BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat. Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkahlangkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat. 1.2 RUMUSAN MASALAH a. Apa sajakah hukum-hukum logika dalam matematika? b. Apa itu preposisi bersyarat? 1.3 TUJUAN MAKALAH a. Untuk mengetahui hukum-hukum logika dalam matematika. b. Untuk mengetahui preposisi bersyarat. 1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 HUKUM-HUKUM LOGIKA Logika matematika (logika simbolik) adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan symbol-simbol matematika dengan tujuan menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari. Logika Ekuivalen Dua pernyataan disebut sebagai ekuivalen satu sama lain secara logis (logically equivalent) bila nilai kebenaran kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Lambang untuk ekuivalensi adalah :, Pernyataan (Proposisi) atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus (T) Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus (F) o Jenis-Jenis Proposisi : 2
Proposisi Tunggal (tanpa perangkai) Proposisi Majemuk(dengan satu perangkai) Proposisi Komplek(dengan dua atau lebih perangkai) Hukum-hukum logika Beberapa hukum logika proposisi mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + bc, yaitu hukum distributif, sehingga hukum logika proposisi disebut juga hukum aljabar proposisi. 1) Hukum komutatif a. p q q p b. p q q p 2) Hukum asosiatif a. (p q) r p (q r) b. (p q) r p (q r) 3) Hukum distributif a. p (q r) (p q) (p r) b. p (q r) (p q) (p r) 4) Hukum identitas a. p B p b. p S p 3
5) Hukum ikatan a. p S S b. p B B 6) Hukum negasi a. p ~p S b. p ~p B 7) Hukum negasi ganda a. ~(~p) p 8) Hukum idempotent a. p p p b. p p p 9) Hukum De Morgan a. ~(p q) ~p ~q b. ~(p q) ~p ~q 10.) Hukum penyerapan a. p (p q) p b. p (p q) p 11.)Negasi B dan S a. ~B S b. ~S B Contoh Soal 1 : Tunjukkan bahwa p ~(p q) dan p ~q keduanya ekivalen secara logika. Penyelesaian: p ~(p q ) p (~p ~q) (Hukum De Mogran) 4
(p ~p) (p ~q) (Hukum distributif) T (p ~q) p ~q (Hukum negasi) (Hukum identitas) Contoh Soal 2 : Buktikan hukum penyerapan: p (p q) p Penyelesaian: p (p q) (p F) (p q) p (F q) p F p (Hukum Identitas) (Hukum distributif) (Hukum Null) (Hukum Identitas) Contoh Soal 3 : Diberikan pernyataan Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika. (a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika) (b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (Petunjuk: gunakan hukum De Morgan) Penyelesaian Misalkan : p : Dia belajar Algoritma q : Dia belajar Matematika maka, (a) ~ (p ~ q) (b) ~ (p ~ q) ~ p q (Hukum De Morgan) 5
dengan kata lain: Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika 2.2 PROPOSISI BERSYARAT 2.2.1 IMPLIKASI Proposisi bersyarat atau disebut juga implikasi (jika maka) biasa dilambangkan dengan simbol Implikasi p q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya. Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi Proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen). Cara-cara mengekspresikan implikasi p q: Jika p,maka q Jika p, q p mengakibatkan q (p implies q) q jika p p hanya jika q p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) ) q bilamana p (q whenever p) Contoh Implikasi : Jika saya sakit, maka saya merasa lemah Jika saya naik kelas maka ayah akan memberi hadiah Jika suhu mencapai 80 ᵒ C,maka alarm akan berbunyi Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri Contoh Lain : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Ingat: p q dapat dibaca p hanya jika q p : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal q : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Notasi standard: Jika p, maka q Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal maka ia sudah lulus mata kuliah Matematika Diskrit. Tabel Kebenaran Implikasi P Q P Q B B B B S S S B6 B S S B
2.2.2 VARIAN IMPLIKASI Ada 3 varian implikasi yaitu : Konvers dari implikasi p q adalah q p Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ q Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~p Contoh : Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi Jika hujan turun, maka Jakarta Banjir Konvers : Jika Jakarta Banjir, maka hujan turun Invers : Jika hujan tidak turun,maka jakarta tidak banjir Kontraposisi : Jika Jakarta tidak banjir, maka hujan tidak turun. 2.2.3 BI-IMPLIKASI/BIKONDISONAL Bi-impkikasi (jika dan hanya jika) biasanya di lambangkan dengan simbol Bi-impkikasi bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama. Cara-cara menyatakan bikondisional p q: p jika dan hanya jika q. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Jika p maka q, dan sebaliknya. p iff q Tabel Kebenaran Bi-Implikasi : P Q P Q B B B B S S S B S S S B 7
Contoh Bi-implikasi : 1. Jika p : 2 bilangan genap (T) q : 3 bilangan ganjil (T) maka p q : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (T) 2. Jika r : 2 + 2 5 (T) s : 4 + 4 < 8 (F) maka r s : 2 + 2 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (F) 3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (F) b : 23 = 6 (F) maka a : Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (T) BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu Kalimat Pernyataan dan Kalimat Terbuka serta terdapat juga operasi logika yaitu Negasi(Ingkaran), Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi. Dalam logika matematika terdapat beberapa hukum logika yaitu hukum komutatif, hukum asosiatif, hukum distributif, hukum identitas, hukum ikatan, hukum negasi, hukum negasi ganda, hukum idempotent, hukum de morgan, hukum penyerapan. Kemudian Terdapat Proposisi bersyarat, dari suatu Implikasi dapat di bentuk implikasi dapat di bentuk Implikasi lain, yaitu konvers, Invers, dan Kontraposisi. Metode atau cara yang di gunakan dalam penarikan kesimpulan yaitu Modus Ponen, Modus Tolen, dan Silogisme. 8