Oleh : Hilda Rizky Ningtyas 1208 100 019 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2012
Latar Belakang Teori Graf Pelabelan Pelabelan Ajaib Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat TINJAUAN PUSTAKA Rosa. fungsi f dari himpunan simpul pada graf G ke himpunan bilangan bulat {0,1,2,,q} di mana q adalah jumlah sisi di G, pelabelan β-valuation Pelabelan sisi Pelabelan simpul Pelabelan total Sedláčk fungsi λ dari himpunan sisi graf G menjadi bilangan real non-negatif, sehingga jumlah dari label sisi disetiap simpul di G semua sama DAFTAR PUSTAKA 2
Rumusan Masalah Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat Bagaimana pelabelan total sisi ajaib pada subkelas dari kelas pohon, yaitu kembang api (firecracker) dan pohon pisang (banana tree) 3
Batasan Masalah Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Graf yang dikaji adalah graf terbatas, sederhana, dan tak berarah Tujuan Manfaat Sub kelas graf yang dikaji adalah graf kembang api dan graf pohon pisang Graf kembang api dan pohon pisang dibatasi pada m=2 4
Tujuan Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Mencari pola pelabelan total sisi ajaib pada graf kembang api dan graf pohon pisang Manfaat 5
Manfaat Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Dapat memberikan kajian pelabelan total sisi ajaib pada graf kembang api dan graf pohon pisang Manfaat Memberi kontribusi pada pertumbuhan ilmu pengetahuan, terutama pada bidang teori graf 6
Teori Graf Teori Graf Graf Bintang Pelabelan Total Sisi Ajaib Sebuah graf G=(V,E) terdiri atas himpunan simpul V(G) dan himpunan sisi E(G). Jika x dan y, dengan x,y V(G), maka sisi dengan titik akhir x dan y dinotasikan xy. Graf memiliki order p dan size q, jika p= V(G) dan q= E(G). Graf G dikatakan terbatas (finite) jika order p adalah terbatas Graf G disebut sederhana jika tidak ada loop atau tidak ada sisi ganda Jika semua sisinya tidak berarah, maka graf tersebut disebut graf tak berarah 7
Graf Bintang Teori Graf Graf Bintang Pelabelan Total Sisi Ajaib Graf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yang terhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul c adalah n,sedangkan derajat simpul anting adalah 1 Graf bintang dinotasikan dengan K 1,n Graf Bintang K 1,7 8
Teori Graf Graf Bintang Simpul Anting Simpul Pusat Simpul Backbone Pelabelan Total Sisi Ajaib Sisi Backbone Sisi Batang Sisi Anting V ( F, ) = { x 1 i m} { c 1 i m} { a 1 i m,1 j n} E m n i i ( Fm, n) = { xi xi 1 1 i m} { xici 1 i m} { ciaij 1 i m,1 j n ij } 1
Simpul Anting Teori Graf Graf Bintang Pelabelan Total Sisi Ajaib Sisi Anting Sisi Batang Sisi Akar Simpul Batang Simpul Pusat Simpul Akar V ( B, ) = { c 1 i m} { x 1 i m} { a 1 i m,1 j n} E m n i i ( Bm, n) = { xi, r 1 i m} { ci xi 1 i m} { aijci 1 i m,1 j n ij } 2
Pelabelan Total Sisi Ajaib Teori Graf Graf Bintang Pelabelan Total Sisi Ajaib Pelabelan total sisi ajaib (λ) pada suatu graph (G) dari V(G) E(G) ke himpunan {1,2,3,...,p+q} dengan p= V(G) dan q= E(G) sehingga untuk masing-masing sisi xy di G berlaku λ(x)+ λ(xy)+ λ(y)=k, untuk k konstanta. λ merupakan fungsi bijektif yang memetakan sisi dan simpul graf ke bilangan asli (N). Konstanta k disebut bilangan ajaib (magic sum) 3
Pelabelan Total Sisi Ajaib (2) Teori Graf Graf Bintang Pelabelan Total Sisi Ajaib (a) Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf KK 4 ee dengan kk = 12 (b) Pelabelan Total Simpul Ajaib Pada Graf KK 4 ee dengan kk = 16 4
Studi Literatur Menentukan Bilangan Ajaib Analisis Evaluasi Penyimpulan hasil penelitian 5
GRAF KEMBANG API GRAF POHON PISANG 6
Bilangan Ajaib Bilangan Ajaib Pelabelan Graf kembang api fmn mempunyai: VV(FF mm,nn ) = pp = mm(nn + 2) dan EE FF mm,nn = qq = mm(nn + 2) 1. Dari persamaan qqqq = ff(pp) + ff(qq) + (dd ii 1)λλ ii pp VV qq EE [wallis, W.D] Diperoleh lemma berikut: Lemma 1 Jika graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) adalah m 2 ( 8n + 30n + 28) + λ( x ) + λ( x ) + n λ( c ) 1 k = 1 2 q i= 1 1 BUKTI 7
Bilangan Ajaib (2) Bilangan Ajaib Pelabelan Bilangan ajaib k dapat diperoleh pada sebuah selang seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 1 Jika graf adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) teletak pada ( 2 ) 1 ( ) 8n + 33n + 35 k 16n + 51n + 37 1 2 q q BUKTI 8
Pelabelan Total Sisi Ajaib Bilangan Ajaib Pelabelan Jumlah simpul dan sisi masing masing adalah VV FF 2,nn = 2(nn + 2) dan EE FF 2,nn = 2(nn + 2) 1 Teorema 2 Jika FF 2,nn adalah sebuah graf kembang api dengan dua simpul backbone xx 1, xx 2 dan n buah anting, maka FF 2,nn adalah graf edge magic total labeling dengan kk = 4nn + 12 BUKTI 1
Bilangan Ajaib Bilangan Ajaib Pelabelan Graf pohon pisang BB mm,nn mempunyai VV(GG) = pp = mmmm + mm + 1 dan EE(GG) = qq = mmmm + mm. Graf pohon pisang dikatakan memenuhi pelabelan total sisi ajaib jika mempunyai bilangan ajaib memenuhi Persamaan [wallis, W.D] k qqqq = ff(pp) + ff(qq) + (dd ii 1)λλ ii pp VV qq EE Sehingga didapat Lemma 2: Lemma 2 Jika graf BB mm,nn adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) adalah m m 1 2 = ( 8n + 22n + 15) + ( m 1) λ( r) + ( ) + ( ) ( ) λ xi n 1 λ c i q i= 1 i= 1 BUKTI 2
Bilangan Ajaib (2) Bilangan Ajaib Pelabelan Bilangan ajaib k dapat ditemukan dengan meminimumkan dan memaksimalkan nilai pelabelannya. Sehingga didapatkan interval bilangan ajaib k Teorema 3 Jika graf BB mm,nn adalah graf edge magic total, maka bilangan ajaibnya (magic sum) teletak pada interval Dengan Untuk n < 2 1 ( 2 ) 1 ( ) 8n + 33n + 12 k 16n 2 + 29n + 24 q q Untuk n 2 2 1 ( 8n + 25n + 24) k ( 16n + 33n + 12) 1 2 q q BUKTI 3
Pelabelan Total Sisi Ajaib Bilangan Ajaib Pelabelan Jumlah simpul dan sisi masing masing adalah VV BB 2,nn = 2nn + 3 dan EE BB 2,nn = 2nn + 2, Teorema 4 Graf BB 2,nn adalah sebuah graf pohon pisang dengan 2 salinan graf bintang dan n buah anting, maka BB 2,nn adalah graf yang mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan kk = 4nn + 10. BUKTI 4
Simpulan 1. Graf FF 2,nn adalah graf yang memenuhi edge magic total labeling dengan pola sebagai berikut: λλ(xx 1 ) = 2nn + 6 λλ(xx 2 ) = 2 λλ(cc ii ) = 2ii 1 λλ aa iiii = 2jj ii + 4 λλ(xx 1 xx 2 ) = 2nn + 4 λλ(xx 1 cc 1 ) = 2nn + 5 λλ(xx 2 cc 2 ) = 4nn + 7 λλ cc ii aa iiii = 4nn + 9 2jj ii Untuk 1 jj nn dan 1 ii mm. 5
Simpulan 2. Graf BB 2,nn adalah graf edge magic total labeling dengan pola pelabelan sebagai berikut: λλ(xx ii ) = nn + ii + 2 λλ(cc ii ) = 2ii 1 λλ(rrxx ii ) = 3nn ii + 6 λλ(xx ii cc ii ) = 3nn 3ii + 9 λλ(rr) = 2 λλ aa 1jj = 2 + ii + jj λλ aa 2jj = nn + ii + jj + 2 λλ cc 1 aa 1jj = 4nn + ii jj + 5 λλ cc 2 aa 2jj = 3nn + 2ii jj 1 Untuk 1 jj nn dan 1 ii mm. 6
Daftar Pustaka [1] A, Rosa. (1967). On certain valuation of the vertices of a graph, Theory of Graphs. Internat. Symposium, Rome, July 1966. Gordon and Breach, N.Y. and Dunond Paris 349-355. [2] J, Sedláčk. (1963). Theory of Graphs and Its Applications. Problem 27, Proc. Symposium Smolenice, June 1963. 163-167. [3] Kotzig.A, Rosa.A. (1970). Magic valuations of finite graphs. Canad. Math. Bull, 13. 451-461. [4] Sugeng, K.A. (2005). Magic and Antimagic Labeling of Graph. Jurnal publikasi Doktor, School of Information Technology and Mathematical Sciences, University of Ballarat, Australia [5] Wallis, W.D. (2001). Magic Graphs. Boston, Birkauser [6] Sudarsana, I.W dkk (2005). Creating New Super Edge Magic Total Labelings From Old Ones. JCMCC 55. pp 83-90 [7] Ngurah, A.A.G dkk (2007). On The New Families of (Super) Edge Magic Graphs. Utilitas Mathematica 74. pp 111-120 7
Terima Kasih