BAB 2 RUANG BERNORM 2. Norm dan Ruang ` De nisi 2. Misalkan V ruang vektor atas R, Sebuah fungsi kk V! R yang memenuhi sifat-sifat berikut [N] kxk 0 jika dan hanya jika x 0 [N2] kxk jj kxk untuk setia 2 R [N3] kx + yk kxk + kyk disebut norm ada V. Pasangan (V; kk) disebut ruang vektor bernorm (selanjutnya cuku disebut ruang bernorm). Beberaa contoh ruang bernorm daat dilihat di [Kreyzig, 60-6] Salah satu contoh yang enting dan meruakan toik dalam tesis ini adalah ` dengan. Anggota ruang ` dengan < adalah barisan x (x ; x 2 ; ) sehingga P jx j j <. Sedangkan anggota ruang ` adalah barisan x (x ; x 2 ; ) sehingga su jx j j <. Norm untuk ` adalah ;2; jika < dan kxk kxk jx j j! su jx j j ;2; (2.) Untuk menunjukkan ` adalah ruang vektor dan (??) adalah norm dierlukan beberaa teorema berikut. Teorema 2.2 (Ketaksamaan Hölder) Untuk setia x 2 ` dan z 2 `q dengan + q, maka X jx j z j j kxk 3
4 Bukti. Akan dibuktikan + q q untuk setia ; 0 dengan + q Jika 0 atau 0 maka ketaksamaan jelas berlaku. Sekarang untuk >, y x berarti x y q. Perhatikan bahwa Z Z x dx + y q dy + q q 0 0 P Selanjutnya ilih ex 2 ` dan ez 2 `q sedemikian sehingga jex j j P jez j j q ; maka dan jex j ez j j jex jj + q jez jj q, 8j ; 2; Kemudian dijumlahkan untuk semua j maka didaat jex j ez j j jex j j + q jez j j q + q Ambil sebarang 0 6 x (x j ) 2 ` dan 0 6 z (z j ) 2 `q. Pilih ex j ez j z j maka jex j ez j j x j z j kxk jx j z j j kxk x j kxk dan Teorema 2.3 (Ketaksamaan Minkowski) Untuk setia x; y 2 ` maka kx + yk kxk + kyk Bukti. Untuk ; ketaksamaan di atas benar berdasarkan ketaksamaan segitiga untuk bilangan. Misal > dan untuk menyederhanakan enulisan, tulis w x + y. Selanjutnya jw j j jx j + y j j jw j j, berdasarkan ketaksamaan segitiga untuk bilangan maka jw j j (jx j j + jy j j) jw j j
5 Kemudian dijumlahkan untuk semua j ; 2; jw j j jx j j jw j j + jy j j jw j j Selanjutnya kita gunakan ketaksamaan Hölder ada ruas kanan. Jadi, 2!! 3! q jw j j 4 jx j j + jy j j 5 jw j j jw j j! jx j j! + kx + yk kxk + kyk jy j j! Berdasarkan kedua teorema tersebut akan dibuktikan ` dengan < adalah ruang vektor. Untuk itu hanya akan dibuktikan sifat tertutu terhada enjumlahan sedangkan sifat yang lainnya mudah untuk dibuktikan. Ambil x (x ; x 2 ; ), y (y ; y 2 ; ) 2 `, maka berdasarkan Ketaksamaan Minkowski x + y (x + y ; x 2 + y 2 ; ) 2 `. Selanjutnya, akan dibuktikan (??) adalah norm [N] Jika x 0 maka kxk P j0j! 0. Sebaliknya, jika kxk jx j j! 0; P maka jx j j 0. Karena jx j j 0 untuk setia j ; 2; maka haruslah x j 0 untuk setia j ; 2;. Jadi x 0 [N2] Ambil 2 R dan x 2 ` kxk jj X jx j j! jx j j! jj jj jx j j! jx j j!
6 [N3] Ambil x; y 2 ` maka berdasarkan Ketaksamaan Minkowski Dengan demikian, kx + yk kxk + kyk `; kxk adalah ruang bernorm. Dengan cara yang serua daat dibuktikan (`; kxk ) adalah ruang bernorm. De nisi 2.4 Misalkan (V; kk) adalah ruang bernorm. Barisan x n di V dikatakan konvergen ke x 2 V jika untuk setia " > 0 terdaat N 2 N sedemikian sehingga untuk setia n N berlaku kx n xk < ". Barisan x n di V dikatakan barisan Cauchy jika untuk setia " > 0 terdaat N 2 N sedemikian sehingga untuk setia n; m N berlaku kx n x m k < ". De nisi 2.5 Ruang (V; kk) dikatakan ruang yang lengka (ruang Banach) jika setia barisan Cauchy di V konvergen. Teorema 2.6 Ruang `; kk adalah ruang Banach. Bukti. Misalkan x n barisan Cauchy di `, maka untuk setia " > 0 terdaat N 2 N sedemikian sehingga untuk setia m; n N maka kx n x m k < ". Tulis x n (x n ; x n 2; ). Karena x n j x m j kxn x m k < " untuk setia j ; 2; maka x n j adalah barisan Cauchy di R. Karena R lengka maka x n j! x j untuk setia j ; 2;. De nisikan x (x ; x 2 ; ). Untuk setia r kita unya Untuk m!, maka Selanjutnya jx j j x n j x m j < " x n j x j < " x N j x j + x N j < " + x N j < Karena r sebarang maka x 2 `. Ambil r! maka kx n n N. Ini menunjukkan bahwa x n! x 2 ` xk < " untuk setia Dengan cara serua, daat dibuktikan (`; kk ) adalah ruang Banach.
7 2.2 Ruang Dual Suatu emetaan f dari ruang vektor V ke ruang skalarnya (R) disebut fungsional. Fungsional f dikatakan linear jika untuk setia x; y 2 V dan ; 2 R maka f(x + y) f(x) + f(y). Fungsional f dikatakan terbatas jika terdaat M > 0 sehingga jf (x)j M kxk untuk setia x 2 V. Jika f adalah fungsional yang linear dan terbatas, norm f dide nisikan kfk jf (x)j su x2v; x60 kxk kfk adalah bilangan M terkecil sedemikian sehingga jf (x)j M kxk untuk setia x 2 `. De nisi 2.7 Misalkan V ruang vektor atas R. Ruang V 0 ff V! R; f linear dan terbatasg disebut ruang dual dari V Selanjutnya, de nisikan f + g dengan (f + g) (x) f (x) + g (x), 8x 2 V dan untuk setia 2 R, f dengan (f) (x) f (x), 8x 2 V Terhada kedua oerasi tersebut, V 0 membentuk ruang vektor. Norm di V 0 adalah kfk Jadi V 0 membentuk ruang bernorm. jf (x)j su x2v; x60 kxk Teorema 2.8 Dual ` adalah `q dengan + q Bukti. Misalkan x (x ; x 2 ; ) 2 ` dan f 2 (`) 0 sebarang. Himun e j vektor yang suku ke-j nya dan lainnya 0. Tulis s n x j e j ;
8 maka s n 2 ` dan Jadi, dan kx s n k X jx j j! 0 untuk n! jn+! f (s n ) f x j e j x j f (e j ) jf(x) f (s n )j jf (x s n )j kfk kx s n k! 0 untuk n! Oleh karena itu, f(x) x j f (e j ). Tulis z j f (e j ) dan z (z ; z 2 ; ). Akan ditunjukkan z 2 `q. Pilih x dengan 8 < jz j j q 2 z j, untuk z j 6 0 x j 0, untuk z j 0 Untuk kasus tersebut, Selanjutnya, dan Oleh karena itu, atau ks n k jx j j f(s n ) jz j j (q ) x j z j jf(s n )j kfk jz j j q kfk jz j j q! q jz j j q jz j j q! jz j j q! kfk jz j j q untuk setia n Ambil n! maka z 2 `q dan kfk. Sebaliknya, jf(x)j x j z j kxk
9 untuk setia n, sehingga kfk Ini menunjukkan bahwa kfk Teorema 2.9 (Reresentasi Riesz) Jika f 2 (`) 0, maka terdaat suatu z 2 `q sedemikian sehingga f(x) dan kfk x j z j, x 2 ` Teorema 2.0 Misalkan V ruang vektor. Ruang V 0 adalah ruang Banach (meskiun V bukan). Bukti. Misalkan f n barisan Cauchy di V 0, maka untuk setia " > 0 terdaat N 2 N sedemikian sehingga untuk setia m; n N maka kf n f m k < " atau ekuivalen dengan jf n (x) f m (x)j < " kxk untuk m; n N, x 2 V dan x 6 0. Jadi untuk setia x 6 0, f n (x) adalah barisan Cauchy di R dan karena R lengka maka f n (x) memunyai limit c x yang bergantung ada x. De nisikan f(x) c x, maka f fungsional ada V. Fungsional f linear karena f(x + y) lim f n (x + y) lim [f n (x) + f n (y)] lim f n (x) + lim f n (y) f (x) + f (y) Fungsional f terbatas. Ambil n teta dan m! ; maka jf n (x) f(x)j < " kxk, n N; x 2 V Oleh karena itu, jf(x)j " kxk + jf n (x)j < (" + kf n k) kxk Jadi f 2 V 0. Sebelumnya kita unya jf n (x) f(x)j < " kxk
0 Ini berarti kf n fk < " untuk n N Teorema ini daat juga digunakan untuk membuktikan bahwa ` lengka. Pembuktiannya sederhana yaitu, dual dari `q adalah ` dan karena dual selalu lengka maka ` lengka. De nisi 2. Dua norm kk dan kk ada ruang bernorm V adalah ekuivalen jika dan hanya jika terdaat ; > 0 sedemikian sehingga kxk kxk kxk untuk setia x 2 V Berdasarkan de nisi ekuivalensi norm, dua buah norm yang ekuivalen di suatu ruang vektor akan memberikan toologi yang sama. Subset dari V dikatakan buka dalam norm yang satu berarti buka juga dalam norm yang lain. Selain itu, suatu barisan yang konvergen dalam norm yang satu akan mengakibatkan konvergen dalam norm yang lain. Akibat 2.2 Jika kk dan kk dua buah norm yang ekuivalen di V, maka suatu barisan x n di V konvergen dalam norm kk jika dan hanya jika x n konvergen dalam norm kk Kesimulan ada Akibat 2.2 selanjutnya digunakan untuk mende nisikan ekuivalensi lemah dari dua buah norm di suatu ruang vektor.