Sebaran Peluang Poisson Dr. Akhmad Rizali Sebaran peluang Poisson Percobaan Poisson : suatu percobaan yang menghasilkan variabel random x, yang menyatakan jumlah berhasil dalam suatu selang (interval) tertentu atau daerah tertentu. Selang waktu mulai milidetik sampai tahunan. Daerah juga mulai dari satuan panjang, luas ataupun volume. 1
Distribusi Poisson Penemu Simeon Denis Poisson (1781 1840) Aturan: bila diketahui jumlah berhasil dalam interval (waktu atau periode seperti semester dll) P(x) = e λ. λ x / x! e = 2.71828 Contoh percobaan Poisson Jumlah sambungan telepon yang masuk suatu kantor Jumlah langganan yang datang pada suatu super market per 5 menit Jumlah salah ketik per halaman Jumlah tikus sawah per hektar 2
Ciri ciri lain sebaran Poisson Independen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktuataudaerahyang pendek, mendekati nol e x f(x) = dimana x = 0,1,2, x! e = 2,71828 Ciri distribusi poisson Independen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selangwaktuataudaerahyang pendek, mendekati nol 3
Contoh Selama satu jam memancing, umumnya seorang pemancing dapat menangkap 3 ekor ikan. Cari peluang seorang pemancing dapat menangkap 2 ekor ikan selama 1 jam pertama Berhasil: Seekor ikan dapat ditangkap Jumlah berhasil: x = 2 Harapan jumlah yang berhasil: λ = 3 Interval: 1 jam P(x) = e λ. λ x / x! P(2) = 2.71828 2. 3 2 / 2! = 0.2240 Tabel Poisson 4
Contoh lain During the typical statistics final exam, 2 students leave the room in tears. Find the probability that between 1 and 4 students, inclusive, leave your statistics final exam in tears. Success: A student leaves in tears Number of successes: x = 1, 2, 3, or 4 Expected number of successes: λ = 2 Interval: A P(between 1 and 4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 + 0.0902 = 0.8120 Contoh Rata rata jumlah bunga mekar sempurna di pagi hari, pada tanaman kacang bambara (kacang bogor) adalah 7 bunga per hari. Berdasarkan kejadian tersebut, tentukan peluang : a. terdapat 5 bunga mekar per hari b. terdapat kurang atau sama dengan 9 bunga mekar per hari c. lebih dari 12 bunga mekar per hari Jawab a.p(x=5, =7) = (e 7. 7 5 )/5! =. Atau 5
Interpretasi Walaupun hasil penelitian mengatakan bahwa jumlah bunga kacang bogor yang mekar tiap hari adalah 7 kuntum, namun peluang yang mekar tepat 5 kuntum hanya 0,1277. Penggunaan Tabel Poisson Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom paling kanan, kemudian untuk mencari P(5,µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0,3007. Namun demikian sebelum mencarai nilai peluang pada tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu. 6
Contoh tabel poisson µ t) x 6.10 6.20 6.30 6.40 6.50 6.60 6.70 6.80 6.90 7.00 0 0.0022 0.0020 0.0018 0.0017 0.0015 0.0014 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009 1 0.0159 0.0146 0.0134 0.0123 0.0113 0.0103 0.0095 0.0087 0.0080 0.0073 2 0.0577 0.0536 0.0498 0.0463 0.0430 0.0400 0.0371 0.0344 0.0320 0.0296 3 0.1425 0.1342 0.1264 0.1189 0.1118 0.1052 0.0988 0.0928 0.0871 0.0818 4 0.2719 0.2592 0.2469 0.2351 0.2237 0.2127 0.2022 0.1920 0.1823 0.1730 5 0.4298 0.4141 0.3988 0.3837 0.3690 0.3547 0.3406 0.3270 0.3137 0.3007 6 0.5902 0.5742 0.5582 0.5423 0.5265 0.5108 0.4953 0.4799 0.4647 0.4497 7 0.7301 0.7160 0.7017 0.6873 0.6728 0.6581 0.6433 0.6285 0.6136 0.5987 8 0.8367 0.8259 0.8148 0.8033 0.7916 0.7796 0.7673 0.7548 0.7420 0.7291 9 0.9090 0.9016 0.8939 0.8858 0.8774 0.8686 0.8596 0.8502 0.8405 0.8305 10 0.9531 0.9486 0.9437 0.9386 0.9332 0.9274 0.9214 0.9151 0.9084 0.9015 11 0.9776 0.9750 0.9723 0.9693 0.9661 0.9627 0.9591 0.9552 0.9510 0.9467 12 0.9900 0.9887 0.9873 0.9857 0.9840 0.9821 0.9801 0.9779 0.9755 0.9730 13 0.9958 0.9952 0.9945 0.9937 0.9929 0.9920 0.9909 0.9898 0.9885 0.9872 14 0.9984 0.9981 0.9978 0.9974 0.9970 0.9966 0.9961 0.9956 0.9950 0.9943 15 0.9994 0.9993 0.9992 0.9990 0.9988 0.9986 0.9984 0.9982 0.9979 0.9976 16 0.9998 0.9997 0.9997 0.9996 0.9996 0.9995 0.9994 0.9993 0.9992 0.9990 17 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9998 0.9997 0.9997 0.9996 18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Menggunakan tabel poisson Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang Poisson yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat. Dari Tabel tersebut, dipeoleh : 5 4 a.. (P(x,7) P(x,7) = 0,3007 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel) x=0 x=0 9 b) (P(x,7) = 0,8305 x=0 12 = 1 (P(x,7) = 1 0,9730 = 0,00270 x=0 7
Dengan Excel During a typical hour fishing at Lake Lotsafish, a fisher can expect to catch 3 fish. Find the probability that a fisher catches exactly 2 fish in his first hour fishing. Success: A fish is caught. Number of successes: x = 2 Expected number of successes: λ = 3 Interval: One hour =POISSON(2,3,FALSE) P(2) = 0.2240 A small town has 1.6 cars stolen on an average day. Find the probability that there are 2 or fewer cars stolen on a given day. Success: A car is stolen. Number of successes: x = 2 or fewer Expected number of successes: λ = 1.6 Interval: One day =POISSON(2,1.6,TRUE) P(<2) = 0.7834 8
Latihan dan diskusi 1. Rata rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap lebih dari 15 tikus. 2. Di Kabupaten Malang secara rata rata dilanda 6 angin ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda : kurang dari 4 kali angin ribut 6 sampai 8 kali angin ribut Tepat 5 angin ribut Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan reratanya? Latihan dan diskusi 3. Seorang grower tanaman hias mampu menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia akan membuat : 4 atau lebih spesies silangan baru Tidak dapat menghasilkan spesies kurang 2 spesis lebih dari 4 spesies 9
Terimakasih 10