BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51

52 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz sejak akhir abad ke-17, namun definisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan Leonhard Euler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada 1822 dan Lejeune Dirichlet pada 1837. Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap x A dengan sebuah elemen tunggal y B, ditulis f : A B x y. Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x (di bawah f) dan kita tulis y = f(x). Bila f(x) mempunyai rumus yang eksplisit, fungsi f sering dinyatakan sebagai persamaan y = f(x). Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari A R ke B R, yakni fungsi bernilai real dengan peubah real. Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi f : A B sebagai grafik persamaan y = f(x) pada sistem koordinat Cartesius (lihat Gambar 6.1). Definisi di atas menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada satu buah titik (tidak mungkin lebih). Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan H A, maka kita katakan bahwa f terdefinisi pada H. Himpunan terbesar pada mana f terdefinisi adalah A. Himpunan A dalam hal ini disebut sebagai daerah asal f. Sebagai contoh, sebuah barisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli N.

54 Hendra Gunawan Gambar 6.1 Grafik sebuah fungsi Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dari H di bawah f sebagai f(h) := {f(x) : x H}. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.2 di bawah ini. Dalam hal H = A, himpunan f(a) disebut sebagai daerah nilai f. Catat bahwa f(a) tidak harus sama dengan B. Gambar 6.2 Peta dari H di bawah f Contoh 1. Persamaan y = x 2 mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Untuk tiap x R terdapat tepat sebuah y R yang memenuhi aturan y = x 2. Amati bahwa, dalam Gambar 6.3 pada halaman berikut, setiap garis vertikal memotong

Pengantar Analisis Real 55 grafik y = x 2 tepat pada sebuah titik. Daerah asal fungsi ini adalah R dan daerah nilainya adalah [0, ). Peta dari ( 0.5, 1], misalnya, adalah [0, 1]. Gambar 6.3 Grafik persamaan y = x 2 Contoh 2. Persamaan y 2 = x tidak mendefinisikan fungsi dari [0, ) ke R. Untuk tiap x > 0 terdapat dua buah y R, yakni y = ± x, yang memenuhi aturan y 2 = x. Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu-x pada x 0 > 0 akan memotong grafik y 2 = x pada dua buah titik. Gambar 6.4 Grafik persamaan y 2 = x Contoh 3. Persamaan y 2 = x, y 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [0, ) ke [0, ). Untuk tiap x > 0 terdapat tepat sebuah y [0, ), yakni y = x, yang

56 Hendra Gunawan memenuhi aturan y 2 = x. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu-x pada x 0 0 akan memotong grafik y 2 = x, y 0, tepat pada sebuah titik. Gambar 6.5 Grafik persamaan y 2 = x, y 0 Soal Latihan 1. Gambar grafik himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga { 5 jika x 1 y = 2 jika x < 1 Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari R ke R. Tentukan daerah nilainya. Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsi tersebut. 2. Apakah persamaan x 2 + y 2 = 1 mendefinisikan sebuah fungsi dari [ 1, 1] ke [ 1, 1]? Jelaskan. 3. Apakah persamaan x 2 +y 2 = 1, y 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [ 1, 1] ke [0, 1]? Jelaskan. 4. Diketahui f terdefinisi pada H dan A, B H. Selidiki apakah f(a B) = f(a) f(b) dan f(a B) = f(a) f(b).

Pengantar Analisis Real 57 6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional Jika a 0, a 1,..., a n R, maka persamaan y = a 0 +a 1 x+ +a n x n mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Sembarang nilai x yang disubstitusikan ke ruas kanan akan memberi kita sebuah nilai y yang berkaitan dengannya. Untuk n N, fungsi ini dikenal sebagai polinom berderajat n asalkan a n 0. Untuk n = 0, fungsi konstan y = a 0 merupakan polinom berderajat 0. Misalkan P dan Q adalah fungsi polinom, dan S adalah himpunan semua bilangan x R dengan Q(x) 0. Maka, persamaan y = P (x) Q(x) mendefinisikan sebuah fungsi dari S ke R. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi rasional. Contoh 4. Fungsi yang diberikan oleh persamaan y = x 3 3x 2 + 2x merupakan polinom berderajat 3 (atau polinom kubik ). Grafik fungsi ini dapat dilihat dalam Gambar 6.6. Perhatikan bahwa grafik memotong sumbu-x pada tiga buah titik (yang merupakan akar persamaan kubik x 3 3x 2 + 2x = 0). Gambar 6.6 Grafik fungsi y = x 3 3x 2 + 2x Contoh 5. Fungsi yang diberikan oleh persamaan y = x2 + 4 x 2 4

58 Hendra Gunawan merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah {x : x ±2}. Grafiknya dapat dilihat dalam Gambar 6.7. Gambar 6.7 Grafik fungsi y = x2 +4 x 2 4 Soal Latihan 1. Tentukan daerah nilai fungsi polinom y = 4x 4x 2 dan sketsalah grafiknya. 2. Tentukan daerah asal fungsi rasional y = 1 x 1+x dan sketsalah grafiknya. 6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers Jika H R, f, g : H R, dan λ R, maka kita definisikan f + g dan λf sebagai fungsi yang memenuhi aturan (f + g)(x) := f(x) + g(x), x H; (λf)(x) := λf(x), x H. Selain itu kita definisikan pula fg dan f/g sebagai (fg)(x) := f(x)g(x), x H; (f/g)(x) := f(x)/g(x), x H, g(x) 0. Sebagai contoh, jika f dan g adalah polinom, maka f/g merupakan fungsi rasional.

Pengantar Analisis Real 59 Misalkan A, B R, g : A B, dan f : B R. Maka kita definisikan fungsi komposisi f g : A R sebagai Perhatikan bahwa untuk tiap x A (f g)(x) := f(g(x)), x A. x g(x) f(g(x)). Di sini fungsi g beroperasi terlebih dahulu terhadap x, dan setelah itu fungsi f beroperasi terhadap g(x). Contoh 6. Misalkan f : R R didefinisikan sebagai dan g : R R didefinisikan sebagai f(x) = x2 1 x 2 + 1, x R, g(x) = x 2. Maka f g : R R adalah fungsi dengan aturan (f g)(x) = f(g(x)) = {g(x)}2 1 {g(x)} 2 + 1 = x4 1 x 4 + 1. Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalah fungsi dari A ke B. Ini berarti bahwa bahwa setiap anggota a A mempunyai sebuah peta tunggal b = f(a) B. Kita sebut f 1 fungsi invers dari f apabila f 1 merupakan fungsi dari B ke A dengan sifat x = f 1 (y) jika dan hanya jika y = f(x). Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers. Dari definisi di atas jelas bahwa f : A B mempunyai fungsi invers f 1 : B A jika dan hanya jika setiap b B merupakan peta dari sebuah anggota tunggal a A. Fungsi dengan sifat ini disebut sebagai suatu korespondensi 1 1 antara A dan B. Secara geometris, f : A B merupakan korespondensi 1 1 antara A dan B jika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotong A juga memotong grafik f tepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontal yang memotong B juga akan memotong grafik f tepat pada sebuah titik. Kondisi pertama memastikan bahwa

60 Hendra Gunawan f merupakan fungsi, sementara kondisi kedua memastikan bahwa f 1 merupakan fungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini. Contoh 7. Fungsi f(x) = x merupakan korespondensi 1 1 antara [0, ) dan [0, ). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu f 1 (x) = x 2, x 0. Gambar 6.8 Korespondensi 1 1 Soal Latihan 1. Misalkan f : [0, 1] [0, 1] didefinisikan sebagai f(x) = 1 x 1 + x, 0 x 1, dan g : [0, 1] [0, 1] didefinisikan sebagai g(x) = 4x 4x 2, 0 x 1. Tentukan aturan untuk f g dan g f. Apakah mereka sama? 2. Untuk fungsi f dan g pada Soal 1, tunjukkan bahwa f 1 ada sedangkan g 1 tidak ada. Tentukan aturan untuk f 1. 3. Diketahui g : A B merupakan suatu korespondensi 1 1 antara A dan B. Buktikan bahwa (g 1 g)(x) = x untuk tiap x A dan (g g 1 )(y) = y untuk tiap y B.

Pengantar Analisis Real 61 6.4 Fungsi Terbatas Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa f terbatas di atas pada H oleh suatu batas atas M apabila untuk tiap x H berlaku f(x) M. Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan f(h) = {f(x) : x H} terbatas di atas oleh M. Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut Sifat Kelengkapan f(h) mempunyai supremum. Misalkan B := sup f(x) = sup f(h). x H Secara umum, belum tentu terdapat c H sehingga f(c) = B. Jika terdapat c H sehingga f(c) = B, maka B disebut sebagai nilai maksimum f pada H dan nilai maksimum ini tercapai di c. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini. Gambar 6.9 Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya Definisi fungsi terbatas di bawah dan nilai minimum dapat dirumuskan secara serupa. Jika f terbatas di atas dan juga di bawah pada himpunan H, maka f dikatakan terbatas pada H. Menurut Proposisi 2 pada Bab 1, f terbatas pada H jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk tiap x H berlaku f(x) K.

62 Hendra Gunawan Contoh 8. Misalkan f : (0, ) R didefinisikan sebagai f(x) = 1 x, x > 0. Fungsi ini terbatas di bawah pada (0, ) dan inf f(x) = 0, namun f tidak mempunyai x>0 nilai minimum. Perhatikan pula bahwa f tidak terbatas di atas pada (0, ). Contoh 9. Misalkan f : [0, 1] [0, 1] didefinisikan oleh f(x) = 1 x. Fungsi ini terbatas pada [0, 1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan juga mencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1. Soal Latihan 1. Selidiki apakah f : [0, 1] [0, 1] yang didefinisikan sebagai f(x) = 1 x 1 + x, 0 x 1, terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 2. Selidiki apakah g : [0, 1] [0, 1] yang didefinisikan sebagai g(x) = 4x 4x 2, 0 x 1. terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 3. Tunjukkan bahwa f(x) = 1 1+x 2 terbatas pada R. Apakah f mencapai nilai maksimum dan minimumnya? 4. Misalkan f dan g terbatas di atas pada H dan a R. Buktikan bahwa sup{a + f(x)} = a + sup f(x). x H x H sup x H {f(x) + g(x)} sup x H f(x) + sup x H g(x). Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku.

Pengantar Analisis Real 63 7. LIMIT DAN KEKONTINUAN 7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi f yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di sebuah titik c (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f(x) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c? Berikut ini adalah definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik. Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L R. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis atau f(x) L bila x c lim f(x) = L, x c apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c δ < x < c, maka f(x) L < ɛ. Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M R. Kita katakan bahwa f menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis atau f(x) M bila x c + lim f(x) = M, x c + apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c < x < c + δ, maka f(x) M < ɛ.

64 Hendra Gunawan Gambar 7.1 Limit Kiri f di c Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai f(x) L (atau f(x) M ) menyatakan jarak antara f(x) dan L (atau jarak antara f(x) dan M), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai L atau M dengan f(x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f(x) dengan L atau M). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambil x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan. Contoh 1. Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai { 1 x, x 1; f(x) = 2x, x > 1. Maka, lim f(x) = 0 dan x 1 lim f(x) = 2. x 1 + Perhatikan bahwa nilai f(1) terdefinisi, yakni f(1) = 0. Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c (a, b), dan L R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan f(x) L bila x c atau lim f(x) = L, x c

Pengantar Analisis Real 65 apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x c < δ, maka f(x) L < ɛ. Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c. Gambar 7.2 Limit f di c Perhatikan bahwa kondisi 0 < x c < δ setara dengan δ < x c < δ, x c. Jadi, 0 < x c < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut: c δ < x < c atau c < x < c + δ. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut. Proposisi 2. lim x c f(x) = L jika dan hanya jika lim x c x c f(x) = L dan lim f(x) = L. + Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama. Contoh 3. Misalkan f(x) = x2 1 x 1. Fungsi ini terdefinisi pada (, 1) dan juga pada (1, ). Bila kita tinjau nilai f(x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa f(x) 2 bila x 1. Bila kita amati nilai f(x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa f(x) 2 bila x 1 +.

66 Hendra Gunawan Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim f(x) = 2. x c (Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1.) Proposisi 4. (i) lim x c k = k dan (ii) lim x c x = c. Bukti. (i) Diberikan ɛ > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < x c < δ, maka k k = 0 < ɛ. Ini membuktikan bahwa lim x c k = k. (ii) Diberikan ɛ > 0, pilih δ = ɛ. Jika 0 < x c < δ, maka x c < δ = ɛ. Ini membuktikan bahwa lim x c x = c. Soal Latihan 1. Misalkan n N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim x 0 + x 1/n = 0. 2. Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai 2x, x < 1; f(x) = 1, x = 1 3 x, x > 1. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim f(x) = 2 dan lim x 1 Simpulkan bahwa lim x 1 f(x) = 2. f(x) = 2. x 1 + 3. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim x c (px + q) = pc + q. 4. Buktikan lim x c f(x) = 0 jika dan hanya jika lim x c f(x) = 0. 5. Buktikan jika f(x) g(x) h(x) untuk x di sekitar c dan lim f(x) = lim h(x) = x c x c L, maka lim g(x) = L. x c 6. Buktikan jika lim x c f(x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f(x) > 0 untuk c δ < x < c + δ, x c.

Pengantar Analisis Real 67 7.2 Kekontinuan di Suatu Titik Dalam definisi lim x c f(x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f(x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, dapat terjadi f(c) L. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika lim f(x) = f(c). x c Berdasarkan Proposisi 2, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika x c < δ, maka f(x) f(c) < ɛ. Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak terputus di c. Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai definisi kekontinuan sepihak. Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim f(x) = f(c), maka kita katakan bahwa f kontinu x c kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan lim f(x) = f(c), maka kita katakan bahwa x c + f kontinu kanan di c. Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik Contoh 5. (i) Untuk setiap n N, fungsi f(x) = x 1/n kontinu kanan di 0. (ii) Fungsi f(x) = px + q kontinu di setiap titik.

68 Hendra Gunawan Teorema 6. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c (a, b). Maka, lim f(x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan x n di (a, b) dengan x n x c c (n N) dan lim x n = c, berlaku lim f(x n) = L. n n Catatan. Jika f kontinu di c, maka L = f(c) dan Teorema 6 menyatakan bahwa lim f(x n) = f ( lim x ) n ; n n yakni, limit dapat bertukar dengan f. Hasil serupa berlaku untuk limit kiri dan limit kanan. Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f(x) = px + q di sebarang titik c R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan x n adalah sebarang barisan yang konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3, f(x n ) = px n + q pc + q = f(c), untuk n. Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c. Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 6. 2. Buktikan bahwa f(x) = x kontinu di setiap c > 0. 3. Buktikan bahwa f(x) = x kontinu di setiap titik. 4. Misalkan f(x) = x untuk x rasional dan f(x) = x untuk x irrasional. Buktikan bahwa f kontinu hanya di c = 0. 5. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c (a, b). Buktikan jika f(c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f(x) > 0 untuk x (c δ, c + δ). 6. Konstruksi sebuah fungsi f : R R yang kontinu hanya di sebuah titik. 7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan Proposisi 7. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di c (a, b). Misalkan lim x c f(x) = L dan lim x c g(x) = M, dan λ, µ R. Maka

Pengantar Analisis Real 69 (i) lim[λf(x) + µg(x)] = λl + µm; x c (ii) lim f(x)g(x) = LM; x c f(x) (iii) lim x c g(x) = L M, asalkan M 0. Akibat 8. Jika f dan g kontinu di c, maka λf +µg, fg, dan f g g(c) 0). kontinu di c (asalkan Akibat 9. Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya. Bukti. Menurut Proposisi 4, f(x) = k dan g(x) = x kontinu di sebarang titik c R. Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = x i kontinu di sebarang titik c R, untuk tiap i N. Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 kontinu di setiap titik c R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional di setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii). Teorema 10. Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f g kontinu pada c. Bukti. Ambil ɛ > 0 sebarang. Karena f kontinu di b := g(c), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(y) f(b) < ɛ untuk y b < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di c, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga g(x) g(c) < δ untuk x c < γ. Akibatnya, jika x c < γ, maka g(x) b = g(x) g(c) < δ, sehingga f g(x) f g(c) = f(g(x)) f(b) < ɛ. Ini berarti bahwa f g kontinu di c. Soal Latihan 1. Buktikan Proposisi 7.

70 Hendra Gunawan 2. Berikan contoh fungsi f dan g dengan lim f(x) tidak ada, lim g(x) ada, dan x 0 x 0 f(x)g(x) ada. Apakah ini bertentangan dengan Proposisi 7(ii) atau 7(iii)? lim x 0 3. Benar atau salah: Jika lim g(x) = L dan lim f(y) = M, maka lim f(g(x)) = x c y L x c M? 4. Buktikan jika lim x c g(x) = L dan f kontinu di L, maka lim x c f(g(x)) = f(l). 5. Kita katakan bahwa lim f(x) = + apabila, untuk setiap M > 0 terdapat x c + δ > 0 sehingga f(x) > M untuk c < x < c+δ. Buktikan bahwa lim x 1 = +. x 0 +

Pengantar Analisis Real 71 8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL 8.1 Kekontinuan pada Interval Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Secara intuitif, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas. Secara formal, sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. (Lihat Gambar 8.1 dan 8.2.) Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka Contoh 1. Misalkan f : R R didefinisikan sebagai { x, x 1; f(x) = 3 2, x > 1

72 Hendra Gunawan Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2]. Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x I dan setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(y) < ɛ untuk y I dengan x y < δ. Contoh 3. (i) Fungsi f(x) = px + q kontinu pada sebarang interval I. (ii) Fungsi g(x) = x kontinu pada sebarang interval I. (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I [0, ). Soal Latihan 1. Misalkan f : [0, 5] R didefinisikan sebagai f(x) = { 2x, 0 x < 1; 1, 1 x 5. Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya.

Pengantar Analisis Real 73 2. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. 3. Misalkan K > 0 dan f : I R adalah fungsi yang memenuhi f(x) f(y) K x y untuk setiap x, y I. Buktikan bahwa f kontinu pada I. 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini. Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ R. Maka λf + µg dan fg kontinu pada I. Juga, jika g 0, maka f g kontinu pada I. Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval. (ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f(x) = 1 x kontinu pada (0, ). (iii) Fungsi f(x) = x+ x kontinu pada sebarang interval I [0, ), karena f 1 (x) = x dan f 2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I [0, ). Proposisi 6. Misalkan g : I J kontinu pada interval I dan f : J R kontinu pada interval J. Maka f g kontinu pada I. Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = 1+x kontinu pada sebarang interval, karena f(x) = x dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval. (ii) Fungsi h(x) = 1 x 1+ x Soal Latihan kontinu pada sebarang interval I [0, ). 1. Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. f(x) = 1 1+ x. g(x) = 1 + x 2.

74 Hendra Gunawan 2. Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r I berlaku f(r) = r 2. Buktikan bahwa f(x) = x 2 untuk setiap x I. 3. Misalkan f : [0, 1] [0, 1] adalah fungsi kontraktif, yakni memenuhi ketaksamaan f(x) f(y) C x y, x, y [0, 1], untuk suatu konstanta C dengan 0 < C < 1. Konstruksi barisan x n dengan x 1 I dan x n+1 = f(x n ), n N. Buktikan bahwa x n konvergen ke suatu L [0, 1], dan L = f(l). 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b]. Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut. Teorema 9. Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaitu f(i), juga merupakan suatu interval. Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f(a) dan f(b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = u. Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kita cukup membuktikan salah satu di antara mereka. Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f(a) < u < f(b). Tinjau himpunan H := {x [a, b] : f(x) < u}. Jelas bahwa H karena a H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah c = sup H. Di sini a < c < b. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f(c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f(c) < u ataupun f(c) > u.

Pengantar Analisis Real 75 Andaikan f(c) < u. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f ( c + 2) δ < u (?). Jadi c + δ 2 H. Ini bertentangan dengan fakta bahwa c = sup H. Sekarang andaikan f(c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > u untuk c δ < x c (?). Jadi tidak ada satu pun anggota H pada interval (c δ, c]. Ini juga bertentangan dengan fakta bahwa c = sup H. Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b]. Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan x n di [a, b] sedemikian sehingga f(x n ) + untuk n. (1) Karena x n terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu sub-barisan x nk yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f(x nk ) f(c) untuk k. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah f terbatas pada [a, b]. Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b]. Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := sup f([a, b]). Konstruksi barisan x n di [a, b] dengan f(x n ) v untuk n. Karena x n terbatas, terdapat sub-barisan x nk yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f(x nk ) f(c) untuk k. Jadi mestilah v = f(c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya. Contoh 13. Persamaan 10x 7 13x 5 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ( 1, 0). Untuk menunjukkannya, misalkan f(x) = 10x 7 13x 5 1. Maka, f( 1) = 2 dan f(0) = 1. Karena f kontinu pada [ 1, 0] dan 0 terletak di antara f( 1) dan f(0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ( 1, 0) sedemikian sehingga f(c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas. Contoh 14. Misalkan f : [a, b] [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c [a, b] sedemikian sehingga f(c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f.] Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f(a) a dan f(b) b. Sekarang tinjau g(x) = f(x) x, x [a, b]. Karena f

76 Hendra Gunawan kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f(a) a 0 dan g(b) = f(b) b 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c [a, b] sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f(c) = c. Soal Latihan 1. Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara, khususnya bagian yang diberi tanda tanya (?). 2. Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real. 3. Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuk setiap x I terdapat y I sedemikian sehingga f(y) 1 2 f(x). Buktikan bahwa terdapat suatu c I sedemikian sehingga f(c) = 0. 8.4 Kekontinuan Seragam Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuah interval I jika dan hanya jika untuk setiap x I dan setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(y) < ɛ untuk y I dengan x y < δ. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum nilai δ bergantung pada ɛ dan x. Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwa f(x) = 1 x kontinu pada (0, 1]. Diberikan x (0, 1] dan ɛ > 0 sebarang, kita dapat memilih δ = min { x 2, } ɛx2 2 sedemikian sehingga untuk y (0, 1] dengan x y < δ berlaku 1 x 1 = x y = 1 y xy x 1 y x y < 1 x 2 x ɛx2 2 = ɛ. Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0.

Pengantar Analisis Real 77 Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada ɛ, tidak pada x. Hal ini terjadi pada, misalnya, f(x) = px + q, x R, dengan p 0. Diberikan ɛ > 0, kita dapat memilih δ = ɛ p sedemikian sehingga untuk x, y R dengan x y < δ. f(x) f(y) = p x y < ɛ merupakan kekontinuan seragam pada R. Kekontinuan f(x) = px + q dalam hal ini Fungsi f : I R dikatakan kontinu seragam pada I apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(y) < ɛ untuk x, y I dengan x y < δ. Perhatikan bahwa dalam definisi di atas x dan y muncul setelah δ, yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y). Teorema 17. Fungsi f : I R tidak kontinu seragam pada I jika dan hanya jika terdapat ɛ 0 > 0 dan dua barisan x n dan y n di I sedemikian sehingga x n y n < 1 n dan f(x n ) f(y n ) ɛ 0 untuk setiap n N. Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak merupakan kekontinuan seragam. Teorema 18. Jika f kontinu pada [a, b], maka f kontinu seragam pada [a, b]. Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurut Teorema 17, terdapat ɛ 0 > 0 dan dua barisan x n dan y n di [a, b] sedemikian sehingga x n y n < 1 n dan f(x n) f(y n ) ɛ 0 untuk setiap n N. Karena x n terbatas di [a, b], maka menurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan x nk yang konvergen, sebutlah ke c [a, b]. Karena x n y n < 1 n untuk setiap n N, maka sub-barisan y nk akan konvergen ke c juga. Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka f(x nk ) dan f(y nk ) konvergen ke f(c). Akibatnya, f(x nk ) f(y nk ) 0 untuk k. Ini mustahil karena f(x n ) f(y n ) ɛ 0 untuk setiap n N.

78 Hendra Gunawan Soal Latihan 1. Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f(x) = 1 x tampaknya tidak kontinu seragam pada (0, 1]. Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada (0, 1]. 2. Selidiki apakah f(x) = x 2 kontinu seragam pada [0, ). 3. Buktikan jika fungsi f : I R memenuhi ketaksamaan f(x) f(y) K x y, x, y I, untuk suatu K > 0, maka f kontinu seragam pada I. 4. Buktikan bahwa f(x) = x kontinu seragam pada [0, ).

Pengantar Analisis Real 79 9. TURUNAN 9.1 Turunan di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Salah satu caranya adalah dengan menghitung turunan dari fungsi itu. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, f dikatakan mempunyai turunan di titik c apabila limit f(x) f(c) lim x c x c ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yang biasanya dilambangkan dengan f (c) atau Df(c). Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f f(x) f(c) (c) = lim. x c x c Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh f f(c + h) f(c) (c) = lim. h 0 h Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan L = f (c) sedemikian sehingga f(c + h) f(c) Lh = ɛ(h) dengan ɛ(h) h 0 untuk h 0. Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f(x) mempunyai garis singgung di titik (c, f(c)) dan gradien garis

80 Hendra Gunawan singgung tersebut adalah f (c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1. Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f(x) di titik (c, f(c)) dalam hal ini adalah y = f(c) + f (c)(x c). Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f(x). Jika x berubah dari c ke c + h, maka y akan bertambah kira-kira sebesar hf (c). Jadi, dengan mengetahui f, kita mengetahui bagaimana f berubah (bila x berubah). Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ditemukan oleh Isaac Newton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684. Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c Contoh 1. Misalkan f(x) = x 2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung f(x) f(1) x 2 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f (1) = 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f(x) = x 2 mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f (c) = 2c. Fungsi f : c 2c disebut sebagai turunan dari f.

Pengantar Analisis Real 81 Contoh 2. Misalkan f(x) = x dan c = 0. Perhatikan bahwa f(h) f(0) h lim = lim h 0 h h 0 h tidak ada (?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0. Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c. Bukti. Perhatikan bahwa f(x) f(c) = f(x) f(c) x c untuk x c. Jadi f(x) f(c) untuk x c. (x c) f (c) 0 = 0 Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] R yang didefinisikan sebagai { 2x, 0 x < 1; f(x) = 1, 1 x 2, tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut. Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun, Contoh 2 memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan di c. Soal Latihan 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x 2 di titik (1, 1). 2. Tunjukkan bahwa f(x) = x 2 mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f (c) = 2c. 3. Diketahui f(x) = x x, x R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0. 4. Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di sana, selain f(x) = x. 5. Konstruksi sebuah fungsi f : R R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik.

82 Hendra Gunawan 6. Buktikan jika f mempunyai turunan di c, maka f f(c + h) f(c h) (c) = lim. h 0 2h Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titik namun limit di atas ada. 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, fg, dan f/g mempunyai turunan di c, dan (i) (λf + µg) (c) = λf (c) + µf (c); (ii) (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c); (iii) ( f g ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g 2 (c) asalkan g(c) 0. Bukti. (i) Perhatikan bahwa [ ] 1 h[ λf(c + h) + ] µg(c [ + h) λf(c) ] µg(c) = λ f(c+h) f(c) + µ g(c+h) g(c) untuk h 0. h λf (c) + µg (c) (ii) Di sini kita mempunyai [ ] 1 h f(c + [ h)g(c + h) ] f(c)g(c) = g(c + h) f(c+h) f(c) + f(c) untuk h 0. (iii) Latihan. h g(c)f (c) + f(c)g (c), h [ g(c+h) g(c) Contoh 5. Misalkan n N dan f(x) = x n. Maka turunan dari f adalah f (x) = nx n 1. Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f(x) = x, jelas bahwa f (x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika h ]

Pengantar Analisis Real 83 f(x) = x k, maka f (x) = kx k 1. Maka, untuk n = k + 1 atau f(x) = x k+1, kita peroleh f (x) = D(x k.x) = D(x k ).x + x k.d(x) = kx k 1.x + x k = (k + 1)x k. Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n N. Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f g mempunyai turunan di c dan (f g) (c) = f (g(c))g (c). Bukti. Berdasarkan definisi turunan, (f g) (f g)(x) (f g)(c) f(g(x)) f(g(c)) (c) = lim = lim. x c x c x c x c Bila g(x) g(c) 0 pada suatu interval terbuka (c δ, c + δ), maka (f g) f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) (c) = lim = f (g(c)) g (c). x c g(x) g(c) x c Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Untuk mengatasinya, definisikan h(y) := { f(y) f(g(c)) y g(c), y g(c), f (g(c)), y = g(c). Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h g kontinu di c. Akibatnya (f g) f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) (c) = lim = lim h(g(x)) = f (g(c)) g (c), x c x c x c x c sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 4 bagian (iii). 2. Misalkan n N dan f(x) = x n. Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa f (x) = nx n 1.

84 Hendra Gunawan 3. Misalkan n N. Buktikan jika f(x) = x n (x 0), maka f (x) = nx n 1. jika f(x) = x 1/n (x > 0), maka f (x) = 1 n x1/n 1. 4. Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku asalkan x > 0. D(x r ) = rx r 1 5. Misalkan f : R R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f 1 : R R dan f 1 mempunyai turunan di y = f(x), maka Df 1 (y) = 1 Df(x). 9.3 Turunan Tingkat Tinggi Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f, yaitu f, merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I. Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f, yang nilainya di c adalah f f (x) f (c) (c) = lim, x c x c asalkan limit ini ada. Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c, maka f(c + h) f(c) hf (c) h2 2 f (c) = ɛ(h), dengan ɛ(h) h 2 0 untuk h 0. Turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f. Jika f bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut. Sementara itu, jika f bernilai negatif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut. Dengan mengetahui f, kita juga mengetahui bagaimana f berubah.

Pengantar Analisis Real 85 Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f, turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n, n N, dari f. Contoh 7. Jika f(x) = 1 x, maka f (x) = 1 x 2 ; f (x) = 2 x 3 ; f (x) = 6 x 4 ; dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n N?) Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n 1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya. Soal Latihan 1. Buktikan bila f mempunyai turunan kedua di c, maka dengan ɛ(h) h 2 0 untuk h 0. f(c + h) f(c) hf (c) h2 2 f (c) = ɛ(h), 2. Tentukan pada interval mana grafik fungsi f(x) = x 3 cekung ke atas dan pada interval mana ia cekung ke bawah. 3. Tentukan rumus umum turunan ke-n dari f(x) = 1 x. 4. Diketahui f(x) = x. Tentukan f (x), f (x), dan f (x). Tentukan rumus umum f (n) (x) untuk n N. 5. Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p (m) (x) = 0 untuk m > n. 6. Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.

86 Hendra Gunawan 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x) f(c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal. Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog. Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah puncak di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah lembah di atas titik c.

Pengantar Analisis Real 87 Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f. Contoh 1. Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai { x + 2, x < 1, f(x) = x, x 1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di 1, namun f( 1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R. Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0. Bukti. Menurut definisi turunan, f(x) f(c) x c f (c) untuk x c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(c) > 0 (2) x c untuk x (c δ, c + δ), x c. Sekarang misalkan x (c, c + δ) sembarang. Maka, x c > 0 dan (1) memberikan f(x) f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x (c δ, c) sembarang. Maka, x c < 0 dan (1) memberikan f(x) f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c. Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Soal Latihan 1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada ( 2, 2).

88 Hendra Gunawan 2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut. 10.2 Titik Stasioner Titik c dengan f (c) = 0 disebut titik stasioner f. Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f(x) = x 3, maka f (x) = 3x 2, sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f. (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f, yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f.) Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x 2 sin 1 x untuk x 0 dan f(0) = 0 mempunyai turunan f (0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi. Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x 3 Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c 1 [a, b] dan juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c 2 [a, b].

Pengantar Analisis Real 89 Misalkan c 1 dan c 2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f (c) = 0 untuk setiap c (a, b). Jika c 1 bukan titik ujung [a, b], maka c 1 (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c 1. Menurut Teorema 2, f (c 1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c 2 bukan titik ujung [a, b]. Soal Latihan 1. Diketahui f(x) = x x, x R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. 2. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak ada c (a, b) dengan f (c) = 0. 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka untuk suatu c (a, b). f (c) = f(b) f(a) b a Catatan. Nilai f(b) f(a) b a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f(x) hx dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni h = f(b) f(a). b a

90 Hendra Gunawan Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Namun sehingga teorema pun terbukti. F (c) = f (c) h = 0, Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah y = f(c) + (x c)f (c). Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x c)f (c) merupakan hampiran yang baik untuk f(x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini? Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n 1) di c. Maka polinom P (x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! (x c)n 1 f (n 1) (c) (n 1)! mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1,..., n 1, yang sama dengan turunan ke-k dari f. Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untuk x di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut. Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x I, berlaku f(x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! dengan E n = 1 n! (x c)n f (n) (ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c. Proof. Untuk t di antara x dan c, definisikan F (t) = f(x) f(t) (x t)f (t) (x c)n 1 f (n 1) (c) + E n (n 1)! (x t)n 1 f (n 1) (t). (n 1)! Perhatikan bahwa Sekarang definisikan F (t) = G(t) = F (t) (x t)n 1 f (n) (t). (n 1)! ( x t ) nf (c). x c

Pengantar Analisis Real 91 Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga 0 = G (ξ) = F (ξ) + n(x ξ)n 1 (x ξ)n 1 (x c) n F (c) = f (n) n(x ξ)n 1 (ξ) + (n 1)! (x c) n F (c). Dari sini kita peroleh dan teorema pun terbukti. F (c) = (x c)n f (n) (ξ) n! Soal Latihan 1. Diketahui f(x) = x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c (0, 4) sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut. 2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f konstan pada [a, b]. 3. Misalkan f : R R mempunyai turunan di setiap titik dan f (x) = x 2 untuk setiap x R. Buktikan bahwa f(x) = 1 3 x3 + C, dengan C suatu konstanta. 4. Diketahui f : R R memenuhi ketaksamaan f(x) f(y) C x y p, x, y R, untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan. 5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka f f(c + h) 2f(c) + f(c h) (c) = lim h 0 h 2. Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada. 6. Misalkan c R dan n N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor bahwa (1 + c) n = 1 + nc + (Petunjuk. Tinjau f(x) = x n.) n(n 1) c 2 + + c n. 2!

92 Hendra Gunawan 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku f(x) f(y). Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H. Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H. Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turun sekaligus pada H mestilah konstan pada H. Contoh 1. (i) Fungsi f : R R yang didefinisikan sebagai f(x) = x 3 merupakan fungsi naik sejati pada R. (ii) Fungsi g : (0, ) R yang didefinisikan sebagai g(x) = 1 x turun sejati pada (0, ). merupakan fungsi Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b. Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai f(a) f(x) f(b). Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b. Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perkenalkan notasi f(c ) = lim x c f(x)

Pengantar Analisis Real 93 Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f(x) = x 3 Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) = 1 x dan asalkan kedua limit ini ada. f(c+) = lim x c + f(x), Contoh 3. Misalkan f : R R didefinisikan sebagai { x, x 1; f(x) = 3 2, x > 1

94 Hendra Gunawan Maka, f(1 ) = 1 = f(1), sedangkan f(1+) = 3 2. Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka f(b ) = sup f(x). x (a,b) (ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka f(a+) = inf f(x). x (a,b) Bukti. (i) Misalkan M = sup x (a,b) f(x). Diberikan ɛ > 0 sembarang, kita harus mencari suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b δ < x < b, maka f(x) M < ɛ atau M ɛ < f(x) < M + ɛ. Ketaksamaan f(x) < M + ɛ selalu terpenuhi karena M merupakan batas atas untuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M ɛ bukan merupakan batas atas untuk f pada (a, b), maka terdapat suatu y (a, b) sedemikian sehingga M ɛ < f(y). Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku Jadi, pilihlah δ = b y. (ii) Serupa dengan (i). M ɛ < f(y) f(x). Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c (a, b), maka f(c ) dan f(c+) ada, dan untuk a < x < c < y < b. f(x) f(c ) f(c) f(c+) f(y) Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = inf x (a,b) f(x). 2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka f(b ) = inf f(x). x (a,b)

Pengantar Analisis Real 95 Gambar 11.2 Kasus f(c ) < f(c) < f(c+) 3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H. 4. Diketahui f(x) > 0 untuk setiap x H, dan g := 1 f. Buktikan jika f naik (sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H. 5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi 1-1 antara A dan B := f(a), sehingga f 1 ada. Buktikan bahwa f 1 naik sejati pada B. 11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemonotonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan. Persisnya, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). (i) Jika f (x) 0 untuk tiap x (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f (x) > 0 untuk tiap x (a, b), maka f naik sejati pada [a, b]. (ii) Jika f (x) 0 untuk tiap x (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f (x) < 0 untuk tiap x (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].

96 Hendra Gunawan Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya f (c) = f(y) f(x) y x untuk suatu c (x, y). Jika f (t) 0 untuk tiap t (a, b), maka f (c) 0 dan karenanya f(x) f(y). Jadi f naik pada [a, b]. Jika f (t) > 0 untuk tiap t (a, b), maka f (c) > 0 dan karenanya f(x) < f(y). Jadi f naik sejati pada [a, b]. (ii) Serupa dengan (i). Contoh 7. Misalkan f : R R didefinisikan sebagai f(x) = x(1 x). Turunannya adalah f (x) = 1 2x. Jadi f (x) 0 untuk x 1 2 dan f (x) 0 untuk x 1 2. Dengan demikian f naik pada (, 1 2 ] dan turun pada [ 1 2, ). Soal Latihan 1. Misalkan n N. Buktikan bahwa fungsi f : [0, ) R yang didefinisikan sebagai f(x) = (x + 1) 1/n x 1/n merupakan fungsi turun pada [0, ). 2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buktikan bahwa f (x) 0 untuk tiap x I. Jika f naik sejati pada I, apakah dapat disimpulkan bahwa f (x) > 0 untuk tiap x I? Jelaskan. 11.3 Invers Fungsi Monoton Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatu korespondensi 1-1 antara A dan B := f(a). Dalam hal ini f akan mempunyai invers f 1. Lebih jauh, f 1 naik sejati pada B.

Pengantar Analisis Real 97 Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlah I, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f(i) (Teorema 10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 8. Misalkan f : I J dengan I interval dan J = f(i). Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka f 1 : J I kontinu pada J. Bukti. Andaikan f 1 tidak kontinu di suatu titik d J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Maka, mengingat f 1 naik sejati pada J, f 1 (d ) dan f 1 (d+) ada, dan f 1 (d ) < f 1 (d+). Sekarang misalkan c I sedemikian sehingga f 1 (d ) < c < f 1 (d+) dan c f 1 (d). Karena itu f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I dan J interval terbuka yang mempunyai titik ujung sama dengan titik ujung I dan J. Misalkan f : I J kontinu dan J = f(i). Jika f mempunyai turunan pada I dan f (x) > 0 untuk tiap x I, maka f 1 : J I ada dan kontinu pada J. Lebih jauh, f 1 mempunyai turunan pada J dan untuk tiap y J dan x = f 1 (y). (f 1 ) (y) = 1 f (x) Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2]. Soal Latihan 1. Misalkan f : R R didefinisikan sebagai f(x) = 1 + x + x 3. Tunjukkan bahwa f mempunyai invers dan hitunglah nilai (f 1 ) ( 1). 2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A R yang naik sejati dan kontinu pada A, tetapi f 1 tidak kontinu pada B = f(a). (Petunjuk. Himpunan A tentunya bukan suatu interval.)