PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA

Transkripsi

1 PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Petrus Tri Hariyadi NIM : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 017

2 PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Petrus Tri Hariyadi NIM : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 017 i

3 SKRIPSII ii

4 SKRIPSI iii

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Orang yang berhasil adalah orang bodoh yang tetap berjuang,dan orang yang tidak menghasilkan apapun adalah orang bijak yang berhenti berjuang Celica, Rmkar iv

6 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 4 Agustus 017 Penulis Petrus Tri Hariyadi v

7 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Petrus Tri Hariyadi NIM : Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda Dengan demikian saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyiapkan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun member royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya Dibuat di Yogyakarta Pada Tanggal: 4 Agustus 017 Yang menyatakan, (Petrus Tri Hariyadi) vi

8 ABSTRAK Petrus Tri Hariyadi Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Pelabelan Total Ajaib Sisi atau Edge Magic Total Labelings (ETML) merupakan pemetaan bijektif λ dari V(G) E(G) ke bilangan asli {1,,3,, v + e} dengan v = V(G) dan e = E(G) sedemikian sehingga untuk setiap sisi v i, v j E(G) berlaku, λ(v i ) + λ(v i, v j ) + λ(v j ) = k untuk setiap konstanta ajaib k. Graf roda W 1,n merupakan graf yang dibangun dengan operasi penggabungan pada graf lengkap K 1 dengan graf sikel C n, dinotasikan W 1,n = K 1 + C n. Pada skripsi ini, graf roda W 1,n akan disebut W n. Tujuan penelitian ini adalah (1) mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda, () mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib k, dan (3) mengetahui cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k. Hasil penelitian ini adalah (1) pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda W n jika (n 3(mod 4)), () melalui perhitungan dasar dengan mempertimbangkan struktur graf roda diperoleh rentang nilai kosntanta ajaib k yaitu 11n+17 4 k 5n+7, dan (3) pelabelan dilakukan secara iteratif dengan 4 memberikan label titik tengah (c) dan titik lainnya (v) sehingga diperoleh label untuk jari-jari (e), dan pelabelan label sisi (s). Ada banyak cara memberikan label elemen pada graf roda sehingga dibutuhkan suatu algoritma untuk pelabelan pada graf roda. Algoritma pelabelan disimulasikan melalui program MATLAB 7.1. Kata kunci : pelabelan total ajaib sisi, graf roda vii

9 ABSTRACT Petrus Tri Hariyadi Edge-Magic Total Labelings on Wheel. Undergradute Thesis. Mathematics Education Study, Faculty of Teacher Training and Education Science, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Edge-magic total labeling is one-to-one function of λ from V(G) E(G) into the integer {1,,3,, v + e} with v = V(G) and e = E(G) if there is so that for every v i, v j E(G), λ(v i ) + λ(v i, v j ) + λ(v j ) = k for every magic constant k. Wheel W 1,n is the join of K 1 with C n, that is W 1,n = K 1 + C n. In this thesis, the wheel W 1,n is called W n. The purpose of this thesis were (1) to know whether the graph wheel has edge-,magic total labeling, () to know to interval magic constant k, and (3) to know how to label the elements of wheel with magic constant k. The product of the research are (1) graph wheel has edge-magic total labeling if (n 3(mod 4)), () with basic counting of computing which consider to the structure of wheel, The feasiable range of magic constant k is 11n+17 k 5n+7 4, and (3) labeling is started by attempting possible label for central vertex (c) and another vertex (v), spoke edge (e) and rim edge (s) done iteratively. There are many ways to label the element of wheel therefore a labeling algorithm of wheel is needed.labeling algorithm is simulated through the MATLAB 7.1 Program. 4 Keywords : edge-magic total labeling, wheel viii

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepeda Tuhan Yang Maha Esa, karena hanya dengan berkat dan karunia-nya, serta campur tangan-nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda dengan baik. Pada kesempatan ini penulis juga mengucapkan rasa terima kasih kepada: 1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis, sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik. 3. Bapak Drs. Sugiarto Pudjohartono, M.T. selaku Dosen Pembimbing Akademik dari tahun Segenap Dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan setelah penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan studi. 5. Segenap Staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis melakukan studi. 6. Keluarga yaitu Bapak Supardi, Ibu Maria, Mas Eko dan Desi yang selalu memberikan dukungan serta doa kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. ix

11 7. Segenap keluarga, terutama Mbah Cipto, Le Tar, Le Topik, Le To, Mbah Nem, Le Yatno dan Mas Heri yang selalu memberikan semangat, motivasi, serta inspirasi kepad penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi. 8. Nataya, Veronica dan Bella yang memberikan semangat dan dukungan yang sangat berarti bagi penulis selama menjalani studi. 9. Remon, Bintang, Andi, Jepri, Setya, Ricat, David, Gesta dan Fauzi yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi. 10. Semua teman dari program studi Pendidikan Matematika angkatan 01 yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi. 11. Seluruh anggota dari Menwa Ignatian Universitas Sanata Dharma yang selalu memberikan hal-hal baru kepada penulis. 1. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan studi. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi para pembaca. Penulis, Petrus Tri Hariyadi x

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN MOTTO... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH.. vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR NOTASI... xvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang... 1 B. Batasan Masalah... 5 C. Rumusan Masalah... 5 D. Tujuan Penelitian... 5 E. Manfaat Penelitian... 6 F. Metode Penelitian... 6 G. Sistematika Penulisan... 7 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf... 8 B. Jenis-jenis Graf C. Pelabelan Graf... 1 D. Dualitas Graf... 7 xi

13 BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi... 8 B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda Batas Total Label Titik Sv Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda Batas Nilai Titik Pusat c untuk Konstanta Ajaib k Pelabelan Titik dan Sisi Pada Graf Roda...37 C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda n 0mod Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda n 1mod Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda n mod Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda n 3mod4...4 BAB IV ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA A. Proses Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda B. Diagram Alir Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda Bagian Input (Menginput nilai n dan k) Bagian Pengolahan (Program perulangan) Bagian Output (Mengeluarkan hasil)...5 C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda Bagian Input (Menginput nilai n dan k)...5. Bagian Pengolahan (Program perulangan) Bagian Output (Mengeluarkan hasil)...58 D. Simulasi Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda E. Kekurangan pelabelan dengan menggunakan software MATLAB F. Contoh Pemanfaatan Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA...71 LAMPIRAN...7 xii

14 DAFTAR GAMBAR DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi... Gambar 1. Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada W 6 dengan k = 38 4 Gambar.1 Graf G 1 dan G 8 Gambar. Bukan Graf 9 Gambar.3 Graf G Gambar.4 Graf G 4 10 Gambar.5 Graf G Gambar.6 Graf Sederhana.. 13 Gambar.7 Graf Tidak Sederhana (a) graf ganda, (b) graf semu 14 Gambar.8 Graf tidak berhingga 15 Gambar.9 Graf tidak berarah 16 Gambar.10 Graf berarah.. 16 Gambar.11 Graf lengkap. 17 Gambar.1 Graf sikel.. 17 Gambar.13 Graf teratur Gambar.14 Graf Lengkap K 4 merupakan Graf Planar. 18 Gambar.15 Graf Lengkap K 5 merupakan Graf Tidak Planar Gambar.16 Operasi penggabungan graf... 0 xiii

15 Gambar.17 Graf roda.. 0 Gambar.18 Penamaan elemen graf roda. 1 Gambar.19 Label elemen graf roda. Gambar.0 Pelabelan titik pada graf roda... Gambar.1 Pelabelan sisi pada graf roda Gambar. Pelabelan total pada graf roda.. 3 Gambar.3 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda W 6 5 Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda.. 9 Gambar 3. Pelabelan pada graf roda.. 34 Gambar 4.1 Diagram Alir Proses Pelabelan. 46 Gambar 4. Diagram input nilai n dan k. 47 Gambar 4.3 Diagram label c, v 1 dan e Gambar 4.4 Diagram label v, e dan s 1 sampai s n 1 50 Gambar 4.5 Diagram labels n.. 51 Gambar 4.6 Diagram output label c, v, e dan s 5 Gambar 4.7 Tampilan awal pada command window 58 Gambar 4.8 Tampilan input n = 5 pada command window 59 Gambar 4.9 Tampilan hasil pelabelan dengan n = 5 dan k = 5 pada command window. 59 Gambar 4.10 Tahap pertama ilustrasi hasil pelabelan. 60 Gambar 4.11 Tahap kedua ilustrasi hasil pelabelan 60 Gambar 4.1 Tahap ketiga ilustrasi hasil pelabelan 61 Gambar 4.13 Tahap keempat ilustrasi hasil pelabelan 6 xiv

16 Gambar 4.14 Tahap kelima ilustrasi hasil pelabelan.. 6 Gambar 4.15 Pelabelan total ajaib sisi pada W xv

17 DAFTAR NOTASI V(G) E(G) v i Himpunan titik di G Himpunan sisi di G Titik ke-i v i, v j e i Sisi yang menghubungkan titik v i dengan v j Sisi ke-i Dalam graf roda berupa sisi pada jari-jari di mana e i bersisian dengan c dan v i V(G) E(G) d(v i ) G + H c Order (banyaknya titik) pada G Ukuran (banyaknya sisi) pada G Degree (banyaknya sisi yang bersisian) pada titik v i Operasi penggabungan (Join) graf G dengan graf H Dalam graf roda berupa titik pusat s i Dalam graf roda berupa sisi pada sikel di mana s i bersisian dengan v i dan v i+1 λ(v i ) λ(v i, v j ) wt(v i ) Label pada titik v i Label pada sisi yang menghubungkan titik v i dengan v j Bobot pada titik v i wt(v i, v j ) Bobot pada sisi yang menghubungkan titik v i dengan v j S v S e S w Jumlah semua label titik Jumlah semua label sisi Jumlah semua bobot sisi xvi

18 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Ada berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam diagram titik dan garis. Titik merepresentasikan objek permasalahan dan garis merepresentasikan hubungan antara objek. Permodelan semacam ini secara khusus dipelajari dalam matematika pada pokok bahasan graf. Representasi semacam ini dirasakan manfaatnya pada berbagai bidang antara lain dalam perencanaan jalur transportasi, optimasi jaringan komunikasi, model ikatan kimia, perencanaan alur pengunjung pameran, perancanaan jaringan elekrik, dll. Pelabelan graf merupakan kajian yang terdapat dalam teori graf yang berkembang dan banyak diteliti. Kajian ini pertama kali diperkenalkan oleh Sadlacek pada tahun Kemudian dikembangkan Steward pada tahun 1966 dan pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa membahasnya dengan istilah valuation dalam Wallis (001). Pelabelan graf juga memiliki aplikasi yang cukup luas dalam berbagai bidang seperti x-ray, kriptografi, sistem biometrik, radar astronomi, desain sirkuit dan desain jaringan komunikasi. 1

19 Sebagai contoh dalam kriptografi penggunaan Mesin Enigma untuk merubah sebuah pesan menjadi sebuah pesan acak (Enkripsi) dan merubah pesan acak tersebut menjadi pesan yang sesungguhnya (Deskripsi) melalui algoritma tertentu. Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi Gambar 1. Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan Pada beberapa kasus, solusi dari permasalahan-permasalahan tersebut dapat ditemukan dengan melakukan pelabelan pada sisi atau titiknya. Pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen graf ke bilangan asli, beberapa jenis pelabelan menurut himpunan asalnya, yaitu pelabelan titik (vertex labelings), pelabelan sisi (edge labeling) dan pelabelan total (total labeling). Pelabelan titik merupakan pelabelan dengan himpunan

20 3 asal berupa titik, pelabelan sisi merupakan pelabelan dengan himpunan asal berupa sisi, sedangkan pelabelan total adalah pelabelan yang himpunan asalnya adalah titik dan sisi. Bila pelabelan yang dilakukan memenuhi suatu nilai tertentu, maka pelabelan graf dibedakan menjadi dua yakni pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tidak-ajaib (antimagic labeling). Pada pelabelan ajaib, bobot elemen graf yang dievaluasai memenuhi suatu nilai tertentu, nilai ini selalu tetap untuk semua elemen yang dievaluasi dan disebut konstanta ajaib. Sedangkan pada pelabelan tidak-ajaib, nilai bobot elemen graf yang dievaluasi berbeda satu dengan yang lainnya. Pada penerapan pelabelan, bobot elemen yang dievaluasi dapat berupa titik maupun sisi, sehingga terdapat banyak penerapan yang dapat digunakan. Pelabelan total ajaib sisi merupakan pelabelan yang memetakan setiap himpunan sisi dan titik ke himpunan bilangan asli {1,,3,, e + v} di mana e dan v secara beruntun menyatakan banyaknya sisi dan titik, sedemikian hingga jumlahan dari label sisi dan titik yang bersisian sama/konstan. Wallis (001). Pelabelan graf tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan suatu permasalahan dengan menggunakan model tertentu, sehingga label pada setiap elemen yang dievaluasi dapat terhubung. Pada penerapannya, pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dapat digunakan sebagai kode yang diterapkan pada suatu kartu, dimana kartu tersebut dapat digunakan untuk menggunakan dua buah akses antara lain berdasarkan label yang terdapat pada kartu sebagai akses untuk membuka suatu ruangan dan berdasarkan nilai konstanta ajaib yang di

21 4 terapkan pada kartu tersebut sebagai akses untuk menggunakan lift pada suatu bangunan bertingkat Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada W 6 dengan k = 38 Sebagai contoh pada lantai 6 sebuah bangunan, terdapat 1 ruangan berbeda di mana setiap ruangan memiliki kodenya masing-masing. Ruangan tersebut hanya dapat dibuka dengan menggunakan kartu yang memiliki kode yang sama. Misalkan kode pada ruangan 601 adalah sedangkan pada ruangan 60 adalah Pada saat menggunakan lift dari kedua kartu tersebut langsung terintegrasi dengan lantai 6 karena nilai konstanta ajaib yang diterapkan pada kedua kartu tersebut adalah 38. Dalam penelitiannya, Kristinawati (015) telah membuktikan bahwa pelabelan total ajaib dengan model roda dengan bobot elemen yang dievaluasi adalah titik dapat diberikan label dengan batasan banyaknya titik pada sikel terletak pada (3 n 11). Berdasarkan penelitaian yang telah dilakukan oleh Kristinawati, peneliti tertarik untuk meneliti pelabelan total ajaib dengan roda sebagai modelnya. Pada penelitian ini, bobot elemen yang akan dievaluasi adalah sisi.

22 5 B. Batasan Masalah Pada skripsi ini akan dibahas graf roda W n dan pelabelan total ajaib sisi pada suatu nilai konstanta ajaib k tertentu. Algoritma pelabelan disimulasikan menggunakan program MATLAB 7.1 untuk suatu nilai konstanta ajaib k tertentu. C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah 1. Apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda?. Bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan total ajaib sisi pada graf roda? 3. Bagaimana cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k? D. Tujuan Penelitian 1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda.. Mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan total ajaib sisi pada graf roda. 3. Mengetahui cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k.

23 6 E. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah 1. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan rentang nilai konstanta ajaib k yang terbentuk.. Dapat memberikan label sisi dan titik pada graf roda dengan menetukan nilai konstanta ajaibnya. F. Metode Penelitian Penelitian dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka (literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D. Walis (001). Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada sebuah generalisasi yang bersifat umum (deduktif). Secara garis besar langkah-langkah penelitian ini sebagai berikut: 1. Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan graf roda W n.. Mempelajari graf roda W n. 3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi. 4. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada roda W n, dan menentukan rentang nilai konstanta ajaibnya. 5. Menentukan cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib tertentu.

24 7 G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bagian, yakni Bab I : Pendahuluan Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan. Bab II : Kajian Pustaka Pada bab ini dijelaskan tentang teori graf dasar, jenis-jenis graf, pelabelan graf dan kerangka berpikir. Bab III : Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda Pada bab ini dianalisis menganai perhitungan dasar untuk menentukan nilai konstanta ajaib, dan rentang konstanta ajaib berdasarkan struktur graf roda. Bab IV : Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda Algoritma pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan simulasinya. Bab V : Penutup Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan tersebut.

25 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf Dalam mempelajari graf, terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Googaire dan Parmenter (1998) mendefinisikan graf sebagai: Definisi.1 Graf (Googaire dan Parmenter, 1998) Graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana V(G) adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada E(G). Elemen V(G) disebut titik (vertex) dan elemen E(G) disebut sisi (edge). Jika e E(G) maka e merupakan himpunan pasangan e = (v i, v j ) di mana v i, v j V(G) di mana v i dan v j disebut titik ujung dari e atau dengan kata lain e =(v i, v j ) yang menghubungkan titik v i dan v j. Chartrand dan Oellermann (1993) mengemukakan bahwa secara geografis graf dapat digambarkan dengan sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi. v 1 v 4 v v 5 e 1 e 3 v 6 v 3 e 4 v 1 e 6 e v v 3 e 5 v 4 (a) Graf G 1 (b) Graf G Gambar.1 Graf 8

26 9 Gambar. Bukan Graf Pada Gambar. bukan merupakan suatu graf karena tidak memenuhi Definisi.1 yaitu V(G) himpunan kosong. Dengan mendalami pengertian pada Definisi.1, himpunan di V(G) pada sebuah graf bukanlah himpunan kosong sehingga dapat dipastikan terdapat minimal sebuah unsur di V(G) pada sebuah graf. Banyaknya unsur yang terdapat pada V(G) menentukan order dari graf tersebut. Definisi. Order (Googaire dan Parmenter, 1998) Banyaknya unsur di V(G) pada graf tersebut disebut order dari G dilambangkan dengan V(G). Pada Gambar.1 (a), banyaknya unsur V(G) pada graf G 1 adalah 4 sehingga order dari graf G 1 atau V(G) = 4 Berdasarkan Definisi.1 diketahui bahwa V(G) bukanlah himpunan kosong sehingga V(G) lebih besar sama dengan satu. Antara satu unsur V(G) dengan yang lainnya dimungkinkan adanya unsur E(G) yang menghubungkan dua buah unsur V(G) seperti gambar dibawah ini. e 1 v 1 e 4 v 5 v e 5 e e 3 v 4 v 3 Gambar.3 Graf G 3

27 10 Dengan memperhatikan Gambar.3 graf G 3, antara satu unsur V(G) dengan yang lainnya ada yang dihubungkan melalui E(G) dan ada yang tidak. Titik v 1 bertetangga dengan titik v dan v 4 karena adanya unsur E(G) yaitu e yang menghubungkan dua buah titik tersebut, tetapi titik v 1 tidak bertetangga dengan v 3 dan v 5. Definisi.3 Ketetanggaan (Munir, 001) Dua titik v i dan v j pada graf G dikatakan bertetangga bila terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. e = (v i, v j ) E(G) di mana v i v j. v 1 v e 1 e 5 e 4 e 7 v 4 e e 3 e 6 v 3 Gambar.4 Graf G 4 Dengan adanya Definisi.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, tetapi tidak terdapat batasan berapa banyaknya sisi yang menghubungkan kedua titik yang bertetangga tersebut. Pada Gambar.4 graf G 4 memiliki lebih dari satu sisi yang menghubungkan kedua titik v 1 dan v yaitu e 4 dan e 7. Definisi.4 Sisi ganda (Munir, 001) Graf G dikatakan memiliki sisi ganda jika pada graf G tersebut terdapat titik v i dan v j yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi.

28 11 Dengan adanya Definisi.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, oleh sebab itu sisi e akan bersisian dengan kedua titik tersebut. Sebagai contoh pada Gambar.4 sisi e 1 bersisian dengan titik v 1 dan v, tetapi tidak bersisian dengan v 4. Definisi.5 Bersisian (Munir, 001) Untuk sembarang sisi e = (u, v) dikatakan e bersisisan dengan titik u dan e bersisian dengan titik v. v 1 v e 1 e 5 e 4 e 7 v 4 e 8 e e 3 e 6 v 3 Gambar.5 Graf G 5 Dengan mendalami Definisi.5, di mana sebuah sisi dikatakan bersisian dengan dua buah titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, tetapi tidak terdapat batasan apakah kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan titik yang berbeda. Seperti pada Gambar.5 graf G 5 terdapat sebuah sisi e 8 yang menghubungkan sebuah dua buah titik yang sama yaitu v 4. Sisi yang menghubungkan dua buah titik yang sama disebut gelang. Definisi.6 Gelang (Munir, 001) Gelang (loop) merupakan sisi yang bersisian dengan dua buah titik yang sama. Jika e = (u, u) maka e adalah gelang.

29 1 Berdasarkan Definisi.5 sebuah titik bersisian dengan sebuah sisi jika sisi tersebut menghubungkan dua buah titik namun tidak terdapat batasan mengenai banyaknya sisi yang bersisian dengan titik tersebut, sehingga banyaknya sisi yang bersisian dengan sebuah titik dapat dinyatakan derajat dari titik tersebut. Definisi.7 Derajat (Munir, 001) Derajat (degree) titik v atau d(v) adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik v. Jika d(v i ) = 0 maka v i disebut titik terisolasi (isolated vertex). Jika d(v i ) = 1, maka v i disebut antingan (pendant vertex). Pada sembarang gelang e = (v i, v i ), d(v i ) =. Berdasarkan Gambar.5 diketahui bahwa: v 1 bersisian dengan e 1, e 4 dan e 7 sehingga d(v 1 ) = 3 v bersisian dengan e 1, e dan e 5 sehingga d(v ) = 3 v 4 bersisian dengan e 3, e 4, e 5 e 6, e 7 dan gelang e 8 sehingga d(v 3 ) = 7 Berdasarkan Definisi.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika terdapat sisi yang menghubungan kedua titik tersebut. Banyaknya sisi pada sebuah graf menyatakan ukuran (size) dari graf tersebut. Definisi.8 Ukuran (Googaire dan Parmenter, 1998) Banyaknya unsur pada E(G) disebut ukuran (size) dari G dilambangkan dengan E(G). Pada Gambar.1 (b), banyaknya unsur E(G) pada graf G adalah 6 sehingga order dari graf G atau E(G) = 6

30 13 B. Jenis-jenis Graf Dengan banyaknya kemungkinan bentuk graf, graf dapat dibagi menjadi beberapa jenis. Berikut ini pembagian jenis graf menurut sifat-sifat yang terdapat pada graf: 1. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf Dengan banyaknya bentuk-bentuk graf, mungkin saja terdapat sisi ganda pada graf tersebut sehingga graf dikelompokan menjadi dua yakni: Definisi.9 Graf sederhana (Munir, 001) Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. Berikut ini pada Gambar.6 merupakan contoh dari graf sederhana. v 1 e 1 e 4 v e 5 e e 3 v 4 v 3 Gambar.6 Graf sederhana Definisi.10 Graf tidak sederhana (Munir, 001) Graf tidak sederhana merupakan graf yang mengandung gelang atau sisi ganda.

31 14 Graf tidak sederhana dibedakan menjadi dua macam, yakni: v 1 v 1 v e 1 e 5 e 4 e 7 v 4 v e 1 e 5 e 4 e 7 v 4 e 8 e e 3 e 6 e e 3 e 6 v 3 v 3 (a) Graf ganda (b) Graf semu Gambar.7 Graf tidak sederhana a. Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf pada Gambar.7 (a) adalah contoh graf ganda. b. Graf semu (pseudograph) graf yang mengandung sisi ganda dan gelang. Graf pada Gambar.7 (b) merupakan contoh graf semu. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, peneliti akan meneliti mengenai graf sederhana.. Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf Berdasarkan Definisi.1 di mana graf dikatakan benar sebuah graf jika V(G) adalah himpunan tak kosong, tetapi tidak terdapat batasan banyaknya himpunan yang terdapat V(G) berhingga ataupun tidak, sehingga dimungkinkan graf dikelompokan menjadi dua macam, yakni: Definisi.11 Graf berhingga (Munir, 001) Graf berhingga merupakan graf yang banyaknya titik berhingga. Graf pada Gambar.7 merupakan contoh graf berhingga.

32 15 Definisi.1 Graf tidak berhingga (Munir, 001) Graf tidak berhingga adalah graf yang banyak titik tidak berhingga. Berikut ini pada Gambar.8 merupakan contoh dari graf tidak berhingga. Gambar.8 Graf tidak berhingga Graf pada Gambar.8 merupakan contoh graf tidak berhingga karena banyaknya titik pada Gambar.8 tidak berhingga. Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf, peneliti akan meneliti mengenai graf berhingga. 3. Berdasarkan arah pada sisi Berdasarkan Definisi.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut, namun tidak terdapat batasan mengenai arah pada sisi tersebut sehingga secara umum graf dikelompokan menjadi dua jenis, yakni: Definisi.13 Graf tidak berarah (Munir, 001) Graf tidak berarah adalah graf yang sisinya tidak memiliki arah sehingga urutan pasangan titik yang dihubungkan tidak diperhatikan.

33 16 v 1 e 1 e 4 v e 5 v 4 e e 3 v 3 Gambar.9 Graf tidak berarah Definisi.14 Graf berarah (Munir, 001) Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberi arah, sehingga urutan pasangan titik diperhatikan. Pada graf berarah (v i, v j ) berbeda dengan (v j, v i ), sebab (v i, v j ) v i adalah titik awal (initial vertex) dan v j merupakan titik terminal (terminal vertex). Sementara pada (v j, v i ) berlaku sebaliknya. Sisi berarah pada graf berarah disebut busur (arc). Berikut ini pada Gambar.10 merupakan contoh dari graf berarah. v 1 e 1 e 4 v e 5 v 4 e e 3 Gambar.10 Graf berarah Berdasarkan arah pada sisi, peneliti akan meneliti mengenai graf tidak berarah. v 3 Berdasarkan tiga jenis pengelompokan di atas, peneliti akan mengenai tentang graf sederhana yang berhingga dan tidak tidak berarah.

34 17 Selain pengelompokan berdasarkan sifat-sifat di atas, terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus, antara lain: 1. Graf lengkap (Complete Graph) Graf lengkap adalah graf sederhana yang di mana setiap titiknya saling bertetangga. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf lengkap: K 1 K K 3 K 4 K 5 Gambar.11 Graf lengkap. Graf Sikel Graf sikel C n merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n buah simpul dilambangkan dengan C n. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf sikel: C 3 C 4 C 5 Gambar.1 Graf sikel

35 18 3. Graf teratur (Regular Graph) Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama. Graf lengkap K n adalah graf teratur berderajat (n 1). Graf sikel C n adalah graf teratur berderajat dua. Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf teratur: Gambar.13 Graf teratur 4. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph) Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi yang berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang. Suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan saling berpotongan, karena graf tersebut dapat digambarkan dengan cara yang berbeda. Gambar berikut ini akan memperjelas mengenai graf planar: Gambar.14 Graf Lengkap K 4 merupakan Graf Planar

36 19 Gambar.15 Graf Lengkap K 5 merupakan Graf Tidak Planar Penelitian dan perkembangan pokok bahasan graf, memunculkan beberapa jenis graf baru. Graf tersebut diperoleh dengan melakukan operasi penggabungan, penghapusan sisi atau titik (edge or vertex deleting) pada suatu graf. Dua buah graf yang saling tidak terhubung dapat dibuat sebuah graf baru dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join). Definisi.15 Penggabungan graf (Join) (Buckley & Lewinter, 00) Dua buah graf yang saling tidak terhubung (graf G dan graf H) dapat dibuat sebuah graf baru dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join). Operasi penggabungan pada graf dapat dilakukan dengan cara menjadikan setiap titik yang terdapat pada graf G bertetangga dengan setiap titik yang terdapat pada graf H, dilambangkan dengan G + H.

37 0 Berikut ini contoh operasi penggabungan pada graf: (a) Graf P 3 (b) Graf P 5 (c) Graf (P 3 + P 5 ) Gambar.16 Operasi penggabungan graf Graf roda W 1,n merupakan graf yang dibangun dengan melakukan operasi penggabungan pada graf lengkap K 1 dengan graf sikel C n, dapat dinotasikan W 1,n = K 1 + C n. Selanjutnya pada skripsi ini, graf W 1,n akan disebut W n dengan n mengacu pada banyaknya titik padak graf sikel. Berikut ini beberapa contoh graf roda W n : W 3 W 4 W 5 Gambar.17 Graf roda Dengan memperhatikan cara terbentuknya, graf roda W n memiliki titik (order) sebanyak (n + 1) dengan banyaknya sisi (size) yaitu n. Titik v 1 sampai v n merujuk titik pada sikel. Sisi pada sikel mendapatkan label s 1 sampai s n. Sisi yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada sikel disebut jarijari. Label jari-jari dapat dinyatakan pula dengan e i = {c, v i } untuk 1 i n. Pola penamaan secara grafis pada graf roda diperagakan pada gambar berikut.

38 1 Sisi (s) Titik (v) Jari-jari Titik tengah ( ) Gambar.18 Penamaan elemen graf roda v 1 s n s 1 e 1 v e s e 3 v 3 e 4 s 3 v 4 s 4 v n s n 1 e n c e n 1 en e 5 v 5 v n 1 s n v n Gambar.19 Label elemen graf roda C. Pelabelan Graf Dengan memperhatikan struktur yang terdapat pada suatu graf, graf tersebut memiliki titik (order) sebanyak v = V(G) dengan banyaknya sisi (size) yaitu e = E(G). Jika setiap elemen yang terdapat pada graf tersebut diberikan label, maka banyaknya label yang akan diberikan pada graf tersebut sebanyak v + e. Pelabelan pada graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen pada graf tersebut ke bilangan asli 1,,3, sebanyak elemen yang akan berikan label pada graf tersebut.

39 Berdasarkan Definisi.1 graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana V(G) adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada E(G), maka pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen pada graf ke bilangan asli. Pelabelan pada graf dibagi antara lain: 1. Pelabelan titik (vertex labelings) Pelabelan titik merupakan pelabelan yang himpunan asalnya titik Gambar.0 Pelabelan titik pada graf roda. Pelebelan sisi (edge labelings) Pelabelan sisi merupakan pelabelan yang himpunan asalnya sisi Gambar.1 Pelabelan sisi pada graf roda 3. Pelabelan total (total labelings) Pelabelan total merupakan pelabelan yang domainnya titik dan sisi. Pada pelabelan total, banyaknya elemen titik yang akan diberikan label sebanyak v dan benyaknya elemen sisi yang akan diberikan label sebanyak e, sehingga banyaknya elemen yang akan diberikan label pada pelabelan

40 3 total sebanyak v + e. Oleh sebab itu pemetaan total yang terdapat pada suatu graf merupakan pemetaan V(G) E(G) ke bilangan asli 1,,, v + e. Pelabelan total pada graf merupakan pemetaan yang memetakan setiap elemen yang terdapat pada graf tersebut ke ke bilangan asli 1,,3,, v + e. Pelabelan yang diberikan untuk setiap elemen pada graf berbeda satu dengan yang lainnya dan setiap bilangan asli 1,,3,, v + e memiliki prapeta pada V(G) E(G). Oleh sebab itu pelabelan pada graf merupakan pemetaan yang bijektif. Definisi.16 Pelabelan total pada graf (Wallis, 001) Pelabelan total pada suatu graf G adalah pemetaan bijektif λ dari V(G) E(G) ke bilangan asli 1,,, v + e, di mana v = V(G) dan e = E(G) Gambar. Pelabelan total pada graf roda Dengan adanya pelabelan total, di mana domainnya adalah titik dan sisi maka dapat diperoleh bobot elemen di mana bobot elemen adalah hasil penjumlahan label yang dievaluasi dengan label elemen yang bersisisan.

41 4 Definisi.17 Bobot titik (Stewart, 1966) Bobot titik merupakan bobot yang diperoleh dari titik yang dievaluasi dan semua sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Bobot titik x pada pelabelan λ dinyatakan sebagai berikut: wt(v i ) = λ(v i ) + λ(v i, v j ) λ(v i, v j ) adalah semua sisi yang bersisian dengan dengan titik v i Berdasarkan Gambar. bobot titik pada titik (16) adalah wt(16) = = 44 Definisi.18 Bobot sisi (Stewart, 1966) Bobot sisi merupakan bobot yang diperoleh dari sisi dan dua buah titik bertetangga di mana kedua titik tersebut dihubungkan oleh sisi tersebut. Bobot sisi xy pada pelabelan λ dinyatakan sebagai berikut wt(v i, v j ) = λ(v i, ) + (v i, v j ) + λ(v j ) Berdasarkan Gambar. bobot titik pada sisi (4) adalah wt(4) = = 3 Berdasarkan hasil bobot elemen graf yang dievaluasi, bobot elemen memiliki hasil yang beragam, tetapi berdasarkan hasil tersebut pelabelan graf dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu sama dan tidak sama. Definisi.19 Pelabelan ajaib (Wallis, 001) Pelabelan ajaib (magic labelings) adalah suatu pelabelan di mana bobot setiap elemen yang dievaluasi sama.

42 5 Definisi.0 Pelabelan tak-ajaib (Wallis, 001) Pelabelan tak-ajaib ( antimagic labelings ) adalah suatu pelabelan bobot elemen yang dievaluasi tidak sama. Berdasarkan jenis pelabelan graf dan bobot elemen graf yang dievaluiasi, peneliti akan meneliti mengenai pelabelan ajaib dengan bobot elemen yang dievaluasi adalah sisi. Berdasarkan himpunan asal, bobot dan elemen graf yang dievaluasi terdapat pelabelan total ajaib sisi (edge magic total labelings) (EMTL) Pelabelan total ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif λ dari V(G) E(G) ke bilangan asli {1,,3,, v + e} dengan v = V(G) dan e = E(G) sedemikian sehingga untuk setiap sisi xy E(G) berlaku λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k untuk setiap konstanta ajaib k (Wallis, 001). Pelabelan total ajaib sisi, adalah pemetaan di mana setiap elemen (sisi dan titik) diberikan label bilangan asli 1,,3, sampai sejumlah titik dan sisi dari graf. Label-label ditempatkan sedemikian sehingga setiap sisi pada graf tersebut memiliki bobot yang sama. Bobot sisi diperoleh dengan menjumlahkan label sisi dan dievaluasi dengan dua buah label titik yang bersisian dengan sisi tersebut Gambar.3 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda W 6

43 6 Pada Gambar.3 graf roda W 6 memiliki konstanta ajaib 3. Setiap sisi pada W 6 memiliki bobot yang sama. Sebagai contoh sisi dengan label 1 bertetangga dengan titik berlabel 1 dan 19, sehingga bobot sisinya adalah: Sisi berlabel 1 memiliki bobot wt(1) = = 3 Sisi berlabel 14 memiliki bobot wt(14) = = 3 Sisi berlabel memiliki bobot wt() = = 3 Sisi berlabel 15 memiliki bobot wt(15) = = 3 Sisi berlabel 4 memiliki bobot wt(4) = = 3 Sisi berlabel 17 memiliki bobot wt(17) = = 3 Sisi berlabel 7 memiliki bobot wt(7) = = 3 Sisi berlabel 8 memiliki bobot wt(8) = = 3 Sisi berlabel 9 memiliki bobot wt(9) = = 3 Sisi berlabel 11 memiliki bobot wt(11) = = 3 Sisi berlabel 13 memiliki bobot wt(13) = = 3 Sisi berlabel 10 memiliki bobot wt(10) = = 3 Berdasarkan penelitiannya, Wallis menyatakan sebuah graf G di mana banyaknya sisi pada graf G genap, v + e (mod 4) dan untuk setiap titik pada graf G berderajat ganjil maka graf G tersebut tidak memiliki pelabelan total ajaib sisi.

44 7 D. Dualitas Graf Googaire dan Parmenter (1998) menyatakan sebuah graf tertentu dapat dibentuk pelabelan baru dari pelabelan yang ada. Suatu pelabelan λ dual dengan pelabelan λ didefiniskan sebagai λ (x i ) = (v + e + 1) λ(x) untuk sembarang titik x i λ (xy) = (v + e + 1) λ(xy) untuk sembarang sisi xy Dengan demikian pelabelan λ merupakan pelabelan dari V(G) E(G) ke bilangan positif {1,,3,, v + e} dan pelabelan λ disebut dual dari pelabelan λ. Pada pelabelan λ, bobot elemen yang dievaluasi dinyatakan sebagai konstanta ajaib k. Pada pelabelan λ, bobot elemen dievaluasi diperoleh dengan k = λ (x) + λ (xy) + λ (y) = ((v + e + 1) λ(x)) + ((v + e + 1) λ(xy)) + ((v + e + 1) λ(y)) = 3(v + e + 1) (λ(x) + λ(xy) + λ(y)) = 3(v + e + 1) k

45 BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Berdasarkan Definisi.16, Definisi.18 dan Definisi.19, pelabelan total ajaib sisi pada graf merupakan pemetaan bijektif λ dari V(G) E(G) ke bilangan asli 1,,, v + e, di mana v = V(G) dan e = E(G), di mana untuk setiap sisi (v i, v j ) berlaku λ(v i ) + λ(v i, v j ) + λ(v j ) = k (3.1) untuk setiap nilai konstanta k. Dengan kata lain, wt(v i, v j ) = k untuk setiap sisi yang terdapat pada graf tersebut. Selanjutnya k disebut dengan nilai konstanta ajaib dari graf G. Wallis (001). Pada pelabelan ajaib, nilai konstanta ajaib k akan ditentukan lebih dahulu. Melalui perhitungan dasar akan diperoleh batas nilai kostanta ajaib k, sehingga dapat ditentukan suatu pelabelan untuk nilai konstanta ajaib k. Misalkan M = v + e, S e adalah jumlah seluruh label sisi dan S v adalah jumlah seluruh label titik dengan setiap label adalah bilangan bulat 1,,3,, M sehingga jumlah semua label adalah M S e + S v = i i=1 = M(M + 1) (3.) 8

46 9 v 1 s n v n s n 1 s 1 e 1 e n v s e e 3 c e n 1 en v 3 s 3 e 4 e 5 v 4 s 4 v 5 Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda Pada pelabelan total ajaib sisi khususnya pada roda, label sisi dihitung sebanyak satu kali dan label titik dihitung sebanyak tiga kali kecuali untuk label titik pusat (c) dihitung sebanyak n-kali. Berdasarkan persamaan (3.1) sehingga diperoleh S w = e 1 + e + + e n + s 1 + s + + s n + 3v 1 + 3v + + 3v n + nc = (e 1 + e + + e n + s 1 + s + + s n ) + 3v 1 + 3v + + 3v n + 3c + (n 3)c = S e + 3(v 1 + v + + v n + c) + (n 3)c = S e + 3S v + (n 3)c nk = (S e + S v ) + S v + (n 3)c = M(M + 1) v n 1 s n v n + s v + (n 3)c k = M(M+1) + s v + (n 3)c n (3.3) Berdasarkan persamaan tersebut maka label titik perlu diketahui lebih dahulu sementara label sisi dapat ditentukan dengan mengurangkan nilai konstanta ajaib dengan label titik yang bersisian dengan sisi tersebut.

47 30 Untuk kepentingan pelabelan, batas S v perlu ditentukan. Batas bawah diperoleh dengan memberikan label terkecil sebanyak v titik dan batas atas diperoleh dengan memberikan label terbesar, sehingga v i S v i=1 v+e i i=e+1 v i S v (e + 1) + (e + ) + + (v + e) i=1 v i S v ( (v + e)) ( e) i=1 v v+e e i S v i i i=1 i=1 i=1 (3.4) B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 1. Batas Total Label Titik S v Berdasarkan persamaan (3.3) untuk kepentingan pencarian nilai konstanta ajaib k, batas total label S v perlu ditentukan terlebih dahulu. Berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh v v+e e i S v i i i=1 i=1 i=1 v(v + 1) (v + e)(v + e + 1) S v (n + 1)(n + ) (3n + 1)(3n + ) S v (n + 1)(n + ) S v 9n + 9n + 4n + n e(e + 1) n(n + 1)

48 31 (n + 1)(n + ) S v 5n + 7n + (n + 1)(n + ) (n + 1)(5n + ) S v S v = (n+1)(n+) + a, di mana a adalah (n + 1)(5n + ) (n + 1)(n + ) 0 a (n + 1)((5n + ) (n + )) 0 a (n + 1)4n 0 a 0 a n(n + 1) 0 a n + n (n + 1)(n + ) S v = + a, 0 a n + n, a Z (3.5). Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda Batas nilai konstanta ajaib k yang diperoleh dari perhitungan dasar menunjukan adanya pelabelan pada graf roda. Perhitungan dasar memberikan batas nilai kosntanta ajaib k yang memungkinkan pada suatu graf secara umum. Sementara, setiap graf memiliki struktur yang berbedabeda, sehingga memungkinkannya ditemui beberapa permasalahan untuk graf roda W n sehingga untuk nilai n tertentu tidak dapat diberikan label, atau adanya suatu nilai kosntanta ajaib k yang tidak memiliki pelabelan, dll. Dengan demikian perlu adanya perhitungan khusus untuk menentukan batas nilai kosntanta ajaib.

49 3 Berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh k = = = = M(M+1) (3n+1)(3n+) 9n +9n+ 9n +9n+ + S v + (n 3)c n + ( (n+1)(n+) n + ( n +3n+ n + n +6n+4 n + a) + (n 3)c + a) + (n 3)c + a + (n 3)c = 11n +15n+6 + a + (n 3)c, 0 a n + n, a Z n (3.6) Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh batas nilai kosntanta ajaib k terkecil dapat diperoleh jikaa = 0 dan c = 1 sehingga k terkecil = = = = 11n +15n+6 11n +15n+6 11n +15n+6 n 11n +15n+6 n + a + (n 3)c n (n 3)1 n + (n 3) + n 6 = 11n + 17n 4n = 11n (3.7)

50 33 Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh batas nilai kosntanta ajaib k terbesar dapat diperoleh jika a = n + n dan c = 3n + 1 sehingga k terbesar = = = = 11n +15n+6 11n +15n+6 11n +15n+6 19n +3n+6 + a + (n 3)c n + (n + n) + (n 3)(3n + 1) + 8n +8n n + 6n 16n 6 n n + 3n 8n 3 = 5n + 7n 4n = 5n (3.8) adalah Sehingga untuk setiap graf roda W n, konstanta ajaib k yang memenuhi 11n k 5n (3.9) 3. Batas Nilai Titik Pusat c untuk Konstanta Ajaib k Pada graf roda terdapat titik sebanyak n + 1 dan sisi sebanyak n sehingga banyaknya pelabelan yang akan terjadi pada graf roda sebanyak 3n + 1. Pada skripsi ini pelabelan pada graf roda mengacu pada titik pusat

51 34 sebagai pusat, sisi yang bersisian dengan pusat sebagai jari-jari, dan titik lainnya yang bertetangga dengan titik pusat. s 1 v 1 v s n e 1 e s v n e n c e 3 v 3 Gambar 3. Pelabelan pada graf roda Berdasarkan gambar di atas, untuk semua i, total label e i + v i dalam pelabelan total ajaib sisi pada graf roda adalah sama yaitu k c di mana k merupakan nilai konstanta ajaib dan c merupakan label untuk titik pusat. Karena untuk semua i total label e i + v i sama maka pasangan label e i + v i terkecil dapat diperoleh dari label bilangan asli mulai dari 1 sampai n yang saling berpasangan yaitu {i, n + 1 i}. Dengan cara yang sama, pasangan label e i + v i terbesar diperoleh dari label bilangan asli mulai dari n + sampai 3n + 1 yang saling pasangan yaitu {n i, 3n + i}, Untuk setiap nilai konstanta ajaib k terdapat batasan untuk label titik pusat c pada graf roda. Label titik pusat c terkecil diperoleh dengan mengurangi nilai konstanta ajaib k dengan jumlahan dari pasangan label e i + v i terbesar, sehingga label titik pusat c terkecil adalah c terkecil = k ((n i) + (3n + i)) = k (4n + 3) Misalkan nilai kosntanta ajaib k yang digunakan merupakan nilai konstanta ajaib terkecil, sehingga

52 35 c terkecil = k (4n + 3) = = = 11n n n = 5n (4n + 3) 4 (4n + 3) 4 = 1,5 1,5n Untuk n = 4 sehingga label c terkecil c terkecil = 1,5 1,5n = 1,5 1,5 4 = 1,5 5 = 3,75 16n Berdasarkan persamaan di atas, koefisien dari n bernilai negatif sehingga semakin besar nilai n maka semakin besar pula label negatif untuk label c terkecil. Label yang terdapat pada pelabelan total ajaib adalah label dengan bilangan asli sehingga diperlukan batasan bahwa untuk setiap label merupakan bilangan asli (c 1) sehingga c terkecil = k (4n + 3), c 1 (3.10) Dengan cara yang sama, label titik pusat c terbesar dapat diperoleh dengan mengurangi nilai konstanta ajaib k dengan jumlahan dari pasangan label e i + v i terkecil, sehingga label titik pusat c terbesar adalah c terbesar = k ((i) + (n + 1 i)) = k (n + 1)

53 36 Misalkan nilai kosntanta ajaib k yang digunakan merupakan nilai konstanta ajaib terbesar, sehingga c terbesar = k (n + 1) = 5n = 5n = 5n = 17n (n + 1) 4 (n + 1) 4 8n = 4,5n + 0,75 = (3n + 1) + (1,5n 0,5) Untuk n = 4 sehingga label c terbesar c terbesar = (3n + 1) + (1,5n 0,5) = (3n + 1) + (1,5 4 0,5) = (3n + 1) + (5 0,5) = (3n + 1) + 4,75 Berdasarkan persamaan di atas, semakin besar nilai n maka semakin besar pula label untuk label c terbesar, tetapi label untuk label c terbesar sudah melebihi batas pelabelan yang ada pada graf roda W n yaitu (3n + 1), sehingga diperlukan batasan bahwa label maksimum untuk setiap label di mana label c juga termasuk yaitu (3n + 1) sehingga batas untuk label c adalah (c 3n + 1) sehingga c terbesar = k (n + 1), c 3n + 1 (3.11)

54 37 Sehingga untuk setiap nilai konstanta ajaib k, label titik pusat c yang memenuhi adalah k (4n + 3) c k (n + 1), c 1, c 3n + 1 (3.1) 4. Pelabelan Titik dan Sisi Pada Graf Roda Pelabelan titik dan sisi dalam pelabelan ajaib sisi pada graf roda dibagi menjadi dua, yaitu a. Pelabelan untuk pasangan label titik (v) dan sisi pada jari-jari (e) yang terdapat pada graf roda Pelabelan untuk pasangan label titik dan sisi adalah himpunan bilangan pasangan berurut yang memungkinkan di mana (v, e) = {i, k c i} b. Pelabelan untuk sisi sikel (s) pada graf roda Pelabelan untuk sisi (s) himpunan bilangan yang memungkinkan di mana bukan titik pusat (s) = {1 i 3n + 1, i c}

55 38 C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda Pada pelabelan total ajaib sisi untuk graf roda ditemukan banyak cara memperoleh nilai konstanta ajaib k, tetapi setiap graf memiliki struktur yang berbeda-beda, sehingga memungkinkannya ditemui beberapa permasalahan untuk nilai n tertentu sehingga graf roda tidak dapat diberikan label, atau adanya suatu nilai kosntanta ajaib k yang tidak memiliki pelabelan, dll. Berdasarkan persamaan (3.6) nilai konstanta ajaib pada pelabelan total ajaib sisi dapat diperoleh yaitu: k = 11n +15n+6 = 11n + 15n + 6 4n + a + (n 3)c, 0 a n + n n + a + (n 3)c n = 8n + 1n + 3n + 3n + 6 4n = (n + 3) + 3n + 3n + 6 4n + + a + (n 3)c n a + (n 3)c n = (n + 3) + 3 n + n + a + (n 3)c + 4 n n (3.13)

56 39 1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (n 0(mod4)) n 0(mod4) n = 4h, h N Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga k = (n + 3) + 3 n + n + a + (n 3)c + 4 n n = ((4h) + 3) + 3 (4h) + (4h) + a + ((4h) 3)c + 4 4h (4h) = (8h + 3) h + 4h + a + (4h 3)c + 4 4h 8h = (8h + 3) + 48h + 1h h = (8h + 3) + 3h + 1h h = (11h + 3) + 6h + 3 8h = (11h + 3) a + (4h 3)c 8h a + (4h 3)c 8h a + (4h 3)c 8h 6h + a (4h 3)c 8h a, c, h di mana 0 a n + n, a Z, 1 c 3n + 1, c N dan h N 8h menghasilkan suatu bilangan asli genap, 6h + a (4h 3)c menghasilkan suatu bilangan asli genap jika c merupakan label dengan bilangan asli ganjil Oleh sebab itu a, c, h sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta ajaib k jika label c merupakan label dengan bilangan asli ganjil.

57 40. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (n 1(mod4)) n 1(mod4) n = 4h + 1, h N Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga k = (n + 3) + 3 n + n + a + (n 3)c + 4 n n = ((4h + 1) + 3) + 3 (4h + 1) + (4h + 1) + a + ((4h + 1) 3)c + 4 4h + 1 (4h + 1) = (8h + + 3) + 3 (16h + 8h + 1) + 4h h + 1 = (8h + 5) h + 1h + 4 a + (h 1)c + 4 4h + 1 4h + 1 = (8h + 5) + 3(4h + 3h + 1) 4h + 1 = (8h + 5) + 1h + 9h + 3 4h a + (h 1)c 4h + 1 a + (h 1)c 4h + 1 = (8h + 5) + (1h + 7h + 1) + h + 4h + 1 = (8h + 5) + (3h + 1) + h + a + (h 1)c + 4h + 1 4h + 1 = (11h + 6) + h + a + + (h 1)c 4h a + (4h )c 8h + a + (h 1)c 4h + 1 a, c, h di mana 0 a n + n, a Z, 1 c 3n + 1, c N dan h N 4h + 1 menghasilkan suatu bilangan asli ganjil Oleh sebab itu a, c, h sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta ajaib k.

58 41 3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (n (mod4)) n (mod4) n = 4h +, h N Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga k = (n + 3) + 3 n + n + a + (n 3)c + 4 n n = ((4h + ) + 3) + 3 (4h + ) + (4h + ) + a + ((4h + ) 3)c + 4 4h + (4h + ) = (8h ) + 3 (16h + 16h + 4) + 4h h + = (8h + 7) h + 0h + 8 a + (4h 1)c + 4 4h + 8h + 4 = (8h + 7) + 3(4h + 5h + ) 4h + = (8h + 7) + 1h + 15h + 6 4h + = (8h + 7) + (1h + 14h + 4)(h + ) 4h a + (4h 1)c 8h + 4 a + (4h 1)c 8h a + (4h 1)c 8h + 4 a + (4h 1)c 8h + 4 = (8h + 7) + (3h + ) + h + a + (4h 1)c + 4h + 8h + 4 = (11h + 9) + h + a (4h 1)c 8h + 4 a, c, h di mana 0 a n + n, a Z, 1 c 3n + 1, c N dan h N 8h + 4 menghasilkan suatu bilangan asli genap h + a (4h 1)c menghasilkan suatu bilangan asli genap jika c merupakan label dengan bilangan asli genap

59 4 Oleh sebab itu a, c, h sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta ajaib k jika label c merupakan label dengan bilangan asli genap. 4. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (n 3(mod4)) Enomoto, dkk (1998) meneliti bahwa pada graf roda sampai n = 9 menemukan suatu pelabelan untuk graf jika n 3(mod4), hal ini diperkuat oleh Fukuchi (001) yang membuktikan dugaan tersebut. Pembuktian untuk membuktikan bahwa tidak terdapat pelabelan untuk n 3(mod4) antara lain: n 3(mod4) n = 4h + 3, h N Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga k = (n + 3) + 3 n + n + a + (n 3)c + 4 n n = ((4h + 3) + 3) + 3 (4h + 3) + (4h + 3) + a + ((4h + 3) 3)c + 4 4h + 3 (4h + 3) = (8h ) + 3 (16h + 4h + 9) + 4h h + 3 = (8h + 9) h + 8h + 14 a + 4hc + 4 4h + 3 8h + 6 = (8h + 9) + 3 8h + 14h + 7 a + 4hc + 4h + 3 8h + 6 = (8h + 9) + 4h + 4h + 1 8h + 6 = (8h + 9) + 4h + 4h h a + 4hc 8h a + 4hc 8h + 6 = (8h + 9) + (3h + 3) + 3 a + 4hc + 8h + 6 8h + 6 a + 4hc 8h + 6