BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalkan sebuah perusahaan ingin meminimumkan biaya pembuatan dua produk. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka harus diketahui hal-hal apa saja yang mempengaruhi pembuatan dua produk tersebut, misalnya jumlah bahan baku yang tersedia. Sebagai contoh, meminimumkan biaya pembuatan dua produk dinyatakan dengan fungsi f. Misalkan, banyaknya barang yang dihasilkan dari masing-masing produk, misalnya dan. Variabel-variabel tersebut perlu diberi batasan yang disebut dengan kendala, dalam hal ini berupa jumlah bahan baku yang tersedia, sedangkan fungsi (, ) disebut dengan fungsi obyektif. Pendekatan optimisasi sendiri menyediakan berbagai alternatif metode yang dapat dipilih sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan. Permasalahan optimisasi terbagi menjadi dua bagian, yaitu permasalahan optimisasi berkendala dan permasalahan optimisasi tidak berkendala. Permasalahan optimisasi berkendala adalah optimisasi suatu fungsi, yang disebut fungsi obyektif, dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaaan atau persamaan. Sedangkan, permasalahan optimisasi tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Secara garis besar, permasalahan dalam teknik optimisasi dapat berupa permasalahan pemrograman linear maupun nonlinear. Pemrograman linear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dengan fungsi obyektifnya adalah fungsi linear dan kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan linear. Sedangkan, pemrograman nonlinear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dengan salah satu fungsi obyektif atau fungsi kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. 1
Salah satu subklas dalam permasalahan pemrograman nonlinear adalah pemrograman kuadratik konveks. Pemrograman kuadratik konveks adalah permasalahan optimisasi berkendala nonlinear dengan fungsi obyektifnya adalah fungsi kuadratik konveks. Fungsi kuadratik konveks pada fungsi obyektif yang terdapat dalam pemrograman kuadratik konveks memiliki bentuk umum ()= + dengan adalah matriks semidefinit positif. Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum suatu fungsi nonlinear multivariable (). Pada tulisan ini akan dibahas pendekatan secara numerik menggunakan Metode Conjugate Gradient (Konjugasi Gradien) untuk menyelesaikan fungsi nonlinear khususnya fungsi kuadratik. Metode ini menerapkan pencarian vektor arah yang saling konjugat terhadap matriks pada setiap iterasinya. Metode Konjugasi Gradien sangat efisien jika digunakan untuk menyelesaikan permasalahan fungsi kuadratik dengan ukuran besar, karena sifatnya yang dapat menyelesaikan fungsi kuadratis variabel dalam langkah. Namun, sifat tersebut tidak dapat diterapkan pada fungsi nonkuadratik, sehingga ada beberapa modifikasi algoritma pada Metode Konjugasi Gradien agar dapat digunakan pada fungsi nonlinear secara umum. Pada tulisan ini akan dibahas juga beberapa modifikasi algoritma dari Metode Conjugate Gradient, antara lain : Metode conjugate gradient Hestenes-Stiefel, Polak-Ribiere, dan Fletcher-Reeves. 1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, dapat ditarik beberapa pokok permasalahan yang akan dibahas pada tulisan ini, sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud dengan Metode Conjugate Gradient pada fungsi nonlinear tanpa kendala? 2. Bagaimana menyelesaikan permasalahan optimasi dengan menggunakan Metode Conjugate Gradient pada fungsi nonlinear tanpa kendala, khususnya pada fungsi kuadratik? 2
3. Bagaimana iterasi penyelesaian dari modifikasi algoritma arah pencarian dengan Metode conjugate gradient Fletcher-Reeves, Polak-Ribiere- Polyak, dan Hestenes-Stiefel? 1.3. Batasan Masalah Pembahasan Metode Conjugate Gradient pada skripsi ini hanya dibatasi untuk fungsi nonlinear tanpa kendala khususnya fungsi kuadratik dan sedikit bahasan Metode Conjugate Gradient pada fungsi nonlinear secara umum. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memberikan wawasan bagi pembaca antara lain : 1. Merekonstruksi dan menyelesaikan permasalahan optimasi tanpa kendala pada fungsi kuadratik dengan menggunakan metode Gradien Konjugasi. 2. Menyelesaikan permasalahan optimasi tanpa kendala pada fungsi nonlinear dengan menggunakan beberapa modifikasi algoritma arah pencarian metode Gradien Konjugasi, yaitu : Metode conjugate gradient Fletcher-Reeves, Polak-Ribiere-Polyak, dan Hestenes-Stiefel. Manfaat yang diharapkan dapat diperoleh dari skripsi ini adalah dapat memahami bagaimana penggunaan Metode Conjugate Gradient pada fungsi nonlinear tanpa kendala terutama pada fungsi kuadratik. 1.5. Tinjauan Pustaka Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis mengacu pada literatur-literatur yang tersebut dalam daftar pustaka. Metode Gradien Konjugasi merupakan metode pengembangan dari metode Steepest Descent. Metode ini arah pencarian pertamanya menggunakan arah pencarian Steepest Descent. Kemudian, untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat arah pencarian selanjutnya menggunakan arah yang saling konjugat. Pemanfaatan arah konjugasi ini didapat dari metode Arah Konjugasi yang menjadi dasar dari metode Gradien Konjugasi. Penjabaran secara matematis lebih tuntas diberikan oleh Chong dan Zak(2013). 3
Selain itu, tulisan lain yang menjabarkan metode Gradien Konjugasi pada fungsi kuadratik adalah Luenberger dan Ye (2008). Selanjutnya, Schewchuk (1994) dalam tulisannya yang berjudul An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain menjelaskan tentang modifikasi-modifikasi algoritma metode Gradien Konjugasi untuk fungsi nonlinear secara umum. Dapat dilihat pembahasan lebih mendalam dari modifikasi-modifikasi algoritma metode Gradien Konjugasi yang diberikan oleh Nocedal dan Wright (1999). Pada Bab II juga dibahas dan dijelaskan mengenai beberapa materi penunjang yang akan membantu dalam memahami metode Conjugate Gradient, antara lain : Matriks dan Ruang Vektor, Barisan Konvergen, Fungsi Terdiferensial, Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks. Penjabaran lebih mendalam secara literatur diberikan oleh Anton dan Chris (2004), Bartle dan Sherbert (1999), Boyd dan Vandenberghe (2004), serta Purcell dkk. (2006). 1.6. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai masalah optimasi kuadratik tanpa kendala. Selanjutnya, memahami Konjugasi dan metode Arah Konjugasi untuk fungsi kuadratik. Kemudian, mencari kaitan metode Arah Konjugasi dengan metode Gradien Konjugasi pada fungsi kuadratik. Merekonstruksi modifikasi algoritma Gradien Konjugasi agar dapat diterapkan pada fungsi nonlinear secara umum. Setelah itu, mencari pendekatan minimum untuk beberapa contoh dengan menggunakan metode Gradien Konjugasi. Simulasi dilakukan dengan bantuan program Matlab menggunakan algoritma metode Gradien Konjugasi untuk mencari penyelesaian numerik dari contoh yang diberikan. 4
1.7. Sistematika Penelitian Sistematika penulisan skripsi ini terdiri atas empat bab dengan urutan sebagai berikut : BAB I BAB II BAB III BAB IV : PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistemtika penelitian. : DASAR TEORI Dalam bab ini akan dibahas mengenai materi penunjang yang akan membantu dalam memahami metode Conjugate Gradient, yaitu : Matriks dan Ruang Vektor, Barisan Konvergen, Fungsi Terdiferensial, Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks, Teori Optimasi, dan Metode Steepest Descent. : METODE CONJUGATE GRADIENT Dalam bab ini akan dibahas mengenai Metode Conjugate Direction, Metode Conjugate Gradient pada fungsi kuadratik dan algoritmanya, contoh permasalahan kuadratik yang diselesaikan dengan menggunakan Metode Conjugate Gradient, Metode Conjugate Gradient pada fungsi umum nonlinear dan algoritmanya serta perbandingan iterasi penyelesaian dari beberapa modifikasi algoritma Metode Conjugate Gradient, yaitu : Metode conjugate gradient Fletcher-Reeves, Polak-Ribiere-Polyak, dan Hestenes-Stiefel. : PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran. 5