Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LOREN Faisal PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. ani km. 6 Kampus Unlam Banjarbaru ABSTRAK Sistem persamaan Lorenz merupakan keluarga dari sistem persamaan Chen dan sistem persamaan Lu. Sistem persamaan Lorenz, sistem persamaan Chen dan sistem persamaan Lu ketiganya mempunyai tiga parameter positif. Perbedaan modifikasi sistem persamaan Lorenz ketiga sistem persamaan yang lain (sistem persamaan Lorenz, sistem persamaan Chen, sistem persamaan Lu) masing-masing terletak pada persamaan kedua. Modifikasi sistem persamaan Lorenz mempunyai dua parameter salah satu parameter boleh bernilai negatif. Pada tulisan ini akan dianalisa ada tidaknya bifurkasi. Hasil dari tulisan ini menunjukkan system mempunyai bifurkasi Hopf subkritikal. Kata kunci: Sistem persamaan Lorenz, Bifurkasi, Bifurkasi Hopf. PENDAHULUAN Salah satu bentuk dari sistem tak liniear adalah sistem Lorenz. Sistem persamaan Lorenz secara umum didefinisikan sebagai berikut[]: x a ( y x) y ( c z) x y z xy bz Dengan a= ; b =8 dan c =8/ Sistem Chen didefinisikan sebagai berikut[] : x a( y x) y ( c a) x xz cy z xy bz a= ; b = dan c = 8. Sistem Lu didefenisikan sebagai berikut[4] : x a( y x) y xz cy z xy bz a = 6; b = dan c =. Pada tulisan ini akan dibahas sistem didefinisikan sebagai[4]: x a( y x) y 4ax axz z xy bz a dan b adalah parameter, a. Perbedaan dari ketiga sistem diatas yaitu pada bagian persamaan y 4ax axz, sistem tersebut hanya memiliki dua parameter. ()
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8. TINJAUN PUSTAKA. Kestabilan Untuk menentukan kestabilan titik setimbang (,,) dari sistem tak linear digunakan koefisien Lyapunov pertama ( l () ), terlebih dahulu menentukan dinamika center manifold Jika didefinisikan[,] berikut : w iw w gw gu guw guw O( w ) maka koefisien Lyapunov pertama ( l () ) adalah () l () Re( C()) w i g C() ( g g g g ). a Kriteria kestabilan koefisien Lyapunov pertama ( l () )[6] a. jika l () >, maka kestabilan titik setimbang stabil dan limit cicle tidak stabil b. jika l () <, maka kestabilan titik setimbang tidak stabil. Center Manifold Pandang suatu medan vektor x Ax f ( x, y) c s y By g( x, y), ( x, y) R x R () f (,), Df (,) g(,), Dg(,) ( Pada persamaaan () matriks menyatakan nilai eigen yang bagian realnya nol, s x r f, g C ( r ). s Ac x c B menyatakan nilai eigen yang bagian realnya negatif dan Definisi[] Suatu manifold invariant disebut center manifold jika persamaan () dapat direpsentasikan sebagai berikut : c c s W ( ) ( x, y) R xr y h( x), x, h(), Dh() untuk cukup kecil. Kegunaan dari Center manifold adalah untuk mereduksi dimensi dari sistem dinamik.. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan di dalam penelitian ini adalah studi literatur.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4. Analisa Kestabilan Lokal Untuk menentukan kestabilan dari modifikasi persamaan () bentuk x a( y x) y 4ax axz z xy bz terlebih dahulu ditentukan titik kesetimbangan mengambil x, y dan z, sehingga diperoleh nilai masing-masing y x, z 4, y b. dan y b. Jadi persamaan () mempunyai tiga titik setimbang yaitu O(,,), S ( dan S ( Teorema. Titik setimbang O (,,) untuk a dari persamaan () tidak stabil. Selanjutnya akan ditinjau kestabilan titik setimbang S ( dan S (. Dengan melakukan tranformasi x, y, z x, y, z. Hasil Transformasi persamaan () invarian. Oleh karena itu cukup ditentukan salah satu titik setimbang S ( atau S (. Dipilih titik setimbang (. Untuk memudahkan menentukan kestabilan, S mula-mula titik setimbang S ( ditranformasikan(ditranslasikan) menjadi titik setimbang (,,), sehingga persamaan () sekarang menjadi X a ( X ) a b ax (6) b ( X ) b X Persamaan (6) mempunyai titik setimbang (,,) dan (, titik (,,) adalah titik setimbang S ( yang sudah ditranslasikan. Dari persamaan (6) diperoleh persamaan karakteristiknya adalah ( a b) ab 8a b (7) Menurut kriteria Routh-Hurwitz, (7) mempunyai akar-akar bagian realnya negatif semua jika dipenuhi syarat a + b > b > ( 8) a ( b a ) Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut ()
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 Teorema. Persamaan ( 4. mempunyai sebuah akar real dan sepasang akar-akar imajiner murni jika b > dan b = a Teorema. Jika b > dan b a, titik setimbang S ( stabil netral. Jika nilai b a disubtitusikan ke persamaan (6) akan diperoleh (9) Dengan mengunakan matriks Jacobian dari persamaan (9) di sekitar titik setimbang (,,), diperoleh akar-akar karakteristik berikut 8 a, ai dan ai () Berdasarkan Teorema dan Teorema titik setimbang S ( mempunyai sepasang nilai eigen yang bagian realnya nol sehingga persamaan () mempunyai titik setimbang jenis center. Karena itu eksistensi orbit periodik dari persamaan () perlu dianalisa lebih lanjut. 4. Center manifold Langkah awal untuk mendapatkan center manifold adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari sistem (9) v ( A I ) V V v v a a v a a v v a a a a a () Subtitusikan persamaan (9) ke persamaan () untuk memperoleh vektor eigen. 4
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 4 a a V ( ) a i a V i a Oleh karena nilai merupakan konjugate dari nilai maka diperoleh vektor eigen ( ) a i a V i a Dengan memisahkan bagian real dan imajiner dari masing-masing vektor eigen V dan V diperoleh vektor eigen vektor eigen V V W dan ' V V W, a W, dan ' a W a. Selanjutnya menggunakan vektor eigen - vektor eigen, ' W W dan V, persamaan (9) ditranformasikan persamaan tranformasinya X T X atau X T X () kemudian masing-masing peubah X, dan diturunkan terhadap t akan diperoleh bentuk
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 9 97 6 X a ax ax a ax 9 6 9 7 a a 9 4 4 7 ax ax ax a ax 9 6 9 7 a a 9 667 () 8 4 8 9 6 a ax ax a ax 69 9 9 9 4 a a 69 78 Dari persamaan () di sekitar titik setimbang (,,) diperoleh nilai eigen 8 ai, ai, a. Oleh karena terdapat sepasang nilai eigen yang bagian realnya nol (imajiner murni), maka menurut konsep invarian manifold koordinat dipandang sebagai fungsi X dan, yang dituliskan h( X, ). Hal ini berakibat persamaan () akan tereduksi menjadi dua dimensi yang selanjutnya disebut sebagai center manifold. Center manifold lokal dari persamaan () disekitar titik setimbang O (,,) ditulis c W loc ( O ) ( X,, ) R h( X, ), X h h h(,), (,) (,) X,. Sekarang akan diturunkan center manifold dari persamaan (). Subtitusikan h( X, ) ke persamaan () yang teruduksi menjadi dua dimensi akan diperoleh: 9 97 6 X a ax ax h ah ax 9 6 9 7 a ah 9 4 4 7 ax ax ax h ah ax 9 6 9 7 a ah 9 667 ( Berdasarkan pengertian center manifold diasumsi bahwa h( X, ) ax ax a... Misalkan X w u dan i( w u) () 6
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 menurunkan terhadap t diperoleh X w u, i ( w u ). Jika dituliskan dalam variabel u dan w diperoleh w X i, (6) dan u X i (7) Subtitusikan persamaan ( dan persamaan () ke persamaan (6) dan persamaan (7) diperoleh w iaw 9 9 7 7 ahu ahw auw ah au aw 78 9 4448 78 78 4 86 4 7 iahu iahw iawu iah iau 66 9 9 44 78 iaw 78 (8) u iau 9 9 7 7 ahu ahw auw ah au aw 78 9 4448 78 78 86 4 4 7 iahu iahw iawu iah iau 9 667 9 44 78 iaw 78 (9) Untuk menentukan koefisien persamaan center manifold dapat diasumsikan a X a X a O( w ) () Dengan mensubtitusikan persamaan () ke persamaan () akan diperoleh N w N wu N u O( w ) () N N, N dan adalah koefisen persamaan center manifold. Dengan menurunkan persamaan () ke peubah w dan u akan diperoleh Nww N ( wu wu ) Nuu () Subtitusikan persamaan (8) dan (9) ke persamaan () akan diperoleh iaw N iau N O( w ) () Subtitusikan persamaan () dan persamaan () ke persamaan () pada bagian persamaan ketiga akan diperoleh koefisien persamaan center manifold 6 6 N i, N, N i 649 649 78 649 649 ( Untuk memperoleh persamaan center manifold subtitusikan persamaan (, ke persamaan () sehinnga diperoleh 6 6 h w ( i ) uwu ( i ) 649 649 78 649 649 () Sedang dinamika dari center manifold dapat diperoleh mensubtitusikan persamaan () ke persamaan (8) diperoleh 7
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 7 9 4 w iaw ( i ) aw ( i ) au ( i ) auw 78 78 78 78 9 9 4 9 ( i ) auw O( w ). Misalkan mengambil koefisien dari w, uw, u dan wu yang merupakan koefisien dinamika center manifold yaitu 7 g ( i ) a, g ( i ) a 78 78 78 78 9 4 4 9 g ( i ) a, g ( i ) a 9 9. (6) Persamaan (6) akan digunakan untuk menetukan kestabilan titik setimbang S ( menggunakan koefisien Lyapunov pertama ( l () ), Re( C()) persamaan (6) ke persamaan () akan diperoleh l () = w,4a. Karena l (), mengakibatkan titik setimbang O(,,) dari a persamaan (6) yang merupakan titik setimbang S ( b, b, yang sudah ditransformasikan stabil, juga titik setimbang S ( b, b, dari persamaan () stabil limit cicle tidak stabil.. KESIMPULAN Dengan menggunakan koefisien dinamika center manifold dapat Re( C()) ditentukan nilai koefisien Lyapunov pertama l () >, yang w mengakibatkan titik setimbang S ( hasil tranformasi dari modifikasi sistem persamaan Lorenz stabil limit cicle tidak stabil 6. DAFTAR PUSTAKA [] Lu, J.(), A New Chaotic Attractor Coined. International Journal of Bifurcation and chaos,vol., No. () 69-66 [] Lu, J.(), Local bifucations of The Chen system. International Journal of Bifurcation and chaos,vol., No. () 7-7 [] Mello, L.F. dan Braga, D.C.(6), Stability and Hopf Bifurcation in the Water Governor System, Vol. [4] Tigan,G.(), Bifurcation and Stability in A System Derived from the Lorenz system. Geometry Balkan Press.. 6-7 [] Wiggins,S.(99), Introduction to Applied Non Linear Dynamical Systems and Chaos. Second Edition. Springer Verlag. New ork [6] in, J dan Tian, L.(6), Hopf Bifurcation Analysis of the Energy Resource Chaotic System, Vol., No. hal. 49-8