ol.9 o. (5 Hal. -8 MODEL SIR DEGA ADAYA PEGARUH AKSIASI DA IMIGRA oor Fakhra, Yu Yulda, Fasal Fakultas MIPA Program Stud Matematka Uerstas Lambug Magkurat Jl. Jed. A. Ya km. 36 Bajarbaru Emal: Fakhra@gmal.com ABSTRACT Some large coutres, mmgrato s sgfcat factor epdemc a dsease. Because dsease follow a predcable dsease patter, we ca be examed wth the stadard SIR Model. SIR Model s Kermack da McKedrk was expadg wth accato ad mmgrat effect. Ths model costructed wth assumptot, ad the determe accato reproducto umber (R,. determe the equlbrum pot o the model, determe stablty type of equlbrum pot ad make smulate wth the parameter alues. Keywords: Immgrats, SIR model, accato, equlbrum pot, stablty ABSTRAK Beberapa egara besar, mgras merupaka faktor sgfka dalam epdem suatu peyakt. Karea peyakt megkut pola peyakt yag dapat dpredks, sehgga dapat dperksa dega Model SIR stadar. Model SIR Kermack Da McKedrk dapat dkembagka dega pegaruh aksas da mgra. Model dbagu dega asums, da kemuda meetuka aksas blaga reproduks (R, meetuka ttk ekulbrum pada model, meetuka jes stabltas ttk ekulbrum da membuat smulas dega la parameter. Kata Kuc :Imgra, model SIR, aksas, ttk ekulbrum, stabltas. PEDAHULUA Pemberatasa peyakt tersebut dapat dlakuka dega melakuka aksas. aksas merupaka proses pecegaha peyakt dega pegedala atau pemusaha sumber peyakt, pemutusa rata peulara da pegkata daya taha. Apabla tgkat aksas dalam cakupa yag redah dapat meyebabka tubuh seseorag yag tdak daksas reta tertular wabah peyakt. Kermack da McKedrk (97 megkostruks suatu model SIR utuk meyelesaka permasalaha megea peyebara peyakt meular. Kostruks model dmula dega megklasfkaska ddu dalam populas mejad tga subpopulas, yatu : subpopulas reta (Susceptble/S, subpopulas terfeks (Ifectous/I, da subpopulas kebal/sembuh (Recoered, Remoed/R. Model SIR Kermack da McKedrk dperluas dega adaya pegaruh dar mgra. Kemuda dseldk ttk kesetmbaga (ekulbrum pada model, megaalss kestabla pada model, serta meyeldk eksstes dar solus perodk pada model, selajutya dbetuk smulas sehgga melalu model SIR Kermack da McKedrk dega adaya pegaruh mgra dapat dseldk dlhat perbedaa dar tgkat aksas yag dberka kepada ddu dalam populas agar peyakt tdak berkembag dalam populas.. METODOLOGI
ol.9 o. (5 Hal. -8 Peelta dlakuka dega cara stud lteratur dar berbaga sumber bak buku, artkel. Tulsa megkaj kembal Model pada artkel Pccollo, C & L. Bllgs tahu 5. Selajutya meetuka ttk ekulbrum da tpe kestabla ttk tersebut dega memperhatka blaga reproduks aksas, kemuda meyeldk solus perodk da melakuka smulas. 3. HASIL DA PEMBAHASA 3. Persamaa Dferesal Persamaa dferesal adalah persamaa yag d dalamya terdapat turuaturua. Persamaa dferesal basa orde satu secara umum dyataka dalam betuk dy f ( x, y ( dx dega f ( x, y dapat berupa fugs ler maupu oler, x sebaga arabel bebas da y sebaga arabel tdak bebas [5] 3. Sstem Persamaa Dferesal oler Orde satu Dberka sstem persamaa dferesal oler orde- sebaga berkut:: d x f( x ( T dega x ( x, x,, x R da f ( f, f,, f R [3] 3.3 Ttk Kesetmbaga Defs dar ttk ekulbrum adalah sebaga berkut : Defs 3.3. [4] Ttk x R dsebut ttk kesetmbaga (ttk ekulbrum dar persamaa ( jka f(x. 3.4 la Ege da ektor Ege Berkut dberka defs dar la ege da ektor ege: Defs 3.4. [] Jka A adalah matrks, maka ektor tak ol x d dalam R damaka ektor ege (ege ektor dar A jka Ax adalah kelpata skalar dar x, yak A x x Skalar damaka la ege (ege alue dar A da x dkataka ektor ege yag bersesuaa dega. Teorema 3.4. [] Jka merupaka la ege dar matrks Jacoba x, d ttk kesetmbaga da Re( merupaka baga rl dar maka :. Utuk setap,...,, (. Jka terdapat ( Re < maka xˆ adalah stabl asmtotk Re >, utuk suatu maka xˆ adalah tdak stabl.
oor Fakhra, Yu Yulda, Fasal - Model sr dega adaya pegaruh aksas da mgra Tabel. Krtera kestabla pada sstem ler berdasarka la ege la ege Tpe ttk Stabltas > > < < Smpul (ode Smpul (ode < < Ttk pelaa > < (saddle pot Smpul (ode Smpul (ode Tdak stabl (ustable Stabl asmtotk (asymptotcally stable Tdak stabl (ustable Tdak stabl (ustable Stabl asmtotk (asymptotcally stable, a ± b Ttk spral (spral Tdak stabl (ustable Stabl asmtotk (asymptotcally a > stable a < b, b Pusat (ceter Stabl (stable Buka stabl asmtotk 3.5 Krtera Routh-Hurwtz Berkut dberka defs matrks Routh-Hurwtz: Defs 3.5. [7] Dberka persamaa f( z az + az + az + + a z+ a (3 dega a adalah postf da a k blaga rl k,,3,...,. Matrks Routh- Hurwtz utuk polomal (7 sebaga matrks bujur sagkar berukura sebaga berkut: a a H a3 a a a5 a4 a3 a7 a6 a5 a a a Determa Routh-Hurwtz tgkat ke- k, dotaska dega k ; k,,3,..., Krtera Routh-Hurwtz Semua akar polomal dar persamaa (3 memlk baga rl egatf jka >, >, 3 >,, > (5 3.6 Solus Perodk Dberka suatu sstem : dx P( x, y (6 dy Q( x, y (4 3
ol.9 o. (5 Hal. -8 Teorema 3.6 Krtera Bedxso [8] Dberka D doma dalam bdag xy da persamaa (6 dega P da Q mempuya turua pertama parsal yag kotu pada D, jka P( x, y Q( x, y + memlk tada yag sama d D. Maka persamaa (6 tdak x y memlk ltasa tertutup d dalam doma D (tdak mempuya solus perodk. 3.7 Model SIR Model SIR Kermack da McKedrck dapat dgambarka dalam dagram alr d bawah : β SI γ I S I R Gambar. Dagram alr Model SIR Kermack McKedrck Sstem persamaa dferesal oler dar gambar dagram alr tpe SIR Kermack McKedrck d atas sebaga berkut: ds βsi di βsi γi (7 dr γ I β : Laju peulara suatu peyakt melalu kotak atau hubuga. γ : Laju kesembuha dar peyakt [6] 3.8 Model SIR dega Adaya Pegaruh aksas da Imgra Model peyebara peyakt dega adaya pegaruh aksas da mgra dbetuk berdasarka asums atau batasa tertetu. Asums-asums yag dguaka dalam model peyebara peyakt dega adaya pegaruh aksas da mgra yatu sebaga berkut :. Populas total ( berla kosta.. Iddu yag pada saat lahr tdak melakuka aksas aka masuk kedalam kelompok Suspectble. 3. Iddu yag telah melakuka aksas pada saat lahr atau telah kebal aka masuk kedalam kelompok Recoered. 4. Iddu yag telah medapatka aksas aka kebal terhadap peyakt sehgga kemajura dar aksas adalah %. Total ddu dalam populas pada saat t, dyataka dega (t yatu : ( t S( t + I( t + R( t dega jumlah populas total setap satua waktu adalah kosta. Berdasarka asums-asums yag dguaka dapat dbetuk alur dagram alr dbawah :
oor Fakhra, Yu Yulda, Fasal - Model sr dega adaya pegaruh aksas da mgra βsi/ γi ( R ( ( ( S ( + I Gambar. Dagram Alr Model SIR dega Pegaruh aksas da Imgra Parameter,,, β da γ adalah kostata postf da batas dar laju aksas adalah (,. ( Laju kelahra peduduk asl ( sama dega laju kemata peduduk asl da dapat dsmbolka. Laju kemata atau keluarya mgra dar populas (, dapat dsmbolka. Berdasarka pejelasa tersebut maka dapat dperoleh : ds β SI ( + ( ( + S di β SI γ I ( I (8 dr + + γ I ( + R Persamaa (8 dsebut sebaga model SIR dega adaya pegaruh aksas da mgra. Pada persamaa (8 bayakya ddu pada masg-masg kelompok dapat dyataka dalam propors sebaga berkut: S I R s,, r (9 Karea jumlah populas total ( yatu S+I+R sehgga dperoleh : s + + r S + I + R S I R Sstem persamaa dferesal dalam propors dar tga kelompok Suspectbles, fected, da Recoered dtulska sebaga berkut : ds ( s + ( s βs ( s d β s ( γ ( dr + + γ ( r 5
ol.9 o. (5 Hal. -8 Pada propors ddu yag telah sembuh (r tdak mucul pada persamaa ( baga pertama maupu kedua sehgga (r dapat dperoleh : s + + r r ( s + Oleh karea tu, sstem yag dguaka utuk aalsa adalah sebaga berkut : ds ( s + ( s βs ( s ( d β s ( γ 3.9 Kesetmbaga Model Model SIR dega adaya pegaruh aksas da mgra dalam betuk propors terdapat ttk ekulbrum bebas peyakt da ttk ekulbrum edemk. 3.9. Ttk Ekulbrum Bebas Peyakt Ttk ekulbrum bebas peyakt terjad pada saat yatu tdak ada ddu pada kelompok Ifected yag dapat meyebarka peyakt. Ttk ( ekulbrum bebas peyakt adalah ( + ( E,, da ( jes kestabla pada ttk ekulbrum bebas peyakt adalah Stabl Asmtotk tpe dar ttk ekulbrum bebas peyakt adalah ttk smpul. Blaga reproduks aksas (R merupaka parameter yag dguaka utuk megetahu masalah atau tgkat peyebara suatu peyakt dega adaya aksas. Jad, blaga reproduks aksas utuk model SIR dega adaya pegaruh aksas da mgra yatu : β (( + ( R ( ( γ ( Dar persamaa (6 dapat dseldk tgakat aksas mmum yag dperluka utuk mecegah peyebara peyakt pada populas dega adaya mgra. Jka kods mgra tdak daksas ( tgkat aksas mmum peduduk asl (, ( ( β ( γ + β (3. Jka kods peduduk asl tdak daksas ( tgkat aksas mmum mgra (, ( ( β ( γ + β (4. Jka kods mgra da peduduk asl sama-sama daksas dega tgkat aksas yag sama ( tgkat aksas mmum peduduk asl da mgra yag dotaska dega β ( γ + m+ m m β m (5
oor Fakhra, Yu Yulda, Fasal - Model sr dega adaya pegaruh aksas da mgra 3.9. Ttk Ekulbrum Edemk Ttk ekulbrum edemk utuk model SIR dega adaya pegaruh ( γ ( aksas da mgra adalah E * ( s*, *, ( R β β dega syarat R >. Dperoleh bahwa ttk ekulbrum edemk adalah stabl asmtotk. Kemuda utuk meyeldk tpe ttk ekulbrum dar persamaa (6, tpe ttk ekulbrum edemk adalah ttk spral asalka la ege komplek yatu 4( γ jka reproduks aksas ( R adalah < R < ( 3. Solus Perodk Solus perodk dtetuka utuk megetahu peyakt aka kembal meyebar dalam populas pada selag waktu yag tetap atau berkala, dguaka teorema.6 pada persamaa ( dperoleh bahwa persamaa ( tdak mempuya solus perodk. 4 KESIMPULA Dar peelta dperoleh beberapa kesmpula yatu sebaga berkut: Kesmpula Ttk ekulbrum bebas peyakt stabl asmtotk asalka R <. Sedagka ttk ekulbrum edemk stabl asmtotk asalka R >.. Pada model SIR dega adaya pegaruh aksas da mgra tdak mempuya solus perodk. Pada smulas jka tgkat aksas dberka lebh kecl dar tgkat aksas mmum, peyakt selalu ada dalam populas da sebalkya. DAFTAR PUSTAKA [] Ato, H. 994. Aljabar Ler Elemeter, Eds kelma. Erlagga. Jakarta. [] Bellomo,. & Prezos L. 995. Modellg Mathematcal Methods ad Scetfc Computato.CRC Press. Florda [3] Brau, M. 99. Dfferetal Equato ad Ther Applcatos-Fourth Edto. Sprger-erlag. ew York. [4] Egwerda, J., dkk. 5. LQ Dyamc Optmzato ad Dfferetal Games. LTD. Eglad. [5] Farlow, S.J. 994. Dfferetal Equatos ad Ther Applcatos. Doer Publcatos. Uted States of Amerca. [6] Florece. 5. SIR Models of Epdemcs. Theoretcal Bology Isttute of Itegrate Bology ETH Zurch (7-48- [7] Gatmacher, F.R. 959. The Theory of Matrces. Chelsea Publshg Compay. ew York. [8] Ross, S. L. 984. Dfferetal Equato-Thrd Edto. Jho Wley & Sos, Ic. ew York. [9] Pccollo, C & L. Bllgs. 5. The Effect of accatos a Immgrat Model. Mathematcal ad Computer Modellg (5. o, 4, 9-99 7
ol.9 o. (5 Hal. -8 Smulas Model Susfectble Ifected Recoered. Smulas tgkat aksas mmum, 43, 7563.75. Smulas peyebara peyakt dega tgkat aksas yag dberka lebh kecl dar tgkat aksas mmum. <.43. <. 7563 < m. 75 3. Smulas peyebara peyakt dega tgkat aksas yag dberka lebh besar dar tgkat aksas mmum.8 >.43, 9 >, 7563 > m. 75