Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg Numerical Analysis of Double Integral of Trigonometric Function Using Romberg Method ABSTRAK Umumnya penyelesaian integral lipat dua fungsi trigonometri tidak mudah dilakukan secara analitik. Oleh karena itu, kita membutuhkan metode numerik untuk mendapatkan penyelesaiannya. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang menghampiri nilai sejati. Sehingga, solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran. Akan tetapi kita dapat menentukan selisih antara keduanya galat) sekecil mungkin. Penyelesaian secara numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan metode iterasi). Metode numerik yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Romberg. Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson, sehingga didalamnya terdapat hitungan integrasi fungsi dengan dua cara perkiraan Ih 1 ) dan Ih 2 ) yang mengakibatkan order galat pada hasil selesaiannya naik sebesar dua, maka perlu ditinjau secara ringkas tentang bagaimana tingkat keakuratan dari metode tersebut. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa tingkat keakuratan metode Romberg terhadap metode analitik eksak) akan memberikan nilai yang sama, setelah digunakan dalam beberapa simulasi. Kata kunci: Metode Numerik, Integral, Metode Romberg, Tingkat keakuratan, Iterasi. ABSTRACT In General solution of an integral trigonometric functions are not easily done in analytic. Therefore, we need a numerical method to get solution. Numerical methods can only provide a solution that approaches the true value. So, the solution is also called numerical approximations to the solution. However, we can determine the difference between the two error) as small as possible. Numerically solving done by successive approximations method of iteration). Numerical methods used in this research is a Romberg method. Romberg integration method based on extrapolation of the expansion of Richardson, so it is a matter of function integration in two ways estimate Ih 1 ) and Ih 2 ) that results in an error on the order of the results increase by two, then here need to be reviewed in brief on how the level of accuracy of the method. The results of this study showed that the level of accuracy of Romberg method will give the same value with Exact method, once used in some simulations. Keywords: Numerical Methods, Integral, Romberg's Method, Accuracy, Iteration. PENDAHULUAN Penerapan integral terdapat banyak ditemukan dalam bidang sains dan
Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg rekayasa, seperti menghitung persamaan kecepatan dan mengukur fluks panas matahari. Contoh-contoh tersebut umumnya memiliki fungsi yang rumit sehingga sukar diintegralkan secara analitik. Dalam hal demikian, penyelesaian tersebut sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik, dimana penggunaan metodenya menghasilkan solusi hampiran yang memang tidak tepat sama dengan solusi sejati. Akan tetapi kita dapat menentukan selisih antara keduanya galat) sekecil mungkin. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitung atau aritmatika biasa tambah, kurang, kali, bagi) Munir, 2003). Penyelesaian integral dengan metode numerik ada beberapa macam seperti metode trapesium, simpson, gauss kuadratus dan metode-metode lain yang berderajat lebih tinggi didasarkan pada polinomial interpolasi newton) yang dipelajari di buku-buku panduan seperti di buku metode numerik dan analisis numerik. Akan tetapi, teknik penyelesaian integral lipat menggunakan metode numerik jarang ditemukan dan dipaparkan secara terperinci. Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk meneliti tentang penyelesaian integral lipat khususnya integral lipat dua. Fungsi trigonometri merupakan salah satu fungsi yang sulit diselesaikan secara analitik menggunakan integral lipat dua. Dalam hal menentukan nilai eksak integral lipat dua fungsi trigonometri terkadang mengalami kesulitan bahkan menggunakan beberapa metode integrasi, misalnya metode subtitusi, metode parsial ataupun metode lainnya. Hal ini disebabkan karena banyaknya variasi atau bentuk yang dapat terjadi dari suatu fungsi trigonometri tersebut. Adapun metode integrasi yang digunakan penulis untuk menyelesaikan integral lipat dua adalah metode integrasi Romberg. Hal tersebut didasarkan pada perolehan nilai integrasi yang semakin cermat bila dibandingkan dengan metode integrasi lainnya. Integrasi Romberg merupakan metode perbaikan dari metode integrasi numerik. Hal tersebut didasarkan pada kesalahan pemotongan dari metode trapesium yang besarnya hampir sebanding dengan kuadrat lebar pias h 2 )I. Integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson, sehingga didalamnya terdapat hitungan integrasi fungsi dengan dua cara perkiraan Ih 1 ) dan Ih 2 ) yang mengakibatkan order galat pada hasil selesainya naik sebesar dua. Apabila order galat naik maka nilai galat semakin kecil, dan apabila nilai galat semakin kecil, maka nilai integrasi numeriknya akan memberikan nilai yang mendekati atau sama dengan nilai eksak. Berdasarkan hal tersebut, maka harapan penulis dengan menggunakan integrasi Romberg dalam menyelesaikan integral lipat dua pada penulisan skripsi ini adalah integrasi Romberg mampu memperkecil kesalahan hitungan dan memungkinkan memberikan hasil yang mendekati nilai eksak nilai sesungguhnya). METODE Penelitian ini merupakan penelitian murni kajian teori), yang bertujuan untuk menganalisis integral lipat dua fungsi trigonometri menggunakan metode Romberg dengan mengkaji beberapa literatur yang berkaitan dengan analisis numerik, kalkulus, metode numerik, artikel dan lainnya dalam menyelesaikan integral lipat dua yang dilakukan di Jurusan Matematika UNM dan dilaksanakan sampai selesai. Prosedur kerja yang ditempuh dalam penelitian ini adalah mengambil beberapa contoh fungsi trigonometri untuk dilakukan integral lipat dua baik dengan metode eksak maupun secara numerik. Selanjutnya, menganalisis tingkat keakuratan hasil penyelesaian integral lipat
dua metode Romberg terhadap nilai metode eksak pada contoh tersebut. Adapun algoritma penyelesaian integral lipat dua secara eksak adalah sebagai berikut : 1. Tentukan fungsi dan batas-batas integral. 2. Pilih batas integral yang akan diselesaikan terlebih dahulu 3. Tentukan penyelesaian integral pertama secara analitik. 4. Hasil integral pertama ), diintegralkan lagi secara analitik. 5. Hasil integral lipat dua ) dengan metode analitik. Adapun algoritma penyelesaian integral lipat dua dengan metode Romberg adalah sebagai berikut : 1. Tentukan fungsi dan batas-batas integral. 2. Pilih batas integral yang akan diselesaikan terlebih dahulu 3. Bila batas yang dipilih maka hitung: Bila batas yang dipilih y maka hitung 4. Bila batas yang dipilih x, maka hitung ) Bila batas yang dipilih y, maka hitung ) 5. Apabila batas yang dipilih x hitung: ) Apabila batas yang dipilih y hitung: Tabel 1 Proses Iterasi Metode Romberg ) 6. Hitungan selanjutnya dengan integrasi Romberg dengan ektrapolasi Richardson adalah Untuk,dengan nilai awal adalah kuadratur trapesium ) 7. Periksa apakah? jika tidak, lanjutkan ke iterasi berikutnya yaitu iterasi, jika ya, maka perhitungan iterasi dihentikan. 8. Hasil integrasi pertama 6) diintegralkan lagi, yaitu kembali ke langkah 3) sampai 6) 9. Periksa apakah? jika tidak, lanjutkan ke iterasi berikutnya yaitu iterasi, jika ya, maka perhitungan iterasi dihentikan. 10. Hasil integral lipat dua fungsi trigonometri menggunakan metode Romberg ditunjukkan pada Tabel 1. HASIL DAN PEMBAHASAN Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson, sehingga didalamnya terdapat hitungan integrasi fungsi dengan dua cara perkiraan Ih 1 ) dan Ih 2 ) yang mengakibatkan order galat pada hasil selesaiannya naik sebesar dua. Akurasi dari metode ini akan ditunjukkan dengan mengambil contoh soal pada fungsi trigonomteri. Contoh soal tersebut akan diselesaikan dengan Iterasi Metode 1) Trapesium Metode 2) Simpson Metode 3) Boole 4) 5) 6) n)
Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg 1 R1,1) 2 R2,1) R2,2) 3 R3,1) R3,2) R3,3) 4 R4,1) R4,2) R4,3) R4,4) 5 R5,1) R5,2) R5,3) R5,4) R5,5) 6 R6,1) R6,2) R6,3) R6,4) R6,5) R6,6) N Rn,1) Rn,2) Rn,3) Rn,4) Rn,5) Rn,6) Rn,n) metode analitik dan metode Romberg. Adapun contoh soal yang digunakan adalah interal lipat dua fungsi trigonometri { }. Penyelesaian secara analitik soal tersebut diperoleh nilai Integral pertama ) dalam arah x adalah. Selnajutnya akan dihitung integral lipat dua dari arah. Dengan cara yang sama pada langkah pertama, diperoleh nilai Integral kedua ) dalam arah y adalah. Jadi integral, { }. menggunakan metode analitik adalah. Selanjutnya akan dilakukan penyelesaian integral lipat dua pada contoh soal tersebut menggunakan metode Romberg. Pendekatan numerik akan menggunakan nilai toleransi sebagai batas acuan untuk proses iterasi. Nilai toleransi yang digunakan adalah. Artinya, iterasi akan berhenti apabila nilai galat kurang dari, atau. Hasil integral pertama, dalam arah, diperoleh nilai galat maka iterasi dihentikan. Jumlah iterasi pada integral pertama, arah, sebanyak 5 iterasi. Selanjutnya akan dihitung integral kedua, arah. Hasil integral kedua, dalam arah, diperoleh nilai galat. Karena maka iterasi dihentikan. Jadi integral { } menggunakan metode Romberg adalah. Tabel 2 menunjukkan bahwa integral lipat dua fungsi menggunakan metode Romberg adalah. Jumlah iterasi pada integral pertama, arah, sebanyak 5 iterasi. Penyelesaian yang diperoleh menggunakan metode Romberg sama dengan penyelesaian eksak analitik) yang ditunjukkan pada proses iterasi ke lima, yaitu pada metode perbaikan) ke lima. Tabel 3 menunjukkan nilai galat metode Romberg. Galat tiap metode pada iterasi ke lima selalu lebih besar daripada galat metodeperbaikan) berikutnya. Pada metode 1 Trapesium) memberikan nilai galat sebesar, pada metode 2 Simpson) memberikan nilai galat sebesar, pada metode 3 Boole) memberikan nilai galat sebesar, pada metode perbaikan) 4 memberikan nilai galat sebesar, pada metode perbaikan) 5 memberikan nilai galat sebesar. Hal ini menunjukkan bahwa tingkat keakuratan penyelesaian metode Romberg konvergen terhadap penyelesaian eksak.
Tabel 2 Hasil iterasi integral lipat dua fungsi menggunakan metode Romberg dengan nilai eksak -145,693253 dan. Iterasi metode 1 Trapezium) Metode 2 Simpson) Metode 3 Boole) 4 5 1 2 0 3 4 5 Tabel 3 Hasil perhitungan galat error) integral lipat dua fungsi menggunakan metode Romberg terhadap nilai eksak -145,693253 dengan. Iterasi metode 1 Trapezium) Metode 2 Simpson) Metode 3 Boole) 4 5 1 2 3 4 5 KESIMPULAN Berdasarkan contoh simulasi yang telah dilakukan dalam menyelesaikan integral lipat dua menggunakan metode Romberg diperoleh bahwa hasil metode pertama ke metode berikutnya, penyelesaian yang diberikan selalu mendekati ke nilai eksak. Artinya, tingkat keakuratan metode Romberg terhadap metode analitik eksak) akan memberikan nilai yang sama. Sedangkan nilai galat semakin kecil setiap penambahan iterasi. Hal ini menunjukkan nilai galat konvergen. Adapun kelebihan metode Romberg adalah Metode integrasi Romberg dapat digunakan untuk menentukan solusi integral lipat yang sulit atau bahkan tidak bisa diselesaikan secara analitik. Hanya saja, metode Romberg memerlukan proses iterasi yang cukup panjang. Dan tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen, dan dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen, kecuali nilai toleransi error) yang diberikan cukup tepat kecil). SARAN Setelah melaksanakan dan melihat hasil penelitian yang diperoleh maka dapat di kemukakan beberapa saran berikut :
Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg 1. Dalam upaya peningkaan tingkat akurasi diperlukan penerapan beberapa contoh fungsi trigonometri. 2. Karena metode numerik menggunakan beberapa proses iterasi maka sangat dibutuhkan pada penelitian berikutnya program atau aplikasi untuk perhitungan integral lipat dua dengan metode Romberg. Weber, Jean E. 1999. Analisis Matematik Penerapan Bisnis dan Ekonomi Edisi Ke empat. Jakarta: Erlangga. DAFTAR PUSTAKA Chapra, Steven C. & Chanale, Raymond P. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. Jakarta: UI-press. Manalaksak, D.G. 2004. Fungsi Berdasarkan Filsafat Matematika. Desember 30, 2012. http://jurnal.filsafat.ugm.ac.id/inde x.php/pdfinterstitial/54/52 Mathews, J.H. 1987. Numerical Methods Using Matlab Fourth Edition. Amerika: Pearson Prentice Hall. Munir, R. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung. Mursita, D. 2008. Integral Fungsi Trigonometri. Desember, 30, 2012. www.geocities.ws/dmursita/matdas /v-3.pdf Nasution, A. 2001. Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. ITB Bandung: Bandung. Parcel, Varberg, Rigdon. 2010. Kalkulus edisi kesembilan. Jakarta:Erlangga. Sahid. 2004. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Yogyakarta: Penerbit ANDI Yogyakarta. Triatmodjo, B. 2002. Metode Numerik Dilengkapi dengan Program Komputer. Yogyakarta: Beta Offset.