1. PENDAHULUAN, PROBLEM HIDRAULIKA SEDERHANA UNTUK APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA 1.1. Pengantar Problem sederhana yang dapat mengantarkan pembaca kepada pemahaman Metode Elemen Hingga untuk problem hidraulika adalah aliran air tanah. Untuk itu, perlulah kiranya untuk meninjau teori aliran air tanah yang relevan. Teori aliran air tanah yang akan disinggung di sini diarahkan kepada formulasi sederhana aliran air tanah 2 dimensi pada bidang vertikal. Penyederhanaan formulasi persamaan aliran air tanah ini diharapkan dapat mempermudah pembaca memahami permasalahan aliran air tanah dan terutama memudahkan pemahaman aplikasi metoda elemen hingga pada problem aliran air tanah. Dalam Metoda Elemen Hingga formulasi persamaan sering diungkapkan dalam bentuk matriks dan vektor. Hal ini dikarenakan formulasi metoda elemen hingga lebih bersifat umum dalam konteks dimensi ruang, dibandingkan dengan metoda numerik lain. Selain itu, formulasi persamaan nya ditulis dalam bentuk persamaan matriks dan vektor yang ringkas tetapi padat isinya. Oleh karena itu untuk pemahaman yang mendalam pembaca dituntut untuk mencoba menguraikan sendiri formulasi tersebut menjadi persamaan-persamaan yang lebih rinci supaya mendapatkan pengertian tepat yang sangat diperlukan dalam persiapan penyusunan program komputer. Tulisan berikut ini membawa formulasi aliran air tanah dalam bentuk yang sesuai dengan formulasi yang biasa dipakai dalam diskretisasi Metoda Elemen Hingga dan berusaha memberikan sedikit penjabaran formulasi matriks dan vektor ke dalam bentuk yang lebih mudah dipahami. 1
12. Persamaan Dasar Problem Air Tanah 1 Dimensi Air dalam tanah berpori mengalir melalui ruang-ruang udara di antara butirbutir tanah. Untuk memberikan gambaran kuantitas aliran air tanah dipakai istilah debit spesifik ( spesific discharge ), v, yaitu debit yang mengalir melalui satu satuan luas tanah secara tegak lurus arah aliran. Debit spesifik tersebut sering disebut sebagai kecepatan fiktif aliran air tanah atau kecepatan Darcy. Muka air hulu H Tanah kedap air Muka air hilir Kolom danau lulus air l Gambar 1. Aliran melalui kolom tanah lulus air Persamaan Darcy dalam konteks 1 dimensi yang berlaku pada satu ruas kolom tanah dalam Gambar 1.1. adalah, dengan H adalah beda tinggi enerji yang tersedia, l adalah panjang ruas kolom tanah atau panjang lintasan aliran air tanah dan k adalah permeabilitas tanah. Dan persamaan di atas dapat dipahami bahwa permeabilitas tanah adalah kemampuan tanah untuk menyalurkan debit spesifik pada gradien tinggi enerji sama dengan satu. Contoh problem aliran air tanah permanen satu dimensi adalah rembasan yang melalul lapisan-lapisan tanah di atas saluran drainasi bawah tanah seperti tergambar dalam Gambar 1.2. 2
Muka air bebas Muka tanah H t 1 t 2 t 3 K1 K2 K3 Tiga lapis tanah lulus air Udara Muka air bebas Air Drainasi bawah tanah Tanah kedap air Gambar 1.2. Rembesan di atas saluran drainasi bawah tanah Aliran rembesan disebabkan karena beda tinggi enerji yang ada yaitu antara enerji tekanan air di bidang permukaan tanah dan enerji tekanan di bidang dinding atas saluran drainasi, H = H - 0. Tiga lapisan tanah dengan ketebalan t1, t2 dan t3 mempunyal permeabilitas tanah arah vertikal berturutturut, k1, k2 dan k3. Hitungan debit spesifik rembasan dapat dilakukan dengan mengganti dua di antara tiga lapisan tanah tersebut sedemikian hingga mempunyai karakter hidraulis yang sama dengan satu lapisan yang lain. Dengan penggantian ini diperoleh satu lapisan tanah homogen yang secara hidraulis ekuivalen dengan tiga lapisan tanah yang ada. Lapisan tanah yang ekuivalen secara hidraulis didefinisikan sebagai tanah yang mengalirkan debit spesifik sama pada selisih tinggi enerji yang sama. Berdasarkan definisi ini hubungan antara lapisan tanah ekuivalen hidrolis dengan lapisan tanah yang digantikannya adalah dengan indeks e dan o berturut-turut menunjukkan lapisan tanah ekuivalen hidraulis dari lapisan tanah yang digantikannya. Dengan membuat jenis tanah menjadi homogen, karakter tanah dua lapisan tanah yang diganti disamakan dengan karakter tanah lapisan tanah yang lain. Hal ini berarti menyamakan permeabilitas tanah, yaitu ke = kf, dengan indeks f 3
menunjukkan lapisan tanah yang tidak diganti. Substitusi kf ke dalam Persamaan 1.2 memberikan tebal lapisan tanah ekuivalen Dalam contoh di atas, seandainya dua lapisan tanah yang di bawah disamakan dengan lapisan teratas diperoleh tebal ekuivalen tanah homogen dengan permeabilitas k1 Dengan demikian debit spesifik rembasan adalah Metode tersebut di atas dapat pula dipakai untuk kasus rembasan melalui lapisan tanah dan lapisan filter geosintetis. Di sini tebal lapisan filter geosintetis yang diganti dengan menggunakan prinsip di atas. 1.3. Persamaan Aliran Air Tanah Tak-permanen Aliran air tanah yang melalui lapisan tanah lulus air yang relatif tipis dapat dianggap mempunyai distribusi kecepatan vertikal seragam. Pada kasuskasus tertentu seperti rembasan melalui bendung rendah, tanggul saluran, rembasan memotong badan jalan dan lain-lain, aliran air tanah dapat dianggap sebagai problem 1 dimensi. Pada keadaan tertentu bisa diperlukan analisis aliran rembasan tak-permanen. 4
Aliran air tanah tak permanen 1dimensi seperti terlihat pada Gambar 1.3. mengikuti persamaan kekekalan massa dengan n: porositas tanah, h : tebal aliran air tanah, q: debit masuk dan luar ( misal : infiltrasi air hujan). Substitusi Persamaan 1.1 ke dalam Persamaan 1.6 dan mengganti H/I dengan h/x memberikan 5
Berdasar persamaan di atas, ketebalan aliran air tanah pada tempat-tempat dan saat-saat yang diinginkan dapat dicari (dalam bahasa matematika disebut sebagai: mencari solusi persamaan diferensial parsial yaitu Persamaan 1.6 ). Hal tersebut baru dapat dilakukan jika keadaan awal ketebalan air tanah pada suatu saat tertentu ( kondisi awal ) dan ketebalan atau debit aliran di hulu dan hilir daerah yang ditinjau sepanjang waktu di antara saat keadaan awal dan saat yang ditinjau ( kondisi batas ) diketahui. Cara pencarian solusi tersebut dapat berupa metoda pendekatan analitis atau metoda pendekatan numeris. Metoda numeris beda hingga barangkali merupakan cara yang paling mudah dan sederhana untuk menyelesaikan secara numeris kasus 1 dimensi ini. Tetapi aplikasinya terbatas pada problem dengan batas geometri sederhana. Metoda ini tidak akan dibahas. Aplikasi Metoda Elemen Hingga pada kasus 1 dimensi ini akan dibahas pada babbab berikutnya. Pembahasan dimaksudkan untuk menyampaikan metoda elemen hingga melalui tahapan yang berawal dan masalah yang paling sederhana tersebut di atas. Pembaca diharapkan akan dapat lebih cepat memperluas pemahamannya sampai kepada pemahaman Metoda Elemen Hingga multi dimensi setelah memahami metoda tersebut dalam kasus 1dimensi. 1.4. Aliran Air Tanah Multi Dimensi Pembahasan aliran air tanah multi dimensi dibatasi pada masalah aliran permanen ( steady state ). Hal ini dimaksudkan supaya pembaca dapat lebih berkonsentrasi pada teknik aplikasi metoda elemen hingga pada dimensi lebih dan satu. Aliran air tanah dalam dimensi lebih dari satu tidak cukup untuk ditentukan kuantitasnya dengan hanya berpedoman hubungan satu dimensi. Seperti pada aliran permukaan hukum kontinyuitas massa dan fluks momentum dipakai untuk menentukan kuantitas aliran air tanah. Hukum kekekalan massa dalam ruang Cartesian memberikan, V q 0 1.8 dengan T x y z T, V vx vy vz, 6
atau dalam notasi tensor dapat ditulis, dengan indeks i = 1,2,3 berturut-tunut menunjuk arah sumbu x,y dan z, atau yang berarti jumlah gradien debit spesifik harus sama dengan debit yang datang atau meninggalkan titik tersebut ( source or sink ). Hukum kekekalan fluks momentum adalah hukum Darcy dalam bentuk persamaan matriks dan vektor sebagai berikut ini. dengan H adalah potensial aliran air tanah dan atau dalam notasi tensor dapat ditulis, atau 7
Dari hubungan tersebut di atas, dapat dilihat bahwa tensor permeabilitas, K, memberikan pengaruh gradien potensial aliran atau gradien tinggi enerji pada suatu arah kepada debit spesifik pada arah yang lain. Debit spesifik pada arah tertentu merupakan jumlah pengaruh gradien potensial aliran semua arah (dalam sumbu koordinat Cartesian). Potensial aliran air tanah, H, adalah besaran potensial dalam bentuk head atau tinggi enerji yang mempunyal satuan panjang. Besaran potensial ini merupakan kombinasi dan enerji dan tekanan hidrostatis dan enenji potensial yang ditentukan oleh letak titik yang ditinjau. Enerji kinetik aliran diabaikan karena kecepatan aliran air tanah relatif sangat kecil. Di sini, tanah dianggap tidak dapat berubah bentuk ( non-deformable ) sehingga tidak ada tekanan yang diakibatkan oleh berat tanah di atas tempat yang ditinjau. Substitusi Persamaan 1.9 ke dalam Persamaan 1.8 memberikan persamaan aliran permanen multi dimensi untuk n=3 atau 3 dimensi sebagai berikut ini. 8
atau datam notasi tensor dapat ditulis, Pada tahap ini, penulisan persamaan dengan cara konvensional menjadi tidak praktis. Di sinilah dapat dimengerti bahwa mengapa penulisan pensamaan dalam literatur-literatur atau journal memakal notasi matriks vektor atau tensor. Sekali lagi pembaca dituntut untuk mencoba menguraikan sendiri untuk mendapatkan pemahaman yang lebih balk. Persamaan tersebut di atas dapat diselesaikan jika kondisi batas diketahui atau dengan kata lain distribusi potensial aliran pada suatu daerah multi dimensi (dalam bahasa matematis disebut: domain ) dapat dihitung jika sifat hidraulis tanahnya dan potensial atiran atau debit aliran pada batas daerah multi dimensi tersebut dengan daerah luar diketahui ( kondisi batas diketahui). Dengan diketahuinya distribusi potensial aliran debit aliran dapat dihitung. Pada masalah multi dimensi dengan sifat hidraulis tanah yang heterogen dan geometri domain rumit, metoda numeris khususnya Metoda Elemen Hingga memberikan pendekatan kuantitatif yang lebih balk dari metoda lain. Metoda elemen hingga membagi-bagi domain hitungan dalam subdomain (elemen) yang lebih kecil. Dengan demikian sifat hidraulis tanah yang berbeda-beda dapat diberikan pada tiap elemen hitungan. 9