LECTURE 7: THE CUANTOR SET A. The Cantor Middle-Thirds Set Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan konstruksi himpunan Cantor Middle-Thirds atau cukup disebut himpaunan Cantor. Kita akan melihat bagaimana himpunan seperti ini selalu muncul dalam dinamik. Selain itu, himpunan Cantor merupakan jenis fractal paling dasar. Konstruksi Himpunan Cantor. Untuk mengkonstruksi himpunan cantor dimulai dari interval K = [0,1] Selanjutnya, kita membuang the middle third dari interval di atas, yaitu interval terbuka,, sehingga tersisa sepasang interval tertutup: K = 0,, 1 Sekarang proses di atas diulang untuk setiap interval tersisa, sehingga diperoleh interval K = 0,,,, 1 Pada setiap stage, kita membuang the midde third dari setiap interval tersisa dari stage sebelumnya. Limit dari proses di atas akan membentuk himpunan Cantor (the middle third cantor set), yang dinotasikan dengan K, yaitu K = lim K Konstruksi himpunan Cantor hampir sama dengan konstruksi himpunan pada bagian sebelumnya. Dapat ditunjukkan K dan mempunyai banyak kesamaan sifat. Dengan argumen yang sama, dapat ditunjukan bahwa K tertutup (closed) dan totally disconnected. Selain itu, terdapat banyak titik di K; diantaranya yaitu setiap endpoint dari the middle third yang dibuang tetap berada di K. 0 1 1/3 2/3 1/9 2/9 7/9 8/9 Konstruksi Himpunan Cantor
Sifat-sifat Himpunan Cantor (1) K merupakan himpunan bagian tertutup dari [0,1], karena merupakan komplemen dari gabungan himpunan-himpunan terbuka. (2) K totally disconnected, sama dengan, dapat ditunjukkan K tidak memuat suatu interval. (3) x K jika dan hanya jika terdapat ternary expansion sedemikian sehingga x = 0. s s s., dengan s = 0 atau 2, yaitu s 1. (4) K merupakan himpunan uncountable, yaitu tidak ada korespondensi 1-1 antara N dan K. Contoh. Didefinisikan Tent map: T : [0,1] [0,1], dengan 3x jika x 0, T = 3 3x jika x, 1 unde ined jika x, Misal K = [0,1] dan didefinisikan fungsi rekursif K = T (K ). Inverse image dapat ditulis sebagai berikut: f : [0,1] 0, f (x) = x f : [0,1], 1 f (x) = x Dapat dicek bahwa T f (x) = x dan T f (x) = x, sehingga diperoleh K = T (K ) = f (K ) f (K ). Berikut merupakan ilustrasi beberapa iterasi: Limit dari proses tersebut merupakan himpunan Cantor K = lim K
Ternary Expansions. Untuk mempelajari himpunan Cantor lebih lanjut, perlu dikenalkan terlebih dahulu mengenai ternary expansions dari bilangan real. Diberikan deret geometri a = 1 + a + a + a + Deret tersebut konvergen absolut jika a < 1, dan diperoleh a =. Secara umum a Sebagai contoh, =. = = 3 dan = = 2. Sekarang untuk setiap bilangan bulat positif i, s mempunyai nilai 0, 1, atau 2. Maka, deret didominasi oleh barisan geometri konvergen = 2 = 1, karena 0 untuk setiap i. Oleh karena itu, dengan Tes Banding (comparison test), deret konvergen dan 0 1. Definition. Barisan bilangan bulat 0. s s s dengan s mempunyai nilai 0, 1, atau 2 disebut ternary expansion dari x jika x =. Contoh. Barisan 0.020202... merupakan ternary expansion dari 1/4 karena + + + + = 2 =. Cara mencari ternary expansion dari x =. Sehingga 1/4 3 0 9 2 9-2.4 = 1 3 0 berulang = 0. 02 = 0.020202 Catatan bahwa nilai x pada interval [0,1] dapat mempunyai ternary expansion berbeda. Sebagai contoh:
Contoh 1. x = mempunyai ekspansi 0.10000... dan 0.02222...karena = =. Cara mencari ternary expansion dari x =. 1/3 3 2 3 1.3 = 0 0 0 0 0 berulang 1/3 3 0 9 2 9 2.3 = 3 9 2 berulang Jadi, = 0.10 = 0.10000 atau = 0.02 = 0.02222. Contoh 2. x = memiliki ekspansi 0.220000 dan 0.21222, karena + + = + =. Cara mencari ternary expansion dari x =. 8/9 8-24 2 24 2.9 = 6 18 2 18 2.9 = 0 0 0 0 0 Berulang 8/9 8-24 2 24 2.9 = 6 18 1 18 1.9 = 9 27 2 27 2.9 = 9 27 2 berulang Jadi, = 0.220 = 0.220000 atau = 0.212 = 0.212222.x Dari kedua contoh di atas, dapat dicek bahwa barisan dengan bentuk 0. s s 10000, dan 0. s s 02222 mempunyai nilai sama. Demikian juga dengan barisan 0. s s 20000, dan 0. s s 12222 Jika x mempunyai ternary expansion 0. s s, maka digit s menentukan letak x dari interval [0,1], yaitu jika s = 0, maka x 0,, subinterval kiri, jika s = 1, maka x,, subinterval tengah, jika s = 2, maka x, 1, subinterval kanan.
K merupakan himpunan uncountable. Suatu himpunan dikatakan countable jika dapat dibentuk korespondensi satu-satu dari himpunan bilangan bulat positif ke himpunan tersebut. Suatu himpunan termasuk uncountable jika bukan himpunan berhingga maupun countable. Contoh. Himpunan bilangan rasional adalah countable, sedangkan himpunan semua bilangan real, himpunan semua bilangan irasional, dan sebarang interval (a, b) dengan a b adalah uncountable. Proposisi 1. Jika x C, maka x mempunyai ternary expansion yang hanya memuat 0 dan 2. Proposisi 2. Himpunan Cantor merupakan himpunan uncountable. Bukti: Misal terdapat suatu fungsi bijeksi f: N C dengan C suatu himpunan countable. Sehingga kita dapat menyebutkan elemen-elemen dari C = {c, c, }. Berdasarkan Proposisi 1, c mempunyai ternary expansion. Misal c menyatakan bilangan ke-k pada ternary expansion dari c. Didefinisikan bilangan ternary baru x dengan s 2 c, sehingga x = 0. s s s. Maka ternary expansion dari x berbeda dengan ternary expansion dari setiap c C paling sedikit di satu tempat. Selanjutnya, x mempunyai ternary expansion yang hanya memuat 0 dan 2, sehingga, x C. Terjadi kontradiksi terhadap asumsi bahwa f bijeksi.