PROPOSISI MAJEMUK
Perangkai logika / operator digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi majemuk. Untuk menghindari kesalahan tafsir akibat adanya ambiguitas (ambiguity), proposisi majemuk diberi tanda kurung dan disebut fully parenthesized expression (fpe). Proposisi majemuk yang sangat rumit, dapat dipecah-pecah menjai subekspresi-subekspresi, subekspresi dapat dipecah menjadi sub-sub ekspresi, dan seterusnya tergantung tingkat kerumitannya. Teknik ini dinamakan parsing. Hasil parsing dapat diwujudkan dalam pohon parsing (parsing tree)
EKSPRESI LOGIKA Ekspresi logika (logical expression) sebenarnya adalah proposisi-proposisi yang dibangun oleh variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen. Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposisional yang membentuknya bersma perangkai yang relevan. Contoh: A, A B
Misalkan terdapat argumen Jika Wati rajin belajar, maka ia akan lulus ujian dan ia dapat pergi nonton pertandingan sepakbola. dan misal, A: Wati rajin belajar B: Wati lulus ujian C: Wati pergi nonton pertandingan sepakbola Maka ekspresi logikanya A B C Ekspresi logika itu mempunyai dua kemungkinan pengerjaan yang menghasilkan nilai kebenaran berbeda, yaitu: ((A B) C) atau (A (B C))
SKEMA (SCHEMA) Skema merupakan cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang rumit, dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan satu sub ekspresi ataupun sub-sub ekspresi. Misal: ekspresi logika (A B) dapat diganti dengan P, (A B) diganti dengan Q. Jadi, P dan Q berisi variabel proposisional A dan B. P di sini bukan variabel proposisional karena nilai P tergantung dari nilai A dan B. Sehingga, P Q : (A B) (A B)
Semua ekspresi yang berisi identifikatoridentifikator yang menunjukkan adanya suatu ekspresi logika disebut skema (schema).
Perhatikan bahwa: Ekspresi apa saja berbentuk ( P) disebut negasi. Ekspresi apa saja berbentuk (P Q) disebut konjungsi. Ekspresi apa saja berbentuk (P Q) disebut disjungsi. Ekspresi apa saja berbentuk (P Q) disebut implikasi. Ekspresi apa saja berbentuk (P Q) disebut biimplikasi. Dan, Semua ekspresi atomik adalah fpe. Jika P adalah fpe, maka P juga fpe. Jika P dan Q adalah fpe, maka (P Q), (P Q), (P Q), dan (P Q) juga fpe. Tidak ada fpe lainnya. Ekspresi-ekspresi tersebut di atas disebut well-formed formula (wff). Jadi, wff adalah fpe demikian juga sebaliknya.
Pada suatu ekspresi logika ( P), P disebut lingkup negasi (scope of negation) dengan perangkai disebut perangkai utama (main connective). Sedangkan pada ekspresi: (P Q) : (A B) (A B) Perangkai utama: Lingkup kiri : P, (A B) Lingkup kanan : Q, (A B)
ATURAN PENGURUTAN (Precedence Rules) Urutan daya ikat Operator dari yang terkuat 1. (negasi) 2. (konjungsi) 3. (disjungsi) 4. (implikasi) 5. (biimlikasi) Urutan pengerjaan dari kiri jika menjumpai Operator yang setingkat (left associative). Urutan pengerjaan tanda kurung dari yang terdalam.
Contoh A B harus dibaca ( A) B, bukan (A B) A B C harus dibaca (A B) C, bukan A (B C) A B C harus dibaca A (B C), bukan (A B) C A B C harus dibaca A (B C), bukan (A B) C A B C harus dibaca (A B) C, bukan A (B C), kecuali dikehendai seperti itu.
Menganalisis Proposisi Majemuk Ubahlah proposisi majemuk berikut menjadi fpe. Jika Wati lulus sarjana Teknik Informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera menikah, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia. kata tetapi lebih identik dengan dan, sehingga proposisi-proposisi yang membentuknya adalah konjungsi, yakni 1. Jika Wati lulus sarjana Teknik Informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera menikah dan 2. jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.
Kalimat 1. masih merupakan kalimat majemuk, dipecah lagi menjadi 1.1. Jika Wati lulus sarjana Teknik Informatika dan 1.2. Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera menikah. Kalimat 1.2. juga masih merupakan kalimat majemuk, dipecah lagi menjadi 1.2.1. Orang tuanya akan senang dan 1.2.2. dia dapat segera menikah. Kalimat 2. masih merupakan kalimat majemuk, dipecah lagi menjadi 2.1. dia tidak lulus 2.2. semua usahanya akan sia-sia
Kalimat 1.1., 1.2.1., 1.2.2., 2.1., dan 2.2. sudah merupakan proposisi atomik. Kita misalkan A : Wati lulus sarjana Teknik Informatika B : Orang tua Wati senang C : Wati menikah D : Usaha Wati sia-sia Diperoleh fpe sebagai berikut (A (B C)) (( A) D) Dengan mengikuti aturan pengurutan, tanda kurung dapat dikurangi menjadi (A B C) ( A D) atau boleh juga (A (B C)) ( A D)
Catatan Salah satu bentuk ekspresi logika yang paling banyak dibahas adalah literal. Literal adalah proposisi yang dapat berbentuk A atau A, dengan A adalah variabel proposisional. Kedua ekspresi tersebut, yakni A dan A disebut literal yang komplemen atau saling melengkapi (complementary literal). Misal A dan B merupakan variabel proposisional, maka A, A, B, dan B adalah literal, tetapi (A B) bukan literal.