KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana 14144100134 4. Arum Islamiyati 14144100131 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015 i
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan keadirat Tuan Yang Maa Esa atas limpaan Ramat dan karunia-nya, seingga makala ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Dengan terselesaikannya makala Kalkulus Turunan ini, kami mengucapkan terimakasi kepada : 1. Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc selaku dosen mata kulia Kalkulus, yang tela membimbing dan membantu ingga makala ini dapat terselesaikan. 2. Teman - teman yang tela mendukung, bekerja sama serta memberikan motivasi dan semangat seingga makala ini terselesaikan. 3. Orang tua yang tela membimbing dan membantu secara materiil dalam menyelesaikan makala ini. Makala ini disusun guna melengkapai tugas kegiatan belajar-mengajar dalam mata kulia Kalkulus, dengan tujuan meningkatkan kemampuan maasiswa dalam memaami materi materi turunan.makala ini sekaligus bukti bawa kami tela melakukan diskusi secara kelompok. Kami menyadari, bawa penyusunan makala ini masi jau dari kata sempurna. Maka dari itu, kritik maupun saran yang bersifat membangun sangat kami arapkan guna memperbaiki makala yang mungkin akan ditulis untuk kegiatan lainnya kelak. Semoga makala ini dapat memberikan banyak manfaat bagi siapapun yang membacanya. Yogyakarta, 7 Mei 2015 ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI...iii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masala... 1 C. Tujuan... 1 D. Manfaat... 2 BAB II PEMBAHASAN... 3 A. Konsep Garis Singgung... 3 B. Kecepatan Sesaat... 4 C. Definisi Turunan... 5 D. Hubungan Turunan dan Kekontinuan... 6 E. Aturan Pencarian Turunan... 6 F. Turunan Fungsi Trigonometri... 9 G. Aturan Rantai... 12 H. Cara penulisan leibniz... 12 I. Turunan Tingkat Tinggi... 13 J. Pendiferensialan Implisit... 16 BAB III PENUTUP... 17 A. Kesimpulan... 17 B. Saran... 17 DAFTAR PUSTAKA... 18 iii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kalkulus terdapat beberapa tingkatan, pada semester 2 ini dipelajari mengenai kalkulus 1.Turunan merupakan materi dalam matakulia wajib kalkulus di semester 2 ini.turunan merupakan materi lanjutan dari SMA yang dalam al ini akan dijelaskan lebi detail dan lebi lanjut. Proses perkuliaan di kampus sangatla kurang untuk dapat mempelajari semua materi kalkulus, karena waktu yang tidak cukup dan banyak maasiswa yang kurang bias konsentrasi saatperkuliaan berlangsung. Seingga maasiswa sangat di tuntut untuk memiliki keterampilan didalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari melalui kulia non tatap muka. Dengan adanya kurikulum 2013, maka maasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliaan maupun aktif mencari baan materi yang akan di pelajari. Untuk mempermuda dalam mempelajari mata kulia ini kususnya materi turunan, maka dibentukla kelompok belajar. Ole karena itu, makala dengan judul Kalkulus Turunan ini disusun untuk memenui tugas Kalkulus, dan makala ini merupakan sala satu bukti didalam mengikuti atau melakuakan diskusi kelompok dalam perkuliaan.seingga pemaaman teradap materi kulia menjadi lebi maksimal. B. Rumusan Masala 1. Apaka turunan itu? 2. Apaka cara cara yang dapat dilakukan dalam menyelesaikan permasalaan turunan? 3. Bagaimana menyelesaikan permasalaan dalam turunan? C. Tujuan 1. Menjelaskan definisi turunan. 2. Menjelaskan cara penyelesaian masala dalam turunan. 3. Memenui tugas mata kulia kalkulus. 1
D. Manfaat 1. Maasiswa dapat memaami definisi turunan baik secara umum maupun kusus. 2. Maasiswa dapat memaami penyelesaian turunan dengan aturan dengan berbagai aturan. 3. Maasiswa dapat lebi muda memaami materi kalkulus kususnya turunan. 2
BAB II PEMBAHASAN A. Konsep Garis Singgung Peratikan sebua titik P yang terletak pada sebua kurva di bidang kartesius. Apaka yang dimaksudkan dengan garis singgung di titik P? Euclides memberi gagasan garis singgung adala garis yang memotong kurva tersebut di satu titik, tetapi bagaimana dengan kurva ketiga di atas?untuk mendefinisikan pengertian garis singgung secara formal, peratikanla gambar di bawa ini.garis talibusur m1 mengubungkan titik P dan Q1 pada kurva.selanjutnya titik Q1 kita gerakkan mendekati titik P. Saat sampai di posisi Q2, talibusurnya beruba menjadi garis m2.proses ini diteruskan sampai titik Q1 berimpit dengan titik P, dan garis talibusurnya menjadi garis singgung m. 3
Agar secara fenomena ini dapat dirumuskan secara matematis, peratikan kembali gambar disebela atas. Kemiringan garis talibusur yang melalui P dan Q adala: msec= f(c+) f(c) Kemiringan garis singgung di titik P = (c, f(c)) didefinisikan sebagai: lim 0 m = msc = lim f(c + ) f(c) B. Kecepatan Sesaat Peratikan sebua benda yang jatu bebas. Hasil percobaan menunjukan posisinya setiap saat S(t) = 16t 2. Ingin diketaui berapa kecepatannya saat t = 1? t1 t2 S(t1) S(t2) Vrata-rata= S(t 2) S(t 1) t 2 t 1 1 2 16 64 1 1,5 16 36 1 1,1 16 19,36 1 1,01 16 16,3216 1 1,001 16 16.032016 64 16 2 1 = 48 36 16 1,5 1 19,36 16 1,1 1 = 40 16,3216 16 1,01 1 = 33,6 16,032016 16 1,001 1 = 32,016 = 32,016 Dengan tabel di atas kita anya dapat mengitung kecepatan ratarataantara t = 1 dan t = 1+Δt, tetapi yang ingin diitung adala kecepatansesaat pada t = 1. Untuk itu kita definisikan kecepatan sesaat tersebut sebagai berikut: V = Vsesaat. Peratikan kembali rumus garis singgung dan bandingkan dengan rumus kecepatan sesaat. Keduanya mempunyai rumusan matematika yang 4
sama. Pada keidupan seari-ari, asi banyak sekali masala-masala fisis yang mempunyai model matematika yang sama dengan rumus di atas. Untuk itu, dalam matematika diperkenalkan konsep baru yang disebut turunan. C. Definisi Turunan Turunan fungsi f adala fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilanya pada sebarang bilangan c adala f(c) 0 f(c + ) f(c) Asalkan limit ini adan dan bukan atau. Jika limit ini memang ada, dikatakan bawa f terdiferensisasi di c. Pencarian turunan: Misalkan f(x) = 13x 6. Carila f(4) 13 lim f(4 + ) f(4) [13(4 + ) 6] [13(4) 6] f (4) 13 = 13 0 Jika f(x) = 1 x, carila f (x) f (x) 0 f(x + ) f(x) x (x + ) [ 0 0 0 (x + )x. 1 ] 0 1 (x + )x = 1 x 2 1 x+ 1 x [x (x + ) (x + )x. 1 ] Jadi f adala fungus yang diberikan ole f (x) = 1 x2. Daera asalnya adala semua bilangan real kecuali x=0 Tidak arus menggunakan uruf dalam mendefinisikan f (c). Misakan: f(c) 0 f(c + ) f(c) 5
f(c) p 0 f(c + p) f(c) p f(c) s 0 f(c + s) f(c) s D. Hubungan Turunan dan Kekontinuan Teorema A. Keterdeferensiasian mengimplikasikan kontinuitas Jika f (c) ada maka f kontinu di c Bukti: Perlu diperatikan bawa Karenanya, f(x) = f(c) + f(x) f(c). (x c)x 0 x c lim f(x) [f(c) + 0 f(x) f(c). (x c)] x c f(c) + f(x) f(c). lim(x c) 0 x c 0 = f(c) + f (c). 0 = f(c) E. Aturan Pencarian Turunan Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun asil bagi selisi dan mengitung limitnya. f(x + ) f(x) x Teorema A (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f (x)=0 D(k) = 0 Bukti: f f(x + ) = f(x) (x) k k 0 0 = 0 6
Teorema B Aturan Fungsi Identitas Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f (x)=1 D(k) =1 Bukti: f f(x + ) (x) x + x = 1 Teorema C Aturan Pangkat Jika f(x) = x n, dengan n bilangan bulat positif, makaf (x) = nx n 1 yakni, Bukti: D X (X n ) = nx n 1 f f(x + ) (x + ) x n (x) x n + nx n 1 + lim 0 lim [nx n 1 + 0 n(n 1) 2 x n 2 2 + + nx n 1 + n x n n(n 1) x n 2 + + nx n 2 + n 1 ] 2 Teorema D Aturan Kelipatan Konstanta Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf) (x)-k.f (x) yakni, Bukti: Misalkan f(x) = k.f(x). Maka D x [k. f(x)] = k. D x f(x) f f(x + ) fx) k. f(x + ) k. f(x) (x) f f(x + ) fx) f(x + ) k. f(x) (x) k = k lim 7
Teorema E Aturan Jumla Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ( f+g)'(x) = f (x) +g (x) D x [f(x) + g(x)] = D x f(x)+d x g(x) Bukti: Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka F [f(x + ) + g(x + )] [f(x) + g(x)] (x) f(x + ) + g(x) f(x + ) + f(x) = f (x) + g (x) g(x + ) g(x) + + lim 0 g(x + ) g(x) Teorema F Aturan Selisi Jika f dan g adala fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f g) (x) = f (x) g (x) yakni, D x [f(x) g(x)] = D x f(x) D x g(x) Teorema G Aturan Perkalian Jika f dan g adala fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f. g) (x) = f (x)g (x) + g(x)f(x) yakni Bukti: D x [f(x)g(x)] = f(x)d x g(x) + g(x)d x f(x) Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka F (x) 0 F(x + ) F(x) 0 f(x + )g(x + ) f(x)g(x) 8
0 f(x + )g(x + ) f(x + )g(x) + f(x + )g(x) f(x)g(x) f(x + ). g(x + ) g(x) 0 f(x + ). lim g(x + ) g(x) = f(x)g (x) + g(x)f (x) g(x). f(x + ) f(x) + + g(x). lim 0 f(x + ) f(x) Teorema H. Aturan Hasil Bagi Misalkan f dengan g(x) 0, maka Yaitu, dang adala fungsi-fungsi yang terdiferensialkan ( f g ) (x) = g(x)f(x) f(x)g (x) g 2 (x) D x ( f(x) ) = g(x)d xf(x) f(x)d x g(x) g(x) g 2 (x) Dengan kata-kata: turunan suatu asil bagi adala sama dengan penyebut dikalikan turunan fungsi pembilang dikurangi fungsi pembilang dikalikan turunan fungsi penyebut, selurunya dibagi dengan kuadrat penyebut. Bukti : Misalkan F(x) = f(x)/g(x), maka F(x+) F(x) F (x) f(x+) g(x+) f(x) g(x) g(x)f(x+) f(x)g(x+). 1 g(x)g(x+) [ g(x)f(x+) g(x)f(x)+f(x)g(x) f(x)g(x+) {[g(x) f(x+) f(x) f(x) g(x+) g(x) = [g(x)f (x) f(x)g (x)] 1 g(x)g(x). 1 ] g(x)g(x+) 1 ] } g(x)g(x+) F. Turunan Fungsi Trigonometri Rumus rumus turunan kita memili untuk menggunakan x ketimbang t sebagai variabel dasar kita. Untuk mencari Dx (sin x), kita 9
bersandar pada definisi turunan dan menggunakan Identitas Penjumlaan untuk sin(x + ) sin(x+) sin x Dx (sin x) sin x cos +cos x sin sin x ( sin x 1 cos + cos x sin ) = (-sin x) [lim 1 cos ]+ (cos x) [lim sin ] Peratikan bawa dua limit dalam ekspresi yang terakir adala limit yang tela kita pelajari di Subbab 1.4. Dalam Teorema 1.4B kita membuktikan bawa Jadi, Demikian pula, Dx (sin x) sin lim = 1 dan lim 1 cos = 0 Dx (sin x) = (-sin x). 0 + (cos x). 1 = cos x cos(x+) cos x cos x cos sin x sin cos x ( cos x 1 cos = (-cos x). 0 (sin x). 1 = - sin x + sin x sin ) Kita dapat meringkas asil-asil ini dalam sebua teorema penting. 1. Teorema A Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasikan, dan Dx (sin x) = cos x Dx (cos x) = -sin x Conto 1: cari Dx(3 sin x 2 cos x) Penyelesaian Dx(3 sin x 2 cos x) = 3Dx(sin x) 2Dx(cos x) = 3 cos x + 2 sin x 10
Conto 2: carila Dx (x 2 sin x). Penyelesaian Aturan asil kali diperlukan disini. Dx (x 2 sin x) = x 2 Dx (sin x) + sin x (Dxx 2 ) = x 2 cos x +2xsin x Conto 3: carila d x (1+sin ) cos x Penyelesaian Untuk soal ini, aturan asil bagi diperlukan. ) = cos x ( d cos x d (1+sin x 2. Teorema B (1+sin x)) (1+sin x)( d cos x) cos 2 x = cos2 x+sin x+ sin 2 x cos 2 x = 1+sin x cos 2 x Untuk semua titik x di dalam daera asal fungsi. Dxtan x = sec 2 x Dx sec x = sec x tan x Conto 6 Carila Dx(x n tan x) untuk n 1 Dxcot x = -csc 2 x Dxcsc x = -csc x cot x Penyelesaian: Kita terapkan Aturan Hasil Kali bersama dengan teorema B Dx(x n tan x) = x n Dx(tan x) = tan x (Dxx n ) = x n sec 2 x = nx n-1 tan x Conto 7 carila persamaan garis singung teradap garis y = tan x pada titik ( /4, 1) Penyelesaian Turunan y = tan x adala dy = sin2 x. Ketika x= 4. Turunan sama dengan sec2 4 = ( 2 2 )2 = 2. Jadi garis tersebut mempunyai kemiringan 2 dan melalui ( /4, 1). Jadi y 1 = 2(x 4 ) y = 2x - π 2 + 1 11
G. Aturan Rantai Jika f(u)terdiferensialkan pada u=g(x) dan g(x) terdiferensialkan pada x, fungsi komposisi y = (f g)(x) = f(g(x)) = f(u) terdiferensialkan pada x. Turunan fungsi komposisi ini dapat dicari menggunakan rumus berikut. dy = dy du. du Rumus di atas disebut aturan rantai. Conto aturan rantai : Cari dy jika y = (x + 2)2 Penyelesaian Dengan metode biasa, y = (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 maka dy = 2x + 4 = 2(x + 2) Dengan aturan rantai : misal u = x + 2 maka y = (x + 2) 2 = u 2. Dengan demikian, dy = dy. du = 2u. 1 = 2(x + 2) = 2x + 4 du H. Cara penulisan leibniz Misalkan sekarang bawa variable bebas dari x ke x+ x. Perubaan yang berkorespondensi dalam variabel tak-bebas y, akan berupa: Dan asil bagi: y = f(x+ x)- f(x) Δy/Δx = (f(x+ x)-f(x))/ x Menggambarkan kemiringan sebua garis yang melalui (x,f(x)), seperti yang diperliatkan pada gambar berikut. 12
Ketika x 0, kemiringan garis singgung kita menggunakan lambang dy Seingga : dy x 0 y x x 0 f(x + x) f(x) x = f (x) Notasi Leibniz diperkenalkan ole Gottfried Leibniz dan merupakan sala satu notasi yang paling awal digunakan.ia sering digunakan terutama ketika ubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai ubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut teradap x ditulis sebagai: dy, df (x)ataupun d f(x) I. Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensial mengambil sebua fungsi f dan mengasilkan sebua fungsi baru yaitu f. Jika f di deferensialkan kembali akan tetap mengasilkan fungsi yang yang lain di nyatakan dengan f (dibaca : f dua aksen) dan di sebut turunan jedua dari f. Pada akirnya turunan kedua itu dapat di ddeferensialkan lagi dan mengasilkan f yang disebut turunan ketiga sebagai f (3) demikian seterusnya. 13
Fungsi f ---->f ---->f (f dua aksen) ->f dst.. (turunan ke-2 dari f ) Conto : f (x) = 2x 3 4x 2 + 7x 8 f (x) = 6x 2 8x + 7 f (x) = 12x 8 f (x) = 12 f (x) = 0 karena turunan fungsi nol adala 0, maka secara turunan tingkat yang lebi tinggi akan menjadi nol Penulisan turunan pertama dari y = f (x) : f (x) DxY dy/ Penulisan aksen penulisan D notasi leibniz terdapat suatu variasi dari cara penulisan aksen, yaitu y Jika diperatikan kembali, walaupun terliat lebi ruwet, namun penulisanyang paling cocok adala menggunakan notasi Leibniz Conto : d 2 dy d y sebagai 2 Notasi untuk turunan y = f(x) Turunan Notasi F Notasi Y Pertama F (x) Y Notasi D Dxy Notasi Leibniz d Kedua F (x) Y 2 D x y Ketiga F (x) Y 3 D x y 2 d y 2 3 d y 3 14
Keempat F (4) (x) Y (4) 4 D x y 4 d y 4 Kelima F (5) (x) Y (5) Keenam F (6) (x) Y (6) Ke n f (n) (x) Y (n) 5 D x y 6 D x y D n x y 5 d y 5 6 d y 6 n d y n Conto Soal! Tentukan Turunan pertama dan kedua dari fungsi berikut! 1. y = x 2 + 3 y = 2x ; y = 2 2. s = 5t 3 3t 5 s = 15t 2 15t 4 ; s = 30t 60t 3 3. w = 3z 7 7z 3 + 21z 2 w = 21z 6 21z 2 + 42z ; w = 126z 5 42z + 42 4. y = 4 3 x3 x y = 4x 2 1 y = 8x 5. y = 4 2x x 3 y = 2 + 3x 4 y = 12x 5 15
J. Pendiferensialan Implisit Berbentuk f(x,y)=0 y=2x+1 (eksplisit), y-2x-1=0 (implicit) Soal 1. x 3 + y 3 = 18xy. Tentukan dy! Jawab : x 3 + y 3 = 18xy 3x 2 + 3y 2 dy dy = 18y + 18x (3y2 18x) dy = 18y 3x 2 dy 6y x2 = y 2 6x 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 =16 di titik (3,4). Jawab : P (3,4) m = f (x) p = dy p x 2 + y 2 = 16 2x + 2y dy = 0 2y dy x = 2x y m = dy p(3,4) = x 3 (3,4) = y 4 persamaan garis singgung di titik P adala y 4 Dikali 4 seingga3x + 4y = 25 = 3 (x 3) 4 y = 3 4 x + 9 4 + 16 4 16
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Turunan fungsi f adala fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilanya pada sebarang bilangan c adala f(c) 0 f(c + ) f(c) Asalkan limit ini adan dan bukan atau. Jika limit ini memang ada, dikatakan bawa f terdiferensisasi di c. Turunan fungsi juga meliputi turunan fungsi trigonometri dan turunan tingkat tinggi. Turunan dapat kita cari dengan berbagai cara antara lain dengan menggunakan : Aturan Rantai, Aturan Hasil Bagi, Aturan Perkalian, Aturan Selisi, Aturan Jumla, Aturan Kelipatan Konstanta, Aturan Pangkat, Aturan Fungsi Konstanta dan Pendeferensialan implisit. B. Saran Mata kulia kalkulus dapat dipaami dengan muda apabila kita mau untuk belajar kelompok, dan berdiskusi dengan teman teman yang sekiranya lebi mengetaui. Maka dari itu kami menyarankan kepada pembaca untuk dapat belajar mandiri, dan belajar menyelesaikan masala masala dalam mata kulia kalkulus kusunya dengan berdiskusi. Kami berarap dengan adanya makala ini kiranya mendorong kemauan Maasiswa untuk belajar sendiri mengenai isi makala ini, karena waktu yang perkuliaan yang kita miliki tidak akan cukup untuk bisa menguasai materi materi ini. Dan juga di saat proses perkuliaan berlangsung kiranya teman teman memperatikan dengan sunggu sunggu agar apa yang kita pelajari dari makala ini bisa kita paami secara maksimal. 17
DAFTAR PUSTAKA Team dosen matematika. 2010. Matematika dasar II. Makassar: Unas. Varberg, Dale dkk.2007.kalkulus Edisi Sembilan Jilid 1.Jakarta:Erlangga Drs. Warsoma Djoan M.Si,Dr. Wono Setya Budi.DIKTAT KALKULUS1. Departemen Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung 18