LINGKARAN IRISAN DUA LINGKARAN Oleh : Saptana Surahmat Konsep hubungan dua lingkaran sangat penting dalam kehidupan kita. Sepasang roda pada sepeda, sepeda motor, kendaraan bermotor, roda gigi pada pengatur kecepatan mesin, dan lainlain adalah beberapa contoh penerapan hubungan antar lingkaran dalam kehidupan manusia. Pada pembelajaran kali ini akan mempelajari hubungan antar lingkaran secara konseptual. Sebagai mana sudah kita pahami, bahwa lingkaran adalah bangu dua dimensi yang memiliki titik pusat dan jari-jari. Dalam aljabar, sebuah lingkaran dapat disajikan dalam tiga bentuk persamaan, yakni : 1. x + y = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjarijari r.. (x a) + (y b) = r merupakan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r. 3. x + y 1 1 + Ax + By + C = 0 merupakan lingkaran yang berpusat di A, B dan berjarijari r = 1 1 A + B C. Bila diketahui dua lingkaran dan keduanya digambar pada bidang yang sama, maka antara keduanya dapat terjadi hubungan, antara lain : 1. Kedua lingkaran sepusat (kosentris) dengan kondisi seperti gambar 1a dan 1b. Gambar 1a. Kedua lingkaran berimpitan Gambar 1b. Salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1
LINGKARAN. Kedua lingkaran tidak sepusat. Dengan kondisi seperti gambar di bawah ini. Gambar 1c. Lingkaran yang satu berada di dalam lingkaran lain dan tidak bersinggungan Gambar 1d. Lingkaran yang satu berada di dalam lingkaran lain dan bersinggungan Gambar 1e. Kedua lingkaran saling berpotongan Gambar 1f. Kedua lingkaran bersinggungan di luar. Gambar 1g. Lingkaran yang satu berada di luar lingkaran lain dan tidak bersinggungan Melalui gambar, hubungan dua lingkaran dapat dengan mudah ditentukan. Namun lain halnya bila kedua lingkaran disajikan dalam bentuk aljabar. Untuk dapat menentukan hubungan dua lingkaran secara aljabar, perlu ditelaah hubungan antara unsur-unsur yang terdapat dalam lingkaran. Dalam hal ini hubungan antara titik pusat dan jarijari dari kedua lingkaran. Misalkan terdapat dua lingkaran L 1 dan L. Lingkaran L 1 yang berpusat di P 1(x 1, y 1) dan berjari-jari R 1, dan lingkaran L berpusat di P (x, y ) dan berjari-jari R. Hubungan L 1 dan L dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Dari gambar di atas tampak P 1P > R 1 + R dengan P 1P menyatakan jarak kedua titik pusat atau 1 = 1 + 1 PP ( x x ) ( y y ) MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB
LINGKARAN Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa dua lingkaran dikatakan saling lepas di luar jika terpenuhi hubungan P 1P > R 1 + R. Dengan cara yang sama, hubungan dua lingkaran untuk kondisi lainnya dapat ditentukan berdasarkan ketentuan : No. Bentuk Hubungan Syarat Keterangan 1. P 1P = R 1 + R Kedua lingkaran bersinggungan di luar R 1 R < P 1P < R 1 + R Kedua lingkaran berpotongan 3 P 1P = R 1 R Kedua lingkaran bersinggungan di dalam 4 P 1P < R 1 R Kedua lingkaran saling lepas di dalam. 5 P 1P = 0, dan R 1 R Kedua lingkaran sepusat (Kosentris) dan saling lepas. MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 3
LINGKARAN No. Bentuk Hubungan Syarat Keterangan 6. P 1P = 0, dan R 1 = R Kedua lingkaran berimpit. Contoh 1. Ditentukan lingkaran L 1 : x + y = 9 dan L : (x 1) + (y + ) = 4. Jelaskan hubungan antara kedua lingkaran tersebut! Penyelesaian : L 1 : x + y = 9 Pusat di P 1(0, 0) dan jari-jari R 1 = 9 = 3 L : (x 1) + (y + ) = 4 Pusat di P (1, -) dan jari-jari R = 4 = 1 PP = (1 0) + ( 0) = 5 R 1 + R = 3 + = 5; R 1 R = 3 = 1 Berdasarkan hasil di atas, tampak bahwa R 1 R < P 1P < R 1 + R. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran saling berpotongan. Contoh. Tunjukan bahwa lingkaran L 1 : x + y 4x 6y + 4 = 0 dan L : x + y 4x y + 4 = 0 bersinggungan di dalam! Penyelesaian : Agar dua lingkaran bersinggungan di dalam, harus dipenuhi P 1P = R 1 R. L 1 : x + y 4x 6y + 4 = 0 Pusat di P 1(, 3) dan jari-jari : 1 1 R 1 = ( 4) + ( 6) 4 = 4+ 9 4 = 9 = 3 L : x + y 4x y + 4 = 0 Pusat di P (, 1) dan jari jari : MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 4
LINGKARAN 1 1 R 1 = ( 4) + ( ) 4 = 4+ 1 4 = 1 = 1 Dari hasil di atas diperoleh : 1 PP = ( ) + (3 1) = 4 = R 1 R = 3 1 = Karena P 1P = R 1 R, maka dapat disimpulkan kedua lingkarang bersinggungan di dalam. Contoh 3. Tentukan m agar lingkaran x + y = 4 dan x + y x + my 9 = 0 bersinggungan di luar. Penyelesaian : L 1 : x + y = 4 Pusat di (0, 0) dan jari-jari R 1 = L : x + y x + my 9 = 0 Pusat di (1, m ) dan jari-jari : 1 1 R = ( ) + ( m) ( 9) = 1+ m + 9 = 10+ m PP = (1 0) + ( m 0) = 1 + m 1 R1 + R = + 10 + m Agar kedua lingkaran bersinggungan di luar, maka harus dipenuhi : P 1P = R 1 + R 1 + m = + 10 + m 1 + m = + 10 + m 1 + m = 4 + 4 10 + m + 10 + m 1 = 4 10 + m + 14 13 = 4 10 + m 13 = 4 10 + m ( ) 169 = 16(10 + m ) 169 = 160 + 16m 9 = 16m 9 m = 16 3 m = ± 4 MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 5
LINGKARAN Jadi agar kedua lingkaran saling bersinggungan di dalam, maka m = 3 4 atau m = 3. 4 Gambar a. Hubungan L 1 dan L untuk m = 3 4 Gambar b. Hubungan L 1 dan L untuk m = 3 4 Soal Latihan 1. Selidikilah hubungan lingkaran-lingkaran berikut : a. L 1 : (x ) + (y + 1) = 4 dan L : x + y 4x + y 4 = 0 b. L 1 : (x 1) + (y 4) = 9 dan L : (x + 1) + y = 4 c. L 1 : x + y + x 3 = 0 dan L : x + y 4x -8y + 11 = 0 d. L 1 : x + y + x + y + 1 = 0 dan L : x + y 4x 6y 3 = 0. Tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar dengan lingkaran x + y x 4y 0 = 0 di titik A(5, 5)! 3. Tunjukan bahwa lingkaran L 1 : x + y 4x y 4 = 0 dan L : x + y 1x 8y 1 = 0 bersinggungan dan tentukan koordinat titik singgungnya! 4. Diberikan dua lingkaran berikut : L 1 : (x 1) + (y 3) = r, dan L : x + y + 6x + y 15 = 0. Jika L 1 dan L berpotongan, buktikan bahwa < r < 8! 5. Diketahui lingkaran L 1 : x + y x 4y 4 = 0 dan L : x + y 10x 1y + 40 = 0. Tunjukan bahwa kedua lingkaran saling berpotongan dan tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 4 satuan yang melalui titik potong L 1 dan L! MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 6