MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi untuk arah pergerakan suatu subjek. Setiap subjek yang bergerak dapat dinyatakan dengan vektor. a. Unsur-Unsur Vektor Vektor memiliki unsur-unsur sebagai berikut:. Pangkal vektor. Ujung vektor. Panjang vektor Perhatikan gambar dibawah ini! A B A adalah pangkal vektor, B adalah ujung vektor, dan panjang garis AB adalah panjang vektor AB. b. Notasi Vektor Vektor dinotasikan dengan penulisan huruf pangkal dan ujung disatukan dengan dilengkapi tanda panah dibagian atasnya. Vektor pada gambar diatas dapat dinyatakan
dengan AB, yang menunjukkan pergerakan objek dari A ke B sejauh AB. Penulisan AB dengan BA tentunya berbeda, karena vektor terakhir menunjukkan arah gerak yang berlawanan dengan vektor pertama. c. Vektor Satuan pada Sumbu Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang. Vektor satuan pada sumbu adalah vektor yang berimpit pada sumbu koordinat dan memiliki pangkal tepat di titik pusat. Untuk sumbu x, y, dan z berturut-turut vektor satuannya didefinisikan i = [ ] atau [ ] j = [ ] atau [ ] k = [ ] B. VEKTOR POSISI Vektor akan ditempatkan dalam sistem koordinat. Vektor posisi adalah vektor yang memiliki pangkal di pusat koordinat O. Bila disebutkan vektor OA itu berarti vektor tersebut memiliki pangkal di O dan ujung vektor di titik A. Vektor posisi OA dapat dinyatakan dalam bentuk a, begitu pula vektor-vektor posisi yang lain. a. Koordinat Vektor Posisi di Sistem Koordinat Dua Dimensi Vektor posisi dalam sistem koordinat kartesius dinyatakan dalam bentuk macam bentuk, yaitu bentuk matriks baris, matriks kolom atau dalam bentuk vektor satuan. Perhatikan gambar berikut! y 9 5 B 4 A 4 5 9 x
Terlihat bahwa koordinat titik A adalah (, ), maka vektor OA dapat dinyatakan dalam bentuk penulisan, yaitu OA =a= [ ] = =i+j Demikian pula dengan vektor OB =b= [ 5 ] = 5 =i+5j b. Koordinat Vektor Posisi pada Sistem Tiga Dimensi Koordinat vektor posisi tiga dimensi tidak berbicara posisi secara vertikal dan horizontal, tetapi melibatkan arah masuk dan keluar. Prinsipnya tidak jauh berbeda dengan sistem dua dimensi. Bila dua dimensi hanya melibatkan posisi x dan y, sedangkan vektor untuk tiga dimensi melibatkan posisi x, y, dan z. z z k p P (x, y, z) i O i y y x x Vektor OP dapat dinyatakan x OP = x y z = [ ] y =xi+yj+zk z c. Panjang Vektor Vektor posisi baik untuk dua dimensi atau tiga dimensi dapat ditentukan dengan mudah menggunakan dalil Pythagoras. a= x y [ ] maka panjang a ditulis a= x +y dan a= x y z [ ] maka panjang a ditulis a= x +y +z
CONTOH SOAL. Perhatikan gambar berikut! y 9 A 5 4 4 5 9 x Carilah koordinat vektor a dan panjangnya! Karena koordinat A (, ) maka a= dan a= + =. Perhatikan gambar berikut! z A x y Koordinat vektor OA dan panjangnya adalah. 4
OA = fioa= + + = 4 C. VEKTOR NONPOSISI Vektor nonposisi adalah suatu vektor yang pangkalnya tidak tepat di titik pusat. Perhatikan gambar berikut: y 9 5 B 4 A 4 5 9 x Vektor AB adalah contoh vektor nonposisi karena pangkalnya ada di titik A (, ). Kemudian bagaimana menyatakan vektor AB? Karena vektor didefinisikan sebagai besar dan arah perpindahan, maka bisa kita simpulkan bahwa pergeseran dari titik A menuju B dengan menggeser 5 satuan ke kiri (-5) dan satuan ke atas (+), sehingga vektor AB dapat dinyatakan sebagai berikut: AB = - = - [ ] =-i +j Hanya saja tidak setiap vektor praktis untuk digambar, maka diperlukan bentuk umum atau rumus mencari vektor nonposisi. Rumus umum untuk mencari vektor posisi baik di dua dimensi atau tiga dimensi adalah AB =b a Dimana a dan b adalah vektor-vektor posisi. 5
CONTOH SOAL. Bila diketahui bidang R dimana P(, 4) dan Q(-,5), maka dan panjangnya adalah. Karena P(, 4) maka p= 4 QP =p-q= 4 - - 5 = - Maka panjang QP = +(-) = [ ] dan q= [- 5], maka [ ] [ ] [ ] (sifat pengurangan sebagaimana pengurangan matriks). Bila diketahui bidang R dimana A(-,, 4) dan B(-, 4, 5) maka vektor AB dan AB - - -4 AB =b a= 4 = 5 4 AB = -4 + + = ( ) adalah. a. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dikatakan sama bila memenuhi dua syarat, yaitu:. Panjang kedua vektor sama.. Arah kedua vektor sama.. Perhatikan gambar berikut ini! y CONTOH SOAL 9 5 4 A Q P L K B D C 4 5 9 x
Manakah vektor-vektor yang sama pada gambar di atas? Pembahasan AB =PQ karena panjang dan arahnya sama (panjangnya 9 dan arahnya ke atas), sedangkan AB LK karena arahnya saling berlawanan, juga AB CD karena arahnya tidak sama walaupun panjangnya sama.. Perhatikan gambar jajaran genjang berikut! D C(, 4, ) A(,, ) B(4,, 5) Gunakan sifat kesamaan vektor untuk menemukan koordinat D! D C(, 4, ) A(,, ) B(4,, 5) Vektor-vektor sama yang bisa diambil adalah AB =DC b a=c d d=a b+c 4 - d= + 4 = 4 5 Maka koordinat D (-,4,)
b. Vektor Satuan Dari Vektor Nonposisi Perhatikan gambar berikut! Q D C B A P Bila panjang vektor PQ adalah 5 satuan panjang, kemudian dibagi 5 bagian, maka akan terbentuk vektor-vektor yang memiliki panjang. Vektor PA =AB=BC =CD=DQ semuanya adalah vektor satuan PQ, dinotasikan e PQ dimana e = PQ PQ PQ CONTOH SOAL. Tentukan vektor satuan dari vektor AB = [ 4]! vektor satuan dari vektor e = AB AB = +4 4 = 5 4 = 4 AB [ ] [ ] 5 5 kita bisa buktikan bahwa e AB = c. Minus Suatu Vektor Minus suatu vektor akan mengubah arah dari suatu vektor tanpa mengubah panjangnya, sehingga AB =-BA
CONTOH SOAL a-. Diketahui AB = -,PQ= b+, dan AB =QP, maka nilai dari a, b dan c adalah. c+ AB =QP AB =-PQ a- - =- b+ c+ Kita kerjakan sebagaimana kita mengerjakan matriks -a + - = -b -c -a += a=- -b =- b= -c = c =-4 D. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR Pengertian geometris operasi penjumlahan, pengurangan dan kali konstanta pada vektor. Diketahui pada bidang R vektor a= [ x y] dan b= x y. a b= [ x x y y]. untuk k konstanta tidak nol, maka berlaku ka = kx ky [ ] maka berlaku [ ]. Jika vektor a= 5,b= 4 a=, b=5, maka CONTOH SOAL [ ] [ ]maka nilai dari aa+bb =. 9
aa+bb= 5 +5 4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = 5 5 +5 =. Jika vektor a= maka panjang dari vektor 5a adalah. 5a =5 = 5 Maka 5a = 5 + = 5. Diketahui a= i -j,b =-i+4j a= -,b = - 4 dan r = -, maka r=ka mb - =k m - - 4 k +m = - -k 4m dan r=i j. Jika r=ka mb, maka k + m =. Dengan eliminasi akan didapatkan nilai k = dan m = a. Penjumlahan Vektor Perhatikan gambar berikut! Misal didefinisikan bentuk vektor a dan b a b
Maka hasil atau resultan dari a+b adalah a b a+b Menghubungkan ujung vektor a dengan pangkal vektor b. Hasilnya dengan menghubungkan pangkal vektor a pada ujung vektor b (metode segitiga) atau a b a+b Menghubungkan kedua pangkal vektor, kemudian membuat garis sejajar vektor a pada ujung vektor b, dan membuat garis sejajar vektor b pada ujung vektor a. Resultannya adalah dari pertemuan titik pangkal ke titik potong dua garis sejajar. (metode jajaran genjang). Dengan menggunakan metode segitiga dapat disimpulkan resultan dari penjumlahan vektor-vektor adalah vektor yang memiliki pangkal vektor pertama dan memiliki ujung vektor terakhir, sebagai contoh AB +CD+EF =AF. Diketahui vektor AB = - dan AC = CONTOH SOAL, maka panjang vektor CB adalah.
CB =CA+AB = -AC+AB =- + - = - - Maka panjang vektor CB = +(-) +(-) =. Vektor PQ = PS = PQ [ ] dan vektor PR = [ ]. Jika PS = PQ, maka vektor RS =. [ ] = = Maka RS =RP+PS =-PR +PS = -[ ] + = - - b. Pengurangan Vektor Resultan dari a b adalah a-b=a+ ( -b ) a - b
c. Perkalian Angka dengan Vektor a ka dengan k > ka dengan < k < ka dengan k < - ka dengan - < k < Perkalian suatu vektor dengan angka, akan mengubah panjang dan arah vektor. Terlihat jelas dalam gambar bila k > maka vektor memiliki arah sama tetapi lebih panjang, bila < k < vektor menjadi lebih pendek tetapi arahnya sama, bila k < - vektor menjadi lebih panjang akan tetapi arahnya berlawanan, dan bila - < k < maka vektor menjadi lebih pendek dan berlawanan arah dengan sebelumnya. Bila kalian perhatikan semua vektor yang telah dikalikan memiliki posisi yang sejajar, oleh karena itu bisa diambil kesimpulan sebagai berikut a b atau a berimpit dengan b. Jika dan hanya jika terdapat k sehingga b=ka. CONTOH SOAL. Diketahui A(,, ), B(,, ), C(, m, -). Jika A, B, dan C segaris (kolinear), maka nilai k adalah. Dari garis yang mengandung A, B, dan C dapat dibentuk vektor sejajar atau berimpit, misal AB dan BC, maka akan berlaku AB =kbc (b a) =k c b ( )
=k m - 4 =k m - -4 Maka didapat dari baris pertama =4k k= Sehingga pada baris kedua = k(m ) = (m ) =m m=5 d. Perbandingan Vektor Didefinisikan vektor OC :OB sebagaimana gambar berikut: A a C O c= b B Dimana diketahui perbandingan AC :CB=m:n, maka vektor C dapat ditentukan mb +na c= m+n Karena AC :CB searah maka m dan n memiliki kesamaan tanda (sama-sama positif atau sama-sama negatif). Apabila AC : CB tidak searah maka m dan n berlawanan tanda. Kasus m dan n berlawanan bila titik C membagi AB di luar garis. 4
CONTOH SOAL. Diketahui titik A(,, -4), B(, -4, ), dan C(-, 5, 4). Titik P membagi AB sehingga AP : PB = :, maka vektor p adalah Dengan menggunakan rumus di atas b +a AP :PB=: p= 5-4 + -4 p= 5 5 - p= 5 p= -. Bila diketahui A(5, ) dan B(, 4). Bila C membagi di luar dengan perbandingan AC : CB = :, maka koordinat C adalah Karena C membagi AB di luar maka AC :CB=:- sehingga c= b a = [ 4 ] [ 5 ] = [- 5] Maka koordinat C (-, 5). Perhatikan gambar berikut! C M E A B 5
Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut. Jika u=ab dan v=ac maka ruas garis berarah ME dapat dinyatakan. AB +AC E adalah titik tengah BC, maka BE :EC=: AE= = u+v Karena M titik berat dan AE adalah garis berat maka selalu berlaku ME = AE = u+v = u+v ( ) LATIHAN SOAL. Perhatikan gambar berikut! y Q P x Vektor p dapat dinyatakan A. B. C. D. E.
. Vektor q dapat dinyatakan. A. D. B. E. C.. Vektor QP dapat dinyatakan. A. D. B. - E. - - C. - 4. Perhatikan gambar berikut! Z W V U P y x Q O R T Vektor p adalah. A. D. B. E. C.
5. Vektor PR adalah. A. D. B. E. C.. VP =. A. 4 D. 5 B. 45 E. 5 C. 49. 5 Jika vektor a=,b = 4 dan c= - maka vektor a b+c sama dengan. - 5 A. D. - - B. - E. - C. - -. Jika a= i j+k,b = i 4j k dan c=i j +k, maka a +b 4c adalah A. 9 D. 4 B. 4 E. 4 C. 4
9. Diketahui AB = ti j+hk dan PQ = t+ i+j+k t berturut-turut. A. - dan - D. - dan B. dan - E. dan C. - dan - ( ). Jika AB =QP, maka nilai dari h dan. Diketahui segi enam beraturan ABCDEF. Jika AB =u AB +AC+AD +AE+AF =. A. u +v D. u +v B. u +v E. u +v C. u +v dan AF =v maka. Pada jajaran genjang ABCD, vektor-vektor posisinya a =(,,),b =(,-,5),dan c =(4,,) maka BD =. Jika titik P,-,,Q(,, ) dan R(4,, a) terletak pada satu garis lurus, maka a =. Diketahui a=-5i+j, jika PQ =a dan PQ berlawanan arah dengan a, maka koordinat titik Q adalah. 4. Ditentukan titik-titik P(-,, ) dan Q(-4,, 5). Jika T pada ruas garis PQ dan PT =, maka QT vektor posisi T adalah. 9