BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan makhluk hidup ini banyak permasalahan yang muncul seperti diantaranya banyak penyakit menular yang mengancam kehidupan. Sangat diperlukan sistem untuk mengontrol dan mengetahui penyebaran penyakit menular tersebut salah satunya adalah model matematika yang dapat membantu dan mempermudah penyelesaaian masalah tersebut. Menyelesaikan masalah juga tidak mudah untuk menurunkan model matematisnya terutama untuk masalah yang cukup kompleks. Meskipun model matematisnya sudah diperoleh namun masalah waktu dan biaya biasanya juga menjadi kendala apabila menggunakan model matematis tersebut. Model matematika adalah model yang menggambarkan suatu permasalahan dalam persamaaan matematika. Persamaan model matematika merupakan pendekatan terhadap suatu fenomena fisik. Pada model matematika tiruan tersebut disajikan dengan mendeskripsikan fenomena alam dengan satu set persamaan. Kecocokan model terhadap fenomena tersebut bergantung dari ketetapan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan fenomena alam yang ditirukan. Model epidemi merupakan sistem persamaan diferensial dirumuskan sebagai masalah nilai awal atau Initial V alue P roblems (IVPs). Sehingga model diintegrasikan terhadap waktu, yang dimulai dengan awal yang ditetapkan untuk kelas-kelas populasi yang berbeda. Epidemi merupakan suatu keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular dalam populasi pada suatu tempat yang melebihi perkiraan yang normal dalam periode yang singkat. Bila penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun juga dengan faktor penyebabnya maka dikatakan endemik kemudian bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran yang sangat luas maka disebut pandemik. Model epidemik pertama kali menjelaskan masalah penyebaran penyakit adalah model SIR klasik yang dikemukakan oleh (Kermack dan McKendrick, 1927). 1

2 2 Model ini terdiri atas tiga kompartemen yaitu S (susceptible), I (infective), R (recovered). Sejak (Kermack dan McKendrick, 1927) mengusulkan SIR klasik, pemodelan matematika telah menjadi alat penting dalam menganalisis penyebaran dan pengendalian infeksi penyakit. Upaya telah dilakukan untuk mengembangkan realistis model matematika untuk transmisi infeksi penyakit. Secara grafik dapat ditunjukan model teori epidemik (Kermack dan McKendrick, 1927), (Anderson dan May, 1991), (Zhou dan Lin, 2013), sebagai latar belakang dari penelitian ini. Model teori epidemi untuk penyakit diilustrasikan pada gambar 1.1 seperti berikut Gambar 1.1 Model epidemi SIR Pada gambar 1.1 menjelaskan laju perpindahan antara ketiga kelas. adalah laju penularan penyakit dan v adalah laju pemulihan (Kermack dan McKendrick, 1927). Diasumsikan bahwa setiap pembagian kelas terdiri dari individu yang memiliki kondisi kesehatan yang sama dan tidak ada kelahiran dan kematian didalam populasi. Sistem persamaan diferensialnya adalah : di ds = βsi, (1.1) = βsi vi, (1.2) dr = vi. (1.3) Misalkan kekebalan tubuh sudah hilang, mengakibatkan individu yang telah pulih menjadi rentan terserang infeksi kembali maka model epideminya dapat digambarkan 1.2 seperti berikut β

3 3 Gambar 1.2 Model epidemi SIRS Pada gambar 1.2 model epidemi SIRS mempunyai perbedaan dengan model sebelumnya yaitu ketika individu yang telah pulih dapat kembali ke kelas susceptible. Diasumsikan bahwa untuk masalah ini laju dengan populasi dalam kelas (recovered), dengan konstanta kesamaan γ (Anderson dan May, 1991). Sistem persamaan diferensialnya menjadi : ds = βsi + γr, (1.4) di = βsi vi, (1.5) dr = vi γr. (1.6) Menurut (Zhou dan Lin, 2013), pada dampak media coverage adalah di mana τ > 0 adalah time delay yang mewakili periode laten pada media coverage. Sistem persamaan diferensialnya adalah : ds(t) di(t) = b ds(t) = { β 1 β 2I(t τ) } S(t)I(t) + γr(t), (1.7) m + 1(t τ) { β 1 β 2I(t τ) } S(t)I(t) (d + µ + δ)i(t), (1.8) m + 1(t τ) dr(t) = µi(t) (d + γ)r(t). (1.9) Time delay adalah pemodelan masalah nyata dalam arti persamaan diferensial tunda atau persamaan diferensial dengan argumen yang diperlambat. Pada umumnya time delay (τ) dimasukkan ke dalam suatu insidensi yang ada dalam model sebagai sebuah parameter, dimana parameter tersebut yang kerapkali menyebabkan perubahan pada sifat kestabilan dari titik kesetimbangan, sehingga analisis yang dilakukan adalah mengindentifikasi apakah time delay tersebut menyebabkan perubahan pada sifat kestabilan dari titik kesetimbangan atau tidak.

4 4 Pada jurnal (Zhou dan Lin, 2013), mengusulkan model epidemi SIRS dengan menggabungkan media coverage dengan time delay. 1.2 Rumusan Masalah Permasalahan yang dibahas pada tesis ini adalah bagaimana menurunkan model matematisnya untuk epidemi SIRS dengan time delay sehingga menghasilkan model epidemi, dari model epidemi tersebut akan terbentuk suatu sistem persamaan diferensial. Dari persamaan diferensial yang sudah terbentuk tadi dapat dicari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan epidemi kemudian menganalisis kestabilannya. Menyelesaikan masalah juga tidak mudah untuk menurunkan model matematikanya terutama untuk masalah yang cukup kompleks. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah 1. Mengembangkan model epidemi (Zhou dan Lin, 2013), dengan memodifikasi pada dinamika transmisi. 2. Mengindentifikasi apakah time delay tersebut mempengaruhi atau tidak mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan bebas penyakit dan pada kesetimbangan endemi penyakit. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini secara umum bermanfaat untuk menambah wawasan pengetahuan pada bidang matematika terapan. Secara khusus penelitian ini bermanfaat dalam pengembangan model matematika pada bidang epidemiologi terkait penyakit.

5 5 1.5 Metodologi Penelitian Pada penelitian ini metode yang penulis gunakan adalah studi pustaka. Untuk memperoleh model persoalan epidemi SIRS dengan time delay, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Pada tahap awal penelitian mempelajari materi yang berhubungan dengan model epidemi SIRS dengan time delay, sistem persamaan diferensial linear dan nonlinear, jenis kestabilan titik kesetimbangan dan titik kesetimbangan. 2. Pemahaman persoalan epidemi SIRS dengan time delay. Pada tahap ini akan dipelajari dan memahami persoalan incorporating media coverage with time delay oleh (Zhou dan Lin, 2013). 3. Mengembangkan model epidemi SIRS (Zhou dan Lin, 2013). Berikut ini tahapan pengembangan model epidemi SIRS dengan memodifikasi pada dinamika transmisi : Mengajukan asumsi awal, menentukan notasi dari variabel-variabel dan menentukan parameter yang digunakan pada model, kemudian merancang diagram kompartemen model dari asumsi-asumsi yang telah diajukan, selanjutnya menurunkan model epidemi SIRS dengan time delay. 4. Dari penurunan model epidemi SIRS tersebut berdasarkan diagram kompartemen langkah selanjutnya adalah mengembangkan model epidemi SIRS dengan time delay. 5. Pada akhir penelitian ini langkah selanjutnya adalah menganalisis kesetimbangan dan kestabilan model epidemi.