Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 201, Hal. 45 52 ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK Rizqi Elmuna Hidayah 1, Nur Salam 2 dan Dewi Sri Susanti 1,2, Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 6 Banjarbaru, Kalimantan Selatan E-mail: rizqi@gmail.com Abstrak. Estimasi titik adalah suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai estimator dari parameter yang nilainya tidak diketahui. Untuk menentukan estimator titik dapat digunakan beberapa metode, diantaranya adalah metode Kemungkinan Maksimum Likelihood atau Maximum Likelihood Estimator MLE dan metode Momen atau Method of Momen Estimator MME. Distribusi half logistik digunakan untuk data masa hidup yang merupakan data masa hidup suatu unit atau individu pada suatu keadaan tertentu dalam hal failure time waktu kegagalan. Jurnal ini membahas tentang estimasi parameter lokasi-skala untuk distribusi half logistic. Kata Kunci : Estimasi parameter, parameter lokasi dan skala, distribusi half logistik, metode kemungkinan maksimum, metode momen. Abstract. Point estimation is a value obtained from the samples and used as an estimator of the parameter whose value is unknown. To determine the point estimator can be used several methods, such as Maximum Likelihood Estimator MLE and Method of Moments Estimator MME. Half logistic distribution is used for lifetime data such as the survival data of a unit or individual of a particular situation in terms of failure time. In this journal, several methods for estimating the location and scale parameters of the half-logistic distribution. Keywords : Estimation of parameters, location-scale parameters, half logistic distribution, maximum Likelihood estimator, method of moments estimator. 1. Pendahuluan Analisis data masa hidup merupakan hal penting yang mendapat perhatian di berbagai bidang, antara lain di bidang teknik mesin engineering dan ilmu pengetahuan biomedis. Aplikasi analisis distribusi waktu hidup berkisar pada 45
46 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 201 Hal. 45 52 penyelidikan daya tahan produk sampai dengan penelitian suatu penyakit. Menganalisa data masa hidup diperlukan asumsi tentang distribusi populasinya, salah satu distribusi tersebut adalah distribusi half logistik. Distribusi half logistik digunakan untuk menganalisa data masa hidup komponen dari suatu produk atau dapat diartikan sebagai probabilitas rentang waktu komponen tersebut dari awal beroperasi sampai dengan gagal atau kerusakan suatu alat untuk melakukan fungsinya secara wajar selama periode operasi yang ditentukan. Statistika inferensi merupakan teknik pengambilan keputusan tentang suatu parameter berdasarkan sampel yang diambil dari populasi tersebut yang meliputi dua hal penting yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis Wibisono [4]. Prosedur estimasi parameter diantaranya adalah estimasi titik. Estimasi titik dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa metode, diantaranya adalah metode klasik yang meliputi Maximum Likelihood Estimator MLE dan Method of Momen Estimator MME. Suatu distribusi umumnya mempunyai beberapa parameter yaitu parameter lokasi dan parameter skala. Berdasarkan penjabaran di atas, penelitian ini akan menjelaskan tentang estimasi titik untuk parameter lokasi dan parameter skala pada distribusi half logistik dengan judul ESTIMASI PARAMETER UNTUK DISTRIBUSI HALF LOGISTIK. 2.1. Estimasi Parameter 2. Tinjauan Pustaka Estimasi adalah pendugaan, penaksiran atau usaha menemukan setepat-tepatnya nilai dari parameter suatu populasi, karena ukuran dari parameter populasi yang ukurannya tidak berhingga sehingga terlalu besar untuk diteliti seluruhnya. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai parameter akan digunakan nilai-nilai dari populasi tersebut Wibisono [4]. Secara umum, parameter populasi akan diberi simbol θ. Nilai θ bisa merupakan nilai rata-rata µ, simpangan baku, dan lain sebagainya. Jika θ yang tidak diketahui nilainya, diestimasi oleh nilai ˆθ baca: theta topi, maka ˆθ dinamakan estimator. Jelas bahwa sangat dikehendaki ˆθ = θ yaitu bisa menunjukkan nilai θ yang sebenarnya Sudjana []. 2.2. Parameter Lokasi dan Parameter Skala Definisi 2.1 Bain & Engelhardt [2]. Jika cdf dari suatu distribusi X mempunyai bentuk F x; η = F 0 x η atau pdf dari suatu distribusi X mempunyai bentuk fx; η = f 0 x η, maka suatu nilai η disebut parameter lokasi. Definisi 2.2 Bain & Engelhardt [2]. Jika cdf dari suatu distribusi X mempunyai bentuk F x; θ = F 0 x θ atau pdf dari suatu distribusi X mempunyai bentuk fx; θ = f 0 x θ, maka suatu nilai positif dari θ disebut parameter skala.
Rizqi, Salam, dan Dewi Estimasi Parameter untuk Distribusi Half Logistik 47 Definisi 2. Bain& Engelhardt [2]. Jika cdf dari suatu distribusi X mempunyai x θ bentuk F x; θ = F 0 atau pdf dari suatu distribusi X mempunyai bentuk fx; θ = η, maka suatu nilai η dan nilai positif dari η disebut parameter lokasi-skala. 1 θ f 0 x θ η 2.. Metode Maksimum Likelihood atau Maximum Likelihood Estimator MLE MLE merupakan salah satu metode estimasi yang memberikan hasil yang baik dengan memaksimumkan fungsi Likelihood sesuai dengan definisi berikut: Definisi 2.4 Bain & Engelhardt [2]. Jika Lθ = fx 1 ; θfx 2 ; θ,... fx n ; θ, θ Ω adalah fungsi kepadatan bersama dari X 1, X 2,, X n dengan Ω adalah ruang parameter. Suatu nilai ˆθ dalam Ω sedemikian sehingga Lθ maksimum disebut Maximum Likelihood Estimator MLE dari θ dan didefinisikan sebagai berikut: f x 1, x 2,..., x nˆθ = max fx 1; θfx 2 ; θ,... fx n ; θ 1 θ Ω 2.4. Metode Momen atau Method of Momen Estimator MME Estimasi parameter menggunakan MME diperoleh dengan menyamakan momen ke-r dari suatu sampel dengan momen ke-r dari suatu populasi, yaitu: M j = u j ˆθ1, ˆθ 2,..., ˆθ r j = 1, 2,..., r 2 Bain & Engelhardt [2]. 2.5. Distribusi Half Logistik Distribusi half logistik digunakan untuk data masa hidup yang merupakan data daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu keadaan tertentu dalam hal failure time waktu kegagalan. Suatu variabel acak kontinu Y yang berdistribusi half logistik mempunyai fungsi kepadatan peluang pdf sebagai berikut: g y; µ, = 2e y µ 1+e y µ 2 y µ 0, 0 2e y µ 1+e y µ 2 y µ 0, 0 Asgharzadeh dkk. [1]. Sedangkan cumulative distribution function cdf dari distribusi half logistik, yaitu: G y; µ, = 1 e y µ 1 + e y µ 4
48 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 201 Hal. 45 52 Parameter dari distribusi half logistik dapat dilihat dari bentuk pdf dan cdf nya yaitu persamaan dan persamaan 4, menurut definisi 2.1, definsi 2.2, dan definisi 2. maka distribusi ini mempunyai parameter lokasi-skala dengan parameter lokasi µ dan parameter skala.. Hasil dan Pembahasan Estimasi titik untuk parameter lokasi dan parameter skala pada distribusi half logistik dilakukan dengan beberapa metode, antara lain menggunakan:.1. Metode Maksimum Likelihood atau Maximum Likelihood Estimator MLE.1.1 Estimasi dari µ dan Ketika Keduanya Tidak Diketahui Metode ini dilakukan dengan memaksimumkan fungsi Likelihood Lµ,, yaitu: Lµ, = 2 n n e n y i µ n 1 + e y i µ 2 ln Lµ, = n ln 2 n ln 1 y i µ 2 ln 1 + e y i µ 5 1. Mendeferensialkan persamaan 5 terhadap µ ln Lµ, µ = 1 n 2 e y i µ 1 + e y i µ Pada saat ln Lµ, µ = 0 akan diperoleh 0 = n 2 e y i µ 1 + e y i µ Fungsi Likelihood akan maksimum jika µ minimum, nilai µ minimum diperoleh pada saat y 1:n atau nilai data terkecil Asgharzadeh dkk., 2011, sehingga estimasi dengan menggunakan MLE untuk parameter µ, yaitu: 2. Mendeferensialkan persamaan 5 terhadap ˆµ = y 1:n 6 ln Lµ, = n + 1 y 2 i µ 2 2 e y i µ yi µ 1 + e y i µ
Rizqi, Salam, dan Dewi Estimasi Parameter untuk Distribusi Half Logistik 49 Pada saat ln Lµ, = 0 akan diperoleh : ˆ = ȳ ˆµ 2 n e y i ˆµ ˆ yi ˆµ 1 + e y i ˆµ ˆ karena persamaan 7 tidak dapat diselesaikan secara trivial maka diselesaikan dengan prosedur iterasi dengan mensubstitusikan persamaan 6 ke persamaan 7 kemudian diperoleh suatu solusi titik tetap sebagai estimasi untuk parameter yaitu: hˆ = ˆ 8 hˆ = ȳ y 1:n 2 e y i ˆµ ˆ yi y 1:n n 1 + e 9 y i ˆµ ˆ dengan prosedur iterasi sebagai berikut: hˆ j = ˆ j+1 j = 1, 2,,... ˆ 1 adalah nilai awal yang diberikan..1.2 Estimasi dari Ketika Parameter Lokasi µ Diketahui Estimasi dari parameter skala pada saat parameter lokasi diketahui misal µ = 0 disubstitusikan ke persamaan 5 sehingga diperoleh: U = n ln 2 n ln 1 i = 1 n y i 2 Fungsi likelihood persamaan 10 dimaksimumkan sehingga diperoleh: ˆ = ȳ 2 n 7 ln 1 + e y i 10 y i e y i 1 + e y i 11 karena persamaan 11 tidak dapat diselesaikan secara trivial maka diselesaikan dengan prosedur iterasi, sehingga diperoleh estimasi untuk parameter yaitu: dengan prosedur iterasi sebagai berikut: ˆ 1 adalah nilai awal yang diberikan vˆ = ˆ 12 vˆ = ȳ 2 y i e y i ˆ n 1 + e y i ˆ 1 vˆ j = ˆ j+1 j = 1, 2,,...
50 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 201 Hal. 45 52.2. Metode Momen atau Method of Momen Estimator MME Nilai harapan suatu variabel acak Y yang berdistribusi HLµ, dapat diperoleh Y µ dengan memisalkan X = dan mengikuti pdf distribusi logistik, sehingga diperoleh: EX = ln 4 14 EX 2 = π2.2.1 Estimasi dari µ dan Ketika Keduanya Tidak Diketahui Suatu variabel acak kontinu Y yang berdistribusi HLµ, dengan memisalkan X = sehingga diperoleh Y = µ + X. Momen ke-1 dari suatu populasi, yaitu: Y µ µ 1 = EY = Eµ + X = Eµ + EX = ˆµ + ˆEX 15 = ˆµ + ˆ ln 4 16 Sedangkan untuk momen ke-1 dari suatu sampel dapat dituliskan sebagai berikut: M 1 = y 1 i n = ȳ 17 Berdasarkan persamaan 2 estimasi parameter menggunakan MME diperoleh dengan menyamakan momen ke-1 dari suatu sampel persamaan 17 dan momen ke-1 dari suatu populasi persamaan 16, diperoleh: M 1 = µ 1 yi 1 n = ˆµ + ˆ ln 4 Momen ke-2 dari suatu populasi, yaitu: ȳ = ˆµ + ˆ ln 4 18 ˆµ = ȳ ˆ ln 4 19 µ 2 = EY 2 = Eµ + X 2 = Eµ 2 + E2µX + E 2 X 2 = Eµ 2 + 2µEX + EX 2 2 = ˆµ 2 + 2ˆµˆ ln 4 + ˆ 2 π2 20
Rizqi, Salam, dan Dewi Estimasi Parameter untuk Distribusi Half Logistik 51 Sedangkan untuk momen ke-2 dari suatu sampel dapat dituliskan sebagai berikut: M 2 = y 2 i n = y2 21 Berdasarkan persamaan 2 estimasi parameter menggunakan MME diperoleh dengan menyamakan momen ke-2 dari suatu sampel persamaan 21 dan momen ke-2 dari suatu populasi persamaan 20, yaitu: M 2 = µ 2 yi 2 n = ˆµ2 + 2ˆµˆ ln 4 + ˆ 2 π2 y 2 ˆ 2 π2 y 2 = ˆµ 2 + 2ˆµˆ ln 4 + ˆ 2 π2 = ˆµ + ˆ ln 4 2 ˆ 2 ln 4 2 22 Persamaan 18 disubstitusikan ke persamaan 22, diperoleh: y 2 ˆ 2 π2 = ȳ 2 ˆ 2 ln 4 2 π y 2 ȳ 2 = ˆ 2 2 ln 42 y ˆ = 2 ȳ 2 2 ln 42 Persamaan 2 disubstitusikan ke persamaan 19 untuk memperoleh estimator µ, yaitu: ˆµ = ȳ ˆ ln 4 ˆµ = ȳ ln 4 π 2 π 2 y 2 ȳ 2 ln 42 24.2.2 Estimasi dari Ketika Parameter Lokasi µ Diketahui Estimasi parameter pada distribusi half logistik dengan menggunakan MME untuk parameter ketika parameter lokasi µ diketahui, yaitu: Berdasarkan persamaan 19 diperoleh: ˆµ = ȳ ˆ ln 4 ˆ = ȳ ˆµ ln 4 25
52 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 201 Hal. 45 52 4. Kesimpulan Hasil Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian tentang estimasi parameter untuk distribusi half logistik, yaitu: saat µ dan tidak diketahui dengan MLE adalah ˆµ = y 1:n dan ˆ = ȳ y 1:n 2 n y i y 1:n e y i y 1:n 1 + e y i y 1:n dengan MME adalah ˆ = π 2 y 2 ȳ 2 ln 42 dan ˆµ = ȳ ln 4 Sedangkan saat µ diketahui dengan MLE diketahui µ = 0 adalah π 2 y 2 ȳ 2 ln 42 ˆ = ȳ 2 n y i e y i 1 + e y i dengan MME adalah ˆ = ȳ µ ln 4 Daftar Pustaka [1] Asgharzadeh, A., Rezaie, R., dan Abdi, M. 2011. Comparison of methods for the half-logistic distribution. Selcuk Journal of Applied Mathemtics. [2] Bain, L.J., dan Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Edisi-2. PT Belmont Company, California. [] Sudjana. 2000. Metode Statistika. Tarsito, Bandung. [4] Wibisono, Y. 2005. Metode Statistik. Gadjah Mada University Press. Yogyakarta.