BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang di dalamnya terdapat eksitasi dan osilasi. Pendekatan serupapun telah dilakukan secara terpisah oleh Nagumo (196), sehingga model itu disebut persamaan Fitzhugh- Nagumo. Untuk menghindari kesalahan persepsi, maka harus ditegaskan bahwa tujuan utama model ini tidak untuk menggambarkan kandungan kuantitatif secara akurat dari impuls axon, variabel dari persamaan tersebut memiliki apa yang disebut ketidaktelitian dan hubungan relasi tidak berhubungan secara eksak dari fakta fisiologi atau hanya perkiraan saja. Juga, sistem ini menjadi lebih sederhana. Dimana, kita bisa menunjukkan interaksi singkat antara variabel yang menunjukkan sebuah eksitasi dan osilasi (impuls berulang). Persamaan Fitzhugh (persamaan tak berdimensi), dv v 1 v 3 w I dt 3 dw ( v a bw) dt (5) Dimana v menggambarkan rangsangan pada sistem dan diidentifikasi dengan tegangan (potensial membran pada oxon), w adalah variabel recovery (kembali ke keadaan awal) yang menggambarkan kombinasi gaya untuk kembali pada keadaan dimana membran axon istirahat, dan I merupakan arus listrik sebagai stimulus untuk membuat eksitasi (arus input). dalam fisiologi, impuls dapat berupa fungsi bertahap atau pulsa periodik (Mishra D et al 006).
1 4. Teori Dasar Sistem Dinamika 4..1 Sistem Dinamika dan Deterministik Dinamika berhubungan dengan perubahan perilaku sistem terhadap waktu. Sistem dinamika dapat bersifat konservatif atau disipatif. Sistem yang konservatif memiliki energi yang konstan terhadap waktu, sedangkan sistem yang disipatif kehilangan energi terhadap waktu. Salah satu sistem yang konservatif adalah bandul sederhana. Pada bandul sederhana gesekan udara diabaikan sehingga energi potensial dan kinetik sistem konstan untuk setiap waktu. Sebaliknya jika gesekan udara diperhitungkan, ada energi dalam sistem yang terus menerus berkurang terhadap waktu dalam bentuk energi panas atau gesekan maka sistem ini bersifat disipatif (Guckenheimer J& Holmes P 1983). Sebuah sistem yang perilakunya dimasa depan ( atau dimasa lalu ) dapat diperkirakan bila kondisi awalnya diketahui adalah sistem yang deterministik. Setiap sistem mekanik klasik adalah deterministik. Contohnya pada hukum gerak Newton, jika posisi dan momentum pada suatu waktu dapat ditentukan maka perilaku sistem dapat ditentukan untuk waktu-waktu lainnya. Sedangkan sistem non-deterministik menggunakan konsep probabilitas untuk menggambarkan perilakunya terhadap waktu. Molekul gas dalam termodinamika, teori kinetik gas, gerak brown, dan kuantum merupakan contoh sistem probabilistik (Guckenheimer J & Holmes P 1983). 4.. Persamaan Differensial Orde Pertama Sistem persamaan differensial orde pertama interaksi dua persamaan differensial terkopel (Hirsch MW et al 004) dapat dinyatakan sebagai: dx dt dy dt f ( x, y) 1 f ( x, y) (6)
f 1 dan,f adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem persamaan differensial disebut sebagai sistem persamaan differensial mandiri (Autonomous). 4..3 Titik Kritis (critical point) Analisis sistem persamaan differensial sistem dua persmaan terkopel sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu * (Hirsch MW et al 004), yaitu untuk tiap dx / dt 0, dy / dt 0. Titik kritis ( x *, y ) dari sistem dapat diperoleh dengan menentukan dx / dt 0, dy / dt 0 (7) 4..4 Konstruksi Matrik Jacobi Dengan melakukan pelinieran pada persamaan interaksi dua persamaan terkopel maka diperoleh matriks Jacobi (Hirsch MW et al 004) berikut : f 1 f 1 x 1 x J i (8) f f x 1 x 4..5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen Diberikan matrik dengan koefisien konstan J berukuran homogen berikut: Suatu vektor tak nol x dalam ruang untuk suatu skalar berlaku: Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari J. x Jx, x( 0) x0 (9) n n dan SPD n disebut vektor eigen dari J jika Jx x (30)
3 Untuk mencari nilai eigen dari matrik J maka persamaan (30) dapat ditulis kembali sebagai: ( J I ) x 0 (31) Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan (31) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika p( ) det( J I ) J I 0 (3) Persamaan (3) disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi (Hirsch MW et al 004). 4..6 Orbit Kestabilan Berdasarkan uraian di atas maka kestabilan titik kritis memiliki tiga kondisi (Hirsch MW et al 004), yaitu Stabil, jika : a. tiap nilai eigen real adalah negatif ( 0 untuk semua i ) b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih kecil atau sama dengan nol, Re ( ) 0 untuk setiap i. i i Tak Stabil, jika : a. tiap nilai eigen real adalah positif ( 0 untuk semua i ) b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih besar dari nol, Re( ) 0 untuk semua i. i i Saddle, jika : Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif ( i j ) 0 untuk sembarang i dan j. Titik saddle ini bersifat tak stabil.
4 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Gambar 8. Orbit kestabilan disekitar titik kritis; (a) spiral stabil, (b) spiral tak stabil, (c) titik saddle, (d) center, (e) titik stabil dan (f) titik tak stabil (Hirsch MW et al 004) 4..7 Bifurkasi Hopf Bifurkasi secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu perubahan karakteristik orbit kestabilan disuatu titik kritis yang biasanya ditandai dengan kehadiran suatu limit cycle. Sebagai contoh sederhana terjadinya bifurkasi pada persamaan van der Pol berupa persamaan diferensial pada R (Hirsch MW et al 004). dx y x dt dx x dt 3 x (33) Dengan parameter berada pada interval [-1, 1]. Dengan menggunakan Linierisasi diperoleh nilai eigen berikut : 1 4 (34) Kemudian dari nilai eigen tersebut dapat diamati sebuah bifurkasi pada titik kritisnya ketika parameter divariasikan sebagai berikut :
5 Gambar 9. Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter divariasikan (Hirsch MW et al 004) 4.3 Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo Untuk memperoleh letak titik kritis dapat ditentukan melalui analisis nullcline dari tiap persamaan Fitzhugh-Nagumo,yaitu sebagai berikut, v nullcline terjadi pada saat w 0, sehingga diperoleh; 1 w v v 3 3 I w nullclline terjadi pada saat v 0, sehingga diperoleh; (35) v a w (36) b Dari persamaan (35) dan (36) di peroleh persamaan kubik sebagai berikut, 1 a v 3 v 1 I 0 (37) 3 b Dari persamaan (37) dapat diperoleh tiap titik kritis untuk setiap arus eksternal yang diberikan (Izhikevich EM 007).
6 4.4 Matrik Jacobian Model Fitzhugh-Nagumo Dengan mensubstitusikan persamaan (5) kedalam persamaan Jacobi (8) diperoleh matriks Jacobi untuk model Fitzhugh-Nagumo sebagai, J 1 v 1 b (38) 4.5 Nilai Eigen dan Syarat Kestabilan Model Fitzhugh-Nagumo Dari persamaan (3) diperoleh persamaan karakteristik untuk persamaan Fitzhugh-Nagumo : ( 1 v ˆ b) ( b bvˆ ) 0 (39) sebagai Sehingga nilai eigen dari persamaan karakteristik tersebut dapat ditulis 1, (1 vˆ b) (1 vˆ b) 4( b bvˆ ) Maka kondisi stabil dari ruang fase akan diperoleh jika memenuhi ketentuan, 1 vˆ b bvˆ b 0 0 (40) (41) 4.6 Analisis Kestabilan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo Melalui perhitungan numerik menggunakan software Maple 11, dengan mensubstitusikan parameter ke dalam persamaan (5) dapat diperoleh nilai eigen dari tiap parameter yang divariasikan dan melalui simulasi Matlab 7.01 diperoleh grafik ruang fase dan Dinamika dari tiap parameter yang digunakan pada persamaan Fitzhugh Nagumo. Melalui analisis kestabilan dari nilai eigennya kita dapat menentukan jenis kestabilan yang terjadi di sekitar titik kritisnya dan parameter kritis terjadinya bifurkasi pada titik kritisnya (Hirsch MW et al 004; Izhikevich EM 007). Dalam penelitian ini yang akan divariasikan adalah
7 besarnya arus eksternal yang diberikan I dan parameter tetap yaitu a = 0.7, b = 0.8, = 0.08. Dengan menggunakan software maple 11 diperoleh hasil numerik sebagai berikut : Tabel 1. Analisis numerik kestabilan titik kritis model Fitzhugh-Nagumo No Variasi I eks Titik kritis Nilai eigen kestabilan 1 0.00-1.1994,-0.643-0.513 0.11900 i Spiral stabil 0.3-0.9769,-0.3461-0.009176 0.774 i Spiral stabil 3 0.33-0.9685,-0.3357-0.001045 0.757 i Limit cycle 4 0.50-0.1311,-0.8048 +0.1441 0.191500 i Spiral tak stabil 5 1.5 1.8810, 0.8048 +0.1441 0.191500 i Spiral tak stabil 6 1.4.0857, 0.9685-0.001045 0.757 i Spiral stabil 7 1.43 0.9769,.0961-0.009176 0.774 i Spiral stabil 8 1.45 0.9933,.1166-0.053 0.800 i Spiral stabil 9 1.50.1656, 1.035-0.06501 0.8800i Spiral stabil 10.00 1.3341,.546-0.641, -0.06 Stabil node 4.6.1 Kasus Arus Stimulus I = 0 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. (a) (b) Gambar 10. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
8 Dari perhitungan numerik pada tabel 1 diketahui bahwa ketika arus yang eksternal yang diberikan I = 0 maka menghasilkan nilai eigen berupa nilai kompleks dengan bagian real bernilai negatif menunjukkan bahwa titik kritis tersebut bersifat spiral stabil artinya berapapun kondisi awal yang diberikan maka trayektorinya akan menuju titik kritis tersebut membentuk spiral. Namun, jika dilihat pada grafik Dinamikanya terhadap waktu maka pada saat I = 0 tidak tejadi osilasi karena potensial aksi dan potensial recovery langsung menuju kestabilan yaitu pada saat neuron berada pada fase istirahat. Gambar 10 model Fitzhugh- Nagumo menunjukkan suatu kemiripan secara kualitatif dengan gambar 3 pada model Hodgkin-Huxley. 4.6. Kasus Arus Stimulus I = 0.33 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 11 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat stable limit cycle. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 0.33 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real mendekati nol sehingga terbentuk trayektori yang bergerak mengelilingi titik kritisnya dengan lintasan tertutup. Pada gambar 11(b) dan 11(c) terlihat terjadinya osilasi potensial aksi v dan potensial recovery w menuju kestabilan. Gambar 11 dari model Fitzhugh- Nagumo memiliki kesamaan secara kulitatif dengan gambar 5 dari model Hodgkin-Huxley. Dari gambar terlihat potensial aksi berbeda fase dengan potensial recovery secara periodik.
9 (a) (b) (c) (d) Gambar 11. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0.33 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil limit cycle, (b) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 (c) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 dan (d) grafik 3D v,w terhadap t Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 004; Medvedev GS, Yoo Y 007), pada parameter I = 0.33 merupakan parameter kritis terjadinya transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori limit cycle dan ketika parameter I dinaikan menjadi I = 0.5 mulai terjadi transisi dari stabil limit cycle menjadi spiral tak stabil sebagaimana terlihat dalam tabel 1. 4.6.3 Kasus Arus Stimulus I = 1.5 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 1 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral tak stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.5 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai positif sehingga
30 terbentuk trayektori yang bergerak menjauhi tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral tidak stabil. titik kritisnya dengan lintasan (a) (b) Gambar 1. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.5 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral tak stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t. Dari gambar 11 (c) dan 1 (b) memperlihatkan fenomena osilasi pada potensial aksi yang frekuensinya bertambah besar seiring dengan bertambah besarnya arus eksternal yang melewati membran, hal ini sejalan dengan hasil yang didapat pada model Hodgkin-Huxley. Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 004; Medvedev GS, Yoo Y 007), pada parameter I = 0.5 merupakan parameter kritis terjadinya transisi dari orbit spiral tak stabil menjadi orbit trayektori spiral stabil menuju keadaan istirahat. 4.6.4 Kasus Arus Stimulus I = 1.43 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 13 berikut memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.43 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori yang bergerak mendekati titik kritisnya dengan lintasan tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 13(b) mulai memperlihatkan fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi
31 dimana berapapun arus diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang bergerak menuju kestabilan pada keadaan istirahat. (a) (b) Gambar 13. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.43 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t. 4.6.5 Kasus Arus Stimulus I = 1.45 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. (a) (b) Gambar 14. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.45 (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 14 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.45 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori
3 yang bergerak mendekati titik kritisnya dengan lintasan tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 14 (b) mulai memperlihatkan fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi dimana berapapun arus diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang bergerak menuju kestabilan pada keadaan istirahat. Pada konsisi ini penambahan arus eksternal hanya akan menambah kecepatan potensial membran menuju stabil pada keadaan istirahat. 4.6.6 Kasus Arus Stimulus I = Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (5) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. (a) (b) Gambar 15. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil node (b) Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 15 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat stabil asimtotik. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori yang bergerak mendekati titik kritisnya tanpa osilasi. Keadaan ini memperlihatkan bahwa potensial membran sudah stabil sehingga arus yang diperbesar tidak lagi berpengaruh. Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 004; Medvedev GS, Yoo Y 007), pada parameter I =.0 merupakan parameter kritis terjadinya
33 transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori stabil node menuju keadaan istirahat yang sudah tidak dipengaruhi lagi oleh perubahan oleh arus eksternal.