BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, serta sistematika penulisan skripsi ini. 1.1. Latar Belakang Masalah Model matematika merupakan suatu representasi masalah dalam dunia nyata menggunakan bahasa matematika. Sampai saat ini model matematika tidak hanya digunakan dalam ilmu-ilmu alam seperti fisika, biologi, ilmu kebumian, meteorologi, dan ilmu-ilmu rekayasa, tetapi juga digunakan dalam ilmu sosial seperti ilmu ekonomi. Bahasa matematika yang digunakan sampai saat ini sangat bervariasi, seperti sistem dinamik, statistik, aljabar, analisis, teori permainan, teori antrian, persamaan differensial, dan lain sebagainya. Salah satu dari bahasa matematika tersebut, yang menarik untuk dipelajari adalah persamaan differensial. Sampai pada saat ini teori mengenai persamaan differensial terus mengalami banyak perkembangan, metode-metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan differensial juga bervariasi tergantung dari jenis persamaan yang dipelajari. Dalam bidang ilmu-ilmu dasar misalnya, persamaan differensial selalu digunakan untuk memecahkan masalah seperti pemodelan, persamaan gelombang, distribusi panas, dan sebagainya. Sedangkan dalam bidang ilmu terapan lainnya, persamaan differensial digunakan sebagai alat untuk menentukan solusi ataupun penyelesaian pada persoalan mekanika teknik, rangkaian listrik dalam bidang rekayasa, perkembangbiakan dan peluruhan dari poplulasi pada bidang biologi. Saat mengalami perkembangan dalam masalah pemodelan suatu persamaan differensial biasa mengalami perubahan. Salah satunya adalah mengalami tundaan. Maksud mengalami tundaan disini adalah munculnya sebuah model matematika dengan adanya tundaan waktu atau yang sering disebut dengan persamaan differensial tundaan. 1
2 Tundaan waktu penting dalam pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan pada keadaan sebelumnya. Menurut Haberman tundaan waktu penting untuk dipertimbangkan dalam pemodelan pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi pada waktu sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya atau pada waktu (t τ). Contoh sederhana misalnya dalam bidang biologi, suatu kenyataan bahwa di dalam suatu ekosistem perubahan populasinya tidak selalu monoton (mendekati ataupun menjauhi) kapasitas batas. Hal ini disebabkan karena individu tidak dapat melahirkan secara terus menerus sepanjang hidupnya. Selain itu ada beberapa individu yang tak mampu berkembang biak sama sekali (individu mandul). Gejala tersebut merupakan suatu fenomena dimana suatu individu memerlukan tenggang atau tundaan waktu (time delay) untuk berkembang biak. Untuk membentuk model matematika dari contoh permasalahan tersebut maka digunakanlah model matematika dengan tundaan waktu. Adapun model yang dipakai pastilah menggunakan persamaan differensial tundaan. Secara umum bentuk dari persamaan differensial tundaan adalah sebagai berikut : u (t) = f(t, u(t r 1 ),..., u(t r n )). Lebih khusus, dalam skripsi ini persamaan differensial tundaan yang dipelajari mempunyai bentuk umum sebagai berikut : u (t) = αu(t r), α > 0, r 0 dan didefinisikan sebagai persamaaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Banyak hal yang menarik untuk dipelajari dari bentuk persamaaan differensial tundaan dengan feedback negatif tersebut. Seperti mengenai sifat dari akar-akar persamaan karateristik, kestabilan, serta solusi osillasi. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah mengenai kejadian khusus dari persamaan differensial tundaan yaitu yang disebut dengan persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif dan dicari persamaan karateristiknya. Kemudian, selain itu pada skripsi ini juga menganalisa mengenai sifat-sifat akar persamaan karateristik dari persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif serta mengenai solusi osillasi yang terjadi pada persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif.
3 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada konsep yang melandasi persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif dengan didasari terlebih dahulu mengenai persamaan differensial biasa, kemudian persamaan differensial tundaan. Lebih lanjut dikembangkan dengan menganalisa suatu masalah persamaan differensial tundaan yang mempunyai bentuk : u (t) = αu(t r), α > 0, r 0 yang didefinisikan sebagai persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Dari persamaan diatas kemudian dicari persamaan karateristik dan dianalisa mengenai sifat dari akar-akar persamaan karateristiknya, kestabilan, serta mengenai solusi osillasi pada persamaaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Akan tetapi, dalam skripsi ini tidak membahas mengenai persamaan differensial nonlinier serta bagaimana cara memperoleh suatu solusi dari persamaan differensial tundaan. 1.4. Maksud dan Tujuan Maksud penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi salah satu prasyarat memperoleh gelar Sarjana Strata-1 (S1) pada Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Sedangkan tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami konsep-konsep dari persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Kemudian mengetahui sifat-sifat akar persamaan karateristik dari persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Selain itu, penulisan skripsi ini juga bertujuan untuk mengetahui kapan persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif mempunyai solusi yang merupakan osillasi. 1.5. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini mengacu pada beberapa buku dan jurnal. Buku utama dalam skripsi ini adalah buku karangan Smith, H.(2001). Pada buku tersebut dijelaskan mengenai persamaaan differensial tundaan dengan feedback negatif meliputi bentuk umum, sifat dari akar-akar persamaan karateristik, kestabilan serta mengenai osillasi pada persamaaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Selain itu, beberapa buku pendukung penulis gunakan sebagai referensi tambahan mengenai solusi osillasi yaitu karangan Györi, I. dan Ladas, G.(1991).
4 Pada dasar teori, penulis menggunakan beberapa buku sebagai acuan, seperti buku karangan Taylor, A.(1983) mengenai sistem bilangan real, buku karangan Churchill, R. and Brown, J.(2009) mengenai sistem bilangan kompleks. Serta buku karangan Yanovsky, I. (2005) mengenai kestabilan solusi persamaan differensial. Sedangkan untuk materi pada persamaan differensial tundaan, penulis menggunakan buku karangan Bellen, A. dan Zennaro, M. (2003) serta Campbell, S.A.(2007). 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai persamaan differensial biasa yang meliputi definisi dari persamaan differensial, jenis persamaan differensial, persamaan differensial orde satu, serta kestabilan solusi dari persamaan differensial biasa. Kemudian proses studi literatur diperluas dengan mempelajari persamaan differensial tundaan dengan mempelajari bentuk umum serta mencari solusi dari contoh-contoh persamaan differensial tundaan. Setelah mempelajari contoh-contoh dari persamaan differensial tundaan, kemudian dilanjutkan dengan mempelajari suatu perluasan materi dari persamaan differensial tundaan yaitu persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif. Dalam rangka pencarian bahan literatur, penulis mencari dan mengumpulkan buku-buku yang memuat informasi yang terkait dengan materi yang kemudian dikonsultasikan dengan dosen pembimbing. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penelitian. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini berisi definsi, teorema, proposisi, dan contoh-contoh yang diperlukan mengenai limit, kekontinuan, turunan, fungsi naik turun, sistem bilangan kompleks, persamaan differensial biasa, serta hal-hal yang nantinya berguna untuk materi berikutnya.
5 BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN Pada bab ini dijelaskan mengenai persamaan differensial tundaan, pengertian, bentuk umum, contoh-contoh persamaan differensial tundaan, salah satu metode penyelesaian, serta kestabilan solusi persamaan differensial tundaan. BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN DENGAN FEEDBACK NEGATIF Pada bab ini dijelaskan mengenai persamaan differensial tundaan dengan feedback negatif, meliputi bentuk umum, sifat dari akar-akar karateristik, kestabilan serta menge-nai solusi osillasi. BAB V PENUTUP Pada bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.