LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PROGRAM LINEAR Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 9
Program Linear Kompetensi Dasar 1. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2. Merancang model matematika dari masalah program linear 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya Kasus Di dalam kehidupan ini, manusia tidak pernah terlepas dari kebutuhan. Adanya bermacam kebutuhan disertai biaya hidup yang semakin meningkat membuat orang berpikir bagaimana dapat menekan biaya yang dikeluarkan, tetapi tetap mendapatkan hasil yang maksimal.hal ini sejalan dengan prinsip ekonomi dengan modal sekecil-kecilnya untuk mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Misalnya biaya pengiriman barang. Dalam program linear ini akan kamu ketahui bagaimana mengoptimumkan (meminimumkan dan memaksimumkan) suatu fungsi tujuan jika diketahui beberapa fungsi kendala dan pembatasnya. Ringkasan Materi A. Pengertian Program Linear Program linear adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan kaidah metematika dengan menyelidiki model matematikanya (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear) yang memiliki banyak kemungkinan penyelesaian. Dari sekian banyak penyelesaian itu, kita pilih penyelesaian paling optimal. Artinya, yang memenuhi syarat sistem pertidaksamaan linear tadi. B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Untuk menyelesaikan persoalan program linear, terlebih dulu kita ingat cara membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear, dengan dua variabel x dan y, atau dengan menggunakan koordinat cartesius. Tanda yang digunakan adalah <, >,, atau. Contoh Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y 6, x + y 5, x 0, y 0 Jawab: Langkah-langkah yang dilakukan sbb. a. 2x + y 6 2x + y = 6 x 0 3 y 6 0 Grafik memotong di titik (0, 6) dan (3, 0) Y 6 5 Hp 2x+y=6 3 5 x x+y=5 Created By Ita Yuliana 10
b. x + y 5 x + y = 5 x 0 5 y 5 0 Grafik memotong di titik (0, 5) dan (5, 0) c. uji dengan titik (0, 0) pada 2x + y 6 2.0 + 0 6 (benar) uji dengan titik (0, 0) pada x + y 5 0 + 0 5 (benar) d. x 0 daerah penyelesaiannya adalah daerah yang terletak di sebelah kanan sumbu y sejajar dengan sumbu y e. y 0 daerah penyelesaiannya adalah daerah yang terletak di atas sumbu x sejajar dengan sumbu x Jadi, daerah yang tidak diarsir adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y 6, x + y 5, x 0, y 0 Aktivitas 1 1. Gambarkan grafik berikut a. 3x + 4y 12 b. 2x 3y 6 2. Arsirlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut a. x 0, y 0, x y > 8 dan 2x + y 4 b. x < 6, y 4, x + 2y 6 dan x y > 4 3. Carilah himpunan penyelesaiannya dengan cara mengarsir yang bukan merupakan himpunan penyelesaiannya a. x + y 3, x + 2y 4, x 0 b. 2x + y 4, 2x + 3y 6, x 0, y 0 C. Model Matematika Langkah-langkah untuk menyusun model matematika antara lain: 1. Ubah soal ke dalam bahasa matematika, sehingga bentuk persoalan itu menjadi bentuk pertidaksamaan linear 2. Tunjukkan HP dari sistem pertidaksamaan linear itu pada diagram kartesius, yang mungkin penyelesaiannya terletak pada titik di dalam atau batasnya Contoh: Seorang kontraktor memborong pemasangan instalasi listrik pada suatu perumahan. Untuk tipe 21 diperlukan 50 m kabel dan 3 buah bola lampu, untuk tipe 36 diperlukan 100 m kabel dan 6 buah lampu. Jika tersedia 4 km kabel dan 120 lampu. Tentukan model matematikanya. Created By Ita Yuliana 11
Jawab: Bahan Tipe 21 Tipe 36 Persediaan Misalkan : tipe 21 = x Kabel 50x 100y 4 km = 4000 m : tipe 36 = y Lampu 3x 6y 120 Dari masalah tersebut terjadi hubungan Kebutuhan kabel 50x + 100y 4000 atau x + 2y 80 Kebutuhan lampu 3x + 6y 120 atau x + 2y 40 Karena x dan y menyatakan banyaknya rumah, maka harus berlaku (x, y) cacah dan (x, y) 0. Jadi, model matematikanya adalah x + 2y 80, x + 2y 40, x 0, y 0, dan (x, y) cacah Aktivitas 2 Tulislah model matematika dari permasalahan berikut 1. Produk A membutuhkan 30 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja. Produk B membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam waktu kerja. Bahan mentah yang tersedia 75 kg dan waktu kerja yang tersedia 72 jam. 2. Luas daerah parkir 360 m 2. Luas rata-rata untuk parkir sebuah mobil 6 m 2 dan untuk bus 29 m 2. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. 3. Untuk membuat suatu roti jenis I diperlukan tepung 200 gram dan mentega 40 gram. Roti jenis II memerlukan tepung 300 gram dan mentega 20 gram. Tepung yang tersedia 15 kg dan mentega 2,4 kg. D. Nilai Optimum Inti dari persoalan program linear adalah menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi yang berbentuk dalam suatu program linear. Fungsi yang ditentukan nilai optimumnya disebut fungsi obyektif atau fungsi tujuan atau fungsi sasaran. Fungsi obyektif ditentukan dengan mengganti variabel (biasanya x dan y) dalam fungsi tersebut dengan koordinat titik-titik pada daerah himpunan penyelesaian Bentuk umum fungsi maksimum Fungsi tujuan : z = px + qy dengan batasan: Bentuk umum fungsi minimum Fungsi tujuan : z = px + qy dengan batasan: a 1 x + b 1 y c 1 a 1 x + b 1 y c 1 a 2 x + b 2 y c 2 a 2 x + b 2 y c 2 a n x + b n y c n a n x + b n y c n x 0, y 0 (non negatif) x 0, y 0 (non negatif) Created By Ita Yuliana 12
contoh: Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar. Pagar jenis I seharga Rp 30.000,00/m 2 dan jenis II seharga Rp 45.000,00/m 2. Tiap m 2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m 2 pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Persediaan yang hanya 640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Tentukan berapa banyak tiap-tiap pagar harus dibuat agar mendapat hasil yang maksimal Jawab: Bahan Pagar jenis I Pagar jenis II Persediaan Misalkan pagar jenis I = x Besi pipa 4 8 640 pagar jenis II = y Besi beton 6 4 480 Model matematikanya 4x + 8y 640 x + 2y 160 6x + 4y 480 3x + 2y 240 x 0, y 0 Fungsi obyektifnya : z = 30.000x + 45.000y Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas diperoleh dengan bantuan tabel berikut x + 2y 160 3x + 2y 240 x 0 160 x 0 80 y 80 0 y 120 0 (0,80) (160,0) (0,120) (80,0) Titik potong kedua garis x + 2y = 160 3x + 2y = 240-2x = -80 x = 40 untuk x = 40 x + 2y = 160 40 + 2y = 160 y = 60 jadi, titik potongnya adalah (40, 60) Y 120 80 (40,60) 80 160 x masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif (x,y) z = 30.000x + 45.000y (0,0) z = 30.000. 0 + 45.000. 0 = 0 (0,80) z = 30.000. 0 + 45.000. 80 = 3.6000.000 (40,60) z = 30.000. 40 + 45.000. 60 = 3.900.000 Nilai optimum (80,0) z = 30.000. 80 + 45.000. 0 = 2.4000.000 Jadi, nilai optimum diperoleh pada titik (40, 60), artinya pendapatan akan maksimum jika dibuat 40 buah pagar jenis I dan 60 buah pagar jenis II Created By Ita Yuliana 13
Aktivitas 3 1. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 2y dari model matematika 3x + 2y 36.000; x + y 20.000; x 0; y 0 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y 6, x + 2y 10, x 2 dan y 0 3. Tentukan nilai minimum fungsi f = 20x + 10y dari model matematika 2x + 3y 12, x + y 5, 4x + y 8, x, y 0 E. Garis Selidik Bentuk lain untuk menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif adalah menggunkan garis selidik, yaitu dengan cara menggeser sedemikian hingga garis selidik diperkirakan berpotongan dengan garis yang lain yang mendekati nilai optimum. Bentuk umum garis selidik adalah ax + by = k, k R. Di mana ax dan by merupakan fungsi tujuan. Garis selidik ini semakin jauh dari titik pusat, harganya semakin besar. Contoh: Tentukan nilai maksimum dan minimum dari 5x + 4y yang memenuhi 2x + 3y 12, 2x + y 8, x 0, y 0 Jawab: Pertama-tama gambarlah garis 5x + 4y = 20, kemudian garislah beberapa garis yang sejajar dengan garis 5x + 4y = 20 yang melalui daerah penyelesaian. Dari gambar di samping didapat bahwa nilai maksimum dari 5x + 4y dicapai titik (3,2). Jadi nilai maksimum dari 5x + 4y = 5.3 + 4.2 = 23 Sedangkan nilai minimumnya adalah 5.0 + 4.0 = 0 Y 8 4 (3,2) 4 6 x 5x+4y Aktivitas 4 1. Tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah penyelesaian x 8, y 6, x + 4y 8 untuk x, y R 2. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Ia akan membuat setelan jas dan rok untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun, sedangkan satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Jika harga 1 setel jas Rp 200.000,00 dan harga 1 rok Rp 100.000,00, berapa setel jas dan rok yang harus ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya? Created By Ita Yuliana 14
3. Seorang pedagang asongan memiliki modal Rp 120.000,00. Ia berencana membeli 2 jenis minuman. Minuman A dibeli dengan harga Rp 3.000,00 per kaleng dan dijual dengan untung Rp 200,00, sedangkan minuman B dibeli dengan harga Rp 2.000,00 per kaleng dan dijual dengan untung Rp 500,00. Tempatnya hanya mampu menampung 50 kaleng minuman, sedangkan ia ingin mendapat keuntungan yang maksimum. Created By Ita Yuliana 15