Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau kurung siku. Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dst. Secara umum, diberikan matriks A, a 13 a 1n Baris ke 1 A m n = a 23 a 2n a 31 a 3n a m1 a 32 a m2 a m3 Baris ke 2 Baris ke 3 a mn Baris ke m a ij R, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j ; i = 1,2,3,, m; j = 1,2,3,, n; A m n ; dimana m menyatakan banyak baris matriks A dan n menyatakan banyak kolom matriks A serta m n menyatakan ordo (ukuran) matriks A, yaitu baris dan kolom matriks A. Ingat, m menyatakan banyak baris matriks A dan n menyatakan banyak kolom matriks A Jadi, jika diperhatikan ordo suatu matriks, dapat diketahui banyaknya elemen pada matriks itu. B. Jenis-jenis Matriks 1) Matriks Baris (array) Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 n dengan n banyak kolom pada matriks tersebut. A 1 n = a 13 a 1n A 1 3 = 1 2 3 2) Matriks Kolom (vektor) Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks kolom berordo m 1 dengan m banyak baris pada matriks tersebut. a 11 a 21 A m 1 = a 31 a m1 1 A 3 1 = 2 3 1
3) Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo n n,maka a 11, a 22,,, a nn disebut diagonal utama. 1 2 3 A 3 3 = 4 6 7 8 9 A n n = a 13 a 1n a 23 a 2n a 31 a 32 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn 4) Matriks Persegi Panjang Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m n. a 13 a 1n A m n = 1 2 3 4 A 3 4 = 6 7 8 9 1 11 12 a 23 a 2n a 31 a m1 a 32 a m2 a m3 a 3n a mn ) Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen dibawah diagonal utama adalah nol. a 13 a 1n a 22 a 23 a 2n U n = a 3n a nn 1 2 3 U 3 = 6 9 2
6) Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama adalah nol. a 11 1 L 3 = 4 7 8 9 L n = a 31 a 32 a n2 a n3 a n1 a nn 7) Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama dan dibawah diagonal adalah nol. a 11 1 D 3 = 9 D n = a 22 a nn 8) Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemennya adalah satu. 1 1 I 3 = 1 1 1 I n = 1 9) Matriks Nol Matriks nol adalah yang semua elemennya adalah nol. 1 O n = 3
O 3 = C. Transpos Matriks Jika matriks awal berordo m n, maka transpos matriks berordo n m. A m n = T A n m = a 13 a 1n a 23 a 2n a 31 a m1 a 32 a m2 a m3 jika dan hanya jika a 3n a mn a 11 a 21 a 31 a n1 a 12 a 22 a 32 a n2 a 13 a 1m a 23 a 2m a 3m Contoh: 1 2 3 1 4 7 A = 4 6 jika dan hanya jika A T = 2 8 7 8 9 3 6 9 a n3 a nm D. Kesamaan Matriks Dua Matriks dikatakan sama A = B jika dan hanya jika : Ordo matriks A sama dengan ordo Matriks B. Setiap elemen yang seletak pada Matriks A dan Matriks B mempunyai nilai yang sama, a ij = b ij, untuk setiap i dan j. 4a 8 4 12 8 4 Contoh: Diketahui Matriks A = 6 1 3b dan Matriks B = 6 1 3a. 3c Jika A = B, maka a + b + c = 9 b 9 Jawab: 4a = 12 a = 12 4 a = 3 3b = 3a 3b = 3(3) 3b = 9 b = 9 3 b = 3 3c = b 3c = 3 4
c = 3 3 c = 1 Jadi, a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 3 3 1 = 1 E. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen Matriks A dengan setiap elemen Matriks B yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dijumlahkan. A + B 1 3 1 Contoh: Diketahui Matriks A = 1 4 dan Matriks B = 2. Tentukan A + B! 3 1 Jawab: 2 + 1 1 + 3 2 + 1 A + B = 1 + + 2 4 + 3 + 1 + + 3 4 3 A + B = 1 2 4 4 3 4 3 Jadi, A + B = 1 2 4 4 2) Pengurangan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka pengurangan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen Matriks A dengan setiap elemen Matriks B yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dikurangkan. A + B = A + ( B) 1 3 1 Contoh: Diketahui Matriks A = 1 4 dan Matriks B = 2. Tentukan A B! 3 1 Jawab: 2 1 1 3 2 1 A B = 1 2 4 3 1 1 2 1 A B = 1 2 4 2
1 2 1 Jadi, A B = 1 2 4 2 3) Perkalian Matriks a) Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Jika A adalah suatu Matriks dan k adalah Bilangan Real, maka ka adalah suatu Matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen pada Matriks A. ka = k A Contoh: Diketahui Matriks A = 1 4 dan k = 2. Tentukan ka! Jawab: 3 ka = 2 1 4 3 2 2 2 1 2 2 ka = 2 1 2 2 4 2 3 2 2 4 2 4 ka = 2 8 6 1 4 2 4 Jadi, ka = 2 8 6 1 b) Perkalian Matriks dengan Matriks a 11 x + a 12 y = b 1 (1) a 21 x + a 22 y = b 2 (2) maka dari sistem persamaan linier dua variabel ter sebut dapat dibentuk perkalian matriks, yaitu: x y = b 1 b 2 Jika A adalah Matriks berordo m r dan B adalah Matriks berordo r n, maka hasik kali AB adalah Matriks C berordo m n yang elemenelemennya ditentukan sebagai berikut a 1r b 11 b 12 b 1n a Jika A = 21 a 22 a 2r b dan B = 21 b 22 b 2n, a m1 a m2 a mr b r1 b r2 b rn 6
(a 11 b 11 ) + (a 12 b 21 ) + + (a 1r b r1 ) (a 11 b 12 ) + (a 12 b 22 ) + + (a 1r b r2 ) (a 11 b 1n ) + (a 12 b 2n ) + + (a 1r b rn ) (a maka AB = 21 b 11 ) + (a 22 b 21 ) + + (a 2r b r1 ) (a 21 b 12 ) + (a 22 b 22 ) + + (a 2r b r2 ) (a 21 b 1n ) + (a 22 b 2n ) + + (a 2r b rn ) (a m1 b 11 ) + (a m2 b 21 ) + + (a mr b r1 ) (a m1 b 12 ) + (a m2 b 22 ) + + (a mr b r2 ) (a m1 b 1n ) + (a m2 b 2n ) + + (a mr b rn ) 1 3 1 Contoh: Diketahui Matriks A = 1 4 dan Matriks B = 2. 3 1 Tentukan AB! Jawab: 1 3 1 AB = 1 4 2 3 1 (2 1) + (1 ) + (2 1) (2 3) + (1 2) + (2 ) (2 1) + (1 ) + (2 ) AB = (1 1) + (1 ) + (4 1) (1 3) + (1 2) + (4 ) (1 1) + (1 ) + (4 ) (3 1) + ( ) + ( 1) (3 3) + ( 2) + ( ) (3 1) + ( ) + ( ) 2 + + 2 6 + 2 + 1 2 + + AB = 1 + + 4 3 + 2 + 2 1 + + 3 + + 9 + + 2 3 + + 4 18 2 AB = 2 1 8 34 3 4 18 2 Jadi, AB = 2 1 8 34 3 F. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks 1) Determinan Matriks Determinan Matriks dinotasikan dengan det (A) = A, misal: Jika A = a b c d, maka det A = a b atau det (A) = ad bc c d Jika A 2 2 = a 21 a, maka det (A) = 22 a 21 a atau 22 det (A) = a 11 a 22 a 21 a 12 Contoh: Jika diketahui A = 2 1, maka carilah det (A)! 3 4 Jawab: A = 2 1 3 4 det (A) = 2 1 3 4 = (2)(4) (3)(1) = 8 3 = Jadi, det (A) = 2) Adjoin Matriks Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (A) = A, misal: 7
Jika A = a b, maka adj (A) d b = c d c a Jika A 2 2 =, maka adj (A) = a 22 a 12 a 21 a 11 Contoh: Jika diketahui A = 2 1, maka carilah adj (A)! 3 4 Jawab: A = 2 1 3 4 adj (A) = 4 1 3 2 Jadi, adj (A) = 4 1 3 2 3) Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku AB = BA = I, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis A 1. Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. A 1 = 1 adj (A), dimana det (A) det (A) Contoh: Jika diketahui A = 2 1 3 4, maka carilah A 1! Jawab: A = 2 1 3 4 det (A) = 2 1 3 4 = (2)(4) (3)(1) = 8 3 = adj (A) = 4 1 3 2 A 1 1 = adj (A) det (A) = 1 4 1 3 2 = 4 3 1 2 Jadi, A 1 = 4 3 1 2 8