Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen garis yang terarah atau panah di dalam bidang atau di ruang. Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal atau hurus kecil bergaris di atasnya (oerbars), misal atau atau dinotasikan dengan. Dalam bidang koordinat, kita dapat menyatakan titik = (a, b) dengan ektor kolom = atau dalam bentuk. Dalam hal ini a dan b adalah bilangan real adalah komponen- komponen dari ektor tersebut (elemen/entri dari matriks). Himpunan semua ector dengan dua komponen ini dinamakan R 2 (dibaca: R-dua ). y z (a,b) x (a,b,c) y Gambar 4.1. ektor di R 2 z Gambar 4.2. ektor di R 3 Dua ektor dikatakan sama jika elemen-elemen yang bersesuaian sama, jadi 1 2. 2 1 Secara sama ektor di R 3 dinyatakan dengan = atau = ai + bj + ck. 1
Panjang ektor = adalah. Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu disebut ektor satuan. Operasi pada ektor Operasi ektor meliputi: 1. Penjumlahan 2. Perkalian : - Perkalian ektor dengan skalar - Perkalian ektor dengan ektor lain: perkalian titik dan perkalian silang. Penjumlahan ektor Misalkan u dan adalah ektor-ektor di R 2, maka jumlah kedua ektor tersebut adalah u +, yang komponen-komponennya merupakan jumlah dari komponenkomponen yang bersesuaian dari u dan. Secara geometri ektor u + ini berkorespondensi dengan titik keempat suatu jajaran genjang yang tiga titik lainnya adalah ketiga ektor u,, dan 0. berikut u + u Gambar 4.3. penjumlahan ektor Contoh 4.1.: Misalkan u = 2, = 6, maka u + = 4 2 1 3. 2
u + u 0 Gambar 4.4. Contoh penjumlahan ektor Perkalian ektor dengan skalar ( perkalian skalar) Misalkan ektor dan k scalar ( bilangan real), maka hasil perkalian skalar dari ektor adalah ektor yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari dengan k. Jika k > 0, maka k searah dengan, dan jika k < 0 maka k berlawanan arah dengan. 2-2 Gambar 4.5. Perkalian ektor dengan skalar Contoh 4.2: Misal = 0.5 dan k = 3, maka 1 k = 3 0.5 = 1.5 1 3. 3
Sebagai catatan, kadang-kadang ektor kolom ditulis dalam bentuk (a,b) dan bukan (a b). Ini adalah kesepakatan, untuk menghindari salah tafsir, seperti misalnya 2 21. 1 Secara analitis, kedua operasi ektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal u =,, dan =,, ektor di R 3, dan k bilangan real, maka - u + =,, - u - =,, - k u =,, Terkadang, ektor muncul dengan tidak dimulai di titik asal. Misalnya ektor P P mempunyai titik permulaaan P 1 =,, dan P 2 =,,, maka P P,,. Contoh 4.3: Komponen-komponen dari ektor = P P dengan titik permulaan P 1 = 2, 2,1 dan titik akhir P 2 = 7,5, 5 adalah = 7 2,52,51 5,7, 6, Secara sama untuk ektor di R 2 komponen ketiga. dapat ditentukan dengan menghilangkan Perkalian antara dua ektor Ada dua macam, yaitu: - Hasil kali titik (dot product) - Hasil kali silang (cross product) 4
Dot Product Dot product merupakan operasi antara dua buah ektor pada ruang yang sama yang hasilnya berupa skalar. Sering disebut juga perkalian dalam, didefinisikan sebagai berikut: Misal, u dan dua ektor pada ruang yang sama, maka hasil kali titik antara u dan adalah: u. = u, dimana: u : panjang ektor u : panjang ektor : sudut antara u dan Contoh 4.4: Misal u = (2,2) dan = (2,0) maka tentukan u. Penyelesaian : Pertama kita harus mengetahui besarnya sudut. Perhatikan bahwa u dan membentuk sudut, sehingga u. = u. cos, = 4 2 cos 4. Sering, tidak mudah untuk dapat mengetahui besar sudut antara dua ektor, sehingga sulit menentukan perkalian titik dua ektor. 5
Selanjutnya mengingat aturan cosinus: c a b Gambar 4.6. Aturan cosinus pada segitiga Pada segitiga seperti gambar 4.6 di atas dipunyai 2cos. Sekarang perhatikan ektor berikut u u Gambar 4.7. Aturan cosinus pada ektor u u 2u cos Dengan demikian dipunyai, u cos u u Misal u =,, dan =,, ektor di R 3, maka u,, dan u 6
= 2 2 2 Sehingga diperoleh u cos 2 2 2 2 2 2. Dengan demikian hasil kali titik dapat dituliskan sebagai: u.. Dari formula ini diperoleh, Contoh 4.5: cos. u Tentukan kembali hasil kali titik dari dua ektor pada contoh 4.4, kemudian tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua ektor tersebut! Penyelesaian: u. = 2 (2) + 2 (0) = 4. cos u 4 8 2 1 2 2. Jadi besar sudut yang dibentuk oleh ektor u dan adalah arc cos 1 2 2 4. 7
Contoh 4.6: Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh ektor u = ( 4,0,3) dan = (1,2, 2). Penyelesaian: cos u 41 02 32 5 3 2 15. Jadi besar sudut yang dibentuk oleh ektor u dan adalah arc cos 2 15. Sifat-sifat perkalian titik: Jika u,, dan w ektor-ektor di R 2 atau R 3 dan k skalar, maka: (i) (ii) (iii) u. =.u u.( + w) = u. + u.w k(u.) = (ku). = u. k Sekarang perhatikan gambar berikut: u O Gambar 4.8. Dua ektor saling tegak lurus Pada gambar 4.8, ektor u dan saling tegak lurus, besar sudut antara keduanya adalah. jadi u. = u. cos 0. Dengan demikian, dua buah ektor u dan yang berada pada ruang yang sama, dikatakan saling tegak lurus (orthogonal atau perpendicular) jika u. = 0. Dalam 8
hal ini dapat dikatakan u ortogonal terhadap dan sebaliknya, ortogonal terhadap u, sering ditulis u. Contoh 4.7: Vektor u = ( 2, 3) dan = (3,2) saling ortogonal, karena u. = 2(3) + (-3)(2) = 0. Proyeksi orthogonal Perhatikan bahwa sebarang ektor u selalu dapat dinyatakan sebagai jumlah dua ektor lainnya, seperti pada gambar 4.9, u = w 1 + w 2 w 1 u w 2 Gambar 4.9. ektor u sebagai jumlah dua ektor Pada gambar 4.9, ektor w 1 adalah komponen ektor u yang orthogonal terhadap, sedangkan ektor w 2 adalah proyeksi orthogonal u pada. Pada gambar 4.9, terlihat bahwa w 2 = k. di lain pihak dipunyai, u = w 1 +w 2 sehingga u. = (w 1 +w 2 ). = w 1. + w 2. 9
= w 1. + k. = k. = k. Jadi u. Dengan demikian dipeoleh rumus proyeksi orthogonal ektor u terhadap adalah w 2 Proy u u.. Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap adalah w 1 u w 2 u u.. Contoh 4.8: Tentukan proyeksi orthogonal ektor u = (1, 2, 1) terhadap ektor = ( 1, 3, 4), dan tentukan komponen ektor u yang orthogonal terhadap. Penyelesaian: Proyeksi orthogonal u pada adalah w 2 Proy u u. 1123 14 26 1,3,4 3 26, 9 26, 12 26. Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap adalah w 1 u w 2 23 26, 43 26, 38 26 10
Cross Product Cross Product atau hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua ektor di R 3 yang menghasilkan ektor yang tegak lurus ( orthogonal) terhadap kedua ektor yang dikalikan tersebut. Misalkan u =,, dan =,, ektor di R 3, maka hasil kali silang u dan didefinisikan sebagai: u,,. Contoh 4.9: Tentukan ektor w yang orthogonal terhadap dua ektor u = 1,2, 1 dan = 2,3,1. Penyelesaian: Vektor yang tegak lurus terhadap dua ektor lain adalah hasil kali silang dari kedua ektor tersebut, jadi w = u 1 2 1 2 3 1 2113, 12 11, 13 22 5,1,7. Perhatikan bahwa w u dan w, yaitu: 11
w. u 51 12 71 0 dan w. 52 13 71 0. Beberapa sifat cross product: (i) u. (u x ) = 0 (ii). (u x ) = 0 (iii).. Dari sifat (iii) diperoleh:. cos cos cos sin. Dengan demikian dipunyai, sin. Sekarang perhatikan ektor berikut sin u Gambar 4.10. Jajaran genjang mempunyai luas sin. 12
Luas jajaran genjang pada gambar 4.10. adalah sin. Jadi luas segitiga yang dibentuk oleh kedua ektor u dan adalah setengah luas jajaran genjang, yaitu: Luaas segitiga =. Contoh 4.10: Diketahui titik-titik di R 3, yaitu: A (1,2,3), B ( 0,1,4), dan C (2, 1,1). Tentukan luas segitiga ABC! Penyelesaian: Misalkan u = AB = ( 1, 1, 1) dan = AC = (1, 3, 2). Untuk menghitung luas segitiga ABC terlebih dahulu hitung hasil kali silang antara u dan, yaitu: 12 13,11 12, 13 11 5,1,4) dan 25116 42 Maka luas segitiga ABC = 42. (Pembaca silakan mencoba dengan memisalkan u = BC dan = BA atau u = CA dan = CB ). Soal Latihan 4.1: 1. Misalkan u = 1,2, 1, = 2,3,1, dan w = 3,4, 5, maka carilah komponen-komponen dari (a) u + (c) 2u + 3w (b) 3( w) (d) 2u ( + w) 13
2. Diketahui titk P 1 = 1, 2, 1. (a) Carilah sebuah ektor dengan titik permulaan P 1 yang searah dengan ektor = (6,4,- 1). (b) Carilah sebuah ektor yang berlawanan arah dengan ektor = ( -2, 4, 1), yang mempunyai titik terminal P 1. 3. Carilah semua skalar,, dan sehingga 2,7,8 1, 1,3 3,6,11 0,0,0. 4. Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua ektor u dan berikut: (a) u = (1, 2) dan = (3, 4) (b) u = (1, 2, 2) dan = (8, 2, 2) 5. Tentukan k sehingga ektor u dan berikut orthogonal (a) u = (k, 2) dan = (3, 6) (b) u = (1, k, 2) dan = (8, 2, k) 6. Tentukan proyeksi orthogonal ektor u pada dan carilah komponen ektor u yang orthogonal terhadap, jika: (a) u = (1, 2) dan = ( 3, 2) (b) u = ( 2, 1, 3) dan = (1, 2, 2) 7. Tentukan ektor w yang tegak lurus terhadap ektor u dan, jika: (c) u = (2, 1, 2) dan = (4, 1, 2) (d) u = (2, 0, 4) dan = ( 7, 1, 3) 8. Tentukan luas segitiga yang ketiga titik sudutnya adalah A (2, 0, 3), B (7, 2, 9) dan C ( 1, 4, 5). 14