Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1

1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan suatu vektor yang anggotanya tidak saling tergantung antara satu vektor dengan vektor yang lainnya. Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan keadaan sistem yang bebas linear maupun yang tak bebas linear dari vektor-vektor dalam R 3. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini: DEFENISI 1.1 Jika S = u 1, u 2, u 3,, u n adalah suatu himpunan vektor tak kosong, maka persamaan berikut k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 + + k n u n sedikitnya mempunyai penyelesaian berikut k 1 = k 2 = k 3 = = k n = jika hanya itu satu-satunya penyelesaian, maka S dinamakan himpunan vektor yang bebas linear, tetapi jika ada penyelesaian yang lain, maka S dinamakan tak bebas linear. Cara alternatif untuk menentukan suatu sistem bebas linear atau tak bebas linear, yaitu cukup dengan memeriksa/meninjau apakah matriks det (A) = atau tidak. NOTE: Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) =, maka antara satu vektor dan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear. Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A), maka antara satu vektor dan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear. Soal Tentukan apakah S bebas linear?, jika diberikan: a. S = u, v, w di R 3, dengan u = 1, 2, 1, v = 2, 5,, dan w = 3, 3, 8 b. S = p, q, r di R 3, dengan p = 4, 6,, q =,, 2, dan r = 2, 3, 1 FITRIYANTI NAKUL Page 2

Jawab: a. Penyeleasaian dari: S = u, v, w di R 3, dengan u = 1, 2, 1, v = 2, 5,, dan w = 3, 3, 8 Pembuktian Mengacu pada defenisi 1.1 x 1 u + x 2 v + x 3 w = Atau x 1 u + x 2 v + x 3 w = x 1 1, 2, 1 + x 2 2, 5, + x 3 3, 3, 8 = x 1, 2x 1, x 1 + 2x 2, 5x 2, + 3x 3, 3x 3, 8x 3 = x 1 + 2x 2 + 3x 3, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3, x 1 + + 8x 3 = Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = x 1 + + 8x 3 =..(1)..(2)..(3) dengan: 1 2 3 2 5 3 1 8 x 1 x 2 x 3 = S = 1 2 3 2 5 3 1 8 Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa apakah matriks det (S) = atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai determinan dari sistem ini. Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut: det S = s ij 1 i+j M ij det S = s 11 +1 M 11 + s 21 1 2+1 M 21 + s 31 1 3+1 M 31 det S = 1 1 2 5 3 8 + 2 1 3 2 3 8 + 1 1 4 2 3 5 3 det S = 1 5 3 8 + ( 2) 2 3 8 + 1 2 3 5 3 det S = 1 4 + ( 2) 16 + 1(6 15) det S = 1 4 + ( 2) 16 + 1( 9) det S = 4 + ( 32) + ( 9) FITRIYANTI NAKUL Page 3

det S = 4 + ( 41) det S = 1 Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol det S, maka antara satu vektor dengan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear. b. Penyelesaian dari: S = p, q, r di R 3, dengan p = 4, 6,, q =,, 2, dan r = 2, 3, 1 Pembuktian Mengacu pada defenisi 1.1 w 1 p + w 2 q + w 3 r = Atau w 1 p + w 2 q + w 3 r = w 1 4, 6, + w 2,, 2 + w 3 2, 3, 1 = 4w 1, 6w 1, +,, 2w 2 + 2w 3, 3w 3, w 3 = 4w 1 + + 2w 3, 6w 1 + 3w 3, + 2w 2 + w 3 = 4w 1 2w 3, 6w 1 3w 3, 2w 2 + w 3 = Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut: 4w 1 2w 3 = 6w 1 3w 3 = 2w 2 + w 3 =..(1)..(2)..(3) dengan: S = 4 2 6 3 2 1 4 2 6 3 2 1 w 1 w 2 w 3 = Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa apakah matriks det (S) = atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai determinan dari sistem ini. FITRIYANTI NAKUL Page 4

Misalkan elemen yang diambil yang terletak pada kolom 3, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut: det S = s ij 1 i+j M ij det S = s 13 +3 M 13 + s 23 1 2+3 M 23 + s 33 1 3+3 M 33 det S = 2 1 4 6 2 det S = 2 6 2 + 3 4 2 + 1 4 6 det S = 2 12 + 3 8 + 1( ) det S = 2 12 + 3 8 + 1() det S = 24 + 24 + det S = 5 4 + ( 3) 1 2 + 1 1 6 4 6 Karena nilai determinan dari system linear tersebut sama dengan nol det S =, maka antara satu vektor dengan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear. 2. KOMBINASI LINEAR Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan kombinasi linear dari vektor-vektor dalam ruang vektor R 3. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini: DEFINISI 2.1 suatu vektor p disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor, q 1, q 2,,q r, jika bisa dinyatakan dalam bentuk p = k 1 q 1 + k 2 q 2 + + k r q r dengan k 1, k 2,, k r adalah scalar Soal Tinjau vektor p = 1, 3, 2 dan q = 4, 2, 1 di R 3. Tunjukkanlah bahwa r = 1, 2, 6 adalah kombinasi linear dari p dan q dan bahwa t = 12,4, 2 bukanlah kombinasi linear dari p dan q. FITRIYANTI NAKUL Page 5

Jawab: r akan menjadi kombinasi linear dari p dan q jika dapat ditemukan skalar m dan n sedemikian sehingga berlaku r = mp + nq, yaitu r = mp + nq 1, 2, 6 = m 1, 3, 2 + n 4, 2, 1 1, 2, 6 = m, 3m, 2m + 4n, 2n, n 1, 2, 6 = m + 4n, 3m + 2n, 2m n Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh: m + 4n = 1.. (1) 3m + 2n = 2.. (2) 2m n = 6.. (3) Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas, sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut: Eliminasi variable n pada pers. (2) dan (3) 3m + 2n = 2 x 1 3m + 2n = 2 2m n = 6 x 2 4m 2n = 12 7m = 14 m = 14 7 m = 2 Subtitusikan nilai m = 2, ke pers. (1) m + 4n = 1 2 + 4n = 1 2 + 4n = 1 4n = 1 2 4n = 8 + n = 8 4 n = 2 FITRIYANTI NAKUL Page 6

Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear: Pers. 1 m + 4n = 1 ( 2) + 4(2) = 1 2 + 8 = 1 1 = 1 Pers. 2 3m + 2n = 2 3( 2) + 2(2) = 2 6 + 4 = 2 2 = 2 Pers. 3 2m n = 6 2( 2) 2 = 6 2( 2) 2 = 6 4 2 = 6 6 = 6 Berdasarkan hasil uji, maka nilai skalar m dan n memenuhi sistem persamaan linear. Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut menghasilkan m = 2 dan n = 2, sehingga diperoleh: r = mp + nq r = 2p + 2q Jadi, r merupakan kombinasi linear dari p dan q. Demikian juga untuk membuktikan apakah t merupakan kombinasi linear dari p dan q, yaitu t = mp + nq, dengan cara yang sama, diperoleh: t = mp + nq 12, 4, 2 = m 1, 3, 2 + n 4, 2, 1 12, 4, 2 = m, 3m, 2m + 4n, 2n, n 12, 4, 2 = m + 4n, 3m + 2n, 2m n Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh: m + 4n = 12.. (1) 3m + 2n = 4.. (2) 2m n = 2.. (3) FITRIYANTI NAKUL Page 7

Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas, sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut: Eliminasi variabel n pada pers. (2) dan (3) 3m + 2n = 4 x1 3m + 2n = 4 2m n = 2 x 2 4m 2n = 4 + 7m = m = 7 m = Subtitusikan nilai m =, ke pers. (1) m + 4n = 12 + 4n = 12 + 4n = 12 4n = 12 4n = 12 n = 12 4 n = 3 Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear: Pers. 1 m + 4n = 12 () + 4(3) = 12 + 12 = 12 12 = 12 Pers. 2 3m + 2n = 4 3() + 2(3) = 4 + 6 = 4 6 4 Pers. 3 2m n = 2 2 3 = 2 2() 3 = 2 3 = 2 3 2 Berdasarkan hasil uji, maka dapat dinyatakan bahwa system tersebut tidak konsisten artinya tidak mempunyai penyelesaian atau tidak dapat ditemukan m dan n, sehingga dapat disimpukan bahwa: t bukan merupakan kombinasi linear dari p dan q. FITRIYANTI NAKUL Page 8

3. BASIS DAN DIMENSI Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan basis dan dimensi pada ruang vektor R 2 dan R 3. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dan teorema berikut ini: a. Basis DEFINISI 3.1 Jika V ruang vector dan S = v1, v 2, v 3,, vn adalah himpunan vector-vektor di V, maka S dinamakan basis untuk V jika kedua syarat di bawah ini terpenuhi: 1. S bebas linear 2. S membangun V Teorema 3.2 Jika S = v1, v 2, v 3,, vn adalah basis untuk ruang V, maka x V dapat dinyatakan dalam bentuk dalam tepat satu cara. x = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 + + k n vn b. Dimensi DEFINISI 3.3 Suatu ruang vector tak-nol V dinamakan berdimensi berhingga jika V berisi himpunan vektor berhingga yaitu v1, v 2, v 3,, vn yang merupakan basis. Jika tidak himpunan seperti itu, maka V berdimensi tak-hingga. Ruang vektor nol dinamakan berdimensi berhingga. Teorema 3.4 Dimensi suatu ruang vektor berdimensi berhingga V, yang ditulis dengan dim (V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis V. ruang vector nol berdimensi nol. FITRIYANTI NAKUL Page 9

Soal 1. S = y 1, y 2, y 3, dengan y 1 = 1, 2, 1, y 2 = 2, 5,, dan y 3 = 3, 3, 8. Tunjukkanlah bahwa S adalah basis untuk R 3? Jawab: Untuk membuktikan apakah S basis atau bukan, mengacu pada definisi 3.1 maka cukup dibuktikan apakah S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ruang vektor R 3. Pembuktian Ambil b = (b 1, b 2, b 3 ) R 3, kemudian ditunjukkkan apakah b merupakan kombinasi linear dari S, ditulis b = k 1 y 1 + k 2 y 2 + k 3 y 3 (b 1, b 2, b 3 ) = k 1 1, 2, 1 + k 2 2, 5, + k 3 3, 3, 8 (b 1, b 2, b 3 ) = (k 1, 2k 1, k 1 ) + 2k 2, 5k 2, + 3k 3, 3k 3, 8k 3 (b 1, b 2, b 3 ) = (k 1 + 2k 2 + 3k 3, 2k 1 + 5k 2 + 3k 3, k 1 + + 8k 3 ) Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut: k 1 + 2k 2 + 3k 3 = b 1.. (1) 2k 1 + 5k 2 + 3k 3 = b 2.. (2) k 1 + 8k 3 = b 3.. (3) dengan: 1 2 3 2 5 3 1 8 k 1 k 2 k 3 = b 1 b 2 b 3 S = 1 2 3 2 5 3 1 8 Untuk menentukan sistem ini memenuhi syarat yakni S membangun ruang vector R 3 cukup diperiksa nilai determinannya. Jika det (S), maka b merupakan kombinasi linear dari S, sehingga S membangun R 3. Berikut adalah nilai determinan yang diperoleh dari system: Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut: det S = s ij 1 i+j M ij det S = s 11 +1 M 11 + s 21 1 2+1 M 21 + s 31 1 3+1 M 31 det S = 1 1 2 5 3 8 + 2 1 3 2 3 8 + 1 1 4 2 3 5 3 det S = 1 5 3 8 + ( 2) 2 3 8 + 1 2 3 5 3 FITRIYANTI NAKUL Page 1

det S = 1 4 + ( 2) 16 + 1(6 15) det S = 1 4 + ( 2) 16 + 1( 9) det S = 4 + ( 32) + ( 9) det S = 4 + ( 41) det S = 1 Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol det S, maka b dapat ditemukan dan merupakan kombinasi linear dari S, sehingga y 1, y 2 dan y 3 membangun R 3. Dengan demikian S memenuhi sifat membangun ruang vektor. Untuk membuktikan S bebas linear, ambil = (,,) R 3, kemudian akan ditunjukkan apakah merupakan kombinasi linear dari S, ditulis: = l 1 y 1 + l 2 y 2 + l 3 y 3 (,,) = l 1 1, 2, 1 + l 2 2, 5, + l 3 3, 3, 8 (,,) = (l 1, 2l 1, l 1 ) + 2l 2, 5l 2, + 3l 3, 3l 3, 8l 3 (,,) = (l 1 + 2l 2 + 3l 3, 2l 1 + 5l 2 + 3l 3, l 1 + + 8l 3 ) Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut: l 1 + 2l 2 + 3l 3 =.. (1) 2l 1 + 5l 2 + 3l 3 =.. (2) l 1 + 8l 3 =.. (3) 1 2 3 2 5 3 1 8 l 1 l 2 l 3 = Determinan dari system persamaan di atas memiliki nilai determinan tidak sama dengan nol, det S, maka matriks koefisiennya mempunyai invers sehingga system linear ini mempunyai penyelesaian tunggal yaitu l 1 = l 2 = l 3 =, sehingga S bebas linear. Jadi, karena S mempunyai sifat bebas linear dan membangun R 3, maka S basis untuk ruang vector R 3. Dengan demikian dimensi dari R 3 adalah dim S = 3. FITRIYANTI NAKUL Page 11

2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian system linear homogeny di bawah ini: 2x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 + x 5 =.. (1) x 1 + x 2 + x 3 x 4 + x 5 =.. (2) x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 + x 5 =.. (3) Jawab : Ubahlah dalam bentuk matriks Ax = b kemudian lakukan OBE sedemikian hingga matriks A menjadi matriks eselon tereduksi seperti berikut ini: 2 2 1 1 1 1 1 2 1 B 1 B 3 untuk B 3 2B 2 + B 1 untuk B 1 B 1 B 2 untuk B 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 Maka dengan memisalkan x 5 = s, x 4 = t, x 1 = x 3 x 4 + x 5 = x 3 = x 4 x 5 x 3 = t s x 1 + x 2 = + x 2 = x 2 = atau x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = t s t s = t t + s s = t 1 1 + s 1 1 Yang menunjukkan vektor-vektor: v1 = 1 1 dan v 2 = 1 1 Dengan demikian, sistem di atas menunjukkan adanya sifat membangun ruang penyelesaian, oleh karena itu v 1, v 2 adalah basis ruang penyelesaian yang mempunyai dimensi dua dim S = 2. FITRIYANTI NAKUL Page 12