tegak lurus dengan bidang A dan B. c = = A B A B 15i 10j + 30k 35 = 15 10 30 i j + 35 35 35 k = 3 7 i 2 7 j + 6 7 k c = 3 7 + 2 7 + 6 7 = 9 49 + 4 49 + 36 49 = 49 49 = 1 = 1 Karena c = 1 maka c merupakan vektor satuan Jadi vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang A dan B adalah i j + k. 18
C. HASIL KALI TRIPEL Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B, dan C dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut (A B)C, A (B C), dan A (B C). HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TRIPEL 1. ABC A B C 2. A B C B C A C A B = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. Jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan C C1i C2j C3k, maka A BC A A A B B B C C C 3. A B C A B C (Hukum asosiatif tidak berlaku untuk Hasil Kali Tripel) 4. A B C A C B A B C A B C A C B B C A Hasil kali A B C seringkali disebut hasil-kali tripel skalar atau hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan tripel vektor. Dalam AB C sebagai A BC ABC. Hasil kali A B C disebut hasil-kali seringkali dihilangkan tanda kurungnya dan dituliskan saja, tetapi tanda kurung harus dipergunakan dalam A B C. PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TRIPEL 1. Akan dibuktikan bahwa (A B)C A(B C) (A B)C = [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)](c i + C j + C k) 19
= (A B + A B + A B )(C i + C j + C k) = (A B C + A B C + A B C )i + (A B C + A B C + A B C )j +((A B C + A B C + A B C )k Sedangkan A(B C) = (A i + A j + A k)[(b i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k)(b C + B C + B C ) = (A B C + A B C + A B C )i + (A B C + A B C + A B C )j +(A B C + A B C + A B C )k Daari uraian di atas terlihat bahwa (A B)C A(B C) (terbukti). 2. Pada hukum kedua ini terdapat 3 hal yang harus dibuktikan, yaitu: a. A (B C) = B (C A) = C (A B) b. A (B C) = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. c. Jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan C C1i C2j C3k, maka A BC A A A B B B C C C Berikut akan dibuktikan satu-persatu a. Akan dibuktikan bahwa A (B C) = B (C A) = C (A B) 1) Akan dibuktikan bahwa A (B C) = B (C A) A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A B C A B C ) (A B C A B C ) + (A B C A B C ) = A B C A B C A B C + A B C + A B C A B C = A B C A B C + A B C A B C + A B C A B C = B (A C A C ) + B (A C A C ) + B (A C A C ) C 20
= B (A C A C ) B (A C A C ) + B (A C A C ) = (B i + B j + B k) [(A C A C )i (A C A C )j + (A C A C )k] = (B i + B j + B k) C C i C C j + C C k A A A A A = (B i + B j + B k) C A C A C A = (B i + B j + B k) [(C i + C j + C k) (A i + A j + A k)] = B (C A) A 2) Akan dibuktikan bahwa B (C A) = C (A B) B (C A) = (B i + B j + B k) [(C i + C j + C k) (A i + A j + A k)] = (B i + B j + B k) C C C A A A = (B i + B j + B k) C C i C C j + C C k A A A A A = (B i + B j + B k) [(A C A C )i (A C A C )j + (A C A C )k] = B (A C A C ) B (A C A C ) + B (A C A C ) = B A C B A C B A C + B A C + B A C B A C = B A C B A C + B A C B A C + B A C B A C = C (B A B A ) + C (B A B A ) + C (B A B A ) = C (B A B A ) C (B A B A ) + C (B A B A ) = (C i + C j + C k) [(B A B A )i (B A B A )j + (B A B A )k] = (C i + C j + C k) A A i A A j + A A k B B B B B = (C i + C j + C k) A A A B B B = (C i + C j + C k) [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)] = C (A B) Dari 1) dan 2) diperoleh A (B C) = B (C A) = C (A B) (terbukti). A B b. Akan dibuktikan bahwa harga mutlak A (B C) = volum sebuah jajaran genjang ruang (paralel-epipedum) yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C, sesuai 21
dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. Perhatikan gambar berikut. Misalkan n adalah normal-satuan terhadap jajar genjang I, yang searah dengan B C A dan misalkan h adalah tinggi dari titik h terminal A di atas jajaran genjang I. C n B Volum paralel-epipedum = (tinggi h) (luas jajaran genjang I) = (A n)( B C ) = A { B C n } = A (B C) Jika A, B dan C tidak membentuk sebuah sistem tangan kanan maka A n < 0 dan volumnya = A (B C). d. Akan dibuktikan bahwa jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan A A A C C1i C2j C3k, maka A (B C) = B C B C B C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A B C A B C ) (A B C A B C ) + (A B C A B C ) = A B C A B C A B C + A B C + A B C A B C = A B C A B C + A B C A B C + A B C A B C Dengan menggunakan aturan sarrus untuk menghitung determinan maka diperoleh C 22
A A A A (B C) = B C B C B (terbukti). C 3. Akan ditunjukkan bahwa A (B C) (A B) C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = A B C B C A B C B C A B C B C C A = B C B C A A i B C B C B C B C A B C B C j A + B C B C A B C B C k = [A (B C B C ) A (B C B C )]i [A (B C B C ) A (B C B C )]j +[A (B C B C ) A (B C B C )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j +[A B C A B C A B C + A B C ]k (A B) C = [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)] (C i + C j + C k) = A A A (C i + C j + C k) B B B = A A i A A j + A A k (C B B B B B i + C j + C k) B = [(A B A B )i (A B A B )j + (A B A B )k] (C i + C j + C k) = A B A B A B A B A B A B C C C = A B A B A B A B C C i A B A B A B A B C C j 23
+ A B A B A B A B C C k = [C (A B A B ) C (A B A B )]i [C (A B A B ) C (A B A B )]j +[C (A B A B ) C (A B A B )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j +[A B C A B C A B C + A B C ]k Dari hasil di atas terlihat bahwa A (B C) (A B) C (tertunjuk). Hal ini berarti hukum asosiatif untuk hasil kali tripel vektor tidak berlaku. 4. Pada hukum 4 ini adakan dibuktikan 2 hal, yaitu: a. A (B C) = (A C)B (A B)C b. (A B) C = (A C)B (B C)A Berikut dilakukan pembuktian satu-persatu a. Akan dibuktikan bahwa A (B C) = (A C)B (A B)C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A i + A j + A k) [(B C B C )i + (B C B C )j + (B C B C )k] = A A A B C B C B C B C B C B C C A = B C B C A A i B C B C B C B C A B C B C j A + B C B C A B C B C k = [A (B C B C ) A (B C B C )]i [A (B C B C ) A (B C B C )]j +[A (B C B C ) A (B C B C )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j 24
+[A B C A B C A B C + A B C ]k = A B C i A B C i A B C i + A B C i A B C j + A B C j +A B C j A B C j + A B C k A B C k A B C k + A B C k = A B C i + A B C i + A B C i + A B C j + A B C j + A B C j +A B C k + A B C k + A B C k A B C i A B C i A B C i A B C j A B C j A B C j A B C k A B C k A B C k = [A B C i + A B C i + A B C i + A B C j + A B C j + A B C j +A B C k + A B C k + A B C k] [A B C i + A B C i + A B C i +A B C j + A B C j + A B C j + A B C k + A B C k + A B C k] = [(A C + A C + A C )B i + (A C + A C + A C )B j +(A C + A C + A C )B k] [(A B + A B + A B )C i +(A B + A B + A B )C j + (A B + A B + A B )C k] = [(A C + A C + A C )(B i + B j + B k)] [(A B + A B + A B )(C i + C j + C k)] = [{(A i + A j + A k) (C i + C j + C k)}(b i + B j + B k)] [{(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)}(c i + C j + C k)] = (A C)B (A B)C b. Akan dibuktikan bahwa (A B) C = (A C)B (B C)A Dari poin a diperoleh A (B C) = (A C)B (A B)C dan menurut hukum 1 A B = B A, sehingga (A B) C = C (A B) = {(C B)A (C A)B} = (C B)A + (C A)B = (C A)B (C B)A Berdasarkan hukum 1 perkalian titik bahwa A B = B A maka (A B) C = (A C)B (B C)A (terbukti). 25
CONTOH SOAL 1. Hitung (2i 3j) [(i + j k) (3i k)] Penyelesaian : (2i 3j) [(i + j k) (3i k)] = (2i 3j) 1 1 1 3 0 1 = (2i 3j) 1 1 1 1 i 1 j + 1 k 0 1 3 1 3 0 = (2i 3j) [( 1 0)i ( 1 ( 3))j + (0 3)k] = (2i 3j) [( 1 0)i ( 1 + 3)j + (0 3)k] = (2i 3j) ( i 2j 3k) = (2)( 1) + ( 3)( 2) + (0)( 3) = 2 + 6 + 0 = 4 2. Jika A = i 2j 3k, B = 2i + j + k, C = i + 3j 2k, tentukan: a. (A B) C b. A (B C) c. A (B C) d. (A B) C e. (A + B) (B C) f. (A B) (B C) Penyelesaian : a. (A B) C = (i 2j 3k) (2i + j + k) (i + 3j 2k ) = 1 2 3 (i + 3j 2k) 2 1 1 2 3 3 2 = i 1 j + 1 k (i + 3j 2k) 1 1 2 1 2 1 = [( 2 ( 3))i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k] (i + 3j 2k) = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] (i + 3j 2k) = (i 7j + 5k) (i + 3j 2k) 26
atau = 1 7 5 1 3 2 = 7 5 i 1 5 7 j + 1 k 3 2 1 2 1 3 = (14 15)i ( 2 5)j + (3 ( 7))k = (14 15)i ( 2 5)j + (3 + 7)k = i + 7j + 10k (A B) C = B(A C) A(B C) Selanjutnya, = (2i + j + k){(i 2j 3k) (i + 3j 2k )} (i 2j 3k){(2i + j + k) (i + 3j 2k )} = (2i + j + k)[(1)(1) + ( 2)(3) + ( 3)( 2)] (i 2j 3k )[(2)(1) + (1)(3) + (1)( 2)] = (2i + j + k)[1 6 + 6] (i 2j 3k )[2 + 3 2] = (2i + j + k)(1) (i 2j 3k)(3) = (2i + j + k) (3i 6j 9k) = ( i + 7j + 10k) (A B) C = ( 1) + (7) + (10) = 1 + 49 + 100 = 150 = 5 6 b. A (B C) = (i 2j 3k) (2i + j + k) (i + 3j 2k ) = (i 2j 3k) 2 1 1 1 3 2 = (i 2j 3k) 1 1 1 1 i 2 j + 2 k 3 2 1 2 1 3 = (i 2j 3k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 2j 3k) ( 5i + 5j + 5k) = 1 2 3 5 5 5 27
2 3 1 3 1 2 = i j + k 5 5 5 5 5 5 = ( 10 ( 15))i (5 15)j + (5 10)k = ( 10 + 15)i (5 15)j + (5 10)k = 5i + 10j 5k Atau A (B C) = B(A C) C(A B) = (2i + j + k){(i 2j 3k) (i + 3j 2k )} (i + 3j 2k ){(i 2j 3k) (2i + j + k)} = (2i + j + k)[(1)(1) + ( 2)(3) + ( 3)( 2)] (i + 3j 2k )[(1)(2) + ( 2)(1) + ( 3)(1)] = (2i + j + k)[1 6 + 6] (i + 3j 2k )[2 2 3] = (2i + j + k)(1) (i + 3j 2k )( 3) = (2i + j + k) ( 3i 9j + 6k) = 5i + 10j 5k Selanjutnya, A (B C) = (5) + (10) + ( 5) = 25 + 100 + 25 = 150 = 5 6 c. A (B C) = (i 2j 3k) [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (i 2j 3k) 2 1 1 1 3 2 = (i 2j 3k) 1 1 1 1 i 2 j + 2 k 3 2 1 2 1 3 = (i 2j 3k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 2j 3k) ( 5i + 5j + 5k) = (1)( 5) + ( 2)(5) + ( 3)(5) = 5 10 15 = 30 28
d. (A B) C = [(i 2j 3k) (2i + j + k)] (i + 3j 2k) = 1 2 3 (i + 3j 2k) 2 1 1 2 3 3 2 = i 1 j + 1 k (i + 3j 2k) 1 1 2 1 2 1 = 2 ( 3)i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k (i + 3j 2k) = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] (i + 3j 2k) = (i 7j + 5k) (i + 3j 2k) = (1)(1) + ( 7)(3) + (5)( 2) = 1 21 10 = 30 e. (A + B) (B C) = [(i 2j 3k) + (2i + j + k)] [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (3i j 2k) [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (3i j 2k) 2 1 1 1 3 2 = (3i j 2k) 1 1 1 1 i 2 j + 2 k 3 2 1 2 1 3 = (3i j 2k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (3i j 2k) ( 5i + 5j + 5k) = 3 1 2 5 5 5 1 2 3 2 3 1 = i j + k 5 5 5 5 5 5 = 5 ( 10)i (15 10)j + (15 5)k = ( 5 + 10)i (15 10)j + (15 5)k = 5i 5j + 10k f. (A B) (B C) = [(i 2j 3k) (2i + j + k)] [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = 1 2 3 2 1 1 2 1 1 1 3 2 2 3 3 2 1 1 1 = i 1 j + 1 k 1 i 2 j + 2 k 1 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 29
= [( 2 ( 3))i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k] [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 7j + 5k) ( 5i + 5j + 5k) = (1)( 5) + ( 7)(5) + (5)(5) = 5 35 + 25 = 15 30