Makalah Matematika Asuransi MODEL PARAMETRIK TAHAN HIDUP Disusun Oleh : 1. Intan Wijaya M0108018. Nariswari Setya D. M01080 3. Rahmawati Oktriana M0108061 4. Sri Maria Puji L. M0108108 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET 011
MODEL PARAMETRIK TAHAN HIDUP Pada literatur asuransi, beberapa teori distribusi untuk variabel random nonnegatif telah digunakan secara luas untuk mencocokkan data empiris pada usia saat kematian. Keberhasilan dalam menerapkan sebuah distribusi parametrik bergantung pada keragaman dari keluarga distribusi untuk mencocokkan data empiris dan model matematika. Di sini akan dijelaskan beberapa distribusi yang sebaiknya dikenal. 1. DISTRIBUSI UNIFORM Suatu variabel random kontinu X yang diasumsikan hanya mempunyai nilai pada interval terbatas katakanlah interval (a,b] dan diberikan suatu pdf yang mempunyai nilai konstan, misalkan f(x) = c = 1 = = = = 1 Sehingga diperoleh pdf dari X konstan dengan interval (a,b], sebagai berikut : Persamaan (1) 1,< 0, Secara umum, CDF dari distribusi Uniform adalah sebagai berikut : ;;= 1 0,,<,>
SDF ( Survival Distribution Function ) atau fungsi distribusi tahan hidupnya adalah : Persamaan () 1,,< 0,> Rata-rata dan variansi dari X diberikan secara berurutan sebagai berikut : Persamaan (3) Rata-rata dari X = = = = + = + 1 = = = 1 3 = ++ 3 = ++ 3
Variansi dari X = = ++ 3 = 1 = 1 + Jika X berdistribusi Uniform, maka variabel waktu tahan hidup mendatang T juga berdistribusi Uniform. Ada dua kondisi : a. Saat kondisi usia <, T berdistribusi Uniform dengan, b. Saat kondisi usia, T berdistribusi Uniform dengan 0, Dimana semua T berdistribusi Uniform dengan interval max,0,, dan persamaan (1) sampai (3) juga diterapkan pada T dengan diganti dengan max,0 dan diganti dengan. Pada kasus khusus, yaitu =0, distribusi Uniform disebut juga dengan Moivre s Law. Pada kasus ini probabilitas bersyarat kematian seseorang berusia dalam waktu tahun adalah : Persamaan (4) =1 = 1 =, 0< Persamaan di atas bergantung pada. Force of Mortality- nya adalah : Persamaan (5) = = 1 = 1,0<
Maka, diperoleh : Contoh: Persamaan (6) = + = Persamaan di atas bergantung pada, tetapi tidak bergantung pada. Diketahui Ditanyakan Penyelesaian : :,4 : Tentukan mean dan variansi dari T, untuk (a). x = 1.5 (b). x =.5,4, dengan a =, dan b = 4. Pdf, = = = = + = 1 (a). untuk x = 1.5 karena x = 1.5 < a =, maka, 1.5;4 1.5 0.5;.5, ;< 4 Sehingga, diperoleh mean dan variansi dari T : = + = 1 (b). untuk x =.5 karena x =.5 a =, maka = 0.5+.5 = 3 =1.5 =.5 0.5 1 0, 0;4.5 = 4 1 =1 3
0;1.5, Sehingga, diperoleh mean dan variansi dari T : = + = 1 = 1.5+0 = 1.5 0 1 = 3 4 =0.75 =.5 1 =0.1875. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL a) X EXP(λ) Pdf, =, >0, >0 CDF, =1 SDF, = Pembuktian CDF : = = = = 1 = =1 Pembuktian SDF: =1 =1 1 = Mean dan variansi dari X : = 1 = 1
Pembuktian mean dari X =. =. =. misal, = = = + 1 = 1 = 1 = = 1 =.. 1.. 0.. 1.. = 0 0+0+ 1 = 1 Pembuktian variansi dari X V = =. =. =. misal, = = = 1 =
=. + 1. =. +. =. +. + 1 =. +. 1. =... misal, = = = 1 = =....... 0...0.... = 0 0 0 0 0 = Sehingga diperoleh, = = 1 = 1 b) T EXP(λ) dimana distribusi ini tidak bergantung pada x. SDF untuk waktu hidup mendatang : = + = =
Konstanta Force of Mortality (kekuatan kematian) dari distribusi Eksponensial, yaitu : = =λ =λ Karena X berdistribusi eksponensial, maka variabel waktu tahan hidup mendatang T juga berdistribusi eksponensial, T EXP(λ), dimana distribusi ini tidak bergantung pada x. SDF untuk waktu tahan hidup mendatang, yaitu: = + = = Probabilitas seseorang berusia x tahun akan mati pada t tahun: =1 =1 Probabilitas seseorang berusia waktu (t, t+s] tahun: x tahun akan bertahn hidup selama selang =1 1 =1 Contoh (Distribusi eksponensial Waktu menunggu hingga kejadian benar benar terjadi): 1. Dalam teori antrian, jarak antar kedatangan pelanggan di fasilitas pelayanan (seperti bank, loket kereta api, dan tukang cukur) memenuhi distribusi eksponensial.. Seseorang yang ikut asuransi jiwa, lahir pada usia x tahun dan meninggal pada usia x+t tahun. Maka selang waktu tahan hidup t tahun berdistribusi eksponensial.
Berikut adalah grafik fungsi tahan hidup dari distribusi eksponensial 8 Scatterplot of y vs x y 7 6 5 4 3 1 0 - -1 0 x 1 3 3. Distribusi Gompertz Menurut Wai Sum Chan dan Yui Kuen Tse [1], dengan SDF dari distribusi Gompertz = 1,>0,>0,>0. Dari SDF maka didapatkan CDF sebagai berikut : =1 1 Sehingga dari fungsi tersebut didapatkan juga pdf sebagai berikut : = 1 1 = 1 1 = 1 = 1 Sehingga diperoleh Force Mortality-nya sebagai berikut = = 1 =,>0 >0 1 R merupakan tingkat kematian umum dan a adalah laju pertumbuhan umur yang spesifik dari force mortality.
Benyamin Gompertz (185) mengemukankan bahwa force mortality akan semakin meningkat secara eksponensial. Menurut Jordan, C.W [] fungsi Force Mortality-nya didapatkan sebagai berikut dan pdf adalah = dimana B dan c adalah parameter,,=, 0,>0, 1 Sehingga didapatkan plot Distribusi Gompetz sebagai berikut (dengan X, C dan B yang berbeda-beda) Dari Plot tersebut dapat terlihat bahwa semakin besar B maka plot akan semakin mendekati sumbu x dan semakin besar c maka titik puncaknya akan semakin bergeser kekiri. Meskipun model tersebut dapat digunakan secara luas pada bidang asuransi, tetapi kurang sesuai dengan model matematika. Terutama moment dari distribusinya sulit untuk dihitung.
4. Distribusi Makeham Diberikan SDF dari distribusi Makeham sebagai berikut : =exp 1, >0,>0,>,>0. Dari SDF maka didapatkan CDF sebagai berikut : =1 =1 1 Sehingga dari fungsi tersebut didapatkan juga pdf sebagai berikut : = 1 1 = 1 1 = 1 =+ 1 Sehingga diperoleh Force Mortality-nya sebagai berikut = =+ 1 =+ 1 Probabilitas seseorang berusia x tahun akan mati pada t tahun: =1 =1 exp 1 Distribusi Makeham adalah generalisasi dari distribusi Gompertz dengan suatu parameter ekstra A. Ketika menguraikan angka kematian manusia secara empiris, parameter distribusi Makeham sering terbatas pada cakupan berikut : 0.001<<0.003, 0.00000<<0.001, 0.077<<0.113 Seperti Distribusi Gompertz, distribusi Mahekam tidak sesuai dengan bentuk matematika dan moment-nya sukar dihitung. Contoh : Asumsi bahwa mengikuti suatu distribusi Makeham dengan parameter = 0.00, =0.0001, dan =0.1. (a) untuk =0,10,0,,100, (b) Pr0< 40, dan (c).
Solusi: (a) Tabel berikut menunjukkan untuk =0,10,0,,100 0 1.0000 10 0.9785 0 0.9547 30 0.940 40 0.8749 50 0.7808 60 0.5931 70 0.907 80 0.0433 90 0.0003 100 0.0000 Untuk x = 0 diperoleh 0=1, karena terdapat ketetapan sebagai berikut : 0=0 0=1 =1 =0 Untuk x = 10 diperoleh 10=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.10 =exp0,0011 0,0 =exp0,001 0,001 0,0 =exp0,001 0,007 0,0 =exp 0,017 =0,97853 Untuk x = 0 diperoleh
0=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.0 =exp0,0011 0,04 =exp0,001 0,001 0,04 =exp0,001 0,0073 0,04 =exp 0,0463 =0,9547 Untuk x = 30 diperoleh 30=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.30=0.940 Untuk x = 40 diperoleh 40=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.40=0.8749 Untuk x = 50 diperoleh 50=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.50=0.7808 Untuk x = 60 diperoleh 60=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.60=0.5931 Untuk x = 70 diperoleh 70=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.70=0.907 Untuk x = 80 maka 80=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.80=0.0433 Untuk x = 90 diperoleh 90=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.90=0.0003 Untuk x = 100 diperoleh 100=exp 0,0001 0,1 1,. 0,00.100=0.000 (b) Pr0< 40= 0 40=0.9547 0.8749=0.0798, dan
(c) FM-nya adalah = untuk distribusi Makeham, = exp 1 =exp 1 exp 1 =exp 1 1+ Oleh karena itu, =+ Untuk =0.00, =0.0001, =0.1, dan =60, =+ =0.043 5. Distribusi Weibull Weibull(1939) mengemukakan SDF dari distribusi Weibull adalah =,>0,>0, >0 Dengan persamaan CDF nya sebagai berikut : =1 =1 Dari persamaan CDF di atas diperoleh pdf untuk distribusi Weibull sebagai berikut : = 1 exp = exp
= exp = Diperoleh persamaan Force of Mortality-nya sebagai berikut : = = 1 1 exp = 1 = 1 1 = 1 = Asumsi implisit (tersembunyi) dari distribusi Weibull adalah bahwa kematian tidak terjadi sebelum usia. Dengan demikian FM sama dengan nol untuk <.
Daftar Pustaka [1] Wai Sum Chan and Yui Kuen Tse (006) : Financial and Actuarial Mathematic, mc graw hill. [] Jordan, C.W (198) : Life Contingencies, Second Edition, Chicago:Society of Actuaries. [3] Hans U. Garber (1997) : Life Insurance Mathematics, Third edition, Springer. [4] Jerry Alan Veeh (006) : Lecture Notes on Actuarial Mathematics.