OPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE Dwi Suraningsih (M2, Marifatun (M53, Nisa Karunia (M6 I. Pendahuluan Latar Belakang. Dalam kehidupan sehari-hari disa maupun tidak, sebenarnya manusia selalu melakukan opimasi untuk memenuhi kebutuhan hidupnya. Akan tetapi, optimasi yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyak didasar oleh intuisi pada teori optimasi yang kita pelajari di bangku sekolah. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Fungsi multivariabel yaitu fungsi yang mengandung lebih satu macam variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum/minimum sebuah fungsi multivariabel dapat dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Pada umumnya pemodelan nonlinear tanpa kendala berbentuk: minimumkan: (,,,. Atau Pada masalah optimasi untuk fungsi lebih satu variabel, masalah minimisasi mempunyai bentuk: minimumkan ( dengan. Masalah maksimisasi dapat ditinjau lewat metode minimisasi karena: maksimum ( minimum( (. dimana (,,, adalah fungsi objektif. Pada permasalahan program nonlinear tanpa kendala, kondisi penting untuk x* agar menjadi lokal minimum (,,,. a. (,,,. dapat diturunkan (differensiable pada x*. b. ( sebuah titik stationer (stationery point pada x*. c. definit positif (kondisi untuk maksimum adalah sama, kecuali matriks Hessian ( f(x* harus definit negatif. Pada beberapa kasus tertentu, kondisi di atas dulit dipenuhi meskipun ( tetap mempunyai titik optimum. Dalam hal ini dapat digunakan metode unconstrained optimization technique. Metode unconstrained optimization technique dibagi menjadi dua yaitu metode penyelidikan langsung dan metode gradien. Dalam hal ini hanya akan dibahas mengenai metode penyelidikan langsung (metode Univariata/One At A Time. Perumusan Masalah. Berdasarkan latar belakang yang telah disampaikan dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :. bagaimana algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan 2. bagaimana menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus. Tujuan. Tujuan penulisan makalah ini adalah. menjelaskan algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan 2. menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus.
2. Pembahasan Metode Univariate. Dalam metode Univariate, perubahan dilakukan pada satu variabel tahap bertahap dengan menganggap variabel lainnya tetap. Mula mula variabel pertama dirubah pada titik awal untuk mendapat titik. Kemudian sebagai titik awal dipakai untuk merubah variabel kedua untuk mendapatkan dengan menganggap variabel pertama, ketiga, dan seterusnya tetap. Proses ini dilanjutkan sampai didapat dalam perubahan variabel ke. Dan satu siklus proses iterasi telah selesai. Prosedur ini dilanjutkan sampai tidak ada lagi perubahan fungsiobjektif untuk arah satu siklus. {Skema iterasi unconstrained minimization methods terlampir} Algoritma Algoritma atau langkah langkah metode ini dapat dinyatakan sebagai :. Menentukan titik awal dengan 2. Menentukan arah pencarian (descent direction (,,,,,, 2, (,,,,,, 2, (,,,,, 2, 3, dengan adalah banyaknya variabel fungsi (,,,. Misal: jika diketahui suatu fungsi (,,, maka 3. Berarti,,,, dan seterusnya berulang sampai iterasi berhenti. 3. Menentukan apakah berkurang dalam arah atau. Dalam langkah ini, perlu diambil panjang dan menghitung : ( ( ( Jika <, maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan. Jika <, maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan. 4. Menentukan optimum panjang langkah dengan meminimumkan fungsi ( ±. Di mana nilai adalah nilai minimum fungsi tersebut. Catatan : Pemakaian tanda atau pada fungsi ( ± bergantung pada atau yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif. Minimum dengan menggunakan konsep minimum lokal yaitu ( dan ( > yang berarti merupakan titik minimum. 5. Mencari ± dan ( 6. Mengambil nilai baru untuk dan kembali ke langkah 2. Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti nilai fungsi objektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai > dan >.
Contoh Kasus Minimumkan (, 2 2. menggunakan metode univariate. dengan titik awal (, dan Penyelesaian: {Gambar Plot dan Contour Plot terlampir} Iterasi k Step : titik awal (, ( (,.2 > ( (,.9996 < ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan Step 4 : menentukan optimum panjang dengan meminimumkan ( (, 2 min 2 4 Karena Step 5 : ambil ( Iterasi k Step : titik awal >, maka adalah titik minimum..25 dan (. ( 4 (.25, (.25 ( (.,,.399 <.99 > adalah arah yang tepat untuk meminimumkan. Step 4 : menentukan optimum panjang dengan meminimumkan ( (.25,.5.25 min.5.25 (.5.25 2.5.75 karena ( Step 5 : ambil Iterasi k 2 Step : titik awal.75 (2.5 2 >, maka.75 titik minimum..25 dan (.6875..75 (.25,.75 (.6875.6723 > (.723 < ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan Step 4 : menentukan optimum panjang dengan meminimumkan.
( min 2 4 (.25, 2.5.6875.5.375 Step 5 : ambil Iterasi k 3 Step : titik awal.375.5.6875 2.5.6875.25 dan.75 (.6875. (.625,.75 (.96875 ( (.625,.76.9765 < (.625,.74.965 > ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesain arah positif Step 4 : menentukan optimum panjang dengan meminimumkan (.75.96875 sehingga.375.625 Step 5 : menghitung.375..25 Iterasi k 4 Step : titik awal (.625,.25 (.938 (.65,.25.68 > ( (.635,.25.68 < ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah negatif Step 4 : menentukan optimum panjang dengan meminimumkan ( 2.75.938 sehingga.875 (.825,.25. Iterasi k 5 Step : titik awal ( -.825,.25 (.7969 (.825,.35.8334 < ( (.825,.5.7584 > ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah positif..375.7969.875 (.825,.325 Iterasi k 6 Step : titik awal (.825,.325 (.2484
(.825,.325.289 > ( (.8225,.325.2839 < ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah negatif 2.375.2484.9375 (.9625,.325 Iterasi k 7 Step : titik awal (.9625,.325 (.23242 (.9625,.3225.2342 < ( (.9625,.325.2345 > ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah positif..875.23242.9375 (.9625,.4625 Iterasi k 8 Step : titik awal (.9625,.4625 (.242 (.89625,.4625.2394 > ( (.9625,.4625.24289 < ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah negatif. 2.875.242.46875 (.95325,.4625 Iterasi k 9 Step : titik awal (.95325,.4625 (.2456 (.95325,.4625.24644 < ( (.95325,.39625.24457 > ( adalah arah yang tepat untuk meminimumkan (penyelesaian arah positif..9375.2456.46875 (.95325,.4533 Iterasi k Step : titik awal x( -.95325,.4533 U (.2478 (.94325,.4533.24667 > ( (.96325,.4533.24854 < (
(penyelesaian arah negatif. 2.9376.2478.2344 (.976565,.4533 Iterasi k Step : titik awal (.976565,.4533 (.2489 (.976565,.4633.24927 < ( (.96325,.4533.24833 > ( (penyelesaian arah positif..4687.2489.23435 (.976565,.47657 Iterasi k 2 Step : titik awal (.976565,.47657 (.24945 (.966565,.47657.24878 > ( (.986565,.47657.24972 < ( (penyelesaian arah negatif. 2.4688.24945.72 (.988285,.47657 Iterasi k 3 Step : titik awal (.976565,.47657 (.24973 (.988285,.48657.24986 < ( (.988285,.46657.24939 > ( (penyelesaian arah positif..2343.24973.75 (.988285,.48828. Iterasi k 4 Step : titik awal (.976565,.47657 (.24986 (.978285,.48828.24943 > ( (.998285,.48828.2499 < ( (penyelesaian arah negatif.
2.2342.24986.5855 (.9944,.48828. Iterasi k 5 Step : titik awal (.9944,.48828 (.24993 (.9944,.49828.24995 < ( (.9944,.47828.2497 > ( (penyelesaian arah positif..72.24993.586 (.9944,.4944. Iterasi k 6 Step : titik awal (.9944,.4944 (.2499 (.9844,.4944.2496 > ( (.44,.4944.2499 < ( (penyelesaian arah negatif. 2.72.24997.586 (.,.4944. Iterasi k 7 Step : titik awal (.,.4944 (.24997 (.,.544.24998 < ( (.,.4844.24975 > ( (penyelesaian arah positif. 2.72.24997.586 (.,.5. Iterasi k 8 Step : titik awal (.,.5 (.25 (.,.544.462 > ( (.,.4844.2498 > ( Iterasi STOP. Sehingga (.,.5 dan (.25
( Minimumkan (, (. menggunakan metode univariate. Penyelesaian: {Gambar Plot terlampir} Iterasi k Step : menentukan titik awal (, Step 2 : menentukan arah pencarian dengan titik awal (, dan ( (.,.8 > ( (.,.2 > ( Iterasi STOP, sehingga (, dan (
3. Penutup Kesimpulan. Kesimpulan yang dapat diambil pembahasan adalah: Algoritma metode Univariate dapat dinyatakan sebagai:. Menentukan titik awal dengan 2. Menentukan arah pencarian (descent direction (,,,,,, 2, (,,,,,, 2, (,,,,, 2, 3, dengan adalah banyaknya variabel fungsi (,,,. Misal : jika diketahui suatu fungsi (,,, maka 3. Berarti,,,, dan seterusnya berulang sampai iterasi berhenti. 3. Menentukan apakah berkurang dalam arah atau. Dalam langkah ini, perlu diambil panjang dan menghitung : ( ( ( Jika <, maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan. Jika <, maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan. 4. Menentukan optimum panjang langkah dengan meminimumkan fungsi ( ±. Di mana nilai adalah nilai minimum fungsi tersebut. Catatan : Pemakaian tanda atau pada fungsi ( ± bergantung pada atau yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif. Minimum dengan menggunakan konsep minimum lokal ( dan ( > yang berarti yaitu merupakan titik minimum. 5. Mencari ± dan ( 6. Mengambil nilai baru untuk dan kembali ke langkah 2. Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti nilai fungsi objektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai > dan >. Dari contoh kasus, minimum dengan (.,.5 dan (.25. Sedangkan contoh kasus 2, minimum dengan (, dan (.
LAMPIRAN LAMPIRAN Ambil k Tentukan ( Tentukan vektor baru Ambil dan STOP ya Tentukan ( Ambil kk Kekonvergenan dipenuhi? tidak Skema. Iterasi unconstrained minimization methods Gambar. Plot fungsi (, 2 2 sebelum iterasi.
Gambar 2. Contour plot fungsi (, iterasi. Gambar 3. Contour plot fungsi (, Gambar 4. Plot fungsi (, ( 2 2 2 2 ( sebelum setelah iterasi. sebelum iterasi.