BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka ddapatka gambara matks secara keseuruha. Karea tu, dapat dtus sebaga suatu barsa baga a 2 a 3 a 32 a 4 a 42 a 43...a m(m-) a a 22 a 33...a mm dmaa baga pertama (a 2 a 3 a 32 a 4 a 42 a 43...a m(m-) ) berkorespodes pada semua eeme dbawah dagoa utama, da baga seajutya (a a 22 a 33...a mm ) berkorespodes dega dagoa utama. Sebaga cotoh perhatka graf da pewaraaya pada Gambar 3. wara 0 2 wara 0 4 wara 3 wara 2 Gambar 3. Karea a 2 a 3 a 32 a 4 a 42 a 43 a a 22 a 33 a 44 = 0 0 0 0 2, dperoeh m = 00002. 0
3.2 Pegeompoka Ttk Pada Graf Terwara Mewara suatu graf G mejad graf -terwara ekae dega memparts ttk-ttk pada graf G mejad hmpua, sedemka sehgga setap ttk d satu hmpua tdak terhubug. Defs 3. Derajat kebebasa suatu ttk pada graf G utuk suatu pewaraa tertetu adaah jumah wara mma yag dapat dguaka utuk mewara ttk tersebut sehgga tdak ada dua ttk yag bertetagga megguaka wara yag sama. Setap ttk-ttk pada graf G dega χ ( G) = dapat dkeompokka ke daam jes berkut :. Ttk jes pertama Merupaka ttk dega derajat kebebasa sama dega. Pada setap kemugka pewaraa graf, ttk jes pertama seau memk derajat kebebasa yag tetap, yatu. Sebaga cotoh yatu ttk-ttk pada graf egkap K. 2. Ttk jes kedua Merupaka ttk-ttk dega derajat kebebasa sama dega y, dmaa < y< ; y, pada setap pewaraa graf tersebut. wara-2 2 4 3 wara-2/3 wara- wara-3 Gambar 3.2
Graf G pada Gambar 3.2 datas mempuya ttk jes kedua, yaktu 4 dega derajat kebebasa 2. Karea tu, matrks ketetaggaa spesa A* dar graf G datas adaah 2 3 4 2 3 2 3 0 0 0 0 2/3 4 3. Ttk jes ketga Merupaka ttk dega derajat kebebasaya berubah, sesua dega poa pewaraa yag dberka. wara wara3 wara wara 3 3 wara 2 wara 2 2 2 wara 3 wara wara 3 wara 3 6 4 6 4 5 5 wara 2 wara /2 (a) (b) Gambar 3.3 Pada graf datas, ttk 5 merupaka ttk jes ketga, karea derajat kebebasa ttk tersebut berubah sesua dega poa pewaraa yag dberka. Pada Gambar 3.3 (a) derajat kebebasa 5 adaah, sedagka pada gambar 3.3 (b) derajat kebebasa 5 adaah 2. 2
Matrks ketetaggaa spesa A* dar graf datas adaah 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 3 0 4 4 0 0 0 2 0 0 0 /2 5 5 0 0 3 0 0 3 6 6 (a) (b) 3.3 Graf Tereduks Utuk setap graf G, dapat dbetuk subgraf yag haya terdr atas ttk-ttk jes pertama. Utuk setap subgraf, kta dapat memperoeh hmpua ttk mma yag meetuka -terwara dar subgraf tersebut. Oeh karea tu, ttk-ttk dapat dreduks mejad hmpua yag ebh kec. Struktur (baga) dar graf yag tereduks merupaka sebuah hmpua ttk jes pertama mma yag meetuka -terwara pada graf terhubug yag dbetuk oeh ttk-ttk jes pertama. wara 3 4 wara wara 2 wara wara 2 2 dreduks mejad 2 3 3 6 5 wara 3 wara 2 wara 3 wara Gambar 3.4 3
3.4 Meetuka Rahasa (ecodg) dar Graf Terwara Graf yag aka dguaka daam membetuk skema pembaga rahasa yag dgka adaah graf yag terdr atas ttk jes pertama da kedua. Dega meetuka suatu pewaraa- dar graf tersebut, dperoeh hmpua ttk dmaa ttk-ttk daam satu hmpua tdak terhubug. Terdapat dua baga terpsah dar rahasa yag dapat dbag, yatu baga yag dbetuk oeh ttk-ttk jes pertama da baga yag dbetuk oeh ttk-ttk jes kedua. Jka haya satu baga yag dketahu, maka ssaya mash tetap merupaka suatu rahasa, meskpu peuag utuk memecahka rahasa tersebut aka semak besar. 3.4. Membag ttk-ttk jes pertama Sebaga agkah awa, tetuka baga tereduks utuk ttk-ttk jes pertama dar graf G. Masg-masg ttk, =, 2,..., dar baga tereduks dtada dega wara s dmaa s k, χ ( ) k > G =. Tetu, haya buah dar k wara yag dapat dguaka. Daam ha, rahasa yag aka dbag megguaka satu k dar! poa pewaraa yag mugk. Baga tereduks dapat dtuska daam betuk suatu ektor dar baga, {,,..., } S = s s s dmaa s, j =,2,..., adaah wara-wara yag 2 j k dguaka utuk mewara ttk-ttk pada baga tereduks, ttk-ttk dtus beruruta sesua dega deks. Agortma : Ekrps ttk-ttk jes pertama.. Dketahu pewaraa- ttk dar graf G 2. Tetuka baga tereduks utuk ttk-ttk jes pertama dar graf G. 3. Susu wara-wara yag dguaka secara beruruta sesua dega baga as. Kemuda, omor dega baga dar hmpua 4
{ 0,,..., }. I dakuka mua dar eeme terkec pada hmpua k kombas wara yag dguaka. Dega demka, dperoeh pemetaa dar ke. k 4. Seesa. 3.4.2 Membag ttk-ttk jes kedua Jka poa pewaraa ttk-ttk jes kedua (satu baga dar rahasa) dketahu, maka wara yag dguaka dar k wara yag terseda dapat dketahu. Utuk meghdar, wara-wara dar k harus dgatka oeh wara-wara dar. I dakuka dega megguaka pemetaa k pada utuk ttk jes pertama sebeumya. yag dperoeh Utuk ttk-ttk jes kedua, defska: a. adaah jumah wara yag tdak boeh dguaka oeh ttk tertetu. I dtetuka dega memerksa ttk-ttk jes pertama yag bertetagga dega. Dega jeas, setap wara yag dguaka utuk meada setap ttk yag bertetagga dega tdak terdapat pada daftar wara yag terseda. b. adaah bayakya wara yag terseda utuk mewara ttk-ttk, = c. = { 0,, 2,..., } d. adaah hmpua wara dar e. w adaah bayakya ttk-ttk jes kedua d graf G. yag terseda utuk ttk. Sesua dega keyataa bahwa graf G adaah -terwara dega megguaka wara-wara d, maka masg-masg ttk teah dwara oeh saah satu 5
wara dar. atat bahwa = sehgga pemetaa satu-satu atara da dapat ddefska. Agortma 2: pemetaa satu-satu atara Utuk setap ttk jes kedua akuka:. Susu eeme dar da baga as. 2. Seteah eeme d da da. secara mooto ak sesua dega dsusu, mereka dapat dabe (eumerated). I dakuka dega dawa dar eeme terkec d megguaka baga beruruta dar { 0,, 2,..., } eeme secara beruruta. 3. Dega meakuka agkah 2, pemetaa atara dketahu, sehgga pemetaa atara da da utuk meyusu da { 0,, 2,..., } juga dketahu. Kemuda masg-masg ttk dapat dapat dwara oeh wara-wara dar 4. Seesa.. Perhatka bahwa sebuah wara yag dguaka utuk mewara ttk-ttk jes kedua tertetu, dapat dkodeka dega sebarag baga dar dega peuag yag sama. Sehgga, ttk jes kedua yag dwara dega megguaka G. tdak memberka formas tetag pegkodea utuk graf Sebagamaa yag dsampaka sebeumya, jka satu baga dar rahasa dketahu, maka ssaya mash tetap merupaka suatu rahasa. Aka tetap, peuag utuk memecahka rahasa tersebut aka semak besar. Berkut aka dbahas besarya kemugka seseorag dapat megetahu rahasa secara keseuruha ketka saah satu bagaya (poa pewaraa utuk saah satu jes ttk) dketahu. 6
. Jka formas rahasa utuk ttk jes kedua dtemuka, maka terdapat k setdakya! kemugka poa pewaraa utuk ttk jes pertama. Ha dsebabka karea tdak ada formas tetag pemha wara dar k wara yag terseda utuk graf G yag dapat damb dar poa pewaraa ttk jes kedua yag dketahu. 2. Jka formas rahasa utuk ttk jes pertama dketahu, maka terdapat a kemugka poa pewaraa ttk jes kedua, dmaa a = = utuk ttk jes kedua da a = utuk aya. Dega megetahu poa pewaraa ttk jes pertama seseorag dapat meetuka wara-wara yag dapat dguaka oeh masg-masg ttk jes kedua, tap tdak ada formas tetag wara maa yag dph. Berkut aka dberka cotoh megekrps poa pewaraa dar suatu graf. Graf 3-terwara dega wara-wara yag dguaka berasa dar 0 5 2 2 2 3 5 4 6 5 5 6 6 7 5 8 matrks A* 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 5 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 5 Gambar 3.5 Matrks A* memberka barsa 000000000000000000052256565. 7
Lagkah. Ttk-ttk jes pertama: 3, 4, 6, 7 memberka betuk tereduks 3, 4, 7. pemetaa pada ddefska sebaga 0 3 3 = 0, 4 =, 7 = 2 (semuaya dar 3 ), megakbatka 2 0,5,6 2. Sehgga pegkodea 3 adaah 3 4 7 02. utuk graf G Lagkah 2. Ttk jes kedua:, 2, 5, 8, peempata wara dar 0 ke 3 adaah = 5, 2 = 2 0, 5 = 6 2, 8 = 5. Karea tu, 2 5 8 berkorespodes dega 02 d pegkodea. 3 Hmpua baga aggota ttk adaah { 0, } {, } {, } { 2} 3 yag tdak boeh dguaka oeh masg-masg 2 5 8. Hmpua baga aggota 3 yag dapat dguaka oeh masg-masg ttk adaah = { } = { } { 0, 2 }, { 0,} 5 5 8 8, 2, 0, 2, 2 2 = =. Pada cotoh = 2 utuk masg-masg ttk, 2, 5, 8 sehgga = 2. Lagkah 3. Pemetaa 3 2 0,2, Pemetaa 3 2 sehgga 0 0,2, Pemetaa 3 2 0 0,. utuk medefska {, 2} { 0,} sehgga utuk 2 da 5 medefska { 0, 2} { 0,} utuk 8 medefska { 0,} { 0,} sehgga Akhrya, 2 58berkorespodes dega 00 daam pegkodea 2. Oeh kareaya, utuk graf G yag dketahu datas, rahasa yag aka dbag adaah 8
00256, dega 00 berkorespodes dega ttk-ttk jes kedua da 256 berkorespodes dega ttk-ttk jes pertama. Bayakya cara yag harus dakuka seseorag utuk megetahu rahasa secara keseuruha ketka saah satu bagaya dketahu adaah: 0 Kasus I 3! = 6! = 720 3 Kasus II, terdapat empat ttk jes kedua, 2, 5, 8 dega = 2 utuk setap ttk, sehgga 8 4 a = 2 = 6. = Pada kedua kasus tersebut, bayakya cara yag harus dakuka seseorag utuk megetahu rahasa tdak terhat terau megesaka. Aka tetap, pada kasus secara umum a tersebut dapat dperbesar sesua dega bayakya wara serta graf yag dguaka. 3.5 Pembuata Skema Pembaga Rahasa Rahasa yag aka dbag dega megguaka skema pembaga rahasa merupaka poa pewaraa dar graf yag teah dekrps sebeumya. Sebagamaa yag teah dsampaka pada bab sebeumya, skema pembaga rahasa yag aka dguaka adaah KGH (Kare-Greee-Hema). Pada metode KGH, rahasa yag aka dbag merupaka suatu ektor dega pajag η. Berdasarka proses ekrps yag teah dakuka sebeumya, ektor rahasa yag aka kta bag pada kasus dperoeh dar ttk-ttk jes kedua serta ttkttk pada baga tereduks dar graf. Pajag ektor rahasa, η, merupaka jumah ttk-ttk jes kedua da ttk-ttk tereduks tersebut. Share yag aka dbagka kepada partspa adaah ektor dega pajag yag sama dega ektor rahasa 9
dmaa eeme-eemeya merupaka aggota hmpua k dega k merupaka baga yag ebh besar dar eeme terbesar pada ektor rahasa. Msaka bayakya partspa yag aka memperoeh share adaah t. Utuk t- buah share dapat dperoeh dega membetuk ektor pajag η yag eemeeemeya aggota k secara acak. Sedagka utuk share yag ke t dapat dperoeh dega megurag ektor rahasa dega jumah t- buah share yag teah ada daam moduo k. Utuk cotoh yag dbahas sebeumya, ektor rahasa yag dperoeh adaah S = ( 0,0,,, 2,5,6). Dapat dph a 9 max ( 0, 0,,, 2,5, 6) k = >. Msaka bayakya pertspa yag aka memperoeh share adaah t = 0, maka 2 3 4 S =(,2,6,2,,3,3), S =(0,4,0,7,0,2,8), S =(3,6,2,6,7,6,2), S =(,2,4,2,7,2,4), 5 6 7 8 S =(,7,2,6,8,4,7), S =(7,0,,,4,0,5), S =(0,6,5,6,6,5,), S =(6,4,3,7,8,4,), 9 0 S =(6,5,8,5,8,2,6), S =(2,0,6,4,7,4,5), dapat mejad saah satu skema pembaga rahasa KGH, kerea jumah dar semua ektor tersebut daam adaah ( ) 9 0,0,,, 2,5,6 S =. 3.6 Proses Memecahka Rahasa (decodg) Utuk memecahka rahasa, agortma dbawah dapat dterapka. Agortma 3 : memecahka rahasa. Partspa yag berhak megetahu rahasa megumpuka share mereka, sehgga rahasa dar graf G (00256 utuk cotoh datas) dketahu. 2. Rahasa dguaka utuk: a. meetapka wara-wara dar k utuk baga tereduks. I juga dapat memberka poa pewaraa dega megguaka (gat bahwa kedua hmpua beruruta sesua baga as). 20
b. Seteah poa pewaraa baga tereduks dketahu, poa pewaraa semua ttk jes pertama dketahu. c. Tetapka wara-wara dar utuk ttk-ttk jes kedua. 3. Dega megguaka poa pewaraa pada ttk jes pertama, utuk setap ttk jes kedua dapat dketahu. 4. Utuk masg-masg ttk jes kedua, tetuka wara ya, dega megguaka baga as. da. Igat bahwa keduaya terurut sesua dega 5. Utuk setap ttk jes kedua, perksa pemetaa k da warawara yag dguaka yag berasa dar k. Dega mejaa prosedur secara egkap, rahasa dapat dketahu.. 2