SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah dan. Bilangan disebut konstanta, disebut koefisien dari dan disebut suku tetap. Contoh 1: Sebutkan peubah, derajat, dan koefisien-koefisien dan tiap sukubanyak berikut, a) 5 b) Jawab: a) 5 adalah sukubanyak dalam peubah berderajat 3. Koefisien adalah 5, koefisien adalah 2, koefisien adalah 10, dan suku tetapnya adalah 4. = ( merupakansukubanyak dalam peubah t berderajat 4. Koefisien adalah I koefisien adalah 3.koefisien adalah, koefisien t adalah 11 dan suku tetapnya adalah
B. Nilai Suku Banyak dan Operasi antar Suku Banyak a) Nilai Sukubanyak Dengan menuliskan suatu sukubanyak scbagai fungsi nilai sukubanyak itu dengan mudah dapat ditentukan. Secara umum, nilai sukubanyak untuk = k adalah Nilai dari dicari dengan dua cara, yaitu: Cara Substitusi Cara substitusi biasanya dipakai untuk menghitung nilai suku banyak yang sederhana dan untuk nilai yang tidak terlalu besar atau untuk nilai yang bulat. Misalkan sukubanyak Nilai sukubanyak untuk: a. adalah b. adalah c. = 1 adalah dan seterusnya. Cara Bagan (Skema) cara bagan (Skema) dapat dipakai untuk menghitung nilai semua bentuk sukubanyak dan untuk sembarang nilai. Misalkan,, untuk Catatan: Tanda menyatakan kalikan dengan.
Contoh 3 : Dengan menggunakan cara bagan hitunglah nilai sukubanya: 1. = 10 untuk 2. = untuk Jawab: 1. = 10, untuk 5 1-3 4-1 10 5 10 70 1 2 14 69 345 355 Jadi nilai sukubanyak = 10, untuk adalah 2. =, untuk 2 1 0 0-1 4-10 2 4 8 14 36 1 2 4 7 18 26 Jadi nilai sukubanyak = 10, untuk adalah. b) Operasi antar Sukubanyak 1. Penjumlah, Pengurangan, dan Perkalian Sukubanyak Perhatikan sukubanyak berikut: dan
Penjumlahan sukubanyak dengan sukubanyak adalah: Pengurangan sukubanyak dengan sukubanyak adalah: Jadi, Perkalian sukubanyak dengan sukubanyak adalah: Jadi, Misalkan dan berturut-turut adalah sukubanyak berderajat dan, maka: (1) adalah suku banyak berderajat dan (2) adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan 2. Kesamaan Sukubanyak Kalau kesamaan dengan (ditulis: ), maka dapat disimpulkan bahwa: Contoh 4: Hitunglah nilai A, B, dan C yang memenuhi kesamaan:
Jawab: kesamaan: Karena untuk bagian penyebut berlaku kesamaan, maka untuk bagian pembilang harus berlaku Berdasarkan sifat kesamaan sukubanyak, didapat: (1)..(2).(3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh:
C. Pembagian Sukubanyak a. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Dalam aritmatika bilangan, bahwa pembagian bilangan dapat dilakukan dengan cara pembagian bersusun. Sebagai contoh. 471 dibagi 4 dapat diselesaikan dengan cara pembagian bersusun sebagai berikut. 117 4 471 4 7 4 31 28 3 Catatan: 471 merupakan bilangan yang dibagi 4 merupakan bilangan pembagi 117 merupakan bilangan hasil bagi 3 merupakan bilangan sisa bagii Pada pembagian bilangan itu, kita dapat menuliskan sebagai berikut: Atau yang dibagi=pembagi hasil bagi Cara pembagian bersusun pada bilangan yang telah dijelaskan tadi dapat diterapkan pula pada pembagian sukubanyak. Misalnya, sukubanyak dibagi dengan maka hasil bagi dan sisanya dapat ditentukan sebagai berikut. Catatan: Merupakan sukubanyak yang dibagi merupakan pembagi merupakan hasil bagi 7 7 merupakan sisa
Pembagian sukubanyak di atas dapat ditulis sebagai jadi, hasil baginya dan sisanya. Contoh 5: a) Tentukan hasil-hasil dan sisa, jika sukubanyak dibagi dengan b) Bandingkan sisa yang Anda peroleh pada soal a dengan Jawab a) 17 b) Jadi sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan sisa. Berdasarkan perhitungan a).dapat disimpulkan bahwa sisa. b. Pembagian Sukubanyak dengan cara Horner o Pembagian Sukubanyak dengan (x k) Misalkan sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan sisa Persamaan yang
menghubungkan dengan ( ), dan dapat dituliskan sebagai berikut. pembagian sukubanyak dengan menggunakan cara horner sebagai berikut: o Pembagian Sukubanyak dengan (ax b) Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh sehingga bentuk dapat dinyatakan menjadi kalau sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan sisa maka terdapat hubungan. Selanjutnya persamaan dapat diubah bentuknya menjadi sebagai berikut:
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan sisa. Koefisien-koefisien dari dan sisa ditentukan dengan cara pembagian sinetik, yaitu dengan mengganti Contoh 6: Dengan menggunakan cara pembagian sinetik, tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan Jawab: Bentuk dapat ditulis menjadi 2 7-8 10 1 4-2 2 8-4 8 Jadi, hasil baginya adalah dan sisanya c. Pembagian Sukubanyak dengan ax 2 bx c Contoh 7: Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan
Jawab Bentuk tidak dapat difaktorkan. Hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan ditentukan dengan cara pembagianbersusunsebagaiberikut:. Jadi, pembagian sukubanyak dengan memberikan hasil bagi dan sisa D. Teorema Sisa Persamaan umum yang menyatakan hubungan antara dengan dan dapat dituliskan sebagai : Dengan: merupakan sukubanyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat. merupakan pembagi, misalnya berderajat merupakan hasil bagi, berderajat, atau derajat sukubanyak yang dibagi dikurangi dengan derajat pembagi. merupakan sisa berderajat maksimum atau berderajat maksimum sama dengan derajat pembagi dikurangi satu.
a. Pembagian dengan ( Jika pembagi maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikut: Yang berlaku untuk tiap bilangan real. Oleh karena pembagi berderajat satu, maka sisa maksimum sama berderajat nol, yaitu suatu konstanta yang tidak memuat. Sisa dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sebagai berikut: TEOREMA Jika sukubanyak berderajat dibagi dengan, maka sisa Teorema di atas dikenal sebagai Teorema Sisa atau Dalil Sisa. Bukti: Perhatikan kembali persamaan: Oleh karena persamaan itu berlaku untuk tiap bilangan real, maka dengan menyulihkan atau substitusi nilai ke dalam persamaan itu, didapat: Jadi, terbukti bahwa
Catatan: Perhatikan bahwa sisa S = adalah nilai sukubanyak untuk kita ingat bahwa nila dapat dihitung dengan Cara Substitusi atau Cara bagan. Contoh 8: Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak yang berikut ini. a) dibagi b) dibagi Jawab a) Sukubanyak 6 dibagi dengan sisanya adalah (1) Cara Substitusi (2) Cara Bagan 2 1-6 -6 8 6 2-8 -28-40 1-4 -14-20 -34 Jadi, sisa b) Sukubanyak dibagi sisanya adalah
Dengan cara substitusi, didapat: Jadi, sisa b. Pembagian dengan ) Pembagian sukubanyak dengan memberikan hasil dan dengan sisa. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Yang berlaku untuk semua bilangan. Nilai sisa s dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sebagai berikut: TEOREMA 2 Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (axb), maka sisanya Bukti: Dengan subtitusi ke persamaan, didapat:
Jadi terbukti bahwa Catatan: Dalam menentukan nilai dapat menggunakan cara subtitusi atau cara bagan. Jika, menggunakan cara bagan, maka koefisien-koefisien dari dapat ditentukan. Contoh 9: Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dan. Jawab: Sukubanayak dibagi dengan, sisanya adalah. Untuk menghitung ada dua cara, yaitu: (1) Cara subtitusi Jadi, sisa (2) Cara bagan Jadi sisa. Dengan cara bagan, koefisisen-koefisien dari H(x) dapat ditentukan. Dalam soal ini, sehingga hasil baginya:
c. Pembagian Berderajat Dua atau Lebih yang dapat Difaktorkan Menjadi faktor-faktor Linier Pengertian teorema sisa pada pembagian sukubanyak dengan atau sukubanyak dapat diterapkan untuk menentukan sisa pada pembagian dengan sukubanyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan atas faktor-faktor liniernya. Contoh 10: Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan Jawab: Perhatikan bahwa pembagi dapat difaktorkan menjadi. Oleh karena pembagi berderajat dua, maka sisanya maksimum berderajat satu. Misalkan sisa itu adalah dan hasil baginya maka terdapat hubungan: Untuk, didapat:..(1) Untuk x=2, didapat:
...(2) Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh dan Jadi, sisa Contoh 11: Misalkan sukubanyak dibagi oleh dan. Tentukan sisa pembagiannya dalam, dan. Jawab: Pembagi berderajat dua, sehingga sisanya maksimum berderajat satu. Misalkan sisa itu adalah dan hasil baginya adalah, maka: Untuk didapat: (1) Untuk didapat: (2) Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh: dan Jadi, sisa pembagian yang dinyatakan adalah:
Perhatikan bahwa sisa S(x) dapat ditentukan apabila nilai-nilai dan diketahui. Latihan soal 1. Sebutkan nama peubah, derajat, serta koefisien dari tiap sukubanyak berikut: a. b. c. 2. Tentukan banyaknya peubah, nama peubah, serta derajat yang bersesuaian bagi nama peubah untuk tiap sukubanyak berikut: a. b. c. 3. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan tiap sukubanyak berikut ini, kemudian tentukan pula pada peubah, derajat, serta koefisien-koefisiennya: a. b. 4. Dengan menggunakan cara subtitusi, hitunglah! a. jika, b. jika, c. jika, 5. Hitunglah nilai dari tiap suku banyak berikut untuk nilai peubah yang diberikan atau (gunakan cara subtitusi) a., untuk b., untuk c. untuk dan
6. Penggunaan cara skema atau (bagan) untuk menghitung : a. jika b. jika 7. diketahui dan, tentukan : a. serta derajat b. ) serta derajat c. serta derajat 8. tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak: a. dengan b. dengan c. dengan 9. tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagiian suku banyak : a. dibagi b. dibagi c. 5 dibagi 10. Hitunglah nilai p jika: a. dibagi dengan (sisa 10) b. dibagi dengan (sisa 0)
Kunci jawaban 1.a adalah sukubanyak dalam peubah berderajat. Koefisien adalah. Koefisien adalah. Koefisien adalah, dan suku tetapnya adalah. b. adalah sukubanyak dalam peubah brderajat Koefisisen adalah. Koefisien adalah dan suku tetapnya adalah 1. c. adalah sukubanyak dalam peubah bederajat Koefisien adalah dan suku tetapnya adalah 2.a merupakan sukubanyak dalam peubah (peubah dan ). Sukubanyak ini berderajat dalam peubah, atau berderajat dalam peubah b. merupakan sukubanyak dalam peubah (peubah dan. Sukubanyak ini berderajat dalam peubah atau berderajat dalam peubah c. merupakan sukubanyak dalam peubah (peubah, dan ). Sukubanyak ini berderajat pada peubah, peubah, atau pun pada peubah 3.a = Merupakan sukubanyak dalam peubah x. Sukubanyak ini berderajat 3. Koefisien adalah -1, koefisien adalah 5, koefisien adalah 2, dan koefisien tetap adalah 10. b merupakan sukubanyak dalam peubah y. Sukubanyak ini berderajat 4. Koefisien adalah 1,
koefisien adalah 0, koefisien adalah -3, koefisien adalah 3, dan koefisien tetap adalah -1. 4. a) jika = b) jika = c) = 9 = (-2 = 16 = 16 5. a) adalah b) adalah c) & = 4 = 4
6 a) 1 1-3 10 1-2 1-2 8 a. b) jika -1 = 7. a) = Jadi derajatnya adalah b) = = Jadi derajatnya adalah c) = 4 8
= 4 Jadi derajatnya adalah 6 8. a) : sisanya adalah 2 b) 2 sisanya adalah 22 22 c) ( sisanya adalah 15 15
9. a. 2 1 0-3 1 2 4 2 1 2 1 3 Jadi, = dan sisanya adalah b. -1 1 3-2 4-1 -1-2 4 1 2-4 8-8 -9 Jadi, dan sisanya adalah -9 c. 2 21-6 -5 2-1 20-10 -16 8 3 Jadi, dan sisanya adalah. 10. a) dibagi dengan sisanya 10 Oleh diketahui sisanya 10, maka diperoleh:
Jadi Nilai p = 3/4 b) sisanya=0 1 1 0-1 p 2 1 1 0 1 1 0 Diketahui sebagai sisa, maka: Jadi nilai